Grundwissen Mathematik 8 1 Zahlen Bruchterme sind z.b.: ; ; in Faktoren zerlegen gemeinsame Faktoren kürzen + D = Q\{0; 2}

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1 Zahlen + a + Bruhterme sin z.b.: ; ; a a +. Kürzen ( ) ( + ) ( + ) ( + ) in Faktoren zerlegen gemeinsame Faktoren kürzen. Aieren un Sutrahieren Beispiel:, + D Q\{0; } a) Hauptnenner (HN) estimmen: HN: ( ) ) auf HN erweitern: ( ), + ( ) ( ) + Rhön-Gmnasium Ba Neustat 09 (Üerareitung Gmnasium Ottorunn 0) Seite von 7 ) Zähler zusammenfassen: ( ) ( ) ) in Faktoren zerlegen un kürzen: ( ) ( ) ( ). Multiplizieren un Diviieren a) ( ) D Q \{0; } ( ) ) + + : ( + ) + ( ) D Q \{}. Lineare Gleihungen un Ungleihungen.. Gleihungen Jee lineare Gleihung lässt sih auf ie Form a + 0 ringen. Lösung er Gleihung ist ie Nullstelle er Geraen a +... Ungleihungen > ; a < ; + ; a+ Die Lösungsmenge einer Ungleihung leit gleih, wenn man: auf eien Seiten iesele rationale Zahl zw. enselen Term aiert oer sutrahiert. eie Seiten mit einem positiven Term multipliziert oer urh iesen iviiert. eie Seiten mit einem negativen Term multipliziert oer urh iesen iviiert un gleihzeitig as Ungleihheitszeihen umreht. Die Lösungsmenge einer Ungleihung wir entweer in aufzählener Form oer in Intervallshreiweise angegeen. D Z: + > L {; ; ; } D Q: + > L { > } ]; [ Intervallarten: ]; [ offenes Intervall von ausgeshlossen is ausgeshlossen ( un sin niht aei) [-; 6] geshlossenes Intervall von eingeshlossen - is eingeshlossen 6 (- un 6 sin aei) [-,; [ haloffenes Intervall von eingeshlossen-, is unenlih ausgeshlossen (-, aei, unenlih ist immer ausgeshlossen)

2 .. Prouktgleihungen un Prouktungleihungen Prouktgleihung Beispiel: ( )( + ) 0 L {-; } Ein Proukt esitzt en Wert Null, wenn einer er eien Faktoren Null ist... Lösen von Bruhgleihungen Beispiel: 6 a) Grafishe Lösung Zeihnen er eien Graphen z.b. mit Hilfe einer Wertetaelle un alesen er -Koorinate es Shnittpunktes. S(/0,) ) Rehnerishe Lösung 6 Definitionsereih: D Q \{0; 6} a) Hauptnenner: HN : ( 6 ) ) eie Seiten mit HN multiplizieren: ( 6 ) ( 6 ) ) kürzen: ( 6 ) ) ausrehnen: Prüfe: D ann L {} 6 - O - Notfalls noh Proe mahen.. Lineare Gleihungsssteme Beispiel: I. + 8 II. - a) Grafishe Lösung Auflösen er Gleihung (I) un (II) nah ; Geraen einzeihnen; Shnittpunkt ist ie Lösung. (I) (II) + + S( ) - - O - ) Aitionsverfahren I. + 8 II. - I. + II. 6; ; in I. eingesetzt: ; also: L {(/)} Rhön-Gmnasium Ba Neustat 09 (Üerareitung Gmnasium Ottorunn 0) Seite von 7

