Mathematik 1 für Naturwissenschaften

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1 Hns Wlser Mthemtik 1 für Nturwissenschften Modul 114 Vektorfelder und Wegintegrle

2 Hns Wlser: Modul 114, Vektorfelder und Wegintegrle ii Inhlt 1 Vektorfeld Beispiele Konservtives Vektorfeld Beispiele Im Rum Integrtion eines Grdientenfeldes Heuristisches Beispiel Formle Bereitung Weg und Wegintegrl Beispiel: Wnderung in Schottlnd Prmeterdrstellung eines Weges (einer Kurve) Beispiele Tngentilvektor Die Bogenlänge Wegintegrl ei einer Funktion Integrle Strhlenelstung Wegintegrl ei Vektorfeld Beispiel Sonderfll: konservtives Vektorfeld Zusmmenfssung Vektorfeld Konservtives Vektorfeld Weg Wegintegrle Modul 114 für die Vorlesung Mthemtik 1 für Nturwissenschften Winter 22/3 Erstusge Winter 24/5 Fehlerkorrekturen. Geändertes Lyout Winter 25/6 Fehlerkorrekturen Herst 27 Kleine Ergänzung. Fehlerkorrekturen Herst 28 Geändertes Lyout Herst 213 Kleine Erweiterung. Grfische Üerreitung lst modified: 19. Septemer 213 Hns Wlser Mthemtisches Institut, Rheinsprung 21, 451 Bsel

3 Hns Wlser: Modul 114, Vektorfelder und Wegintegrle 1 1 Vektorfeld Zu jedem Punkt ( x, y) gehört ein Vektor F( x, y) = u( x, y) v( x, y) 1.1 Beispiele 1. Jedes Grdientenfeld ist ein Vektorfeld. 2. Vektorfeld F x, y =.1.1y. Es ist lso zum Beispiel F 1,2 =.1.2, F 3, =.1, F 1, 3 = y x Vektorfeld F x, y =.1.1y

4 Hns Wlser: Modul 114, Vektorfelder und Wegintegrle 2 3. Vektorfeld F x, y =.1x.1y. 2 y x Es ist lso zum Beispiel F 1,2 4. Vektorfeld F x, y =.1y Vektorfeld F x, y =.1.1x..2, F 3, =.1x.1y =.3 2, F 1,3 = 1 3. y x Es ist lso zum Beispiel F 1,2 Vektorfeld F x, y =.2 =.1y.1, F 3,.1x =.3, F 1, 3 = 3 1.

5 Hns Wlser: Modul 114, Vektorfelder und Wegintegrle 3 5. Vektorfeld F( x, y) = Beispiele: F 1, 2 =.2.1xy.1 +.5x 3..15, F 3, = 1.25, F 1, 3 2 = y x Vektorfeld F( x, y) = 1.2 Konservtives Vektorfeld Jedes Grdientenfeld ist ein Vektorfeld..1xy.1 +.5x 3 Nicht jedes Vektorfeld ist ein Grdientenfeld. Wie können wir ei einem gegeenen Vektorfeld prüfen, o es ein Grdientenfeld ist? Trick: Die kreuzweisen Aleitungen müssen üereinstimmen. Beispiel: f ( x, y) = x 4 y 7 Gegeneispiel: F x, y =.1y.1x

6 Hns Wlser: Modul 114, Vektorfelder und Wegintegrle 4 Ein Vektorfeld F x, y, ds uch ein Grdientenfeld ist, heißt konservtives Vek- torfeld. Wir hen lso ein konservtives Vektorfeld, flls es eine Funktion f x, y git, so dss: F = grd( f ) = f Die Funktion f ( x, y) heißt dnn Potenzilfunktion des Vektorfeldes F( x, y). Eine notwendige Bedingung für ein konservtives Vektorfeld ist ds Üereinstimmen der kreuzweisen Aleitungen: = u( x, y) v( x, y) F x, y F x, y = u( x, y) v( x, y) F x, y = u( x, y) v( x, y) konservtiv konservtiv konservtiv u y = v x u y = v x v x u y = Diese notwendige (er nicht hinreichende) Bedingung heißt Integrilitätsedingung Beispiele = x 4 y 7 + C ist die Potenzi- 1. Ds Vektorfeld F x, y 7x 4 y 6 ist konservtiv, d F( x, y) = 4x3 y 7 7x 4 y 6 = grd x4 y 7 lfunktion von F x, y = 4x3 y 7.. Die Funktion f x, y =.1y 2. Für ds Vektorfeld F x, y.1x gilt einerseits u =.1 und ndererseits y v = +.1. Es ist lso u x y v. Ds Vektorfeld ist nicht konservtiv, es git keine x pssende Potenzilfunktion Im Rum Die Funktion f ( x, y, z) ht den Grdienten grd( f ) = f x f y f z.

