3. Cartesische Geometrie I: Punkte, Strecken und Dreiecke.

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1 3. Cartesishe Geometrie I: Punkte, Streken und Dreieke. Existiert eine iderspruhsfreie Euklidishe Geometrie? Um dies zu zeigen müsste man ein iderspruhsfreies Modell angeen in dem alle Hilertshen Axiome gelten. Ein solhes Modell ist durh die kartesishe Geometrie gegeen. Diese Geometrie geht auf Desartes zurük. Die Geometrie von Desartes ist niht - ie die Geometrie von Hilert - axiomatish aufgeaut. Sie ist vielmehr als eine Methode gedaht, um geometrishe Sätze zu finden und zu eeisen. Insesondere ist diese Geometrie niht eingeshränkt auf die ausshließlihe Benutzung von Zirkel und Lineal. Während Hilert die Geometrie letztlih auf Logik reduzieren möhte, ar das Ziel von Desartes die Geometrie mit dem Rehnen, also letztlih mit Arithmetik und Algera zu verinden. Damit urde die Geometrie mit der Existenz der reellen Zahlen verunden. Die Frage nah der Widerspruhsfreiheit der Geometrie ist insesondere auf die Frage der Widerspruhsfreiheit der Theorie der reellen Zahlen reduziert. Punkte, Streken und Dreieke. In der kartesishen Geometrie ist der Raum definiert als drei-dimensionaler Vektorraum. Definition. Ein Vektorraum (oder genauer: ein R-Vektorraum) ist eine Menge V zusammen mit zei Aildungen (Verknüpfungen) + : V V V : R V V (v,) v + (a,) a v so dass die folgenden zei Blöke von Identitäten gelten: (u + v) + = (u + v) +, u + v = v + u, 0 + v = v, a (u + v) = a u + a v, (a + ) v = a v + v, (a) v = a( v), 1 u = u und 0 u = 0 für ein 0 V und alle a, R und alle u,v, X. Beispiel. Die Menge R 3 = {[x,y,z,] x,y,z R } zusammen mit der folgenden Addition und Skalarprodukt: [x 1,y 1,z 1 ] + [x 2,y 2,z 2 ] := [x 1 + x 2,y 1 + y 2,z 1 + z 2 ] und a[x,y,z] = [ax,ay,az]

2 18 3. Geometrie ist eine Vektorraum. Er heißt der 3-dimensionale Koordinatenraum. Definition. (Geometrishe Basisojekte) Die Basisojekte der kartesishen Geometrie sind die folgenden: (1) Die Punkte der kartesishen Geometrie sind die Elemente des 3-dimensionalen Koordinatenraumes: P := V = R 3 = { [x,y,z] x,y,z R }. (2) Eine Gerade ist jede Teilmenge g := {[x(t),y(t),z(t)] = [x 1,y 1,z 1 ] + t[x 2,y 2,z 2 ] t R } R 3, oei [x 1,y 1,z 1 ],[x 2,y 2,z 2 ] R 3 irgend zei Punkte sind. Man nennt g auh genauer eine Gerade durh die zei Punkte [x i,y i,z i ], i = 1,2. (3) Eine Eene ist jede Teilmenge α := {[x(s,t),y(s,t),z(s,t)] = [x 1,y 1,z 1 ] + s[x 2,y 2,z 2 ] + t[x 3,y 3,z 3 ] s,t R } R 3, oei [x i,y i,z i ] R 3, i = 1,2,3, irgend drei Punkte sind. Man nennt α auh genauer die Eene durh die drei Punkte [x i,y i,z i ], i = 1,2,3. Bemerkung. Im allgemeinen sind geometrishe Ojekte der kartesishen Geometrie geisse Punktmengen von R 3, die gesondert definiert erden. Geometrishe Interpretationen. Geometrishe Ojekte lassen sih anshaulih interpretieren. Diese Interpretation ist aer niht Teil ihrer Definition. Für diese Interpretation stellt man sih den anshaulihen Raum versehen vor mit einem einmal gegeenen Koordinatensystem. y 2 2 ( x, y ) = ( 3, 2 ) Vom Koordinatensystem 3 3 x Mit Hilfe dieses Koordinatensystems kann man jeden Punkt P im anshaulihen Raum mit dem Koordinatentripel [x, y, z] identifizieren, das seine Position angit, und umgekehrt. Mit Hilfe dieser Identifikation kann man nun eiter auh die Addition und das Produkt mit Skalaren anshaulih interpretieren. Hierzu ist es hilfreih die Punkte P als Pfeile

