Beispiel 1: Bestimme zu den gegebenen reellen Funktionen jeweils den. f 2 : x x f 3 : x ln x f4

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1 Übungen für die. Schularbeit Übungsblatt Beispiel : Bestimme zu den gegebenen reellen jeweils den größtmöglichen Definitinsbereich. Definitinsbereich a) b) c) d) f : f : f 3 : ln f4 : Beispiel : Gegeben: f() = c a (c R, a > 0) Gib die Krdinaten des Schnittpunktes des Graphen vn f mit der y-achse an. Beispiel 3: Vervllständige die flgende Tabelle mit ja bzw nein : mntn fallend für >0 mntn steigend für >0 auf ganz R definiert Peridisch alle Funktinswerte im größtmöglichen Definitinsbereich psitiv a) b) c) d) e) f) g) y= y= ² y=e y= e y=ln y= sin y=cs Beispiel 4: Gegeben ist die reelle Funktin f : y= e, D = R. a) Gib die Umkehrfunktin f und ihren Definitinsbereich an. b) Skizziere die Graphen der f und f. 0/0 6a

2 Übungen für die. Schularbeit Beispiel 5: Gegeben ist eine reelle Funktin f : f() Welche der angegebenen Gleichungen / Aussagen beschreiben den flgenden gemetrischen Sachverhalt? Kreuze an. a) Der Graph der Funktin f hat für 0 = 3 einen Punkt mit der -Achse gemeinsam. Beschreibt diese Gleichung / Aussage den Sachverhalt? f(0)=3 f(3)=0 f(3)=3 f (3)=0 f( 0 )=3 Die Funktin f hat an der Stelle 0 =3 eine Nullstelle ja nein b) Der Graph der Funktin f hat für y 0 = 3 einen Punkt mit der y-achse gemeinsam. Beschreibt diese Gleichung / Aussage den Sachverhalt? f(3)=3 y 0 =f(3) f(3)=0 f(0)=3 f (3)=0 Die Funktin f hat an der Stelle y 0 =3 eine Nullstelle ja nein Beispiel 6: Gegeben ist die reelle Funktin f : y=, D = R + 0. a) Gib die Umkehrfunktin f und ihren Definitinsbereich an. b) Skizziere die Graphen der f und f. Beispiel 7: Gegeben ist die reelle Funktin 0/0 6a 3 f : y=, D = R \ { }. + Bestimme den Term der Umkehrfunktin f und ihre Definitinsmenge.

3 Übungen für die. Schularbeit Beispiel 8: Der atmsphärische Luftdruck p(h) nimmt mit zunehmender Höhe h ab. k h Es gilt das Gesetz p( h) = p0 e. p 0 : Luftdruck in Meereshöhe p(h): Luftdruck in der Höhe h k: Knstante Der Luftdruck auf Meeresniveau (h = 0m) beträgt 03mbar, in 4000m Höhe nur mehr 600mbar. a) Berechne den Luftdruck am Hchschwabgipfel (77m). b) In welcher Höhe beträgt der Luftdruck nur mehr die Hälfte des Drucks in der Höhe h = 0m? Beispiel 9: Gegeben ist das rekursive Funktinsmdell: N(t+) = q.n(t) a) Stelle die für q=, und q=0,8, swie N(0)=000 grafisch dar (Ausdruck der Skizze). Gib die dazugehörigen Wertetabellen im Intervall [0; 0] an. b) Für welche Przesse könnten slche mathematische Mdelle sein? Beispiel 0: Angenmmen, innerhalb vn 4 Stunden werden jeweils 5% eines Medikamentes vm Körper abgebaut und ausgeschieden. Die wirksame Anfangsdsis beträgt 00 mg, alle 4 Stunden werden erneut 00 mg gegeben. Wie entwickelt sich im Lauf der Zeit der Medikamentenspiegel im Körper? a) Verwende eine rekursive Beschreibung des Sachverhaltes und stelle den zeitlichen Verlauf des Medikamentenspiegels für die ersten zwanzig 4- Stunden-Intervalle grafisch dar (es genügt, jeden zweiten der dritten 4- Stunden-Intervallwert einzuzeichnen). b) Mit welchem der flgenden vier Diagramme würde sich die Situatin nach der Stabilisierung des Medikamentenspiegels (als nach etwa 0 Intervallen) innerhalb eines 4-Stunden-Intervalls am besten beschreiben lassen? () () (3) (4) 0/0 6a 3