7 Hns Wlser: Modul 114, Vektorfelder und Wegintegrle 5 Es ist dnn f yz = f zy und f zx = f xz und f xy = f yx ; es git lso drei Pre von kreuzweisen Aleitungen. u x, y,z Dmit nun ein Vektorfeld F( x, y,z) = v( x, y,z) konservtiv ist, lso ein Grdientenfeld ist, müssen notwendigerweise folgende drei Bedingungen erfüllt w( x, y,z) sein: w y v z = u z w x = v x u y = Diese drei Bedingungen können mit folgendem Begriff zusmmengefsst werden: Rottion eines Vektorfeldes im Rum Unter der Rottion eines räumlichen Vektorfeldes F( x, y, z) = wir ds Vektorfeld: u x, y,z v x, y,z w x, y,z verstehen rot(f) = w y v z u z w x v x u y Die Rottion ist lso wiederum ein räumliches Vektorfeld. Die Rottion knn eenflls mit dem Nl-Opertor geschrieen werden: Also: rot( F) = F = x y z u( x, y, z) v( x, y, z) w( x, y, z) = w y v z u z w x v x u y rot(f) = F Mn echte ds Cross-Symol (Vektorprodukt) Wir können nun die Integrilitätsedingung wie folgt zusmmenfssen: F ist konservtiv, ds heißt ein Grdientenfeld rot(f) = F =

8 Hns Wlser: Modul 114, Vektorfelder und Wegintegrle Integrtion eines Grdientenfeldes. suchen, Der Grdient entsteht durch prtielle Aleitungen einer gegeenen Funktion f x, y Wenn wir nun zu einem gegeenen Grdienten eine pssende Funktion f x, y hen wir ds umgekehrte Prolem, lso ein Integrtionsprolem. Wir können ds Prolem uf verschiedene, er äquivlente Weisen formulieren: (1) u, v gegeen. Gesucht f, so dss f x = u und f y = v (2) Vektorfeld F gegeen. Gesucht f, so dss grd(f) = F Heuristisches Beispiel Gegeen ist ds Vektorfeld: Frgen: Ist ds ein Grdientenfeld? F( x, y) = 12xy 3 18x 2 y 2 + 7y 6 Flls j: Ws ist die zugehörige Potenzilfunktion? Wir prüfen die Integrilitätsedingung: ( 12xy 3 ) = y ( 18x 2 y 2 + 7y 6 ) = x Die Integrilitätsedingung ist erfüllt. Sie ist llerdings nur eine notwendige Bedingung, und wir sind noch nicht sicher, o es wirklich eine Potenzilfunktion git. In einem heuristischen Vorgehen integrieren wir. Sutil ist dei die Frge der Integrtionskonstnten. Bei einer Integrtion ezüglich x knn die Integrtionskonstnte durchus noch von y hängen. 12xy 3 dx = ( 18x 2 y 2 + 7y 6 ) dy = Vergleich ergit:

9 Hns Wlser: Modul 114, Vektorfelder und Wegintegrle 7 f ( x, y) = 6x 2 y 3 + y 7 + C Dies ist die Potenzilfunktion, wie durch Grdientenildung verifiziert werden knn Formle Bereitung Wir shen eim Integrieren mit nur einer Vrilen, dss die Stmmfunktionen nur is uf eine Konstnte festgelegt sind. Ds Anloge gilt hier für Potenzilfunktionen: Eindeutigkeitsstz: grd(f) = grd(g) f = g + C Beweis: Wie finden wir nun er die Potenzilfunktion? Dzu eine Erinnerung: Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung esgt: h( x) h( x ) = h x x ( s) ds Wir wenden ds nun sozusgen prtiell für eine Funktion von zwei Vrilen n: Dmit hen wir ein Hilfsmittel zur Berechnung der Potenzilfunktion.