3 4 Cartesishe Geometrie I 19 anzusehen mit Anfangspunkt im Koordinatenursprung und Endpunkt in P. Solhe Pfeile erden auh oft Vektoren oder Ortsvektoren genannt. Zei Ortsvektoren Ein Rihtungsvektor Die Vektor-Addition lässt sih mit Ortsvektoren mit Hilfe der folgenden Paralellogrammregel veranshaulihen. v+ v v+ v Triangle Gesetz Parallelogramm Gesetz Insesondere lässt sih dann die Differenz von zei Vektoren ie folgt illustrieren: a - a Die Differenz von zei Vektoren Solhe Veranshaulihungen sind gelegentlih nützlih. Sie sind insesondere hilfreih, um Eigneshaften von geometrishen Ojekten zu entdeken. Grundlage der karteishen Beeise sind aer Rehnungen. Die kartesishe Geometrie ist eine Reduktion von Geometrie auf das Rehnen mit reellen Zahlen. Vom karteishen Paradigma aus können demnah die oigen Veranshaulihungen niht Teil von eigentlihen Beeisen sein. Es ist eiter ihtig hervorzuheen, dass im folgenden ein Punkt enteder mit großen Buhstaen A,B,C,...

4 20 3. Geometrie oder mit kleinen Buhstaen u,v,,... ezeihnen erden, je nahdem o ir die Interpretation als Punkt oder als Pfeil hervorheen möhte. In diesem Sinne können die folgenden Bezeihnungen auftreten: A + B, ab, z. u + v,av. Messen von Streken und Winkeln. Nahdem ir erste geometrishe Ojekte der kartesishen Geometrie definiert haen, geht es nun darum die Relationen x y,x < y > z,x y der Hilertshen Axiomatik zu definieren. Definition. (Inzidenzrelation) Seien x, y Geometrie) Dann definiert man geometrishe Ojekte (der kartesishen x y x y oder y x d.h. enn eines Teilmenge des anderen Ojekts ist. Definition. (Zishenrelation) Sei r = r 0 + tv eine Gerade und seien r i = r 0 + t i v, i = 1,2,3 drei Punkte auf dieser Geraden. Dann definiere r 1 < r 2 > r 3 t 1 < t 2 < t 3. Bemerkung. Die Kongruenz von Streken und Winkeln ird in der kartesishen Geometrie üer geeignete Maße, nämlih üer Maße für den Astand und den Winkel. Wir definieren diese Begriffe etas allgemeiner als hier nötig, aer die etas größere Allgemeineheit ird uns später dienlih sein. Wir erden aer gleih sehen, dass diese allgemeine Begriffsildung ihre gemeinsame Grundlage im Skalarprodukt hat. Definition. Eine Metrik auf einer Menge V ist eine Aildung mit d : V V R (1) d(a,b) 0 und d(a,b) = 0, falls A = B. (2) d(a,b) = d(b,a) (3) d(a,c) d(a,b) + d(b,c).

5 4 Cartesishe Geometrie I 21 Definition. Ein Winkelmaß ist eine Aildung : V V R mit (1) (αa,b) = (A,B), (2) (A, B) = (B, A), und (3) (A,B) + (B,C) = (A,C). In der kartesishen Geometrie definiert man soohl eine Metrik als auh ein Winkelmaß üer das Skalarprodukt ie folgt: Definition. Das Skalarprodukt v zeier Vektoren v = [x 1,y 1,z 1 ], = [x 2,y 2,z 2 ] ist definiert durh v := x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. Definition. Die Euklidishe Metrik ist die Aildung d : V V R definiert durh d(v,) = (v ) (v ) Der Euklidishe Winkel ist die Aildung : V V R definiert durh ( ) v (v,) = aros d(v, 0)d(, 0) Bemerkung. Man ezeihnet v = d(v,0) = v v Satz. Die ie oen definierte Euklidishe Metrik und Euklidishe Winkelmessung ist eine Metrik und ein Winkelmaß. d : R 3 R 3 R und : R 3 R 3 R Beeis. Es ist ziemlih leiht nahzurehnen, dass die Euklidishe Metrik alle Eigenshaften einer Metrik hat. Der entsprehende Beeis für das Euklidishe Winkelmaß ist shon sherer, da er Eigenshaften der Arusosinus-Funktion ausnutzt, die ir noh niht hergeleitet haen. Dies ird hier niht ausgeführt (es ist Sahe der Analysis). Mit Hilfe der oigen Masse kann man Kongruenz definieren.

