Prof. Dr.-Ing. Dietmar Gross Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Ehlers Prof. Dr.-Ing. Peter Wriggers

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1 Springer-Lehrbuch

2 Prof.Dr.-Ing.DietmrGross studierte ngewndte Mechnik und promovierte n der Universität Rostock. Er hbilitierte n der Universität Stuttgrt und ist seit 976 Professor für Mechnik n der TU Drmstdt. Seine rbeitsgebiete sind unter nderen die estkörper- und Strukturmechnik sowie die ruchmechnik. Hierbei ist er uch mit der Modellierung mikromechnischer Prozesse befsst. Er ist Mitherusgeber mehrerer interntionler chzeitschriften sowie utor zhlreicher Lehrund chbücher. Prof.Dr.-Ing.WolfgngEhlers studierte uingenieurwesen n der Universität Hnnover, promovierte und hbilitierte n der Universität Essen und wr 99 bis 995 Professor für Mechnik n der TU Drmstdt. Seit 995 ist er Professor für Technische Mechnik n der Universität Stuttgrt. Seine rbeitsgebiete umfssen die Kontinuumsmechnik, die Mteriltheorie, die Experimentelle und die Numerische Mechnik. Dbei ist er insbesondere n der Modellierung mehrphsiger Mterilen bei nwendungen im ereich der Geomechnik und der iomechnik interessiert. Prof.Dr.-Ing.PeterWriggers studierte uingenieur- und Vermessungswesen, promovierte 980 n der Universität Hnnover und hbilitierte 986 im ch Mechnik. Er wr GstprofessornderUCerkeley,US,ProfessorfürMechnik n der TH Drmstdt und Direktor des Drmstädter Zentrums für Wissenschftliches Rechnen. Seit 998 ist er Professor für umechnik und Numerische Mechnik sowie Direktor des Zentrums für Computtionl Engineering Sciences n der Universität Hnnover. Er ist Mitherusgeber von interntionlen Journls und Editor-in- Chief der Zeitschrift Computtionl Mechnics.

3 DietmrGross WolfgngEhlers PeterWriggers ormeln und ufgben zur Technischen Mechnik Sttik 9. uflge Mit 5 bbildungen 3

4 Prof. Dr.-Ing. Dietmr Gross Institut für Mechnik Technische Universität Drmstdt Hochschulstrße 6489 Drmstdt Prof.Dr.-Ing.WolfgngEhlers Institut für Mechnik (uwesen) Universität Stuttgrt Pfffenwldring Stuttgrt Prof.Dr.-Ing.PeterWriggers Institut für umechnik und Numerische Mechnik Universität Hnnover ppelstrße Hnnover ISN eisn DOI 0.007/ Springer-Lehrbuch ISSN ibliogrfische Informtion der Deutschen Ntionlbibliothek Die Deutsche Ntionlbibliothek verzeichnet diese Publiktion in der Deutschen Ntionlbibliogrfie; detillierte bibliogrfische Dten sind im Internet über brufbr. 008, 006, 005, 003, 998, 996 Springer-Verlg erlin Heidelberg Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die ddurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nchdrucks, des Vortrgs, der Entnhme von bbildungen und Tbellen, der unksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung uf nderen Wegen und der Speicherung in Dtenverrbeitungsnlgen, bleiben, uch bei nur uszugsweiser Verwertung, vorbehlten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist uch im Einzelfll nur in den Grenzen der gesetzlichen estimmungen des Urheberrechtsgesetzes der undesrepublik Deutschlnd vom 9. September 965 in der jeweils geltenden ssung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhndlungen unterliegen den Strfbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergbe von Gebruchsnmen, Hndelsnmen, Wrenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt uch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der nnhme, dß solche Nmen im Sinne der Wrenzeichen- und Mrkenschutz-Gesetzgebung ls frei zu betrchten wären und dher von jedermnn benutzt werden dürften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt uf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.. DIN, VDI, VDE) ezug genommen oder us ihnen zitiert worden sein, so knn der Verlg keine Gewähr für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder ktulität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenflls für die eigenen rbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen ssung hinzuzuziehen. Stz: Digitle Druckvorlge der utoren Herstellung: le-tex publishing services ohg, Leipzig Umschlggestltung: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt uf säurefreiem Ppier springer.de

5 Vorwort Diese ufgbensmmlung soll dem Wunsch der Studenten nch Hilfsmitteln zur Erleichterung des Studiums und zur Vorbereitung uf die Prüfung Rechnung trgen. Entsprechend den meist üblichen dreisemestrigen Grundkursen in Technischer Mechnik n Universitäten und Hochschulen besteht die Smmlung us drei änden. Der erste nd (Sttik) umfsst ds Stoffgebiet des ersten Semesters. Dbei hben wir bei llen ufgben ds inden des Lösungswegs und die ufstellung der Grundgleichungen der numerischen usrechnung übergeordnet. uf grfische Verfhren hben wir weitestgehend verzichtet. Sie hben im Zeitlter moderner Computer keine prktische edeutung mehr. Erfhrungsgemäß bereitet die Technische Mechnik gerde dem nfänger oft große Schwierigkeiten. In diesem ch soll er exemplrisch lernen, ein technisches Problem uf ein mthemtisches Modell bzubilden, dieses mit mthemtischen Methoden zu nlysieren und ds Ergebnis in Hinblick uf die ingenieurwissenschftliche nwendung uszuwerten. Der Weg zu diesem Ziel knn erfhrungsgemäß nur über die selbständige erbeitung von ufgben führen. Wir wrnen deshlb dringend vor der Illusion, dss ein reines Nchlesen der Lösungen zum Verständnis der Mechnik führt. Sinnvoll wird diese Smmlung nur dnn genutzt, wenn der Studierende zunächst eine ufgbe llein zu lösen versucht und nur beim Scheitern uf den ngegebenen Lösungsweg schut. Selbstverständlich knn diese Smmlung kein Lehrbuch ersetzen. Wem die egründung einer ormel oder eines Verfhrens nicht geläufig ist, der muss uf sein Vorlesungsmnuskript oder uf die vielfältig ngebotene Litertur zurückgreifen. Eine kleine uswhl ist uf Seite IX ngegeben. Die ufgbensmmlung geht zu einem bedeutenden nteil uf unseren verstorbenen Kollegen Prof. Dr. Dr. h.c. Wlter Schnell zurück, der uch bis zur 5. uflge Mitutor wr. Seine didktische Hndschrift ist n der nun vorliegenden 9. uflge trotz der vollständigen Überrbeitung und der vielfältigen Ergänzungen immer noch deutlich zu erkennen. Wir dnken dem Springer-Verlg, in dem uch die teilweise von uns mitverfssten Lehrbücher zur Technischen Mechnik erschienen sind, für die gute Zusmmenrbeit und die nsprechende usstttung des uchs. uch dieser uflge wünschen wir eine freundliche ufnhme bei der interessierten Leserschft. Drmstdt, Hnnover und Stuttgrt, im ugust 008 D. Gross W. Ehlers P. Wriggers

6 Inhltsverzeichnis Literturhinweise, ezeichnungen... IX Gleichgewicht... Schwerpunkt Lgerrektionen chwerke lken, Rhmen, ogen Seile Der rbeitsbegriff in der Sttik Hftung und Reibung lächenträgheitsmomente... 5