10 Hns Wlser: Modul 114, Vektorfelder und Wegintegrle 8 Es gilt folgender Existenzstz (ohne Beweis) = u( x, y) v( x, y) Es sei F x, y uf gnz 2 gegeen und dort stetig differenzierr, ds heißt die Aleitungen u x, u y, v x und v y sind stetig, und u y = v x. Dnn gilt: F = grd( f ) mit f ( x, y) = u( s, y ) ds x + v x,t x y y dt Wir sehen, dss ußer der (notwendigen) Integrilitätsedingung u y = v x noch einige Stetigkeitsedingungen erfüllt sein müssen. Beispiel Es sei: u( x, y) = x x 2 +y 2 v( x, y) = y x 2 +y 2 Wir prüfen zunächst die Integrilitätsedingung u y = v x : + C

11 Hns Wlser: Modul 114, Vektorfelder und Wegintegrle 9 Nun erechnen wir die Potenzilfunktion f ( x, y) :

12 Hns Wlser: Modul 114, Vektorfelder und Wegintegrle 1 2 Weg und Wegintegrl 2.1 Beispiel: Wnderung in Schottlnd Weg: Wnderweg Leider regnet es, er nicht konstnt. Ml heftig, ml nur Nieselregen. Wegintegrl: totle Regenmenge = Ziel Strt Regendichte ds 2.2 Prmeterdrstellung eines Weges (einer Kurve) Durch den Ortsvektor x x t ( t) = y( t) z( t) im Rum. Eine Kurve in der Eene wird entsprechend definiert. mit dem Prmeter t [, ] entsteht eine Kurve Kurve im Rum

13 Hns Wlser: Modul 114, Vektorfelder und Wegintegrle Beispiele 1. Durch x t = cos( t) sin( t), t,2π [ ] erhlten wir in der Eene den Einheitskreis. y x -1 Der Einheitskreis

14 Hns Wlser: Modul 114, Vektorfelder und Wegintegrle Mit x ( t) = t cos t sin t und t [,2π] erhlten wir eine Schruenlinie im Rum. Schruenlinie Schruenlinie im Rum

15 Hns Wlser: Modul 114, Vektorfelder und Wegintegrle Tngentilvektor Wir versuchen, x ( t) = x t y t z t nch t wie folgt zuleiten: x ( t ) = lim t t x( t) x t t t Geometrisch edeutet x ( t ) den Tngentilvektor, physiklisch den Geschwindigkeitsvektor. Aus Trditionsgründen wird für die Bezeichnung der Aleitung ei Vektoren der Punkt nstelle des Striches verwendet. x ( t ) ist der Tngentilvektor (Geschwindigkeitsvektor) Rein technisch erhlten wir den Tngentilvektor durch komponentenweises Aleiten: x t = x t y t z t x ( t) = y ( t) z ( t) x t Mn echte die Sutilitäten ei der Bezeichnung. Beispiel: Für den Kreis = cos( t) sin( t) x t erhlten wir den Aleitungsvektor, t,2π [ ]

16 Hns Wlser: Modul 114, Vektorfelder und Wegintegrle 14 = sin( t) cos( t) x t, t,2π Die eiden Vektoren x ( t) und x ( t) sind orthogonl. [ ] 2.4 Die Bogenlänge Die eiden Vektoren x ( t) und x ( t) sind orthogonl Berechnung der Bogenlänge Für ds kleine Stück Δx gilt: Δx dx = x dt. Dmit ergit sich für die gesmte Weglänge s von P( ) is P( ): s = P( ) ds = dx = P( ) P P x t dt

17 Hns Wlser: Modul 114, Vektorfelder und Wegintegrle 15 Beispiele 1. Der Kreisogen y r s x Aus x t erhlten wir den Aleitungsvektor Kreisogen = r cos( t) r sin( t) x t = ; t, r sin t r cos t [ ] und dmit x = r. Drus ergit sich für die Länge des Kreisogens: 2. Die Schruenlinie Aus ergit sich: Dmit erhlten wir: x t = x t = s = 2π s = r dt = r t cos t sin t 1 sin t cos t mit t [,2π] und x ( t) = 2 x ( t) dt = 2 dt = 2 2π 2π

