Ellipsen DEMO. Text Nr Stand 29. Mai 2016 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK.

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1 Ellipsen Tet Nr Stnd 9. i 06 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLITHEK FÜR SCHULATHEATIK

2 5060 Ellipsengleichungen Vorwort Die Ellipse wurde ereits in den Teten, und esprochen. Dort ging es vor llem um Tngenten, Konstruktionen usw. Hier werden Ellipsen unter dem Gesichtspunkt der Differentilgeometrie untersucht. Gnz usführlich eschäftige ich mich mit der Drstellung durch Polrkoordinten. Für schräg liegende Ellipsen he ich zwr ein Beispiel im Tet, er sie erhlten noch einen eigenen Tet (50) Inhlt Vorschu: Üersicht Ellipsengleichungen Definition üer die Astndssumme und Eigenschften 5 Herleitung der Ellipsengleichungen 6. Koordintengleichung 6. Prmetergleichung 6. Polrkoordinten: r cos flls > 7 r sin flls > 0. Polrkoordinten: p r cos.5 Polrkoordinten: p r cos.6 Scheitelgleichung y p ( e ) Ausführliche Ellipseneispiele 5 (Prmetergleichung mit Tngente und Krümmung, Bogenlänge) Schräg liegende Ellipse 7 5 Krümmungskreise 9 6 Ellipsen in verschoener Lge

3 5060 Ellipsengleichungen Vorschu Ellipsen knn mn durch ffine Aildungen (z. B. Streckung oder Stuchung) us einem Kreis erzeugen (siehe Tet ), oder mn definiert sie ls rtskurve von Punkten, die eine estimmte Astndsedingung erfüllen (Seite 5). Es git diese Gleichungsrten: () Koordintengleichung, ittelpunktsform Liegt der ittelpunkt in () Scheitelgleichung y : y mit 0 0. yy y p ( e ) () Prmeterform t y ist der Winkel, den der Vektor y y cos sin mit der -Achse ildet. 0; () it Polrkoordinten git es mehrere Gleichungsformen: Üungseispiele Seite. p () r woei für Ellipsen 0 gelten muss. (>) Siehe. cos e ist die numerische Ezentrizität der Ellipse: und p Die Bedeutung der Prmeter p und studieren wir n Hnd zweier Kurvenschren: p r r 0,6 cos cos mit p,,,,5 und 0,6 und p mit 0,; 0,; 0,5; 0,7; 0,9 Bei dieser Gleichung liegt der Ursprung (= Pol des Polrkoordintensystems) im linken Brennpunkt der Ellipse, die Polrchse geht längs der Ellipsenhuptchse nch rechts. Linke Aildung: Der Prmeter p ewirkt eine zentrische Streckung, ändert lso die Größe, er nicht die Form. Rechte A.: Für liegt ein Kreis vor, mit zunehmenden 0; wird die Ellipse flcher.

4 5060 Ellipsengleichungen () p r woei 0 gelten muss. Siehe.5 cos Zwei Kurvenschren dzu: p r 0,6 cos r cos mit p,,,,5 und 0,6 mit 0,; 0,; 0,5; 0,7; 0,9 mit p =. (c) r Jetzt liegt der Ursprung im rechten Brennpunkt der Ellipse. cos Zwei Schuilder: Hier liegt der Pol im rechten Brennpunkt. (c) r cos Zwei Kurvenschren dzu: r 0,6cos mit,,,,5 und 0,6 woei 0 gelten muss. Jetzt liegt der Pol im ittelpunkt der Ellipse. Siehe. r cos mit 0,; 0,; 0,5; 0,7; 0,9 und = r sin ergit eine Ellipse mit < (Siehe Seite 9/0). Hier ist dnn e und.

