- 1 - A H A V M A. Bild 5.17 Einfach statisch unbestimmtes System; a) Systemskizze; b) Schnittbild F 1 F 3 B C F 2 2 F 3

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1 - - Lgerrektionen können nur mit Hilfe der Elstizitätstheorie bestimmt werden. Technische Mechnik II Elstosttik werden ein- und mehrfch "sttisch unbestimmt" gelgerte Trgwerke vorgestellt. ) b) M H V ild 5.7 Einfch sttisch unbestimmtes System; ) Systemskizze; b) Schnittbild ) 2 3 C D b) H V 2 3 ild 5.8 Zweifch sttisch unbestimmtes System; ) Systemskizze; b) Schnittbild 5.6 Lösen eines erechnungsproblems - ormulierung - mechnisches Erstzmodell (Eigenschften) - Lösung des Erstzmodells - Diskussion, edeutung Hier wird ds Huptugenmerk uf "Lösung des Erstzmodells" und "Diskussion, edeutung" berbeitet - Schnittbild zum Sichtbrmchen der Kräfte, - ufstellen und Lösen der Gleichungen, - Kontrolle des Ergebnisses uf Richtigkeit und Genuigkeit. C D ufgbe 5. estimmung der Lgerkräfte durch Schneiden n den Lgern es hndelt sich links um ein einwertiges Lger und rechts um ein zweiwertiges Lger elstung durch Einzelkräfte und Einzelmoment ufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur estimmung der Lgerkräfte Ein Träger wird mit den Kräften, 2, 3 und einem Moment M belstet (ild 5.9). gegeben: α = 45 0,, 2, 3, M, gesucht: estimmung der uflgerkräfte und α 2 3 M ild 5.9 Träger mit den Kräften, 2, 3 und dem Moment M Leseprobe-TM-I-Vorlesungsskript docx

2 Lösung: H = 2 2 2, V = = (2 sin α M ), 3 (2 2 sin α M ) 3 ufgbe 5.2 estimmung der Lgerkräfte durch Schneiden n den Lgern es hndelt sich um drei einwertige Lger in verschiedenen Richtungen ufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur estimmung der Lgerkräfte Ein Träger wird mit der Krft und dem Kräftepr 2 * h belstet (ild 5.2). In C ht der Träger ein schräg gestelltes, einwertiges Lger. gegeben:, 2,, h, α gesucht: estimmung der uflgerkräfte, und C 2 C α h 2 ) ild 5.2 ) Träger mit der Krft und dem Kräftepr 2 * h Lösung: = 2 tn α, = h 2 (2 h + 3 ) (5.3), C = 2 2h 2 cos α ufgbe 5.3 estimmung der Lgerkräfte durch Schneiden n den Lgern es hndelt sich links um ein zweiwertiges Lger und rechts um ein einwertiges Lger ufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur estimmung der Lgerkräfte Ein Träger wird mit den Kräften, 2 und 3 belstet (ild 5.20). gegeben: α = 30 0,, 2, 3, gesucht: estimmung der uflgerkräfte und /2 ild 5.23 Träger mit den Kräften, 2 und 3 Leseprobe-TM-I-Vorlesungsskript docx

3 Lösung: V = 3 ( cos α - 3 ), H = sin α, = 3 ( cos α ) ufgbe 5.4 estimmung der Lger- und Seilkräfte durch Schneiden n den Lgern Es hndelt sich um ein zweiwertiges Lger und durch die Seilkrft jeweils um ein einwertiges Lger Seilkrft über Umlenkrollen Scheibengewicht G im Schwerpunkt ufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur estimmung der Lgerkräfte Eine dreieckige, schwere Scheibe (Gewicht G) wird in durch ein zweiwertiges Lger und in und C durch ein Seil S gehlten. Ds Seil wird durch zwei Umlenkrollen geführt. Ds Scheibengewicht G greift im Schwerpunkt S Sch der Scheibe n (ild 5.25). gegeben: Scheibengewicht G,, h gesucht: estimmung der uflgerkrft und der Seilkrft S G C 2h/3 SSch h/3 2/3 /3 Seil S ild 5.25 Dreieckige, schwere Scheibe Lösung: S = G 3 2, H = - G 3 2, V = G 3 ufgbe 5.5 estimmung der Lger- und Seilkräfte durch Schneiden n den Lgern Es hndelt sich links um ein zweiwertiges Lger und rechts einwertiges um ein Lger Krfteinleitung über Hebel ufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur estimmung der Lgerkräfte Ein Träger wird mit der Krft m Hebel der Länge c belstet (ild 5.27). gegeben:,, b, c gesucht: estimmung der uflgerkräfte und b c ild 5.27 Träger mit der Krft m Hebel Leseprobe-TM-I-Vorlesungsskript docx

