4 Simulation. 4.0 Vorschau. 4.1 Wachstumsprozesse Simulation

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1 80 4 Simulation 4 Simulation 4.0 Vorschau Unter Simulation versteht man eine möglichst wirklichkeitsgetreue Nachbildung eines realen Geschehens. Dieses wird durch ein Modell ersetzt, das dann auf seine Eigenschaften hin untersucht wird. Und daraus kann dann wieder auf das ursprüngliche Geschehen zurück geschlossen werden. Dieses Modell kann technischer Natur sein, wie etwa ein Modell eines Autos im Windkanal um seine Strömungseigenschaften zu untersuchen. Ökonomisch günstiger aber ist es, das reale Geschehen durch ein mathematisches Modellzubeschreiben.Indiesenmathematischen Modellen lassen sich dann die Auswirkungen von Änderungen der Eingangsgrößen auf das Ergebnis studieren. So ist etwa ein Flugzeugsimulator ein Gerät, wo die Eingangsgrößen (Aktionen des Piloten, aber auch Wind, Feuer an Bord, Ausfall eines Triebwerks usw.) in Reaktionen des (Modell-)Flugzeugs umgerechnet werden. Ähnliche Simulatoren stehen in Fahrschulen, wo man ohne Gefahr für sich, die Anderen oder das Auto trainieren kann. Aus den obigen Beispielen siehst du, dass eine Simulation vor allem dort angewendet wird, wo eine Realisierung des zu untersuchenden Vorgangs zu gefährlich oder nicht möglich ist. In der Ökonometrie (Mathematische Wirtschaftswissenschaft) wird die Simulation insbesondere im Bereich der Lagerhaltung, bei Warteschlangenproblemen, bei Wartungs- und Instandsetzungsvorgängen und vor allem bei volkswirtschaftlichen Vorgängen eingesetzt. So hängt etwa die Bevölkerungszahl einer bestimmten Region von der Zahl der Geburten, der Zahl der Todesfälle, der Zahl der Immigranten und der Zahl der Emigranten ab. Diese Eingangsgrößen hängen aber wieder von der Bevölkerungszahl ab, aber auch von einander ab. Erkläre! Ein anderes Beispiel ist der Gewinn beim Verkauf einer Ware. Dieser hängt ab vom Preis, von den Produktionskosten, von Steuern und Abgaben, von den Investitionskosten, usw. Der Preisaberwiederhängt ab von der abgesetzten Menge, diese wieder usw. Ein weiteres Beispiel sind die Zinsen, die man für ein der Bank übergebenes Kapital erhält. Jene hängen von der Höhe des Kapitals ab und vom Zinssatz. Dieser aber hängt von der Höhe des Kapitals, vom Veranlagungszeitraum, vom Risiko usw. ab. Dies alles sind Beispiele für dynamische Systeme. Man kann sie durch Funktionen, Formeln, (Un-)Gleichungen und Systeme von Gleichungen beschreiben. (Mehrere Gleichungen braucht man, wenn mehrere Variable zum Beschreiben des dynamischen Systems notwendig sind.) Da solche dynamischen Systeme nicht nur in der Wirtschaft auftreten, wollen wir in den folgenden Kapiteln zeigen, wie sehr Mathematik bei allen möglichen Problemen Anwendung finden kann. 4.1 Wachstumsprozesse Beispiel A: In einer Kleinstadt hatten vor zwei Jahren 20 Personen ein Handy. Heute gibt es dort 50 Handybesitzer. Insgesamt rechnet man mit einer Obergrenze von K = 3000 Personen. Wir setzen ein diskretes Modell für logistisches Wachstum voraus. Die Formel dafür lautet: N(t +1) N(t) N(t) ( = r 1 N(t) ) K

2 4.1 Wachstumsprozesse 81 wobei wir r allerdings erst bestimmen müssen. Berechne folgende Werte: Für den Zeitraum t =0, 1, 2, 3, 4, 10, 15, 20 Jahre die Anzahl der Handybesitzer N(t) die relative Zunahme der Handybesitzer die Anzahl der Personen ohne Handy (= Restkapazität ) und berechne anschließend das Verhältnis relative Zunahme : Restkapazität! Stelle den Zusammenhang zwischen Zeit und Handy-Absatz grafisch dar! Lösung: r finden wir durch systematisches Probieren (exakter durch Intervallschachtelung), wobei wir davon ausgehen müssen, dass im 2. Jahr 50 Handybesitzer vorhanden sind. Das Ergebnis findet sich in der folgenden Tabelle: r Jahre mit Handy rel. Zunahme ohne Handy rel. Zunahme ohne Handy 0, Obergrenze , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

