GDV Algorithmen und Beispielprogramme

Transkript

1 GDV Algorithmen und Beispielprogramme Helge Janike 5. Januar 2002 Inhaltsverzeihnis 1 Bresenham Linie 2 2 Bresenham Kreis 4 3 Gram-Shmidt-Verfahren 6 4 Euklid Satz des Pythagoras

2 1 BRESENHAM LINIE 2 1 Bresenham Linie Betrahtet werden Geraden, die durh den Koordinaten-Ursprung laufen und eine Steigung kleiner als 1 besitzen. Definition der Geradengleihung: δy {}}{ y 2 y 1 Y = x (1) x 2 x }{{} 1 δx Bresenham berehnet niht den Funktionswert Y für ein bestimmtes x, sondern bestimmt die Fortshreitung in y-rihtung für eine Fortshreitung in x-rihtung (flaher Fall, steigend). Die Bedingung für das Fortshreiten ist, daß der nähste zu zeihnende y-wert y dem ehten y-wert Y näher kommt als der aktuelle. Diese Bedingung lautet: y < Y (2) 2y + 1 < 2Y (3) 2y + 1 2Y < 0 (4) Die Ungleihung wurde so erweitert, das mit ganzen Zahlen gerehnet werden kann. Dies maht sih in der Ausführungsgeshwindigkeit auf dem Computer bemerkbar. Wir setzen nun Gleihung 1 in das Ergebnis der Umformung ein: 2y δy δx x < 0 (5) 2y δx + δx 2δy x }{{} < 0 (6) h Hiermit lassen sih nun die Anfangsbedingungen für h ablesen. Es gilt: (x y) = (0 0) = h = δx (7) x x + 1 = h h 2δy (8) y y + 1 = h h + 2δx (9) Daraus folgt, daß wenn entlang der x-ahse durhlaufen wird für den flahen, steigenden Fall bei jeder Fortshreitung des x-wertes um 1 der Wert von h um 2δy dekrementiert. Sinkt h jedoh unter 0, so wird der y-wert erhöht und der Wert von h um 2δx inkrementiert. Die 8 vershiedenen Fälle lassen sih analog behandeln. Eine elegante Art ist im Algorithmus mit den Beträgen zu arbeiten und die Fortshreitung (x und y) über eine Variable zu steuern. Der nahfolgende Quellode arbeitet nah diesem Muster.

3 1 BRESENHAM LINIE gd_line gd_line(x1,y1, x2,y2, lt) start point (x1 y1) end point (x2 y2) line type lt NOT IMPLEMENTED subroutine gd_line(x1,y1, x2,y2, lt) integer x1,y1, x2,y2, lt integer dx, dy, ax, ay, xx, yy, h, i, imax dummy fuer lt if (lt.lt. 0) write (*,*) xx = x1 yy = y1 dx = x2 - x1 dy = y2 - y1 ax = abs(dx) ay = abs(dy) if (dy.gt. 0) then dy = 1 else dy = -1 if (dx.gt. 0) then dx = 1 else dx = -1 all gd_set (xx, yy) if (ax.ge. ay) then imax = ax h = ax ax = ax + ax ay = ay + ay do i=1, imax h = h - ay xx = xx + dx if (h.lt. 0) then yy = yy + dy h = h + ax all gd_set(xx, yy) enddo else imay = ay h = ay ay = ay + ay ax = ax + ax end do i=1, imay h = h - ax yy = yy + dy if (h.lt. 0) then xx = xx + dx h = h + ay all gd_set(xx, yy) enddo

4 2 BRESENHAM KREIS 4 2 Bresenham Kreis Analog zur Linie läßt sih der Bresenham Algorithmus auh für den Kreis betrahten. Hierbei unterteilt man den Vollkreis in 8 Segmente. Bei der theoretishen Betrahtung beshränken wir uns auf den zweiten Sektor des ersten Quadranten (45-90 ). Wir betrahten analog zur Linie die Fortshreitung. Wir beginnen beim Zeihnen des Kreises mit dem Punkt P(xm,ym+r). Wobei P(xm, ym) den Mittelpunkt, und r den Radius des Kreises darstellt. Für die Berehnung eines Kreises gilt: Y 2 = r 2 x 2 (10) Die Fortshreitungsbedingung läßt sih für den Bresenhamalgorithmus analog zur Linie betrahten. Die Frage ist, ab wann (für ein fortshreitendes x) der y-wert erniedrigt werden muß. Die Bedingung lautet: y 0.5 > Y (11) 2y 1 > 2Y (12) Da wir den Fall für den ersten Quadranten und den Kreismittelpunkt (0 0) betrahten ist y, x und Y immer größer 0. Wir dürfen also die Gleihung quadrieren, um besser die Kreisgleihung (1) einsetzen zu können. Durh Einsetzen der ersten Gleihung erhält man: 4y 2 4y + 1 > 4Y 2 (13) 4y 2 4y + 1 > 4(r 2 x 2 ) (14) Um eine einfahere Betrahtung durhführen zu können vernahlässigen wir die 1 als Summand. Die 1 wirkt sih als Summand niht für die Beshreibung der Fortshreitung aus. Der Vorteil liegt nun darin die Gleihung durh -4 dividieren zu können. y 2 y > r 2 x 2 (15) y 2 + y + r 2 x 2 }{{} < 0 (16) h Sinkt h nun unter 0, so muß auh der y-wert um 1 erniedrigt werden. Betrahten wir nun wieder die Fortshreitungsregeln: (x y) = (0 r) = h = δr (17) x x + 1 = h 2x 1 (18) y y 1 = h h + 2y 2 (19) Mit dieser Fortshreitungsregel kann man den Kreis-Sektor beshreiben. Es ist günstig alle 8 Sektoren gleihzeitig zu zeihnen, da der Kreis punktsymetrish zu seinem Mittelpunkt ist. Ein Problem liegt darin keine Punkte doppelt zu zeihnen. Hier ist mit Vorsiht zu testen, ob dies auh gelingt (Testausgabe von (x y) Paaren). Die folgende Seite zeigt eine Implementation des Algorithmus.