4 Lösung: H = -, V = - c, = c ufgbe 5.6 estimmung der Lger- und Seilkräfte durch Schneiden n den Lgern Es hndelt sich links um ein zweiwertiges Lger und rechts um ein einwertiges Lger Kräfte n einem ebenen System ufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur estimmung der Lgerkräfte Eine Scheibe wird mit den Kräften, 2, 3 und 4 belstet (ild 5.29). gegeben: α, α 3,, 2, 3, 4,, h gesucht: estimmung der uflgerkräfte und /4 /4 2 3 h 3/4 4 /4 ild 5.29 Scheibe mit den Kräften, 2, 3 und 4 Lösung: V =( 4 4 +(- cosα - 3 cosα 3 ) h + sinα sinα 3 ), H = - cosα - 3 cos α 3, = (- cos α h sin α 3-3 cos α 3 h ) ufgbe 5.7 estimmung der Lger- und Seilkräfte durch Schneiden n den Lgern Es hndelt sich um zwei Pendelstützen, die jeweils einem einwertigen Lger entsprechen, d in die Stützen nur eine xhsile Krft eingeleitet werden knn, und rechts um ein einwertiges Lger. ufstellen der Gleichgewichtsbedingungen zur estimmung der Lgerkräfte Ein Träger wird mit der Krft in zwei Punkten belstet (ild 5.3). In besteht ds Lger us zwei Pendelstützen, in us einem einwertigen Lger. gegeben:, gesucht: estimmung der uflgerkrft und der Stbkräfte S, S 2 Leseprobe-TM-I-Vorlesungsskript docx

5 ild 5.3 Träger mit der Krft Lösung: S = ufgbe 5.8 2, =, S 2 = - estimmung der Lger- und Gelenkkräfte durch Schneiden n den Lgern und Gelenken Es hndelt sich in und um jeweils ein zweiwertiges Lger und und ein Gelenk in C elstung des Systems über die Seilkrft n einer Rolle uf dem System ufstellen der Gleichgewichtsbedingungen n Teilsystemen zur estimmung der Lger- und Gelenkkräfte Ein us lken und einer Rolle zusmmengesetztes System wird über ein Seil mit dem Gewicht belstet (ild 5.33). gegeben:, gesucht: estimmung der uflgerkrft und und der Gelenkkrft C. 2 E C Seil D 2 3 Lösung: = 3,9, = 3,35, C = 4,72 ild 5.33 Zusmmengesetztes System Leseprobe-TM-I-Vorlesungsskript docx

6 - 6-6 Ebenes chwerk Lehrziel des Kpitels Definition eines chwerks Sttische estimmheit eines chwerks ufbu eines chwerks nlytische und grphische Lösungsmethoden (CREMONpln, knotenweises Schneiden, RITTERscher Schnitt) f(x) = ω Gleichgewichtsbedingungen n jedem Knoten : Σ x = 0, (6.) : Σ y = 0. (6.2) Ein chwerk besteht us einer nzhl einzelner Stäbe, die zusmmen wie ein Trgwerk wirken. Wegen einiger wesentlicher Einschränkungen werden chwerke gesondert betrchtet. 6. Definition eines chwerks - Die Stäbe sind gerde, - die Stäbe sind n den Verbindungspunkten, den Knoten, gelenkig ngeschlossen, - die Stäbe sind n den Knoten zentrisch ngeschlossen. - Die Lsten greifen nur n den Knoten n. - Dher werden die Stäbe nur in Normlenrichtung (in der chse) uf Druck und Zug belstet. In ild 6. wird die Vorzeichendefinition der chwerkstäbe ngegeben. Die Stbkrft wird immer ls Zugkrft, ds heißt vom Knoten ziehend, mit positivem Vorzeichen ngesetzt. Wenn sich ds Vorzeichen in der Rechnung ls negtiv erweist, hndelt es sich um einen Druckstb. In der Prxis muss für Druckstäbe noch ein Stbilitätsnchweis, zum eispiel mit Hilfe des ω- Verfhren 6., durchgeführt werden. Dies würde hier zu weit führen. Es wird in diesem uch nicht weiter druf eingegngen. S Knoten S ild 6. Vorzeichenfestlegung Wie lle Trgwerke werden uch chwerke durch die uflger mit ihrer Umgebung verbunden. uch hier muß jeweils kontrolliert werden, ob ds System sttisch bestimmt ist. Dbei muß unterschieden werden, ob ds chwerk äußerlich sttisch bestimmt und/ oder innerlich sttisch bestimmt ist. ) b) ild 6.2 chwerk; ) innerlich und äußerlich sttisch bestimmt; b) äußerlich sttisch unbestimmt 6. W. eitz und K.- H. Grote (Hers.), Dubbel, Tschenbuch für den Mschinenbu, 20. uflge, Springer- Verlg, 200 Leseprobe-TM-I-Vorlesungsskript docx