7 Literturhinweise Lehrbücher Gross, D., Huger, W., Schröder, J., Wll, W. Technische Mechnik, nd : Sttik, 0. uflge. Springer-Verlg, erlin 008 Hgedorn, P., Technische Mechnik, nd : Sttik, 4. uflge. Hrri Deutsch, rnkfurt 006 lke, H., Einführung in die Technische Mechnik, Sttik, Springer- Verlg, erlin 005 ruhns, O. T., Lehmnn, Th., Elemente der Mechnik I, nd : Einführung, Sttik. Vieweg, runschweig 993 Gummert P., Reckling, K.-., Mechnik, 3. uflge. Vieweg, runschweig 994 Hibbeler, R.C., Technische Mechnik, Sttik, Person Studium 005 Mgnus, K., Müller, H. H., Grundlgen der Technischen Mechnik, 7. uflge. Teubner, Stuttgrt 005 Wriggers, P., Nckenhorst, U., et l., Technische Mechnik kompkt, Teubner, Stuttgrt 005 Merim, J. L., Krige, L. G. Engineering Mechnics, Volume, Sttics, 5 th Edition. Wiley, Chichester 00 ufgbensmmlungen ruhns, O. T., ufgbensmmlung Technische Mechnik I, nd : Sttik für uingenieure und Mschinenbuer. Vieweg, runschweig 996 Huger, W., Mnnl, V., Wll, W. ufgben zu Technische Mechnik -3. Springer-Verlg, erlin 006 Hgedorn, P., ufgbensmmlung Technische Mechnik,. uflge. Teubner, Stuttgrt 99 Dnkert, H, Dnkert, J., Technische Mechnik, 4. uflge. Teubner, Stuttgrt 006 IX ezeichnungen ei den Lösungen der ufgben wurden folgende Symbole verwendet: : bkürzung für Summe ller Kräfte in Pfeilrichtung gleich Null. : bkürzung für Summe ller Momente um den ezugspunkt (mit vorgegebener Drehrichtung) gleich Null. bkürzung für hierus folgt.

8 Kpitel Gleichgewicht

9 Gleichgewicht Zentrle Kräftegruppen in der Ebene Eine zentrle Kräftegruppe knn durch die Resultierende R = i y i ersetzt werden. Es herrscht Gleichgewicht, wenn i = 0 x oder in Komponenten ix =0, iy =0. y iy i α i Drin sind i = ix e x + iy e y, x ix ix = i cos α i, iy = i sin α i, i = i = ix + iy. ei der grfischen Lösung verlngt die Gleichgewichtsbedingung, dss ds Krfteck geschlossen ist. Lgepln Kräftepln = Krfteck f i i f Zentrle Kräftegruppen im Rum Gleichgewicht herrscht, wenn die Resultierende R = i verschwindet, d.h. wenn i = 0 oder in Komponenten ix =0, iy =0, iz =0.

10 Gleichgewicht 3 Drin sind z i = ix e x + iy e y + iz e z, ix = i cos α i, iz γ i i iy = i cos β i, iz = i cos γ i, x α i ix β i iy y cos α i +cos β i +cos γ i =, i = i = ix + iy + iz. llgemeine Kräftegruppen in der Ebene Die Kräftegruppe lässt sich ersetzen durch die Resultierende R = i und ein resultierendes Moment M () R um einen beliebig gewählten ezugspunkt. Es herrscht Gleichgewicht, wenn ix =0, iy =0, y x () M i =0. i nstelle der beiden Kräftegleichgewichtsbedingungen können zwei weitere Momentenbedingungen um ndere ezugspunkte (z.. und C) verwendet werden. Dbei dürfen, und C nicht uf einer Gerden liegen. Grfisch erhält mn die Resultierende mit Hilfe des Seilecks und des Krftecks. Seileck im Lgepln Krfteck s f s r f f 3 s 3 f 4 s 4 s5 3 R S S 3 S S 4 S 5 Pol Π 4

11 4 Gleichgewicht Die Seilstrhlen s i sind prllel zu den Polstrhlen S i im Krfteck. Die Wirkungslinie r der Resultierenden R (Größe und Richtung folgt us dem Krfteck) verläuft im Seileck durch den Schnittpunkt der äußeren Seilstrhlen s und s 5. Dmit Gleichgewicht herrscht, müssen Seileck und Krfteck geschlossen sein. llgemeine Kräftegruppen im Rum Es herrscht Gleichgewicht, wenn die Resultierende R = i und ds resultierende Moment M () R = r i i um einen beliebigen ezugspunkt verschwinden: i = 0, M () i = 0 oder in Komponenten ix =0, iy =0, iz =0, M () ix =0, M () iy =0, M () iz =0 mit M () ix = y i iz z i iy, M () iy = z i ix x i iz, M () iz = x i iy y i ix. Drin sind x i, y i und z i die Komponenten des Ortsvektors r i vom ezugspunkt zu einem beliebigen Punkt uf der Wirkungslinie der Krft i (z.. zum ngriffspunkt). nmerkung: Wie im ebenen ll können die Kräftegleichgewichtsbedingungen durch zusätzliche Momentengleichgewichtsbedingungen um geeignete chsen ersetzt werden.

12 Zentrle Kräftegruppen 5 ufgbe. Eine Kugel vom Gewicht G 00 hängt n einem Seil n einer gltten 00 Wnd. Ds Seil ist im Kugelmittelpunkt 00 befestigt. 00 Gesucht ist die Seilkrft. 00 r Gegeben: =60cm,r =0cm G Lösung ) nlytisch: Um lle uf die Kugel wirkenden Kräfte ngeben zu können, denken wir uns ds Seil geschnitten und die Kugel von der Wnd getrennt. n den Trennstellen führen wir die Seilkrft S und die Normlkrft N der Wnd uf die Kugel ls äußere Kräfte ein und erhlten so ds drgestellte reikörperbild. Die Gleichgewichtsbedingungen S luten mit dem Hilfswinkel α: N α : N S cos α =0, G : S sin α G =0.. Hierus folgen S = G sin α, N = S cos α = G cot α. us der Geometrie liest mn b: cos α = r = 0 60 = 3 Dmitergibtsich S = 3 8 G, 06 G. und sin α = α r ( ) = b) grfisch: Wir zeichnen ein geschlossenes Krfteck us der nch Größe und Richtung beknnten Krft G und den zwei Kräften S und N, deren Richtungen beknnt sind. m Dreieck liest mn b: S = G, N = G cot α. sin α G α N S

13 6 Gleichgewicht. ufgbe. Eine gltte Strßenwlze (Gewicht G, Rdius r) stößt n ein Hindernis der Höhe h. Welche Krft muss im Mittelpunkt ngreifen, um die Wlze über ds Hindernis zu ziehen? r 00 G h Lösung ) nlytisch: Ds reikörperbild zeigt die uf die Wlze wirkenden Kräfte. Dementsprechend luten die Gleichgewichtsbedingungen : N sin α =0, : N + N cos α G =0, wobei der Winkel α us der gegebenen Geometrie folgt: cos α = r h. r Die zwei Gleichgewichtsbedingungen enthlten noch drei Unbeknnte: N, N und. N h α r α G N r h Die Krft, welche die Wlze über ds Hindernis zieht, bewirkt ein bheben der Wlze vom oden. Dnn veschwindet die Normlkrft N : N =0 N = G cos α. Dmit folgt = N sin α = G tn α. b) grfisch: Wegen N = 0 knn ds Krfteck us dem gegebenen Gewicht G und den beknnten Richtungen von N und gezeichnet werden. m Dreieck liest mn b: N = G cos α, = G tn α. G α N

14 Zentrle Kräftegruppen 7 ufgbe.3 Eine große zylindrische Wlze (Gewicht 4G, Rdiusr) liegt uf zwei kleinen zylindrischen Wlzen (Gewicht jeweils G, Rdius r), die durch ein Seil S (Länge 3r) miteinnder 4G r verbunden sind. lle Wlzen seien r idel gltt. G S G Gesucht sind lle Rektionskräfte r.3 Lösung Im reikörperbild trennen wir die Körper und trgen die wirkenden Kräfte n. n jedem Körper (Teilsystem) gehen die Kräfte durch einen Punkt. Wegen der im reikörperbild berücksichtigten Symmetrie hben wir für die obere Wlze eine und für eine untere Wlze zwei Gleichgewichtsbedingungen für die drei unbeknnten Kräfte N, N und S: : N cos α 4G =0, : S N sin α =0, : N N cos α G =0. ür den Winkel α folgt us der gegebenen Geometrie sin α = 3r/ = α =30 3r 3 3 cos α =, tn α = 3. Dmit erhält mn N 4G α G N N S S N N N 3r 3r α 3r G N = G cos α = G, S =Gtn α = 3 3 G, N =G+G =3G. nmerkung: Die Rektionskrft N hätte uch us dem Gleichgewicht m Gesmtsystem ermittelt werden können: : N G 4G =0 N =3G.