4 Übungen für die. Schularbeit c) Ein Persnenkreis diskutiert den zeitlichen Verlauf des Medikamentenspiegels im Verlauf vn mehreren aufeinanderflgenden 4-Stunden-Intervallen. Flgende Meinungen werden vertreten: (i) Im Lauf der Zeit steigt der Medikamentenspiegel ständig und gleichmäßig an. (ii) Der Medikamentenspiegel bewegt sich zwischen zwei Werten hin und her, die aber beide (nach einiger Zeit) knstant bleiben. (iii) Der Medikamentenspiegel nähert sich einem Wert an, der dann knstant bleibt. (iv) Der Medikamentenspiegel bleibt vn Anfang an ziemlich knstant. Beispiel : Welche Meinung ist mathematisch betrachtet richtig? Hängt man ein hmgenes Seil hne Biegesteifigkeit an zwei Punkten auf, die sich in gleicher Höhe befinden, s nimmt es die Gestalt der sgenannten Kettenlinie an. Unter bestimmten Vraussetzungen kann sie durch die Gleichung a f() = a e + e a beschrieben werden. a) Beweise die Symmetrie der Funktin. b) Begründe, warum der tiefste Punkt des Seils die Krdinaten T(0 / a) besitzt. c) Wie grß ist der Durchhang δ des Seils, wenn es an zwei 40 m vneinander entfernten Punkten aufgehängt wird? (a = 00 m) 0/0 6a 4

5 Übungen für die. Schularbeit Beispiel : Ordne den Funktinsgraphen die zugehörigen Funktinsgleichungen zu: f : y = (-)² f : y = f 3 : y = 3 ++ f 4 : y = f 5 : y = -² + + ² f 6 : y = f 7 : y = f 8 : y = f9 : y = -²- f 0 : y = - a) Zurdnung:... b) Zurdnung:... c) Zurdnung:... d) Zurdnung:...: e) Zurdnung:... f) Zurdnung:... Beispiel 3: Skizziere die Graphen der f : y= und f : y = im Intervall [-3 ; 3] in das vrgegebene Krdinatensystem und beschrifte sie entsprechend mit f und f. 0/0 6a 5

6 Übungen für die. Schularbeit Beispiel 4: Ordne in der Tabelle jeder Gleichung die jeweils entsprechende Kurve zu. Kreuze an. A B C D E F y= 0,5 y = 4 y = y = 4 y= y = 4 A B C D 0/0 6a 6

7 Übungen für die. Schularbeit E F Beispiel 5: Bestimme zu den gegebenen reellen jeweils den größtmöglichen Definitinsbereich: Funktinsgleichung Definitinsbereich a) f : y = e - b) f : y = ln(-) c) f 3 : y = d) f 4 : y = - e) f 5 : y = sin(-) Beispiel 6: Gegeben ist eine Ptenzfunktin f: R R mit f() = a. ² + b, mit a, b R und a 0. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an und begründe deine Entscheidung! Wenn b = 0, dann verläuft der Graph vn f durch den Ursprung des Krdinatensystems. Wenn a < 0 und b > 0, dann ist der Graph vn f im Intervall ( ;0] mntn fallend und im Intervall [0; ) mntn steigend. Wenn f(0) < 0, dann ist b = 0. Wenn a < 0 und b > 0, dann sind die Funktinswerte für alle Werte des Definitinsbereichs negativ. Wenn f(0) > 0, dann ist b > 0. zutreffend 0/0 6a 7