5 5060 Ellipsengleichungen 5. Definition einer Ellipse üer eine Astndssumme und Eigenschften Eine Ellipse ist die enge der Punkte, für die die Summe der Astände von zwei estimmten Punkten ( Brennpunkten ) konstnt ist. (Es ist günstig, diese Summe mit zu ezeichnen.) PF PF () Diese sogennnten Brennpunkte lege ich jetzt symmetrisch zum Ursprung uf die -Achse: F e 0 und F e 0. e nennt mn die Brennweite oder linere Ezentrizität. Die Aildung zeigt die Brennpunkte F und F, zwei Huptscheitel H und H, zwei Neenscheitel N 0 und einen Ellipsenpunkt P. Die Beziehung () soll j für lle Punkte gelten, lso gilt sie uch für den Huptscheitel H. Dzu rucht mn FH e H und FH H e. Die Summe dieser Astände soll uch sein: Also folgt:!!! H H H FH FH e e H. Die große Hlchse der Ellipse ist lso. H 0 und us H 0. Folgerung: Der rechte Huptscheitel ist Symmetriegründen ist erke:, Die Summe der Astände eines Ellipsenpunktes von den eiden Brennpunkten ist doppelt so groß wie die große Hlchse. Wendet mn dies uf die eiden Neenscheitel N 0, n, dnn folgt us Symmetriegründen, dss eide Neenscheitel von den Brennpunkten die Entfernung hen. Aus dem Dreieck F N folgt dher diese wichtige Beziehung: Weitere kennzeichnende Größen für der Ellipse: Die y-koordinte ds Ellipsenpunktes senkrecht üer dem Brennpunkt nennt mn den Prmeter p. n knn p us der Ellipsengleichung erechnen, indem mn Pe p einsetzt: e p p e e p p e e Als weitere wichtige Größe für die Ellipse definiert mn die e numerische Ezentrizität

6 5060 Ellipsengleichungen 6. Koordintengleichung. Herleitung der Ellipsengleichungen Unter einer Ellipse versteht mn die enge der Punkte, deren Astndssumme zu zwei festen Punkten (sie heißen Brennpunkte) konstnt ist: PF PF () () edeutet: Qudrieren: e y e y e y e y e y e y e y e e e y e e e y e : e y e Qudrieren: Umordnen: e y e ee y ee ee y e e e y e e y e Hier wird jetzt vorusgesetzt, dss > ist, dnn folgt e : y : y. Bestätigung der Prmetergleichung: t cos t sin t n setzt in die linke Seite der Koordintengleichung ein: y cos t sin t cos t sin t Dmit ist gezeigt, dss die Prmetergleichung eine Ellipse drstellt.

7 5060 Ellipsengleichungen 7. Herleitung der Polrkoordintengleichungen (c). Fll: Die große Hlchse sei ( < ), Dnn gilt für die Brennweite und die numerische Ezentrizität wird definiert ls Aus der Ellipsengleichung folgt: e e it e e. e : y und den Gleichungen rcos, y rsin r cos r sin r cos sin r cos (cos ) r cos cos ) r cos ( ) r e cos : e r cos folgt: Also erhält mn Ergenis: Beispiele dzu: r cos r cos r cos () Berechne die Polrkoordintengleichung zu r cos, y r sin 9 6y (c) y 6 9 : 6r 7r cos r 6 7 cos r 6 7 cos 9r cos 6r sin 9r cos 6r cos zw. r 6 7 cos Verwendet mn jedoch die Formel (c) dzu, dnn geht mn so vor: Aus = und = erechnet mn Einsetzen in (c): r e 69 7, 7 cos cos 6 e 7 Jetzt knn mit erweitern: r cos 6 7 cos 7 6 n erhält ntürlich dssele Ergenis in Polrkoordinten.