15 8 Gleichgewicht.4 ufgbe.4 Ein gger wurde zu einem bbruchgerät umgerüstet. Mn bestimme die Kräfte in den Seilen, und 3 sowie im usleger infolge des Gewichtes G. Hinweis: Der usleger nimmt nur eine Krft in Längsrichtung uf (Pendelstütze) α 3 α α G Lösung Wir schneiden die Punkte und frei. Dnn liefern die Gleichgewichtsbedingungen für den Punkt : S cos α G =0, : S sin α S 3 =0, S = G cos α, S 3 = G tn α und den Punkt : (N ist die Krft im usleger) S 3 S α G : S sin α + N sin α S sin 3α =0, : S cos α + N cos α S cos 3α =0. lterntiv ergibt sich für den Punkt bei geschickterer Whl der Koordintenrichtungen : N S cos α S cos α =0, S α α N S : S sin α S sin α =0. us den = 4 Gleichgewichtsbedingungen erhält mn für die 4 Unbeknnten S, S, S 3, N zusmmenfssend die Ergebnisse S = S = G, S3 = G tn α, N =Scos α =G. cos α

16 Zentrle Kräftegruppen 9 ufgbe.5 Eine Hochspnnungsleitung wird über einen Isoltor durch drei Stäbe gehlten. Die Zugkrft Z in der durchhängenden Leitung m Isoltor beträgt 000 N. Wie groß sind die Kräfte in den 3 Stäben? 3 5 Z 5 Lösung Gleichgewicht m Isoltor liefert (ebenes Teilproblem): Z.5 : S Z sin 5 =0, S S =Z sin 5 = 57 N. Mit dem nun beknnten S folgen die 3 Stbkräfte us den 3 Gleichgewichtsbedingungen m Punkt : x =0: S sin α S sin α =0, y =0: S cos α + S cos α + S 3 cos β =0, z =0: S 3 sin β S =0. Z β S y α S S 3 z S x 5 Z Die dbei verwendeten Hilfswinkel α und β ergeben sich us der Geometrie: 3 x α z y l y l β sin α = 3 = 3 α =9, 5, tn β = l = 3 β =35, 3. Dmit erhält mn die Ergebnisse S 3 = S =, 73 S = 895 N, sin β cos β S = S = S 3 cosα = S = 0, 75 S = 388 N. tnβ cos α Hinweis: ufgrund der Symmetrie (Geometrie und elstung) gilt S = S.

17 0 Gleichgewicht.6 ufgbe.6 Der durch die Krft belstete Stb 3 wird in einer räumlichen Ecke durch zwei wgrechte Seile und gehlten. Gesucht sind die Stb- und die Seilkräfte Lösung Wir schneiden den Punkt frei und trgen lle Schnittkräfte n (Zugkrft positiv). Ein zweckmäßig gewähltes Koordintensystem, dessen Richtungen mit denen der Seile und sowie der Krft übereinstimmen, erleichtert die Rechenrbeit. Dmit luten die Gleichgewichtsbedingungen S S y x =0 : S + S 3x =0, x y =0 : S + S 3y =0, S 3 z =0 : S 3z + =0. z Die Komponenten von S 3 verhltensichzus 3 wie die nlogen geometrischen Längen (L =Länge von Stb 3): S 3x = 4 S 3 L, S 3y = 3 S 3 L, S 3z = 5 S 3 L oder S 3x : S 3y : S 3z = 4 : 3 : 5. Einsetzen in die Gleichgewichtsbedingungen liefert S 3z =, S = S 3y = 3 5 S 3z = 3 5, S = S 3x = 4 5 S3z = 4 5, S 3 = S 3z ( 4 5 ) + ( ) =. Hinweis: Ds Minuszeichen bei S 3 zeigt n, dss im Stb Druck herrscht.

18 Zentrle Kräftegruppen lterntive Lösungsvrinte: Wir können die ufgbe uch lösen, indem wir direkt von der Gleichgewichtsbedingung in Vektorform usgehen: S + S + S 3 + = 0. Jede Krft drücken wir nun durch ihren etrg und ihren Richtungsvektor (Einheitsvektor) us. Letzterer lutet zum eispiel für die Stbkrft S 3 : e 3 = = uf diese Weise folgt für die Kräfte 0 S = S e = S 0, S = S e = S, S 3 = S 3 e 3 = S 3 5 3, = e = 0, 5 und die Gleichgewichtsbedingung lutet somit S 0 + S + S = Hierus ergibt sich für die Komponenten S S 3 =0, S S 3 =0, 5 5 S3 + =0, worus die gesuchten Kräfte folgen: S 3 =, S = 3 5, S = 4 5.

19 Gleichgewicht.7 ufgbe.7 Eine gltte Kugel (Gewicht G) liegt uf drei Stützpunkten,, C uf und wird durch eine Krft belstet. Die Stützpunkte bilden in einer wgrechten Ebene die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks mit der Höhe 3 = R. Wie groß sind die Kontktkräfte in den Stützpunkten und bei welcher Krft hebt die Kugel vom Stützpunkt C b? C R G R/ Lösung Die Kontktkräfte, und C stehen senkrecht zur gltten Kugeloberfläche und bilden mit G und eine zentrle Kräftegruppe. Die Gleichgewichtsbedingung lutet dher in Vektorform y z x + + C + G + = 0. Wir wählen zweckmäßig ein Koordintensystem mit dem Ursprung im Kugelmittelpunkt und drücken jeden Krftvektor durch etrg und Richtungsvektor us. Letzteren bestimmen wir bei den Kontktkräften mit Hilfe der Koordinten der Stützpunkte. Zu diesem Zweck führen wir die Hilfslänge b ein, für die wir us der Geometrie blesen: b =3 tn 30 = 3 4 R. C C G 0 y 300 x 0 z , b b Dmit ergibt sich zum eispiel für den Richtungsvektor der Krft (ls Druckkrft ngenommen!) e = + b +(R/) ür folgt somit die Drstellung = e = 3 3, 4 b = (R/)

20 und nlog für die restlichen Kräfte = 3 3, C = C 3 0, 4 4 Zentrle Kräftegruppen 3 0 G = G 0, = 0. 0 Einsetzen in die Gleichgewichtsbedingung liefert die drei Gleichungen C = 4, 3 3 =0, + +C =4G. Hierus erhält mn die gesuchten Kontktkräfte: = = ( G + ), C = ( G 3 ). Wenn die Kugel vom Stützpunkt C bhebt, verschwindet dort die Kontktkrft: C =0. us dieser edingung ergibt sich für die notwendige Krft G 3 =0 = 3 G. nmerkung: Die für ein bheben bei C erforderliche Krft knn mn einfcher us der Momentengleichgewichtsbedingung um eine chse durch und bestimmen: M () =0 : G R =0. Hierus folgt = R G = 3 G. G R/

21 4 Gleichgewicht.8 ufgbe.8 n einem gleichschenkligen Dreieckskörper greifen die Kräfte, P und die Gewichtskrft G n. Die ngreifenden Kräfte sollen zunächst durch eine resultierende Krft und ein resultierendes Moment im Punkt ersetzt werden (Reduktion im Punkt ). Wie groß muss der etrg der Krft sein, dmit ds Moment um den Punkt verschwindet, der Körper lso nicht kippt? Gegeben: G =6 kn,p = kn, =m. G S /3 /3 P /3 Lösung Die Reduktion eines Kräftesystems uf eine Krft R und ein Moment M bezüglich eines beliebigen ezugspunkts wird uch ls Reduktion uf eine Dynme in bezeichnet. Wir lösen die ufgbe vektoriell und führen hierzu ein Koordintensystem mit dem Urprung in ein. Die resultierende Krft R ergibt sich durch ddition der Einzelkräfte: y G = G e y, = e x, P = R = G + + P =( + P (e x e y ), P ) e x (G + P ) e y. / Ds resultierende Moment M berechnet sich mit den Hebelrmen r G = 3 e x + 3 e y, der jeweiligen Kräfte bezüglich zu M = r G G + r + r P P = G 3 r = 3 e x + 3 e y, r P = e y P ez 3 ez e z. Mit den gegebenen Werten für G, P und knn der etrg der Krft so gewählt werden, dss ds Moment M verschwindet. us der! edingung M = 0 folgt: x G 3 3 P =0 = G 3 P =6kN 3kN=3kN. nmerkung: Ds resultierende Moment ht im -dimensionlen ll nur eine z-komponente. Diese lässt sich einfcher unmittelbr us der Summe der Einzelmomente bezüglich berechnen (positive Drehrichtung bechten!) ls durch uswertung des Kreuzprodukts: M z () = (/3)G (/3) ( /)P.