3 82 4 Simulation Fortsetzung von Beispiel A: Nun setzen wir kontinuierliches logistisches Wachstum voraus. Charakteristisch für diesen Wachstumsprozess ist nicht nur, dass es sich um ein gebremstes Wachstum handelt sondern auch, dass das Verhältnis relative Zunahme der Handybesitzer : relative Abnahme der Noch-nicht-Besitzer einen exponentiellen Vorgang darstellt. Die Formel für dieses Wachstum lautet: N(t) = K N(0) a t N(0) a t +(K N(0)) wobei wir a berechnen müssen. Berechne folgende Werte: Für den Zeitraum t =0, 1, 2, 3, 4, 10, 15, 20 Jahre Die Anzahl der Handybesitzer N(t) DieRestkapazität K N(t) DasVerhältnis Handybesitzer : Obergrenze DasVerhältnis Handybesitzer : Restkapazität DasVerhältnis (Handybesitzer : Restkapazität) : (Anfangszahl : Restkapazität zu Beginn) Welchen Anstieg weist das zuletzt formulierte Verhältnis Jahr für Jahr auf?

4 4.1 Wachstumsprozesse 83 Lösung: Wir gehen wie vorhin vor und finden a entweder durch Intervallschachtelung : mit Handy mit Handy a Jahr mit Handy ohne Handy Verhältnis rel. Anstieg Obergrenze ohne Handy 1, ,007 0,007 1,000 Obergrenze ,011 0,011 1,589 1, ,017 0,017 2,525 1, ,026 0,027 4,013 1, ,041 0,043 6,378 1, ,064 0,068 10,135 1, ,098 0,108 16,107 1, ,147 0,172 25,596 1, ,214 0,273 40,676 1, ,303 0,434 64,640 1, ,408 0, ,724 1, ,523 1, ,244 1, ,635 1, ,421 1, ,735 2, ,261 1, ,815 4, ,149 1, ,875 6, ,135 1, ,917 11, ,528 1, ,946 17, ,307 1, ,966 28, ,385 1, ,978 44, ,115 1, ,986 70, ,192 1, , , ,103 1,589 Aufgaben 236. Weltbevölkerungs-Wachstum (1) Im Jahr 2000 lebten 6 Mrd. Menschen auf der Erde werden es vermutlich 8,04 Mrd. sein. Man nimmt an, dass 20 Mrd. eine Obergrenze für die Weltbevölkerung darstellt. Erstelle die entsprechende Formel, indem du das logistische kontinuierliche Wachstum laut Formel aus Bsp. A voraussetzt; runde dabei a auf 4 Dezimalen! Berechne die voraussichtliche Weltbevölkerung für 2050 (in Mrd., auf 2 Dez. gerundet)! (2)Die jährliche Wachstumsrate für die Jahre betrug 1,33 %, jene für betrug 1,43 %. Setze herkömmliches exponentielles Wachstum voraus und berechne, wie viele Menschen 1990 gelebt haben! Berechne, wie viele Menschen lt. diesem Modell im Jahre 2025 leben würden! (3) Setze die folgende Formel voraus und berechne anhand der Angaben aus (1) die Konstanten a und c; runde dabei a auf 4 Dezimalen. N(t) =K(1 c a t ) mit K = Kapazitätsgrenze