8 5060 Ellipsengleichungen 8 () Die Umkehrung ist schwieriger: Gegeen ist r 6 7 cos. Bestimme Form und Lge der Kurve. () Wenn mn die Formel kennt: r cos, wird mn zuerst im Rdiknden den Fktor 6 usklmmern: r cos cos cos Dnn knn mn zuerst us folgern, dss es sich um eine Ellipse 6 hndelt, weiter erkennt mn =, = und e = 7 () Kennt mn die Struktur der Formel nicht, knn mn sich so vortsten: 0 : r r0 cos0, y0 r0 sin0 0 0 Kurvenpunkt: A : r r90 cos90 0 0, y90 r90 sin90 Kurvenpunkt: B0. 0 Es git einen minimlen r-wert: Für cos 0 90 oder 70 wird der Nenner (Rdiknd) miml, lso der Bruch miniml: r min 6 Und es git einen mimlen Rdiuswert: Der Nenner (Rdiknd) wird miml, wenn cos wird, lso für cos 0 oder 80 : r m r0 6 7 Diese Eigenschft psst nur zu einer Ellipse. Hyperel und Prel scheiden us. Die Aildung zeigt diese Ellipse zusmmen mit einigen Punkten. In Klmmern steht der Winkel gegen die positive -Achse im Grdmß. Bei zwei Punkten he ich uch den Rdius ngefügt. Der größte r-wert ist = für P(0) und P(80), der kleinste ist = für P(90)und P(70)..

9 5060 Ellipsengleichungen 9 Hinweis: Im Tet 50 wird ds Them Fernpunkte ehndelt. Dei geht es im Grunde um genu dieses Them: Ws pssiert ei Kurven. rdnung, wenn r geht? Bei Ellipsen ist dies nicht möglich, wie mn hier sieht, ei Preln ist dies in Achsenrichtung möglich, ei Hypereln in den zwei Asymptotenrichtungen. Auf diese Weise knn mn den Typ erkennen. () Welche Kurve wird durch r,5 cos drgestellt? Dese Gleichung psst nicht zu r cos sondern ht diese Form r cos Wir wollen herusfinden, ws die Gleichung drstellt. Um ds Ziel optisch zu erkennen, lsse ich die Kurve durch thegrfi drstellen: Ich suche zuerst nch dem minimlen und dem mimlen Rdius: r wird miniml, wenn der Rdiknd miml wird. Den größten Wert erhält der Rdiknd, wenn cos, lso für 0 oder 80. r0 0 r0 cos0,5,5, 5 y 0 r 0 sin : P0 0 r wird miml, wenn der Rdiknd miniml wird. Den kleinsten Wert erhält der Rdiknd, wenn cos 0, lso für 90 oder 70. r90 90 r90 cos y 90 r 90 sin 90. : P90 0 Dmit erkennt mn, dss eine in -Richtung gestuchte Ellipse vorliegt: y 9. Dnn muss einem uffllen, dss in der Gleichung offenr, 5 ist, ws nicht zur Aussge psst, dss für Ellipsen gilt: 0. Die Definition heißt: e große Hlchse Für eine in -Richtung gestuchte Ellipse gilt jedoch: =e + e = -! e 5 Dher gilt dnn, weil een die große Hlchse ist. Die gegeene Gleichung 9 ht lso NICHT diese Form: r, owohl sie so ussieht. cos Herleitung der richtigen Formel: Aus y und den Gleichungen rcos, y rsin folgt: r cos φ sin r - sin φ sin r sin sin ) r ( - ) sin r -e sin :

10 5060 Ellipsengleichungen 0 e r sin r sin r sin Wir hen nun plötzlich eine völlig ndere Formel erhlten. Es git lso diese eiden Formeln für Ursprungsellipsen in Polrkoordinten: Wenn > : r cos mit Wenn > r Anwendung: sin y Bestimme die Polrkoordintengleichung für zw. 9 Kennt mn die Formel oen gezeigte Formel: e 5, e 9 5 Also lutet die Gleichung: r mit sin 5 9 Kennt mn diese Formel nicht, muss mn wie ei der Herleitung vorgehen: Ausführliche Lösung: einsetzen: ersetzen: r 95sin 6 r cos, y r sin cos sin Hierus folgt dnn 9 y 6 (*) 9 r cos r sin 6 9r sin r sin 6 r sin Kürzt mn durch, entsteht drus (*), ws er unnötig ist. Es ist ntürlich nicht flsch, wenn mn sin cos 9r cos r cos 6 r 5 cos 6 ersetzt: r 6 5 cos.