22 llgemeine Kräftegruppen 5 ufgbe.9 Ein homogener gltter Stb (Gewicht G, Länge 4) stützt sich bei n eine Ecke und bei n eine gltte Wnd. ür welchen Winkel φ ist der Stb im Gleichgewicht? G φ Lösung Wir zeichnen ds reikörperbild. us der edingung gltt folgen die Richtungen der unbeknnten Kräfte N und N ; sie stehen senkrecht zur jeweiligen erührungsebene. Dmit luten die Gleichgewichtsbedingungen: : N sin φ N =0, : N cos φ G =0, N G φ N : cos φ N cos φg=0. us ihnen lssen sich die 3 Unbeknnten N, N und φ ermitteln. Die gesuchte Lösung für φ erhält mn durch Einsetzen der. Gleichung in die 3. Gleichung: G cos φ cos φg=0 cos3 φ =. Einfcher findet mn ds Ergebnis mit Hilfe der ussge: Drei Kräfte sind nur dnn im Gleichgewicht, wenn ihre Wirkungslinien durch einen Punkt gehen. Dmit folgt us der Geometrie: cos φ = / cos φ cos φ, G N φ N cos 3 φ =.

23 6 Gleichgewicht.0 ufgbe.0 Ein gewichtsloser Stb der Länge l wird horizontl zwischen zwei gltte schiefe Ebenen gelegt. uf dem Stb liegt ein Klotz vom Gewicht G. In welchem bstnd x muss G liegen, dmit Gleichgewicht herrscht? Wie groß sind die Lgerkräfte? x l 00 0 G α 00 β 00 Lösung ) nlytisch: Wir zeichnen ds reikörperbild und stellen die Gleichgewichtsbedingungen uf: : cos α + cos β G =0, : sin α sin β =0, : xg lcos β =0. α x G β Drus folgen = G x = l sin β sin(α + β), = G sin α sin(α + β), sin α cos β sin(α + β) = l + (tn β/tn α). b) grfisch: Drei Kräfte sind nur dnn im Gleichgewicht, wenn sie durch einen Punkt gehen. Demnch folgt die Wirkungslinie g von G unmittelbr us dem Schnittpunkt der Wirkungslinien und b der Lgerkräfte und. us der Skizze knn bgelesen werden: } h tn α + h tn β = l h tn α = x l x = +tnβ/tn α. Die Lgerkräfte (z.. die Krft ) folgen us dem Krfteck (Sinusstz): sin β = G sin [π (α + β)], = G sin β sin(α + β) α β 00 h x α 00 g β b β G α

24 llgemeine Kräftegruppen 7 ufgbe. Eine homogene Kreisscheibe (Gewicht G, Rdius r) wird durch drei Stäbe gehlten und durch ein äußeres Moment M belstet. Mn bestimme die Kräfte in den Stäben. ei welchem Moment wird die Krft im Stb gerde Null? G r M Lösung Wir schneiden die Kreisscheibe frei und zeichnen in ds reikörperbild lle Kräfte ein. Dnn luten die Gleichgewichtsbedingungen : : S + S 3 S =0, S G =0, M G S S 3 45 : r S rs + M =0. S us ihnen erhält mn S = M r + G, S = G, S 3 = M r. Ds gesuchte Moment folgt durch Nullsetzen von S : S =0 M = rg. nmerkungen: nstelle des ezugspunktes ist es günstiger den ezugspunkt für die Momentengleichgewichtsbedingung zu verwenden, d dnn nur eine einzige Unbeknnte uftritt: : rg rs + M =0 S = M r + G. lle Stbkräfte sind Zugkräfte. Die Stbkrft S ist unbhängig von M. Dem Moment M wird durch die beiden Stbkräfte S und S 3 ds Gleichgewicht gehlten.

25 8 Gleichgewicht. ufgbe. Ein Wgen vom Gewicht G = 0 kn und beknnter 00 Schwerpunktslge S wird uf einer 00 schiefen, gltten Ebene (α = 30 ) 000 durch ein horizontl gespnntes Seil S 0000 gehlten. G 000 Gesucht sind die Rddruckkräfte. 000 α Lösung Wir schneiden ds Seil und trennen den Wgen von der Ebene. Dnn erhlten wir ds drgestellte reikörperbild. α ls Gleichgewichtsbedingungen C verwenden wir ds Kräftegleichgewicht in Richtung der schiefen Ebene α G und die zwei Momentenbedingungen um und um. ür letztere zerlegen wir zweckmäßig die Kräfte G und C in ihre Komponenten in Richtung und senkrecht zur schiefen Ebene. Dmit folgen : C cos α G sin α =0, : + G sin α G cos α C cos α 3C sin α =0, : + G sin α + G cos α C cos α C sin α =0. Hierus erhält mn C = G tn α = G 3 =5, 77 kn, = G (cos α sin α)+ C (cos α +3sinα) = 3 G =8, 66 kn, = G (sin α +cosα) C (cos α +sinα) = G =, 89 kn. 3 Zur Kontrolle können wir eine zusätzliche Gleichgewichtsussge verwenden: : + G cos α C sin α =0 G G G G 3 =0.

26 llgemeine Kräftegruppen 9 ufgbe.3 Der lkenzug (Rhmen) bis E ist bei drehbr gelgert und bei und C über ein Seil gehlten, ds reibungsfrei über zwei feststehende Rollen läuft. Wie groß ist die Seilkrft bei einer elstung durch die Krft? C E D 3/4.3 Lösung Wir schneiden ds System uf und berücksichtigen beim ntrgen der Kräfte, dss n den reibungsfreien Rollen die Seilkräfte n beiden Seiten gleich sind (die Rdien der Rollen gehen dher in die Lösung nicht ein!): H S V S α Dmit der lkenzug im Gleichgewicht ist, muss gelten: Mit : V + S + S sin α =0, : H + S cos α =0, 3 : S (S sin α) (S cos α) =0. 4 cos α = folgen = 3 5, sin α = 4 5 S = 8 9, H = 8 5, V = 3 5. Zur Probe bilden wir ds Momentengleichgewicht um C: C : V H + = =0. 5

27 0 Gleichgewicht.4 ufgbe.4 Zwei gltte Kugeln (Gewicht jeweils G, Rdius r) liegen in R Q einem dünnwndigen Kreisrohr (Gewicht Q, Rdius R), ds senkrecht uf G dem oden steht (r = 3 R). 4 α Wie groß muss Q sein, dmit ds Rohr r nicht kippt? G Lösung Wir trennen die Kugeln und ds Rohr und zeichnen die Kräfte für den ll ein, bei dem Kippen gerde eintritt. Dnn liegt ds Rohr nur noch im Punkt C uf, und dort wirkt die Einzelkrft N 5.(Wenn ds Rohr dgegen nicht kippt, so ist die Kontktkrft über den gesmten Rohrumfng verteilt.) N N G N Q N G N 4 C N 4 3 r sin α N 3 N 5 Die Gleichgewichtsbedingungen n den Kugeln und m Zylinder luten: : N sin α G =0, : N 3 N sin α G =0, : N N cos α =0, : N cos α N 4 =0, 3 : N 4 N =0, : N 5 Q =0, C : (r +rsin α)n rn 4 RQ=0. us ihnen folgt N = N 4 = G tn α, N = G sin α, N3 =G, Q = N 5 = 3 G cos α. Mit der geometrischen eziehung cos α =(R r)/r =/3 erhält mn drus für ds Gewicht, bei dem Kippen gerde eintritt Q Kippen = G/. Dmit ds Rohr nicht kippt, muss lso gelten: Q>Q Kippen = G/.