3 ) Einsetzungsverfahren I. + 8 II. - aus II. - + ; in I. (- + ) + 8; ausrehnen: ; in I. (oer II.) ; also: L {(/)} ) Anzahl er Lösungen Genau eine Lösung (Die Geraen shneien sih.) Keine Lösung (Die Geraen sin parallel.) Unenlih viele Lösungen (Die Geraen sin ientish.).6 Potenzgesetze für ganzzahlige Eponenten Potenzen: a a a a a a ; (a Q) a a a a a Beahte: a a un a 0 für alle a Q Gleitkommaarstellung: 0000, 0 7 0, ,6 0 Potenzgesetze Sei a Q \{0}; p, q Z, ann gilt p q a a p+ q a (gleihe Basis) m m a m ( a) (gleiher Eponent) r s rs ( ) a a (Potenzieren einer Potenz) (a Q \{0}) Funktionen Eine Zuornung a, ie jeem aus em Definitionsereih genau ein aus em Werteereih zuornet, heißt Funktion. Graphen von Funktionen weren von jeer Parallelen zur -Ahse höhstens einmal geshnitten. Beispiel: f : a Definitionsmenge D f Q (Menge er -Werte ie in ie Funktion eingesetzt weren ürfen) Wertemenge W f [-; [ (Menge er Werte ie man urh einsetzen er -Werte in ie Funktion erhält) O - -. Direkt proportionale Funktionen Zwei einaner zugeornete Größen un für ie m gilt (m Q), heißen irekt proportional zueinaner. Der Quotient m heißt Proportionalitätsfaktor. Der Graph ist eine Gerae urh en Koorinatenursprung; er ergit sih aus er Funktionsgleihung m. oer -0, Der Faktor m legt ie Steigung es Graphen fest un heißt aher auh Steigungsfaktor. m < 0: Graph fallen m 0: Parallele zur -Ahse m > 0: Graph steigen O Rhön-Gmnasium Ba Neustat 09 (Üerareitung Gmnasium Ottorunn 0) Seite von 7

4 . Lineare Funktion f: a m + t mit D Q Der Graph ist eine Gerae mit Steigung m un Ahsenashnitt t. - - z.b.: m ; t - Allgemein: Nullstelle: t Steigung: m m m ;. Geraengleihung m + t Je größer m ist, esto steiler ist ie Gerae. Für m < 0 fällt, für m > 0 steigt ie Gerae. Alle Geraen mit gleiher Steigung sin parallel. Gilt für ie Steigungen m un m zweier Geraen g un g : m m -, so gilt: g g.. Besonere Geraen a Q a; Ursprungsgerae ; Winkelhalierene I. un III. Quarant -; Winkelhalierene II. un IV. Quarant a; Parallele zur -Ahse urh ( 0 / a ) a; Parallele zur -Ahse urh (a / 0). Punkt auf Geraen Ein Punkt liegt auf einer Geraen, wenn seine Koorinaten ie Geraengleihung erfüllen: z.b.: ( / ) g :, enn...6 Geraengleihung aus Punkten aufstellen z.b.: Gerae g urh A( / ) un B ( / ) : Steigung: m ; also: g : + t ( ) aus A g folgt: + t t ; also: + geht urh A un B.7 Inirekt proportionale Funktionen Zwei einaner zugeornete Größen un für ie gilt: k (fester Wert) heißen inirekt proportional zueinaner. (Prouktgleihheit) Der Graph ist eine Hperel; er ergit sih aus er Funktionsgleihung k. Beispiel: Rhön-Gmnasium Ba Neustat 09 (Üerareitung Gmnasium Ottorunn 0) Seite von 7

5 .8 Gerohen-rationale Funktion f ( ) ; f ( ) ; O senkrehte Asmptote f ( ) +, Die Definitionsmenge enthält iejenigen Werte er Grunmenge für ie er Nenner ungleih Null ist. Df Q \ {0}; Df Q \ {}; Df Q Die Nullstellen es Nenners heißen Definitionslüken. Beispiel: f ( ) + ; Df Q \ {}; waagrehte Asmptote - Geometrie. Der Kreis Der Kreis mit Raius r esitzt en Umfang: U rπ π un en Fläheninhalt: A r²π A r U. Der Strahlensatz Voraussetzung: Zwei sih shneiene Geraen weren von zwei zueinaner parallelen Geraen geshnitten. Z a e g f f a + + e a un a g e Z a g f g f e a Strahlensatz: Je zwei Ashnitte auf g verhalten sih wie ie entsprehenen Ashnitte auf g. Die Ashnitte auf en Parallelen verhalten sih wie ie von Z aus gemessenen entsprehenen Ashnitte auf g (zw. g ). Rhön-Gmnasium Ba Neustat 09 (Üerareitung Gmnasium Ottorunn 0) Seite von 7