5 84 4 Simulation (4) Berechne laut der Formel aus (3), wie viele Menschen nach diesem Modell 2050 die Erde bevölkern werden (in Mrd., auf 2 Dez. gerundet)! (5)Wann würde nach den verschiedenen Modellen aus (2) bzw.aus(3) die 10-Mrd- Grenze überschritten? (6) Stelle die verschiedenen Wachstums-Modelle grafisch dar! 237. Handy-Absatz (1) Ein Handy-Anbieter setzt für die Beziehung Werbeaufwand-Absatz folgende Formel voraus: A(x) =c(1 a x )+b, a, b, c > 0 wobei A(x) die Absatzmenge (= verkaufte Handys) nach Investition eines Werbebudgets x darstellt. Wie kann man anhand der obigen Formel erklären, dass A(x) steigt, wenn a<1 ist? (2) Zeige ganz allgemein, dass c + b eine Obergrenze für diesen Vorgang bildet! (3) Man geht davonaus, dasses in einer bestimmten Stadt höchstens a) b) 5000 Handybesitzer geben kann. Investiert der Handyanbieter nichts in die Werbung, so kann er a) 1000 b) 500 Handys absetzen. Investiert er hingegen a) 80 b) 90 GE (Geldeinheiten), so steigt sein Absatz auf a) 2500 b) 1200 Handys. Berechne anhand der obigen Angaben die Konstanten a und b und erstelle die entsprechende Formel für dieses Beispiel. Wie kann man erklären, dass obwohl a<1 ist trotzdem ein Wachstum vorliegt? (4) Bei welchem Werbeaufwand wäre nach obiger Formel und obigen Voraussetzungen mit einem Absatz von a) 5000 b) 2500 Handys zu rechnen? (5) Welche grafische Bedeutung kommt den Konstanten b und c zu? (Erklärung in Worten oder anhand einer ganz allgemeinen Skizze.) 238. Internet-Nutzer Im Folgenden findest du eine Tabelle der Internet-Nutzer in a) Frankreich b) England für die Jahre 1999, 2000 und Jahr Frankreich England (1) Beweise/Widerlege anhand der Tabelle, dass es sich hier um ein herkömmliches lineares Wachstum handelt! (2) Beweise/Widerlege anhand der Tabelle, dass es sich hier um ein herkömmliches exponentielles Wachstum handelt! (3) Setze ein diskretes logistisches Wachstum voraus (siehe Beispiel A), nimm an, dass die Obergrenze 1 Million (Personen) ist und berechne aus den Daten den Faktor r sowie die voraussichtliche Internet-Nutzer-Zahl (Ergebnis in Personen) für 2002! (Vorsicht: Lösung überschreitet die Obergrenze!) Simuliere das Wachstum bis ins Jahr 2010 und stelle es grafisch dar! (4) Setze ein kontinuierliches logistisches Wachstum (siehe Beispiel A) voraus, wobei sich N 0 auf das Jahr 1999 bezieht und K = 1 Million (Personen) ist! Auf Grund vorhergehender Berechnungen weiß man, dass a) a =3, 75 b) a =3, 10 ist. Simuliere das Wachstum bis ins Jahr 2010 anhand eines TPK und stelle es grafisch dar! Wann werden nach diesem Modell a) b) Personen das Internet nutzen?

6 4.1 Wachstumsprozesse Aspirin, ein bekanntes schmerzstillendes Mittel, enthält als Wirkstoff Acetylsalizylsäure, die vom Körper mit einer Halbwertszeit von 3 Stunden exponentiell abnehmend ausgeschieden wird. Angenommen, einem Patienten wird ab 6 Uhr alle a) 6 Stunden b) 8 Stunden eine Tablette von 0,5 g Wirkstoff verabreicht. Simuliere den Prozess, indem du die Menge an Wirkstoff nach 6, 12 und Stunden ausrechnest Der Luftdruck nimmt mit zunehmender Höhe exponentiell ab. Er beträgt bei 5500 m Seehöhe nur noch 50 % des Wertes auf Meeresniveau (= ca mbar). (1)Gib eine Formel an, die es ermöglicht, den Luftdruck in Abhängigkeit von der Höhe zu bestimmen! (2) Simuliere die Veränderung des Luftdrucks lt. oben entwickelter Formel, indem du anhand eines TKP den Luftdruck in 0, 500, 1000, 1500 usw. Meter Höhe berechnest! (3) Stelle die Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe grafisch dar! 241. DDT (Dichlordiphenyltrichlorethan) ist ein bekanntes Schädlingsbekämpfungsmittel, dessen bedenkenloser Einsatz dazu geführt hat, dass es überall auf der Welt vorkommt, so auch durch die Nahrungskette in der Muttermilch. Eine Konzentration von 0,05 ppm (parts per million, also 10 4 %) ist zwar noch tolerabel, doch wäre es wünschenswert, wenn die Toleranzgrenze auf 0,02 ppm gesenkt werden könnte. Simuliere diesen Abbau- Prozess mittels eines TKP (0 t 100, Abstände von jeweils 10 Jahren), wenn man voraussetzt, dass ab sofort kein DDT mehr verwendet wird und die Halbwertszeit von DDT etwa 30 Jahre beträgt! 242. In einem Gefäß befindet sich heißes Wasser mit der Temperatur δ 2 = 80 C.Die Umgebung hat die Temperatur a) δ 1 =20 C b) δ 1 =30 C.DieAbkühlung auf die Temperatur δ(t) erfolgt nach dem Gesetz δ(t) =δ 1 +(δ 2 δ 1 ) e 0,05 t (δ in C, t in Minuten). Simuliere den Abkühlungsvorgang für 10, 20,... Minuten bis zu 1 Stunde! 243. Heidi erhält eine Tasse mit besonders heißem Tee (90 C) serviert. Da sie ihn gezuckert liebt, möchte sie zwei Stück Zucker hineinwerfen. Dadurch wird der Tee, vor allem durch den Lösungsvorgang, um etwa 15 Cabgekühlt. Heidi liebt eine Trinktemperatur von etwa a) 35 Cb) 30 C. Soll sie den Zucker sofort hineinwerfen oder erst abwarten, bis der Tee auf eine Temperatur von 50 Cabgekühlt ist und dann erst zuckern? Verwende die Formel sowie die Raumtemperatur aus obigem Beispiel und simuliere beide Möglichkeiten! 244. Ein Körper mit konstanter Temperatur δ 2 wird in einen Raum mit Raumtemperatur δ 1 gebracht. Ist die Raumtemperatur niedriger als die Temperatur des Körpers, so kühlt sich dieser ab. δ(t) bezeichnet die Temperatur des Körpers zum Zeitpunkt t (in Minuten nach Beginn des Vorgangs). Es gilt: Die Temperaturdifferenz [δ(t) δ 1 ]nimmt exponentiell ab. Angenommen, δ(t) δ 1 nimmt pro Minute um 1% ab. Simuliere den Abkühlungsprozess, wenn a) δ 1 =11 C b) δ 1 =20 C und δ 2 =37 C betragen! Wähle Temperaturabschnitte von jeweils 1 C und 0 t 10!