28 llgemeine Kräftegruppen ufgbe.5 Zwei gltte Wlzen (Gewicht G, Rdius r) sind durch ein dehnstrres Seil der Länge l miteinnder verbunden. Über einen Hebel (Länge l) greift eine Krft n. G G Wie groß sind die Kräfte zwischen Wlzen und oden? Lösung Wir schneiden die Wlzen und den Hebel frei: G S N D D S G N x H D O N 3 3 α D cos α n den 3 Teilsystemen stehen + 3 = 7 Gleichungen für die 7 Unbeknnten (D, D, N, N, N 3, H, S) zurverfügung: : S D sin α =0, : N G + D cos α =0, : D sin α S =0, : N G D cos α =0, 3 : H + D sin α D sin α =0, : N 3 D cos α + D cos α =0, O : l cos α ( cos α + x)d + xd =0. Der Winkel α folgt us der Geometrie: sin α = r /, cos α = 4(r/) / r r α 0000 / ddition der. und 3. Gleichung liefert D = D. Dmit folgt H =0, N 3 = und us der 7. Gleichung fällt der unbeknnte bstnd x herus. uflösen ergibt N = G l 4( r ), N = G + l 4( r ).

29 Gleichgewicht.6 ufgbe.6 Die Skizze zeigt in vereinfchter orm ds Prinzip einer Werkstoffprüfmschine. Wie groß ist bei einer elstung die Zugkrft Z in der Probe? b/ b/ b/3 000 b/6 Q b 000 b/4 b/4 Probe Lösung Wir trennen ds System, wobei wir berücksichtigen, dss die Kräfte n den Enden eines Stbes jeweils entgegen gesetzt gleich sind: 3 S S 3 S S S S 3 C 0 Z Q S = S, (Symmetrie bzw. Momentengleichgewicht) 3 : S + S = Z, : ( b b Q + b ) S b 6 6 S b S3 =0 S =3S3 3Q, C : b 3 S 3 b =0 S 3 =6. Dmit erhält mn Z = S + S =6S 3 6Q =36 6Q. nmerkungen: Durch die Whl geeigneter Momentenbezugspunkte treten die Lgerkräfte von und C in der Rechnung nicht uf. Die Lst Q dient bei der Prüfmschine ls Gegengewicht zu den hier vernchlässigten Eigengewichten der Hebel und Stngen. Durch den Hebelmechnismus wird die uf die Probe übertrgene Krft 36 ml so groß wie die ufgebrchte elstung.

30 llgemeine Kräftegruppen 3 ufgbe.7 Ein hydrulisch ngetriebener ggerrm soll so bemessen werden, dss er in der skizzierten LgenderSchneideeineReißkrft R usübt. Wie groß ist dnn die Krft P im Hydrulikzylinder Z? Wie groß muss der Hebelrm b des Zylinders Z sein, dmit dieser mit der gleichen Druckkrft wie der Zylinder Z betrieben werden knn? R Z b Z Lösung Wir trennen ds System und zeichen ds reikörperbild. Dbei setzen wir von vornherein gleiche Druckkräfte P in den Zylindern vorus. H D D N C P N P H V R V V Dnn luten die Gleichgewichtsbedingungen für die Schufel : R D =0 D =R, H P : H D =0 H =R, : R V =0 V = R und für den Punkt C : D P cos 45 =0 P = D = R, : P sin 45 N =0 N =R sowie ds Momentengleichgewicht für den ggerrm : 3V +N P cos 45 bp =0. uflösen liefert den gesuchten Hebelrm: b = 5 4. nmerkung: Die Lgerkräfte V und H können us dem Kräftegleichgewicht m ggerrm ermittelt werden.

31 4 Gleichgewicht.8 ufgbe.8 Eine rechteckige Pltte mit vernchlässigbrem Gewicht wird durch 3 Seile gehlten. ) n welcher Stelle muss eine Lst Q ngreifen, dmit lle drei Seile gleich bensprucht werden? b) Wie groß sind die Seilkräfte, wenn die Pltte durch eine konstnte lächenlst p belstet wird? 4 4 Lösung ) Wir führen ein Koordintensystem ein, bezeichnen den noch unbeknnten ngriffspunkt von Q mit x Q und y Q und setzen die 3 Seilkräfte von vornherein ls gleich vorus. Dnn luten die Gleichgewichtsbedingungen für die Gruppe prlleler Kräfte z =0 : 3S Q =0, S S y Q Q x Q S y x (0) M x =0 : S y Q Q =0, (0) M y =0 : 5 S S S + x Q Q =0. Hierus folgen S = Q 3, y Q = 4 3, x Q = 8 3. b) Die 3 Seilkräfte sind jetzt verschieden. Die lächenlst knn durch die Einzellst = 4 6 p = 4p im Schwerpunkt ersetzt werden. Dmit luten die Gleichgewichtsbedingungen nun: z =0 : S + S + S 3 4 p =0, S S S 3 p y (0) M x x =0 : 4 p 4 S 3 =0, (0) M y =0 : 3 4 p 5 S S S =0. Hierus erhält mn S 3 =p, S =3p, S =9p.

32 llgemeine Kräftegruppen 5 ufgbe.9 Ein rechteckiges Verkehrsschild vom Gewicht G ist n einer Wnd mit zwei Seilen in und befestigt. Es wird in C durch ein Gelenk und in D durch einen Stb senkrecht zur Ebene des Schildes gehlten. lle Mße in Meter (m).,6,6 D.9 Gesucht sind die Kräfte im Gelenk, in den Seilen und im Stb. C 4 Lösung Wir schneiden ds Schild frei und trgen im reikörperbild die Komponenten ller Kräfte ein. Dmit luten die 6 Gleichgewichtsbedingungen im Rum: x =0 : x x C x =0, y =0 : y + y + C y + D =0, z =0 : z + z + C z G =0, M (0) x =0 : C y =0, y x z x z G x C z y z D C x C y y (0) M y =0 : 4 z z +G +C x =0, (0) M z =0 : 4 y + y =0. Dies sind 6 Gleichungen für zunächst noch 0 Unbeknnte. Weitere = 4 Gleichungen folgen us der Komponentenzerlegung der Seilkräfte und (die Krftkomponenten verhlten sich zueinnder wie die entsprechenden Längen!): x = 4 y, 6, x = 4 z, x = y, 6, x = z. Die uflösung ergibt schließlich: x = x = G 3, C x = 3 G, y = 5 G, y = 4 5 G, C y =0, z = G 6, z = G 3, C z = G, D = 5 G.

33 6 Gleichgewicht.0 ufgbe.0 Eine rechtwinklige Dreieckspltte mit vernchlässigbrem Gewicht wird durch 6 Stäbe gehlten und durch die Kräfte und Q belstet. Mn bestimme die Kräfte in den Stäben. 3 Q Lösung Wir zeichnen ds reikörperbild und wählen ein Koordintensystem: y Q S 5 z S 4 S 6 α S S x 45 S 3 Dmit erhält mn die folgenden Gleichgewichtsbedingungen: x =0 : S + S 5 + =0, y =0 : S 6 cos α =0, z =0 : S S S 3 S 6 sin α S 4 S 5 Q =0, (0) M x =0 : S 4 S5 Q=0, (0) M y =0 : S 3 + Q =0, (0) M z =0 : S 5 =0. uflösen liefert die gesuchten Stbkräfte: S =, S =, S 3 = Q, S 4 = ( Q), S 5 =, S 6 =0.