6 22 3. Geometrie Definition. (Kongruenz von Streken) Seien AB und CD zei Streken. Dann definiert man AB CD d(a,b) = d(c,d) Definition. (Kongruenz von Winkeln) Seien (v 1, 1 ) und v 2, 2 zei Winkel. Dann definiert man (v 1, 1 ) v 2, 2 (v 1, 1 ) = (v 2, 2 ). Definition. (Zishenrelation) Sei g eine Gerade und x,y,z g drei Punkte. Dann definiert man x < y > z : ( x i < y i < z i oder z i < y i < x i ), für alle 1 i 3. Satz. Die Menge der Punkte, Geraden und Eenen der kartesishen Geometrie, zusammen mit den Relationen, <>, ie oen definiert erfüllen die Axiome der Hilertshen Geometrie. Beeis. Man muss alle Axiome der Hilert shen Axiomengruppen I-V naheisen. Dies ist leiht, aer zeitaufendig. desegen verziheten ir hier auf Details. Orthogonale Vektoren. Man kann shon definieren, ann zei Vektoren (und damit zei Streken oder zei Geraden) senkreht stehen, evor man das Euklidishe Winkelmaß voll eingeführt hat. Definition Zei Vektoren v, sind senkreht (in Zeihen: v ), enn für das Skalarprodukt gilt. v = 0 Satz. Seien v, zei Vektoren. Dann ist die orthogonale Projektion u von auf v gegeen durh u = v v v v u Orthogonale Projektion von auf v v

7 4 Cartesishe Geometrie I 23 Bemerkung. Man eahte ürigens, dass man in dem oigen Quotienten niht eta v kürzen darf! Beeis. Wir haen die folgende Bedingung für die orthogonale Projektion: und so folgt der Satz. ( tv) v = 0 v tv v = 0 t := v v v Satz (Satz von Pythagoras) Falls v, dann gilt v 2 = v Beeis. v 2 = (v ) 2 = v 2 2v + 2 = v = v Satz. (rehte Winkel im Kreis) Sei ABC ein Dreiek mit der Eigenshaft, dass A, B, C Punkte eines Kreises dessen Mittelpunkt auf der Streke AB liegt. Dann sind die eiden Seiten AC und BC orthogonal, d.h. AC BC. C C v+ -v A B A v v B Orthogonalität im Kreis Wahl der Vektoren Beeis. Dies kann man auh mit Vektorrehnung eeisen. Aer es kommt auf die rihtige Wahl der Vektoren an, damit das funktioniert. Mit der Bezeihnung oen rehts erehnen ir: (v + ) ( v) = v v v + v = v v + = r 2 + r 2 = 0, oei r = v = der Radius des Kreises ist. Die folgende geometrishe Eigenshaft urde oft als esondere Leistung der Mathematik eundert (siehe z.b. [Kant, Kritik der Urteilskraft]).

8 24 3. Geometrie Satz. Sei g der Durhmesser eines Kreises und h eine Streke im selen Kreis mit Endpunkten auf dem Kreis und senkreht zum Durhmesser g. Dann teilt der Shnittpunkt diese eiden Streken in Streken a = p, = q z. = r, = r so dass a =. C r-p r r-q A p -r q B pq = rr Beeis. 0 = (r p) (r q) = r r r q p r + p q 0 = r 2 + p q. Sätze üer Dreieke. Wir erden zeigen, dass sih in einem Dreiek soohl die drei Seitenhalierenden, die drei Winkelhalierenden und die drei Lote jeeils in einem Punkt shneiden. In jedem Fall erden ir eine andere Beeismethode enutzen, um zu zeigen ie vershieden man in der kartesihen Geometrie (durh Rehnen) eeisen kann. Definition. Eine Streke zishen zei Vektoren v, R 3 ist jede Teilmenge [v,] = {v + λ( v) 1 λ 1 } R 3 Definition. Zei Streken [v,] und [v, ] sind kongruent, enn v = v Zei Winkel (v,) und (v, ) sind kongruent, enn (v,) = (v, ) Definition. Ein Dreiek ABC ist ein Strekenzug in der Eene, der aus drei Streken esteht. AB,BC,CD