7 - 7 - ür ein innerlich und äußerlich sttisch bestimmtes chwerk reichen die 3 Gleichgewichtsbedingungen m Gesmtsystem und die Gleichungen n den Teilsystemen us, um lle uflgerkräfte und lle Stbkräfte zu bestimmen. ür ein innerlich sttisch bestimmtes und äußerlich sttisch unbestimmtes chwerk reichen die 3 Gleichgewichtsbedingungen m Gesmtsystem nicht us, um lle uflgerkräfte zu bestimmen. Hier muss die Elstizitätstheorie mitberücksichtigt werden (siehe Technische Mechnik II Elstosttik 5.2 ). ild 6.3 Innerlich sttisch unbestimmtes chwerk ür ein innerlich sttisch unbestimmtes und äußerlich sttisch bestimmtes chwerk reichen die drei Gleichgewichtsbedingungen m Gesmtsystem us, um lle uflgerkräfte zu bestimmen. Die Gleichungen n den Teilsystemen reichen nicht us, um lle Stbkräfte zu bestimmen. Jetzt muss hier die Elstizitätstheorie mitberücksichtigt werden (siehe Technische Mechnik II Elstosttik). ild 6.4 Kinemtisches chwerk Nicht erlubt sind kinemtische, lso bewegliche Systeme (ild 6.4). Dieses chwerk ist durch die fehlende Querverstrebung in horizontler Richtung beweglich. Im llgemeinen läßt sich die sttische estimmtheit eines chwerks mit Hilfe der ildungsgesetze (siehe Kpitel 6.2) bestimmen. Dies ist ber nicht immer möglich. Dnn müssen die chwerke mit nderen Methoden, zum eispiel mit Hilfe eines Polplns us der Getriebenlyse 6., uf ihre sttische estimmtheit untersucht werden. 6.2 ufbu eines chwerks In der Definition des chwerks wird schon gesgt, dß ds chwerk us einzelnen, gerden Stäben besteht, die in den Knoten zentrisch miteinnder verbunden sind. lle Lsten greifen nur n diesen Knoten n. Um ds System zu ordnen, werden die Knoten mit römischen Zhlen, die Stäbe mit rbische Zhlen gekennzeichnet. 2 IV I 6 III 5 V 4 ild 6.5 Nummerierung der Knoten und Stäbe VI 5.2 Kunow, Vorlesungsskript zur Technischen Mechnik II Elstosttik 6. W. eitz und K.- H. Grote (Hers.), Dubbel, Tschenbuch für den Mschinenbu, 20. uflge, Springer- Verlg, 200 Leseprobe-TM-I-Vorlesungsskript docx

8 - 8 - Ein Schnittbild, wie wir es gewohnt sind, würde nun sehr umfngreich werden (ild 6.6 ). Deshlb werden die Knoten nicht lle uf einml, sondern ein Knoten nch dem nderen geschnitten, wenn die Stbkräfte berechnet werden. II S 2 S 2 IV S S 7 S 8 S 3 S 9 I S ) S 6 S 7 III S 8 S 9 S 5 S 6 S 5 S 4 V S 4 S 3 VI H II S 2 ild 6.6 Schnittbild; ) Explosionsschnittbild; b) m Knoten II V b) S S 7 Schnittbild m Knoten II zeigt ein solches Einzelschnittbild (ild 6.6 b). Es liegt ein zentrles Krftsystem vor. Die Stbkräfte stehen im Gleichgewicht, wenn die Resultierende, beziehungsweise die Hltekrft zu Null wird. n jedem einzelnen Knoten luten die Gleichgewichtsbedingungen : Σ x = 0, (6.) : Σ y = 0. (6.2) Im vorliegendem eispiel ergeben sich zwölf Gleichungen für zwölf Unbeknnte, die neun Stbkräfte und drei Lgerkräfte. Wenn ein sttische bestimmtes chwerk vorliegt, lssen sich lle Stbkräfte und Lgerrektionen us den Gleichgewichtsbedingungen berechnen. Um die chwerke besser klssifizieren zu können, wird der ufbu eines chwerks untersucht und nch Gruppen unterteilt. Die meisten chwerke werden nch dem. ildungsgesetz ufgebut.. ildungsgesetz Drei chwerkstäbe, die durch Knoten miteinnder verbunden sind (ild 6.7 ), bilden eine sttisch bestimmte Scheibe, zum eispiel Scheibe. Von einer Scheibe usgehend wird durch nbringen zwei weiterer Stäbe (Stb 4 und 5) eine weitere sttisch bestimmte Scheibe, zum eispiel Scheibe 2, gebildet. Scheibe 2 Scheibe 2 2 ) b) ild 6.7 ) Sttische bestimmte Scheibe; b) Scheibenbildung, beginnend mit der Scheibe und Stb 4 und 5. Es sind die einfchsten chwerke, die uch bei der erechnung, zum eispiel durch Schneiden n den Knoten oder durch den CREMONpln, keine Schwierigkeiten mchen. 2. ildungsgesetz Zwei chwerkscheiben und 2, die nch dem. ildungsgesetz ufgebut sind, werden durch drei weitere Stäbe verbunden, die nicht durch einen Punkt gehen dürfen. Leseprobe-TM-I-Vorlesungsskript docx