34 llgemeine Kräftegruppen 7 ufgbe. n der Plttform eines ernsehturms greifen infolge der ufbuten und der Windlsten die in der bbildung drgestellten Kräfte n. Ds ngreifende Kräftesystem soll zunächst durch eine resultierende Krft und ein resultierendes Moment im Lgerpunkt der Plttform ersetzt werden. Dnch ist ds Moment m ußpunkt des Turms mit Hilfe des Verstzmoments zu ermitteln. Gegeben: α =45. q w P r e x e z α P P e y h. Lösung Um die resultierende Krft und ds resultierende Moment bezüglich des Punkts zu berechnen, werden zunächst die einzelnen Kräfte und die zugehörigen Hebelrme benötigt. ür die vertiklen Einzelkräfte, und 3 folgt mit dem ngegebenen sissystems: Kräfte: = P e z, = P e z, 3 = P e z, Hebelrme: r = r e y, r = r e x, r 3 = r (ex + e y ). D die Windbelstung q w n jeder Stelle in rdiler Richtung wirkt, übt sie kein Moment bezüglich des Punktes us. ür die resultierende Windkrft folgt dmit π w = rq w ( e x + e y ), r w = 0. Die Gesmtresultierende ergibt sich dnn zu π R = w = rq w ( e x + e y ) 4 P e z, und für ds resultierende Moment bezüglich erhält mn 3 M () = r i i = Pr( ) e x + Pr( ) e y. i= Um nschließend ds Moment bezüglich zu ermitteln, muss zu M () ds Verstzmoment M V = r R ddiert werden. Dieses berechnet sich mit dem Hebelrm r = h e z zu M V = r R = π rq w h ( e x e y ). Dmit knn ds Moment im ußpunkt des Msts ngegeben werden: M () = M () + M V.

35 Kpitel Schwerpunkt

36 30 Schwerpunkt Volumenschwerpunkt ür einen Körper mit dem Volumen V ermittelt mn die Koordinten des Schwerpunktes S (Volumenmittelpunkt) us x S = x dv dv, z S y S = z S = y dv dv, z dv dv. z S x S x y S y lächenschwerpunkt x S = y S = x d d, y d d. Hierbei ist x d = S y bzw. y d = S x ds sttische Moment der läche (=lächenmoment. Ordnung) um die y- bzw.umdiex-chse. ür zusmmengesetzte lächen, bei denen die Lge (x i,y i) der Teilschwerpunkte S i beknnt ist, gilt x S = xi i i, y y S y y i S x S S i i x y S = yi i i. x i x nmerkungen: ei lächen (Körpern) mit usschnitten ist es oft zweckmäßig, mit negtiven lächen (Volumin) zu rbeiten. Sind Symmetrien vorhnden, dnn liegt der Schwerpunkt uf den Symmetriechsen.

37 Schwerpunkt 3 Linienschwerpunkt x S = x ds ds, y y S = y ds ds. y S S esteht eine Linie us Teilstücken beknnter Länge l i mit beknnten Schwerpunktskoordinten x i, y i, so folgt die Lge des Schwerpunktes us y x S l i x x S = xi l i li, y i S i y S = yi l i li. x i x Mssenmittelpunkt Die Koordinten des Mssenmittelpunkts eines Körpers mit der Dichteverteilung ρ(x, y, z) erhält mn us x S = xρdv yρdv zρdv, y S =, z S =. ρ dv ρ dv ρ dv esteht ein Körper us Teilkörpern V i der Dichte ρ i mit beknnten Schwerpunktskoordinten x i, y i und z i, so gilt x S = xi ρ i V i yi ρ i V i zi ρ, y S = i V, z S = i. ρi V i ρi V i ρi V i nmerkung: eim homogenen Körper (ρ = const) fllen Volumenschwerpunkt und Mssenmittelpunkt zusmmen.

38 3 Schwerpunktskoordinten Tbelle von Schwerpunktskoordinten lächen Dreieck y h x y x,y x 3,y 3 x S = 3 x S = 3 (x + x + x 3 ) x,y y S = h y 3 S = (y 3 + y + y 3 ) = h = x x y y x 3 x y 3 y Hlbkreis Viertelkreis qudr. Prbel Viertelellipse y y y y r x r r x x S =0 = 4 3π r =0 = 4 3π y S = 4 3π r = 4 3π r = 3 5 h = 4 3π b = π r = π 4 r = 4 3 bh = π 4 b h b x b x x Körper Kegel y r h x Hlbkugel r y x y Linie Kreisbogen α α r x S =0 x S =0 x S = sin α α y S = h 4 y S = 3 r 8 y S =0 r x V = 3 πr h V = 3 πr3 l =αr

39 lächenschwerpunkt 33 ufgbe. Die drgestellte läche wird nch oben durch eine qudrtische Prbel mit dem Scheitel bei x = 0 begrenzt. Mn ermittle die Schwerpunktskoordinten. y 3 b x. Lösung Wir stellen zunächst die Gleichung der Prbel uf: y = αx + β. Die Konstnten α und β folgen us den Endpunkten x 0 =0,y 0 = / und x = b, y =3/ zuβ = /, α = /b. Dmit wird ( x ) y = + b. Mit dem lächenelement d = y dx folgt: x d xydx y x S = = d y dx = b 0 b 0 [ ( x x b [ ( x b ) + ) + ] dx ] dx = b 3 = 5 6 b 5 b. d x dx Wenn wir zur Ermittlung von y S die lächenelemente (b x)dy verwenden, so treten komplizierte Integrle uf. Wir bleiben dher beim y y dy d = (b x)dy d = y dx y/ x x x lächenelement d = y dx und müssen nur berücksichtigen, dss sein Schwerpunkt in y-richtung bei y/ liegt. Dnn gilt (die läche im Nenner ist dieselbe wie vorher): y S = y y dx 6 = 5 6 b 0 b b 0 ) ( x 4 b + 4 b x + dx =

40 34 Schwerpunkt. ufgbe. Gesucht ist die Lge des Schwerpunktes eines Kreisusschnittes vom Öffnungswinkel α. y r α x Lösung Wegen der Symmetrie liegt der Schwerpunkt uf der x-chse: y S = 0. Zur Ermittlung von x S wählen wir ls lächenelement einen infinitesimlen Kreisusschnitt (= Dreieck) und integrieren über den Winkel θ. Dnn folgt ( ) α α 3 r cos θ rrdθ r 3 sinα x S = α = α rrdθ 3 r α 3 r d = rrdθ dθ θ = 3 sin α α r. S Im Grenzfll α = π/ folgt die Schwerpunktslge des Hlbkreises zu x S = 4 3π r. Mn knn den Schwerpunkt uch durch ufteilung der läche in Kreisringelemente und Integrtionen über x ermitteln. Dnn S muß ber vorher die Schwerpunktlge S eines solchen Ringelementes beknnt sein oder erst berechnet werden. Die Schwerpunktskoordinte x S eines Kreisbschnittes findet mn mit obigem Ergebnis durch Differenzbildung: r S s I S I II S II x S x SI x SII x S = x S I I x SII II I II = sinα 3 α rr α srcos α 3 r cos α r α = s 3 srcos α.

41 lächenschwerpunkt 35 ufgbe.3 ür die drgestellten Profile ermittle mn die Lge der Schwerpunkte (Mße in mm). ) b) Lösung ) Wir wählen ds Koordintensystem so, dss die Symmetriechse mit der y-chse zusmmenfällt. Dnn gilt x S = 0, und es muss nur noch y S berechnet werden. Hierzu zerlegen wir ds Profil in Rechtecke, deren einzelne Schwerpunktslgen beknnt sind. Dmit folgt y S = yi i i y = (4 45) + 4(5 0) + 8 (8 5) = =, 8mm. x b) Wir legen ds Koordintensystem in die linke untere Ecke und finden durch Zerlegung in Teilrechtecke, 5(4 45) +, 5(5 0) + 7, 5(8 5) x S = = =3mm, y (4 45) + 4 (5 0) + 8 (8 5) y S = 400 =, 8mm. x nmerkung: eim Verschieben der lächen in x-richtung bleibt y S unverändert.