11 5060 Ellipsengleichungen. Herleitung der Polrkoordintengleichung () p r cos Die Ellipse wird nun so in -Richtung verschoen, dss ihr linker Brennpunkt in den Ursprung fällt. Die Strecke PF ht dnn die Länge r. Ds liegt drn, dss für die Summe der Astände PF PF gilt. Im Dreieck F F P wird der Kosinusstz ngewndt: Beispiele FP FF FP FF FP cos r e r e r cos r r e r er cos e r er cos e r er cos recos -r : e r ecos Kürzt mn diesen Bruch durch : dnn erhält mn: r e cos p r () cos und ersetzt: p und ) Eine Ellipse ht =, =. Ihr linker Brennpunkt sei F (0 0). Stelle ihre Gleichungen uf. Zuerst erechnet mn e 7, e 7 e und 9 p. D der Astnd des ittelpunkts von den Brennpunkten gleich e ist, folgt: 7 0, Dmit ht mn die Huptchsengleichung: 7 y 6 9 Die Scheitel der Ellipse findet mn so: S S 7 0 S, 7 6,65 S, 7,5 Für die Polrkoordintengleichung () folgt dnn e : 7 9 r cos 9 zw. r 7cos

12 5060 Ellipsengleichungen ) Gegeen ist die Gleichung r, Bestimme die Ellipse. 0,6 cos Es git einen mimlen und einen minimlen Rdius. r wird miml, wenn der Nenner miniml wird, lso wenn lso für cos 0 : min Ds führt zum rechten Huptscheitel: S 8 0,, r r 0 8 0,6 0, r wird miml, wenn der Nenner miml wird, lso wenn lso für cos 80 : min Ds führt zum linken Huptscheitel: S 0 cos miml wird, cos miniml wird,,, r r 80 0,6,6 Drus knn mn die große Hlchse erechnen: S S 0 5. Der ittelpunkt ht lso die -Koordinte: Also gilt 8 5 y 6 : 6y 6, cos Andererseits ist rcos und y 0,6 cos Die Neenscheitel liegen ei. Drus folgt : Ds ergit, cos 0,6cos 0., sin 0,6 cos, cos 0,6 cos 5 cos cos 0,6 Also Dmit folgt: sin cos 0,6 0,6 0,8, 0,8, 0,8 y 0,60,6 0,6 Die Neenscheitel sind lso: N, N Und somit kennen wir nun =. Ergenis: y 5 6

13 5060 Ellipsengleichungen.5 Untersuchung der Polrkoordintengleichung () p r cos Behuptung: Beweis: Die Ellipse ist so in -Richtung verschoen, dss ihr rechter Brennpunkt in den Ursprung fällt. Ich ersetze p und : e r cos ecos n erhält den mimlen Rdius, wenn der Nenner miniml wird, ws für min e cos eintritt:, lso für r cos 80 und r r 80 e lso für A 0 linker Huptscheitel, e Der minimle Rdius erscheint ei mimlen Nenner, lso für cos : m e y rsin 80 0 lso für r cos 80 und r r 0 lso für B 0 e Der Ellipsenmittelpunkt ist der ittelpunkt von A und B: Wegen e rechter Huptscheitel. y rsin 80 0 e e e e e e e e e e B A e knn mn vereinfchen: ittelpunkt: e 0. Gleichung: e y Die Aildung zeigt die Hyperel y 5 6 e e zw., r 0,6 cos denn us = 5 und = folgen e 56, 6 p, und 5 e 0,6. 5

14 5060 Ellipsengleichungen.6 Herleitung der Scheitelgleichung () y p ( e ) Ausgehend von der Koordintengleichung lege ich den linken Huptscheitel der in -Richtung geöffneten Hyperel in den Ursprung: y y Umstellen nch y : d. h. y d. h. y Ersetzen: p und e : Beispiel: e y p e Ersetzen: 5 y d. h. y y e y p e y p : y p 6 mit = 5, =, lso e, folgt p,, Dher: zw. y 6, 0,6 y 0,6 6, e 0,6.