5 2 BRESENHAM KREIS gd_irle gd_irle(xm,ym, r) Kreismittelpunkt (xm ym) Radius r subroutine gd_irle(xm,ym, r) integer xm,ym, r integer ix, iy, h ix = 0 iy = r h = r all gd_set(xm, ym + r) all gd_set(xm - r, ym ) all gd_set(xm, ym - r) all gd_set(xm + r, ym ) 1 if (iy.le. ix) GOTO 9 GOTO 1 9 ontinue end h = h - ix ix = ix + 1 h = h - ix if (h.le. 0) then iy = iy - 1 h = h + iy + iy if (ix.gt. iy) GOTO 9 all gd_set(xm + ix, ym + iy) all gd_set(xm - iy, ym + ix) all gd_set(xm - ix, ym - iy) all gd_set(xm + iy, ym - ix) if (ix.eq. iy) GOTO 9 all gd_set(xm - ix, ym + iy) all gd_set(xm - iy, ym - ix) all gd_set(xm + ix, ym - iy) all gd_set(xm + iy, ym + ix)

6 3 GRAM-SCHMIDT-VERFAHREN 6 3 Gram-Shmidt-Verfahren zur Orthonormierung von Vektoren Gegeben sei eine Basis im Vektorraum V durh { v 1, v 2,..., v n } Gesuht ist eine orthonormierte Basis { u 1, u 2,..., u n }. Das Gram-Shmidt-Verfahren stellt einen Algorithmus dar, der genau diese Aufgabe löst. Man gehe folgendermaßen vor: u 1 = v 1 v 1 (20) w 2 = v 2 ( v 2 u 1 ) u 1 (21) u 2 = w 2 w 2 (22) w 3 = v 3 ( v 3 u 1 ) u 1 ( v 3 u 2 ) u 2 (23) u 3 = w 3 w 3 (24)... bis u n (25) Gilt für einen orthogonalisierten Vektor ( w i = 0) so muß der Algorithmus abgebrohen werden. Desweiteren empfiehlt es sih gegenzurehnen, wie groß der Fehler bei der Orthonormierung ist und diesen Wert als Fehlerode zurükzuliefern. Dazu wird nah der Orthonormierung des Vektors das Skalarprodukt zu allen bereits orthonormierten Vektoren gebildet. Das Ergebnis stellt den Cosinus des Winkels dar. Der Betrag der betragsgrößten Abweihung wird gemerkt. Bei einem Abbruh gibt der Rükgabewert der Funktion den negierten Index des Vektors an, für den die Orthonormierung gesheitert ist. Bei gelungener Orthonormierung wird der 10er-Logarithmus der betragsgrößten Abweihung zurükgegeben. Ist die betragsmäßig größte Abweihung = 0, so wird der Wert 100 zurükgeliefert. Je größer der Rükgabewert, desto genauer ist das Ergebnis der Orthonormierung. Werte größer als 13 sind wüshenswert. Die folgende Seite zeigt eine Implementierung des Algorithmus.

7 3 GRAM-SCHMIDT-VERFAHREN RN_VEKTOR n: Dimension, v w: Vektor F Rn_V_sqr (n, v) := v * v F Rn_V_len (n, v) := v F Rn_V_skalp (n, v, w) := v * w (Skalarprodukt) F Rn_V_normier(n, v, W) := v, W := v / v v = 0 ==> W unverändert. s Rn_V_add (n, v, w, x) X := v + w s Rn_V_sub (n, v, w, x) X := v - w s Rn_rV_add (n, v, r, w, x) r: double, X := v + r*w s Rn_rV_sub (n, v, r, w, x) r: double, X := v - r*w F Rn_V_angle_(n, v, w) := Winkel(v, w) über ar_os. F Rn_V_ortho(L,n,m, VV, Rn_V_skalp, Rn_V_normier, Rn_V_sub) := k VV(L,m) orthogonalisiert m Vektoren VV im Rn; Funktionsparameter s.o. k < 0: Abbruh, Vektor V(-k) = Nullvektor k >= 0: k = -log10(orthogonalisierungsfehler) funtion Rn_V_ortho(L, n, m, A, skalp,normier,sub) impliit none integer L, n, m, Rn_V_ortho double preision A(L, m) integer i, j double preision d, sp,sm, skalp,normier,sub external skalp,normier,sub sm = 0 do i = 1, m do j = 1, i-1 sp = skalp all sub end do (n, A(1,i), A(1,j)) (n, A(1,i), sp, A(1,j), A(1,i)) d = normier(n, A(1,i), A(1,i)) if (d.eq. 0) goto 9 end do do j = 1, i-1 sp = skalp(n, A(1,i), A(1,j)) sm = max(sm, abs(sp)) end do if ( sm.eq. 0 ) then i = -100 else sm = log10(sm) i = nint (sm) 9 Rn_V_ortho = -i end

8 4 EUKLID 8 4 Euklid 4.1 Satz des Pythagoras A 2 + B 2 = C 2 (26) Die Summe der Katheten-Quadrate ist gleih dem Quadrat der Hypothenuse. Beweis: Abbildung 1: Satz des Pythagoras 2 = 4 ab 2 2 = 2ab 2 2ab = (a + b) 2 2 = a 2 + b 2