9 4 Cartesishe Geometrie I 25 Wir demonstrieren das Neue an der Desarte shen Methode zunähst an dem Dreiekssatz üer Winkelhalierende (danah etrahten ir Seitenhalierende und Lote). Wir geen für den Satz üer Winkelhalierende drei vershiedene Beeise (einen intuitiven Beeis, einen axiomatishen Beeis und eine Desarte shen Beeis). Satz. Die Winkelhalierenden eines Dreieks ABC treffen sih in einem Punkt. 1. Beeis. (intuitiver Beeis) Für den ersten Beeis etrahte die folgende Figur. C A B Intuitive Methode Die Winkelhalierende von AB und AC esteht aus den Mittelpunkten aller Kreise die diese eiden Geraden erühren. In dieser Familie von Kreisen git es genau einen Kreis der auh noh die Gerade BC erührt. Dessen Mittelpunkt sei m. Entprehendes gilt für die eiden anderen Paarungen von Geraden, nämlih BA und BC soie CA und CB. In jedem Fall erhält man, dass m auf der Seitenhalierenden liegt. Also liegt m auf allen drei Winkelhalierenden. Dies eeist den Satz. 2. Beeis. (axiomatisher Beeis). Der zeite Beeis stammt aus dem Euklidishen Lehruh. Er esteht darin den Satz auf einen der Kongruenzsätze zurükzuführen und dieser ist aus den Axiomen eiesen. HIerzu etrahte die folgende Figur: C E v a M u A D Axiomatishe Methode B

10 26 3. Geometrie Sei M = Shnittpunkt der Winkelhalierenden von A und der Winkelhalierenden von B und u,v, die Lote von M auf die Seiten des Dreieks ABC. Dann eoahte, dass für die eiden Dreieke ADM AEM. Dies folgt aus einem der Kongruenzsätze, da die eiden Winkel ei A gleih sind, eiter ist die Seite a gemeinsam und shließlih sind die eiden rehten Winkel gleih. Es folgt, dass die Lote u,v gleih sind, eenso sind die Lote v, gleih. Nun sind die eiden Dreieke ei C kongruent (gemeinsame Seite, rehte Winkel sind gleih und die Lote v, sind gleih). Also sind die Winkel die u und gegenüer liegen auh gleih. Es folgt, dass die Linie CM Winkelhalierende des Winkels ACB ist. Damit ist gezeigt, dass die Winkelhalierenden sih alle im Punkt M treffen. 3. Beeis. (Desarte sher Beeis). Die eiden isher gezeigten geometrishen Beeise eruhten auf einer leveren Idee. Jede andere geometrishe Situation stellt einen neuen Fall dar, die ieder eine neue levere Idee rauht, um sie zu eeisen us. Für jeden Fall also ieder eine Idee. Desartes möhte hiervon egkommen. Er möhte vielmehr Rehenverfahren angeen, elhes alle Fälle gleihehandelt. Dieses Rehenverfahren sollte allgemein und einfah sein. Keine leveren Ideen sollten nötig sein, um es zu enutzen. Wenn möglih sollte es zu neuen Entdekungen führen. Ih möhte an diesem Beeis illustrieren, ie dieses Verfahren irkt. Die Methode ist leiht eshrieen. Sie esteht darin die Koordinaten aller Shnittpunkte von Winkelhalierenden zu erehnen und nahzusehen, o sie denselen Punkt ergeen. Wie gesagt, all dies sollte ja ohne esondere Anstrengung, fast automatish geshehen. Betrahte die folgende Figur [a,] [ua,u] k [(a-1),] g M h [0,0] [1,0] [1,0] Desarte she Methode