42 36 lächenschwerpunkt.4 ufgbe.4 Gesucht ist die Lge des Schwerpunktes der drgestellten läche mit einem Rechteckusschnitt (Mße in cm). y 3 4 x Lösung Wir teilen die läche in Dreiecke sowie ein großes Rechteck und ziehen den kleinen Rechteckusschnitt b. ür diese sind die Größe der lächen und ihre Schwerpunktslgen beknnt. IV I II III Die rechnerische Lösung erfolgt zweckmäßig mit Hilfe einer Tbelle. Teil- i x i x i i y i y i i system i [cm ] [cm] [cm 3] [cm] [cm 3 ] I 0 II 4 III 4 IV = i =6 xi i =98 Dmit findet mn xi i x S = = 98 6 = 49 3 cm, y yi i S = = 70/3 6 yi i = 70 3 = cm.

43 Linienschwerpunkt 37 ufgbe.5 Ein Drht konstnter Dicke wurde zu nebenstehender igur verformt (lle Längen in mm). Wo liegt der Schwerpunkt? Lösung Wegen der Symmetrie der igur liegt der Schwerpunkt uf der Symmetrielinie, die wir ls y-chse wählen, d.h. es gilt x S =0.Ddie Schwerpunktslgen y i der Teilstücke der Länge l i beknnt sind, folgt die Lge y S des Gesmtschwerpunkts us yi l i y S =. li Wir wollen die ufgbe mit drei verschiedenen Unterteilungen lösen. Dbei gilt l = l i = = 60 mm.. Möglichkeit: y S = 60 = (80 }{{ 40 } + } 40 {{ 80 } ) I II =36, 9 mm. II III I y II III x. Möglichkeit: y S = ( }{{} } 40 {{ 30 } ) I III = 3, 08 mm. II III I y III 40 x 3. Möglichkeit: Wir wählen ein spezielles Teilstück IV so, dß sein Schwerpunkt in den Koordintenursprung fällt: y S = 60 [ ] ( 40) 0 = 3, 08 mm. }{{} V IV V 0 y 40 x V 0 Die 3.Vrinte ht den Vorteil, dss nur ds sttische Moment eines Teilstücks V berücksichtigt werden muss.

44 38 Ermittlung.6 ufgbe.6 Ein dünner Drht wurde in orm einer Hyperbelfunktion gebogen. Wo liegt der Schwerpunkt? y S x y = cosh x Lösung us Symmetriegründen liegt der Schwerpunkt uf der y-chse. Mit der bleitung y =sinh x wird ds Element der ogenlänge ds = (dx) +(dy) = +(y ) dx = + sinh x dx = cosh x dx. Integrtion ergibt die ogenlänge + s = ds = cosh x dx =sinh. Ds sttische Moment um die x-chse findet mn zu S x = y ds = cosh x dx = + +cosh x Dmit erhält mn die Schwerpunktkoordinte y ds y S = = + sinh =, 97. ds sinh dx = (+ sinh )..7 ufgbe.7 us einem dreieckigen lech C, dsin drehbr ufgehängt ist, wird ein Dreieck CDE herusgeschnitten. Wie groß muss x sein, dmit sich C horizontl einstellt? x II E D I 3 C 3 Lösung Ds Dreieck hängt in der geforderten Lge, wenn sich der Schwerpunkt unter dem Lger befindet. Ds bedeutet, dss ds sttische Moment des Dreiecks DC bezüglich der Drehchse durch gleich sein muss dem des Dreiecks E: ( ) 3 3 x }{{} läche DC 3 3 = 3 }{{} }{{} bstnd läche E }{{} 3 bstnd x =

45 ufgbe.8 Ein Kreisring vom Gewicht G wird n drei ederwgen ufgehängt, die in gleichen bständen m Umfng ngebrcht sind. Sie zeigen folgende Kräfte n: =0, 334 G, =0, 33 G, 3 =0, 335 G. n welcher Stelle des Umfngs muss welches Zustzgewicht ngebrcht werden, dmit sich der Schwerpunkt in der Mitte befindet (= sttisches uswuchten)? des Schwerpunktes Lösung us den unterschiedlichen nzeigen der ederwgen erkennt mn, dss ds Gewicht ungleichmäßig über den Ring verteilt ist. Der Schwerpunkt S (=Ort der resultierenden Gewichtskrft) liegt dher nicht in der Mitte des Ringes, sondern fällt mit dem Kräftemittelpunkt (=Ort der resultierenden ederkräfte) zusmmen. Wir ermitteln dher zunächst seine Lge. Sie folgt mit i = G us dem Momentengleichgewicht um die x- und um die y-chse: y 3 30 x y S G = r sin 30 (0, 334 G +0, 33 G) r 0, 335 G, y S = 0, 005 r, x S G = r cos 30 (0, 33 G 0, 334 G), x S = 0, 006 r. Dmit der Schwerpunkt des Ringes mit Zustzgewicht Z in der Mitte M liegt, muss Z m Umfng uf der Gerden ngebrcht werden, die durch M und S geht. Seine Größe folgt us dem Momentengleichgewicht um die hierzu senkrechte chse I: rz = SM G rz = x S + y S G I y M S Z x I Z = (0, 005) +(0, 006) G =0, 0036 G.

46 40 Ermittlung.9 ufgbe.9 Ein dünnes lech konstnter Dicke, bestehend us einem Qudrt und zwei Dreiecken, wurde zu nebenstehender igur gebogen (Mße in cm). Wo liegt der Schwerpunkt? 3 x III 4 I z II 4 3 y Lösung Der Körper besteht us Teilen, deren einzelne Schwerpunktslgen beknnt sind. Die Lge des Gesmtschwerpunktes (Mssenmittelpunkt) errechnet sich dmit forml us x S = ρi x i V i ρiv i, y S = ρi y i V i ρiv i, z S = ρi z i V i ρiv i. D ds lech konstnte Dichte und Dicke ht, heben sich diese sich us der Rechnung herus, und wir können unmittelbr mit den lächen rbeiten: x S = xi i i, y S = Die Gesmtfläche beträgt yi i zi V, z S = i. i i = i = =8cm. ei den sttischen Momenten der Teilflächen fällt jeweils die Teilfläche herus, deren Schwerpunkt den bstnd Null ht: x II =0,y III =0, z I = 0. Dmit ergibt sich x S = x I I + x III III 6 + ( = 3 4) 6 =, 7 cm, 8 y S = y I I + y II II = =, 57 cm, z S = z II II + z III III ( = 3 3) 6 + ( 3 3) 6 =0, 43 cm. 8

47 des Schwerpunktes 4 ufgbe.0 Ein hlbkreisförmiger t Trnsportkübel wurde us Sthlblech b (Wnddicke t, Dichteϱ S ) gefertigt. ) In welchem bstnd vom oberen Rnd müssen die Lgerzpfen ngebrcht werden, dmit sich der leere r Kübel leicht kippen lässt? b) Ws ergibt die gleiche orderung für den mit Mteril der Dichte ϱ M vollgefüllten Kübel? Mn vergleiche die Ergebnisse speziell für b = r, t = r/00, ϱ M = ϱ S /3..0 Lösung Der Kübel lässt sich m leichtesten kippen, wenn die Lgerzpfen uf einer chse durch den Mssenmittelpunkt liegen. ) eim leeren Kübel (= homogener Köper) fllen Mssenmittelpunkt und Volumenmittelpunkt zusmmen. ußerdem hebt sich die konstnte Wnddicke herus. Mit den Schwerpunktsbständen für die Hlbkreisfläche und für den Hlbkreisbogen erhält mn dher z SL = z + z + = z = 4 r 3 π z = r π 4r 3π πr + r π πrb πr + πrb z S = 4 r +6b 3 π(r + b) r. z b) eim gefüllten Kübel folgt mit der Kübelmsse m S = π ( r + rb ) tϱ S und der Msse des üllmterils m M = πr bϱ M der gesuchte bstnd zum Mssenmittelpunkt us z SV = z SL m S + 4r 3π m M m S + m M = 4(r +3b) tϱ S +4rb ϱ M 3π [ (r + b) tϱ S + rbϱ M ] r. Mit den gegebenen bmessungsverhältnissen findet mn z SL = π r =0, 53 r, z S V = ( 3 3π ) r =0, 44 r. 3 nmerkung: D die Mterilmsse wesentlich größer ist ls die Kübelmsse, liegt der gemeinsme Mssenmittelpunkt nur unwesentlich unter dem des üllgutes: z S =4r/(3π) =0, 44 r.