15 5060 Ellipsengleichungen 5 Ausführliche Ellipseneispiele. Beispiel cos und y sin für 0; Aus cos und sin cos 6 und sin 9 y folgt durch Qudrieren und Addieren: y y 6 9 Dies ist lso die Ellipse um 0 0 mit = und =. A.: Drstellung dieser Ellipse mit thegrfi 0 Gleichung in Vektorform:. Aleitung:. Aleitung: y" cos t sin t cos t t t t sin t cos t sin t yt cost y' zw. cot t t sin t tn t y" Tngente und Krümmung n der Stelle t Kurvenpunkt: Tngentensteigung: Tngentengleichung: Krümmungswert: sin t sin tcos t y y sin t sin t cos t cos t sin t cos t 6 sin t 6 sin t 6 sin t cos,8 sin,,5 y',8 0,75 tn y y y'',8 0 6 sin Tngente und Krümmung n der Stelle : d. h. Rechtskrümmung 5 Zuerst wird t ermittelt: cos t cost t,,... cos Kurvenpunkt: sin,5,60 y' Tngentensteigung: tn Tngentengleichung: y y Krümmungswert: y'' 0 6 sin d. h. Rechtskrümmung A,8, B,6

16 5060 Ellipsengleichungen 6 Bogenlänge der Ellipse : y 6 9 Prmeterdrstellung: t cost und yt sint für t0; Formel für die Bogenlänge: t s y dt t Vektordrstellung: t Zwei Kurvenpunkte: t 0 Länge des Bogens AB: cos t sin t, Aleitung: t sin t cos t : t : / / / cos 0 0 A 0 sin 0 0 cos 0 B 0 sin s y dt 6 sin t 9 cos t dt 6 sin t 9 (sin t dt / s 7sin t 9dt,7 LE CAS-Rechnung: 0

17 5060 Ellipsengleichungen 7. Beispiel t cos t sint und yt cost6 sint für t0; Dies ergit eine schräg liegende Ellipse. Sie ht uch diese Gleichung: Gleichung in Vektorform: Aleitungen: Tngentensteigungen: t t Für t = 0: Kurvenpunkt: Für t = 0 6y y 96. () cos t sin t cos t 6sin t sin t cos t sin t 6cos t cos t sin t t cos t 6sin t y t sin t 6cost tnt 6 tn t y' t sin t cos t tn t tn t Tngentensteigung in A: Tngente in A: Tngentensteigung: cos 0 sin 0 0 A cos 0 6sin 0 tn 0 y' 0, 5 tn 0 y y 7 tn y' 0,79, 5 tn, 5 Tngente in B: Wo ht die Ellipse eine senkrechte Tngente? y 0,79,5 y 0,79 8,75 Ds edeutet Polstelle der. Aleitung, lso Kurvenpunkt: Weiterer Punkt: cos sin, 5, cos 6sin 6 6,0 t : cos 6 sin tn t t u.. cos sin,5,5 C,5 5,66 cos 6sin 6 5,66 cos sin 0 D Tngentensteigung: tn y'?, 5 tn ist so nicht erechenr, d für t gilt: tn. B, 6, tn t tn t Also t t, 5 tn t tn t 0 lim lim 0,67, 5 tn t, 5 0 tn(t) Tngentengleichung in D: y6 y,67

18 5060 Ellipsengleichungen 8 Ich weiß leider nicht, wie mn von der Koordintengleichung () uf die gegeene Prmeterdrstellung kommt. Vielleicht knn es mir jemnd verrten. Aer ich knn zeigen, wie mn us der Koordintengleichung eine Polrkoordintenform erhält: n ersetzt rcos und y r sin und erhält: 0 r cos 6 r cos sin r sin 96 r usklmmern: Umstellen: Drus folgt: r 0 cos 6 cos sin sin 96 r r 96 0 cos 6 cos sin sin 0 cos 6 cos sin sin Dmit knn mn eispielsweise mit einem Grfikprogrmm die schräge Ellipse zeichnen lssen, wenn es nicht möglich ist, die Koordintengleichung dzu zu verwenden.