18 Hns Wlser: Modul 114, Vektorfelder und Wegintegrle 16 Dieses Resultt hätten wir llerdings uch einfcher durch Awickeln der Schruenlinie und Anwendung des Stzes von Pythgors erhlten können. Awickeln der Schruenlinie 2.5 Wegintegrl ei einer Funktion In der Eene oder im Rum hen wir einerseits einen Weg x ( t), t [,] und ndererseits eine Funktion Φ( x, y) eziehungsweise Φ( x, y, z). Als Beispiele solcher Ortsfunktionen können etw die Strhlenelstung in einem verseuchten Geiet oder die Tempertur im Rum gelten oder die Regendichte in Schottlnd. Als Wegintegrl (oder Kurvenintegrl) definieren wir nun: B Φ x, y, z ds = Φ x t A ( ) x t dt Ds Integrl links ist ds Wegintegrl; ds Integrl rechts ist ein Integrl im gewöhnlichen Sinn uf der t-gerden.

19 Hns Wlser: Modul 114, Vektorfelder und Wegintegrle Integrle Strhlenelstung Es sei Φ( x, y) = 1. Dieses Beispiel knn ls die Intensität einer Strhlung mit x 2 2 +y Strhlenquelle im Ursprung interpretiert werden; die Strhlung klingt mit dem Qudrt der Entfernung von der Strhlenquelle. Wir vergleichen nun die Strhlenelstung Φ( x, y) = 1 x 2 +y 2 Ψ = B A Φ x, y uf zwei verschiedenen Wegen von A nch B. Dei gehen wir dvon us, dss wir eide Wege mit konstnter Geschwindigkeit durchlufen. In einer Gefhrensitution wird mn ohnehin die mximl mögliche Geschwindigkeit wählen. In unseren eiden Beispielen ist diese Geschwindigkeit gleich eins. y c 2 ds A c 1 B 1 x Vergleich zweier Wege 1. Weg c 1 : Strecke von A nch B. Es ist: Weiter: x t = t 1 ; t 1,+1 x t = 1 [ ]

20 Hns Wlser: Modul 114, Vektorfelder und Wegintegrle 18 lso x ( t) = 1, und somit: +1 Ψ c1 = 1 dt = rctn 1 t rctn ( 1) = π 2 2. Weg c 2 : Oerer Hlkreis von A nch B. Es ist dnn: Drus folgt = cos( t) sin( t) + 1 x t lso wiederum x ( t) = 1, und somit: π = sin( t) cos( t) x t ; t, π [ ] Ψ c2 = dt = 2 dt cos( t) ( = dt ) sin( t) 1+sin( t) π ( sin t ) 2 = = dt 1+cos t θ= t 2 π 4 2dθ 2 cos θ π 2 ( ) = tn π 2 4 = 1 Auf dem zweiten Weg ist die integrle Strhlungsufnhme lso geringer ls uf dem ersten Weg, owohl wir länger unterwegs sind. Allgemein ist die Strhlenelstung miniml uf dem die Strhlenquelle nicht enthltenden Bogen AB des Kreises durch A, B und die Strhlenquelle. Dies knn mit Methoden der Vritionsrechnung gezeigt werden. π Wegintegrl ei Vektorfeld Wir erinnern uns n die Formel: Areit = Weg ml Krft. Diese Formel muss richtig interpretiert werden: relevnt ist nur die Krftkomponente in der Wegrichtung. Relevnte Krftkomponente F cos( γ ) Dmit ergit sich für die uf ein Wegstück ds ezogene Areit: dx F cos( γ ) = dx F

21 Hns Wlser: Modul 114, Vektorfelder und Wegintegrle 19 Für die gesmte Areit längs eines Weges müssen wir nun integrieren: Integrle Areit = P( ) dx P( ) F cos( γ ) = dx F = F x ( t)d t P( ) P( ) Wir üertrgen dies nun vom Krftfeld uf ein elieiges Vektorfeld: Zu einem Vektorfeld und einem Weg c: gehört ds Wegintegrl: x t = F( x, y,z) = x t y t z t Wegintegrl = u x, y,z v x, y,z w x, y,z mit t [,] F dx = F x ( t)dt c Beispiel Wir nehmen ds zirkuläre Vektorfeld F x, y = y 2 y 1 x x Vektorfeld F x, y = y x (die Vektoren sind zu kurz gezeichnet, nur die Richtung stimmt!)