9 - 9 - ) b) ild 6.8 chwerk nch dem 2. ildungsgesetz; ) chwerkstäbe, die b) zwei Scheiben bilden. Hierbei muss immer kontrolliert werden, ob ds chwerk kinemtisch ist. Ein chwerk nch dem. und 2. ildungsgesetz knn durch Wegnhme und Wiedereinfügen eines Stbes n nderer Stelle in ein nderes sttisch bestimmtes chwerk verwndelt werden. Ds ist die Gruppe von chwerken nch dem 3. ildungsgesetz. 3. ildungsgesetz ild 6.9 chwerk nch dem 3. ildungsgesetz uch hier ist immer zu prüfen, ob ds neu gebildete chwerk kinemtisch ist. ls weitere, große Gruppe gibt es die zusmmengesetzten chwerke. ild 6.0 Zusmmengesetztes chwerk Im obigen System bilden die zwei Scheiben, die jeweils nch dem. ildungsgesetz ufgebut sind, einen Dreigelenkbogen. ei einer Vorbetrchtung können vorb Stäbe sofort ls Nullstäbe erknnt oder, wenn sie sich in der erechnung ls Nullstäbe ergeben, überprüft werden. Ds sind bei einer gegebenen elstung unbelstete Stäbe (Tbelle 6.). Sie werden nur für diesen Lstfll zu Null. Jeder ndere Lstfll knn ndere Stbkräfte zur olge hben. Deshlb dürfen sie niemls us dem chwerk entfernt werden. ls Lösungswege für die erechnung der Lger- und Stbkräfte eines chwerks bieten sich drei Methoden n: - nlytisch durch knotenweises Schneiden (für Systeme nch dem. ildungsgesetz und wenn lle Stbkräfte gesucht werden) - grphisch nch dem CREMONpln (für Systeme nch dem. ildungsgesetz und wenn lle Stbkräfte gesucht werden) Leseprobe-TM-I-Vorlesungsskript docx

10 RITTERsches Schnittverfhren (für Systeme nch dem., 2. und 3. ildungsgesetz und wenn einzelne Stbkräfte gesucht werden). Tbelle 6. Definition der Nullstäbe edingung edingung 2 edingung 3 Keine äußere Krft tritt m Knoten uf. Die äußere Krft wirkt in Richtung einer der Stbchse. Zwei Stäbe liegen in derselben Richtung und ein dritter schließt n demselben Knoten in nderer Richtung n. y S 0 0 x S 2 y S 3 S x S y x S 2 S eweis : S y = 0. : + S + S 2x = 0. : - S + S 2 + S 3x = 0. : S x + S 2 = nlytische Lösung Dmit wird die y- Komponente der Stbkrft S zu Null, ds heißt, dmit wird uch ihre Horizontlkomponente S x zu Null. Wenn keine äußere Krft ngreift, ist uch die Stbkrft Null. : S 2y = 0. Dmit wird die y- Komponente der Stbkrft S 2 zu Null, dnn ist uch die x- Komponente von der Stbkrft S 2 Null. Die Stbkrft S nimmt die Krft uf. : S 3y = 0. Dmit wird die y- Komponente der Stbkrft S 3 zu Null, dnn ist uch die x- Komponente von der Stbkrft S 3 Null. Die Stbkrft S ist gleich der Stbkrft S 2. ei dieser Lösung betrchtet mn ds chwerk zuerst ls Gesmtsystem und löst mit den drei Gleichgewichtsbedingungen m Gesmtsystem die uflgerkräfte. eispiel - Sttisch bestimmtes chwerk nch dem. ildungsgesetz - estimmung der Lgerkräfte durch die Gleichgewichtsbedingungen m Gesmtsystem - estimmung der Stbkräfte durch den CREMONpln Ein chwerkträger wird durch drei Kräfte, 2 und 3 belstet (ild 6.). gegeben:,, 2, 3 gesucht: estimmung der Lger- und Stbkräfte Leseprobe-TM-I-Vorlesungsskript docx