19 5060 Ellipsengleichungen 9 5 Krümmungskreise für Ellipsen Als Krümmungskreis ezeichnet mn den Kreis mit dem größten Rdius, der die Ellipse m Huptscheitel von innen und m Neenscheitel von ußen erührt. Zur Herleitung verwende ich Ellipsen in der Lge, in der sie 0 ht und somit durch den Ursprung geht. den ittelpunkt E Sie ht dnn diese Gleichung: y Dnn setzen wir einen Kreis mit zunächst elieigem Rdius n, der eenflls im Ursprung die y-achse erührt. Sein ittelpunkt ist dnn K Er ht somit diese Gleichung: r y r y S S r 0. Die Aildung zeigt zwei solche Kreise. Sie schneiden die Ellipse zusätzlich in zwei Punkten S, S. n verkleinert nun den Kreisrdius (der Kreis soll die Ellipse er immer noch in erühren). Dnn rücken die eiden Schnittpunkte enger zusmmen. Schließlich erreicht mn die Sitution, in der die eiden Schnittpunkte mit dem Ursprung zusmmenfllen. Sie ilden dnn den Berührpunkt B. Diesen Vorgng knn mn einfch durchrechnen: Berechnung dieser Schnittpunkte.. Schritt: Kreisgleichung: d. h. zw. r y r r r y r r y 0 y r () Ellipsengleichung: y y y y y 0 ()

20 5060 Ellipsengleichungen 0. Schritt: Einsetzen von () in () und umformen: Zusmmenfssen, d.h. r 0 r 0 zw. usklmmern:. Schritt: usklmmern: r 0 r 0 Der. Fktor liefert die eknnte Berührstelle = 0. Der. Fktor, lso die eckige Klmmer, liefert die -Koordinten der Schnittpunkte: r r 0 r. Schritt: Wir verkleinern den Kreis, dmit rücken die eiden Schnittpunkte näher zusmmen. Dmit sie uch noch in den Ursprung fllen, dmit es lso nur eine Lösung git, muss die Zählerklmmer 0 werden. Ds geht nur mit r 0. Es muss lso gelten: r. Dies ist der Rdius für den Krümmungskreis im Ursprung, lso m Huptscheitel. Bei unserer Ellipse wr, r. Hinweis: Der Rdius für die Krümmungskreise n den eiden Neenscheiteln ist r. Dort erührt der Krümmungskreis von ußen! 6 Für unsere Ellipse ergit ds r 8 Im Tet steht Seite 9, wie mn diese Rdien zw. die ittelpunkte der Krümmungskreise konstruieren knn. Beeindruckend ist die folgende Aildung. Sie zeigt, wie gut die vier Krümmungskreise in den Ellipsenscheiteln die Form der Ellipse ndeuten. Die Ellipse ist fein gestrichelt eingezeichnet. Wenn mn noch Punkte in den Üergngsereichen konstruiert, dnn knn mn die Ellipse gut einzeichnen.

21 5060 Ellipsengleichungen Berechnung der Krümmungskreisrdien durch eine Formel Im Tet 50 (Differentilgeometrie) wurde eine Formel für die Krümmung entwickelt: y y t y / Eine Prmetergleichung für eine Ellipse um den Ursprung mit den Hlchsen und ist z. B.: cos t sin t cos t t t t sin t cos t sin t Einsetzen in die Krümmungsformel: y y sin t cos t t y sin t cos t sin t cos t / / / Für den rechten Huptscheitel gilt t = 0: 0 / / sin 0 cos 0 Krümmungskreisrdius: Für den oeren Neenscheitel gilt t r 0 / / sin cos und r.

22 5060 Ellipsengleichungen Verschiet mn die Ellipse 6 Ellipsen in verschoener Lge y um c in -Richtung und um d in y-richtung, dnn c d und die Gleichung der Ellipse lutet dnn ekommt der ittelpunkt die Koordinten Beispiel: c yd y ht den ittelpunkt 9, = und =, Also ht sie die Scheitel S 5, S und wegen e 5 die Brennpunkte F, 5. n knn zu solchen Ellipsen uch rsch eine Prmetergleichung ufstellen. Ist der Ellipsenmittelpunkt der Ursprung, verwendet mn: t Liegt er in y : t Bei unserem Beispiel: t cos sin y, 0; cos sin cos sin, 0;, 0;