7 86 4 Simulation 245. Ein (bestimmter) Raucher führt seinem Blut täglich 0,02 mg Nikotin zu. Andererseits wird täglich 1 % des im Blut vorhandenen Nikotins abgebaut. Zu Beginn sei im Blut kein Nikotin enthalten. (1) Simuliere den Nikotingehalt am 2., 3., 4.,..., 10. Tag! (2) Weise anhand einer Grafik nach, dass der Nikotingehalt im Blut insgesamt steigt (d. h., dass der Körper mit dem Abbauen nicht nachkommt)! (3) 1 mg Nikotin im Blut ist ein gefährlicher Schwellenwert, bei dem andere, sehr schädliche chemische Prozesse einsetzen. Löse folgende Frage (Berechne die Werte für etwa ein Jahr!): Wird bei diesem Rauchverhalten jener Wert jemals erreicht oder sogar überstiegen? Wann? 246. Die Zuwachsrate der Keime in der Kuhmilch beträgtetwa1%prominute.nachwie vielen Minuten verdoppelt sich eine Anfangskeimzahl von /cm 3? 247. Jemand nimmt täglich ein bestimmtes Medikament ein. Dabei werden seinem Körper jeweils 4 mg einer bestimmten Substanz zugeführt. Während 24 Stunden werden aber 40 % dieser Substanz wieder abgebaut. Zu Beginn der Medikamenten-Kur hatte der Patient a) 0mgb) 0,5 mg dieser Substanz im Blut. (1) Simuliere die Veränderung des Gehalts dieser Substanz im Laufe vom 1. bis zum 15. Tag! (2) Weise grafisch nach, dass der Blutgehalt dieser Substanz während der Kur schrittweise steigt! (3) Wann wird der Patient mindestens 9 mg dieses Stoffes im Blut haben? (4) An welchem Tag ist die zugeführte gleich der abgebauten Menge, sodass der Substanzgehalt stabil bleibt? 248. Der jährliche Zuwachs der Holzmenge eines Schlages von m 3 beträgt 2,56 %. Die jährliche Schlägerungsrate beträgt 500 m 3 (1) Simuliere die Veränderung des Holzbestandes für 30 Jahre! (2) Stelle diese Veränderung grafisch dar! (3) Der Förster behauptet, dass bei einem solchen Schlägerungsverhalten dieser Wald nicht länger als 30 Jahre steht. Kann das stimmen? (4) Simuliere den Holzbestand für verschiedene Schlägerungsraten und beantworte durch Ausprobieren anhand des TKP die folgende Frage: Bei welcher Schlägerungsrate würde der Holzbestand konstant bleiben? Wie kann man das berechnen?