6 Folgerungen: In jeem Dreiek ist ie Verinungsstreke zweier Seitenmitten parallel zur ritten Seite un hal so lang wie iese. In jeem Dreiek shneien sih ie Seitenhalierenen im Shwerpunkt S. Daei teilt S jee Seitenhalierene im Verhältnis :. (Die längere Streke ist ie Streke vom Ekpunkt zum Shwerpunkt.). Ähnlihkeitssätze W:W-Satz: Zwei Dreieke sin ähnlih, wenn sie in zwei Winkeln üereinstimmen. S:S:S-Satz: Zwei Dreieke sin ähnlih, wenn sie im Verhältnis ihrer Seiten üereinstimmen. S:W:S-Satz: Zwei Dreieke sin ähnlih, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten un em eingeshlossenen Winkel üereinstimmen. S:s:W-Satz: Zwei Dreieke sin ähnlih, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten un em Gegenwinkel er größeren Seite üereinstimmen. Shreiweise: ABC ~ A B C Umkehrung: Sin zwei Dreieke ähnlih, so stimmen sie in en Winkeln üerein un ie Verhältnisse entsprehener Seiten sin gleih. Stohastik. Ergenisraum Ein Eperiment, essen Ausgang niht vorhersagar ist, nennt man Zufallseperiment. Den Ausgang es Eperiments nennt man Ergenis. Alle möglihen Ergenisse eines Zufallseperiments fasst man im Ergenisraum Ω zusammen.. Einmaliges Werfen eines Würfels: Ω {; ; ; ; ; 6}. Werfen einer - un einer -Münze: Ω {WW; WZ; ZW; ZZ}. Das Ereignis Kein, ein oer mehrere Ergenisse fasst man zu einem Ereignis E zusammen. Einelementige Ereignisse weren als Elementarereignis ezeihnet. E : Genau einmal Zahl : E {WZ; ZW} E : Zweimal Zahl : E {ZZ} (Elementarereignis) Das Gegenereignis E tritt ein, wenn E niht eintritt. E : Genau einmal Zahl E : Beie Münzen gleih : E {WW; ZZ} Sonerfälle: Für as sihere Ereignis gilt: E Ω Für as unmöglihe Ereignis gilt: E { } Treten ie Ereignisse E oer E ein, so erhält man as Ereignis E E {WZ; ZW; ZZ } ( E vereinigt mit E ). Laplaewahrsheinlihkeit Zufallseperimente, ei enen jees er möglihen Elementarereignisse gleihe Wahrsheinlihkeit esitzt, heißen Laplaeeperimente. Sei A ie Mähtigkeit es Ereignisses A (Anzahl er Elemente von A) un Ω ie Mähtigkeit von Ω. Dann gilt für Laplaeeperimente: A " Anzahl er günstigen Elementarereignisse" P ( A) Ω " Anzahl er möglihen Elementarereignisse" Rhön-Gmnasium Ba Neustat 09 (Üerareitung Gmnasium Ottorunn 0) Seite 6 von 7

7 Beispiel: Werfen einer -un einer -Münze E: Genau einmal Zahl Ω {WW; WZ; ZW; ZZ} P(E) P( E ) P(E) P({ }) 0 P(Ω) Rhön-Gmnasium Ba Neustat 09 (Üerareitung Gmnasium Ottorunn 0) Seite 7 von 7