22 Hns Wlser: Modul 114, Vektorfelder und Wegintegrle 2 In diesem Vektorfeld studieren wir zwei verschiedene Wege. ) Rdiler Weg c 1 vom Zentrum nch ußen Der Weg c 1 knn durch x t [ ] prmetrisiert werden. Wir erhlten dmit: x t = p q und dmit ds Wegintegrl: = pt qt = t p q, t, (ds ist der Richtungsvektor des Weges c 1 ) ( ) = y( t) x( t) F x( t), y t = qt pt F dx = F qt p x ( t)d t = pt c 1 q d t = Geometrisch ist ds klr, d der Weg rechtwinklig zu den Feldvektoren verläuft. ) Kreisförmiger Weg c 2 Der Weg c 2 knn durch x t [ ] prmetrisiert werden. Wir erhlten: und dmit ds Wegintegrl: 2π = r cos( t) r sin( t) F x( t), y t F dx = F x ( t)dt = c 2 x t =, t,2π r sin t r cos t ( ) = y( t) x( t) 2π r sin t = r cos t r sin t r sin t dt = r r cos( t) r cos( t) 2 dt = 2πr 2 2π

23 Hns Wlser: Modul 114, Vektorfelder und Wegintegrle Sonderfll: konservtives Vektorfeld ein Grdientenfeld, lso ein konservtives Vektorfeld, und f ( x, y) Es sei nun F x, y eine zugehörige Potenzilfunktion, lso: F = grd f = f = f x nch B = P( ) mit der Prme- Ferner sei c irgend ein elieiger Weg von A = P terdrstellung: c : = x( t) y( t) x t Für ds Wegintegrl längs c erhlten wir dnn: Folgerungen: F dx = F x ( t)d t = c f x f y f y ; t, x t dt y t [ ] = ( f x x ( t) + f y y ( t) )dt = df x( t) dt = f x t ( ) = f x dt f ( x ( ) ) = f B f ( A) Der Weg c spielt keine Rolle, nur Anfngspunkt A und Endpunkt B sind wichtig. Ds Wegintegrl ist die Potenzildifferenz f B Anfngspunkt A f ( A) zwischen Endpunkt B und Bei einem geschlossenen Weg in einem konservtiven Vektorfeld verschwindet ds Wegintegrl.

24 Hns Wlser: Modul 114, Vektorfelder und Wegintegrle 22 3 Zusmmenfssung 3.1 Vektorfeld Zu jedem Punkt ( x, y) gehört ein Vektor F( x, y) = u( x, y) v( x, y) Jedes Grdientenfeld ist ein Vektorfeld, er nicht jedes Vektorfeld ist ein Grdientenfeld Konservtives Vektorfeld Ein Grdientenfeld F = grd f heißt Potentilfunktion des Vektorfeldes F. = f heißt konservtives Vektorfeld. Die Funktion f Integrilitätsedingung: Notwendige Bedingung für konservtives Vektorfeld: In Eene: F x, y = u( x, y) v( x, y) Im Rum: F( x, y,z) = rot( F) = F = konservtiv u x, y,z v x, y,z konservtiv w x, y,z Finden der Potenzilfunktion: Gegeen: F x, y = u( x, y) v( x, y) x y z u( x, y,z) v( x, y, z) w( x, y,z) u y = v x = w y v z u z w x v x u y =, u x, u y, v x und v y stetig, und u y = v x. Dnn ist: F = grd( f ) mit f ( x, y) = u( s, y ) ds x + v x,t x y y dt + C

25 Hns Wlser: Modul 114, Vektorfelder und Wegintegrle Weg In Eene: = x( t) y( t) x t Im Rum nlog., t, [ ] Tngentilvektor: x t = x t y t Wegintegrle Weglänge (Bogenlänge, Kurvenlänge): s = P( ) ds = dx = P( ) P P x t Wegintegrl einer Funktion: Beispiel Regendichte B Φ x, y,z ds = Φ x t A ( ) dt x t dt Wegintegrl eines Vektorfeldes: Beispiel Areit im Krftfeld F dx = F x ( t)dt c Wegintegrl eines konservtiven Vektorfeldes: Potenzildifferenz. Wegunhängig F dx = c f x f y x t dt = f B y t f ( A)