11 4 Cartesishe Geometrie I 27 Hier ezeihnen u, R irgendelhe Parameter. Aer man eahte, dass im Fall u := [a,] 1, := [a 1,] ] 1. die Vektoren [ua,u] und [(a 1),] Einheitsvektoren sind, d.h. Länge 1 haen. Wir stellen die folgende Gleihungen auf: g : h : k : ( ) 1 ua (1 + ua)α + α = 0 u uα ( ) 1 1 (a 1) ((a 1) 1)β β = 0 0 β ( ) a ua (a 1) a + (ua + a )γ + + γ = u + (u + )γ Man eahte, dass diese Gleihungen im Falle u := [a,] 1, Gleihungen der drei Winkelhalierenden sind. Wir erehnen nun die Koordinaten von := [a 1,] ] 1 Shnittpunkt g h: α = u β. I. (1 + ua)α = ((a 1) 1)β + 1 II. (1 + ua) u β = (a 1)β + 1 (1 + ua)β = (ua u u)β + u β + uaβ = uaβ uβ uβ + u β = α = u u+u+ u+u+. Shnittpunkt g k: uα = β I. (1 + ua)α = a + (ua + a )γ II. II α = +(u+)γ u α = 1+(u+)γ u Einsetzen von α in I. ergit: uα = + (u + )γ (1 + ua)(1 + (u + )γ) = au + (ua + a )uγ 1 + ua + (1 + ua)(u + )γ = au + (ua + a )uγ 1 + uγ + γ + u 2 aγ + uaγ = u 2 aγ + uaγ uγ γ = 1 u+u+

12 28 3. Geometrie Jetzt üerprüfen ir die Gleihheit der Shnittpunkte: Eenso 0 = 0 + ua = au + a + au ua a + 1 (1 + ua) = a + (ua + a ) u + u + u + u. (1 + ua)α = a + (ua + a )γ 0 = 0 u = (u + + u) (u + ) 1 u = + (u + ) u + u + u + u +. uα = + (u + )γ Daraus folgt, dass es einen Punkt in der Geraden k git, dessen Koordinatengleih denen des Shnittpunktes g h der Geraden g und h ist. Dies eeist den Satz. Bemerkung. Wir haen mit der Desarte shen Methode sogar eine neue Entdeskung gemaht. Es treffen sih niht nur die Winklehalierenden in einem Punkt, sondern alle Geraden die man mit den Parametern u, ilden kann (denn ir haen nirgends die eigentlihe Definition von u und enutzt). Fazit. Die Desarte she Methode ist sehr einfah. Aer ihre Durhführung für den Menshen reht langsam und instail. Der kleinste Fehler in der Rehnung führt sofort zu falshen Aussagen. Die esondere Strenge und Genauigkeit, die ir für Beeise verlangen, kommt niht so sehr aus der Natur der Beeise, sondrn ist vielmehr ein Üerleisel der Desarte shen Methode. Satz. Die Seitenhalierenden eines Dreieks ABC treffen sih in einem Punkt. C A v B Seitenhalierende treffen sih in einem Punkt

13 Beeis. Sei v := AB und = AC. 4 Cartesishe Geometrie I 29 a := 2 3 (v ( v)) = 1 3 (v + ) := (v (1 2 v) = 1 3 (v + ) := (1 2 v ) = 1 3 ( + v) Damit ist nahgerehnet, dass a = = und dies ist somit ein Punkt der auf allen Seitenhalierenden liegt. Somit ist der Satz eiesen. Satz. Sei ABC ein Dreiek. Die Senkrehten von den Eken, A, B, C, auf die gegenüerliegenden Seiten, BC, AC, AB, des Dreieks shneiden sih alle drei in einem Punkt. C = [,] k h g B = [a,0] A = [0,0] Lote treffen sih in einem Punkt Beeis. Wir ezeihnen die Ekpunkte mit Koordinatenvektoren ie folgt: A = 0, B = 0 a, C = 0. Dann gelten für die Senkrehten g,h,k die folgenden Formeln: g : x = y 0 + α, h : a x = y 0 + β, k : 0 a x = y Wir erehnen den Shnitt g h der Senkrehten g und h ie folgt: 0 + α = β a a β = 0 αa β(a ) = 0 Eingesetzt in h liefert den folgenden Ausdruk für den Shnittpunkt: m = 0 + β = 0 a 0 + [ = 0 a ] 2 a a + γ 0 β = /

14 30 3. Geometrie Es leit zu zeigen, dass m niht nur auf der Senkrehten g, sondern auh auf den Senkrehten h und k liegt. Setze α := 2 a 2 a, dann gilt ] + α [ 0 a = + 2 a 2 a Setze γ := a, dann gilt a 0 Dies eeist den Satz. + a [ 0 = a ] [ a 2 = = 2 a = m ] 2 a = m