48 Kpitel 3 Lgerrektionen 3

49 44 Lgerrektionen Ebene Trgwerke In der Ebene gibt es 3 Gleichgewichtsbedingungen. Dementsprechend treten bei einem sttisch bestimmt gelgerten Körper in der Ebene nur 3 unbeknnte Lgerrektionen uf. Mn unterscheidet folgende Lger: Nme Symbol Lgerrektionen verschiebliches uflger V festes uflger H V Einspnnung M E H V echte: m freien Rnd treten keine Krft und kein Moment uf. Zwischen Körpern können folgende Verbindungselemente uftreten: Nme Momentengelenk Symbol übertrgbre Schnittgrößen N Q Q Querkrftgelenk N M M Normlkrftgelenk Pendelstütze Q M N Q Sind f = nzhl der reiheitsgrde, r = nzhl der Lgerrektionen, v = nzhl der übertrgenen Schnittgrößen (Verbindungsrektionen) und n = nzhl der Körper, so gilt Merke: f =3n (r + v). > 0: f-fch verschieblich, f = = 0 : sttisch bestimmt (notwendige edingung), < 0: f-fch sttisch unbestimmt.

50 Räumliche Trgwerke Lgerrektionen 45 Im Rum gibt es 6 Gleichgewichtsbedingungen. Dementsprechend treten bei einem sttisch bestimmt gelgerten Körper im Rum nur 6 unbeknnte Lgerrektionen uf. Mn unterscheidet folgende Lger: x Nme Symbol Lgerrektionen y z verschiebliches uflger z festes uflger xy z Einspnnung x y z M x M y M z Zwischen Körpern können folgende Verbindungselemente uftreten: x übertrgbre Nme Symbol y Schnittgrößen z Momentengelenk Q z Q y N x iegemomentengelenk Q y Q z N x Mx Schrnier Q z Q y N x M z Mx Sind f = nzhl der reiheitsgrde, r = nzhl der Lgerrektionen, v = nzhl der übertrgenen Schnittgrößen (Verbindungsrektionen) und n = nzhl der Körper, so gilt f =6n (r + v). Merke: f = > 0: f-fch verschieblich, = 0 : sttisch bestimmt (notwendige edingung), < 0: f-fch sttisch unbestimmt.

51 46 Lgerrektionen 3. ufgbe 3. ür die nchfolgenden Trgwerke soll deren sttische estimmtheit und ruchbrkeit (kinemtische estimmtheit) ermittelt werden. Dbei ist zu bechten, dss die ruchbrkeit unbhängig von der sttischen estimmtheit ist. ür die Trgwerke, bei denen ds bzählkriterium eine Verschieblichkeit (f >0) ergibt, ist eine ruchbrkeit des Systems von vornherein uszuschließen, bei den sttisch bestimmten und unbestimmten Trgwerken muss diese jedoch seprt untersucht werden. ) Lösung Mit n = 3 (lken, Rhmen), r =4 Lgerrektionen und v = +3 = 7 ( Gelenke, 3 Stäbe) wird f =3 3 (4 + 7) =. b b b Ds System ist dnch sttisch unbestimmt. Dss es uch kinemtisch unbestimmt ist erkennt mn, wenn mn den lken zwischen den beiden Gelenken zusmmen mit dem Unterzug us den 3 Stäben ls einen einzigen (in sich unbeweglichen) Körper nsieht. Dnn erhält mn mit n =3,r = 4 und v = ds Ergebnis f =. Ds Trgwerk besitzt somit einen kinemtischen reiheitsgrd und ist dmit beweglich, d.h. nicht bruchbr. b) Lösung Mit n = 3 (lken, Rhmen), r =3 Lgerrektionen und v = 6 (3 Gelenke) folgt b f =3 3 (3 + 6) = 0. Dieses Trgwerk ist sttisch bestimmt und bruchbr. uf den unverschieblichen schrägen lken uf zwei Stützen ist ein Dreigelenkrhmen ufgesetzt, der sich ebenflls nicht bewegen lässt. c) Lösung Ds System besteht us n =3lken/Rhmen, besitzt r = 4 Lgerrektionen und v = 4 Verbindungsrektionen ( Gelenke). Dmit wird b f =3 3 (4 + 4) =. b b Ds Trgwerk ist dnch einfch verschieblich und dementsprechend unbruchbr.

52 Sttische estimmtheit 47 d) Lösung Mit n = Rhmenteilen, r =3Lgerrektionen und v = 4 Verbindungsrektionen ( Gelenke) gilt f =3 (3 + 4) =. Die beiden Winkel des einfch sttisch unbestimmten Trgwerks sind unbeweglich miteinnder verbunden, so dß ds Trgwerk ls ein einziger strrer Körper ngesehen werden knn. Dieser Körper ist durch die beiden Lger sttisch bestimmt gelgert. D die sttische Unbestimmtheit durch die Verbindung der beiden Winkel entsteht und eine äußerlich sttisch bestimmte Lgerung vorliegt, werden solche Trgwerke uch ls innerlich sttisch unbestimmt bezeichnet. e) Lösung Mit n =9,r = 7 und v =0(bechte: jeder zusätzlich m Gelenk ngeschlossene lken liefert zusätzliche Verbindungsrektionen) gilt f =3 9 (7 + 0) = 0. b Dieses Trgwerk ist sttisch bestimmt und bruchbr. Der vertikle rechte untere lken ist durch seine Lgerung (unten zweiwertig, oben einwertig) fest gehlten. n diesen lken schließen sich nch links zwei unbewegliche Dreigelenkrhmen n. n diesem bruchbren Trgsystem werden oben (von links kommend) zwei weitere Dreigelenkrhmen ngebrcht. f) Lösung Es gilt b f =3 0 (4 + 6) = 0. Dieses Trgwerk ist zwr sttisch bestimmt llerdings nicht bruchbr. Hier liegt eine infinitessimle Verschieblichkeit vor. ufgrund der geometrischen nordnung liegen die uflger und ds Gelenk, ds die beiden b b sttisch bestimmten Teiltrgwerke verbindet, uf einer Gerden. Ddurch entsteht eine sehr weiche und unbruchbre Konstruktion.

53 48 Lgerrektionen 3. ufgbe 3. ür den drgestellten lken ermittle mn die Lgerrektionen. α q 3 M Gegeben: =4kN, =kn, 3 = 3kN, M = 4kNm, q = 5kN/m, =m,α =45. Lösung Der lken ist sttisch und kinemtisch bestimmt gelgert. reimchen von den Lgern liefert ds folgende reikörperbild: q 3 M V H Dmit können drei Gleichgewichtsbedingungen m lken ufgestellt werden: : 3V M (q ) sin α =0, : sin α + 3 (q )+ 3 M =0, : cos α H =0. Hierus folgt mit den gegebenen Zhlenwerten V = 5+ =6, 30 kn, = =7, kn, 3 H = =, 4 kn. Zur Probe verwenden wir die Kräftegleichgewichtsbedingung in vertikler Richtung: : + V sin α q 3 =0, 6, , 4 0, 7 5 3=0. nmerkung: D die Lgerkräfte nur uf Stellen hinter dem Komm ngegeben werden, liegt der ehler bei der Probe in der. Stelle.

54 Lgerrektionen 49 ufgbe 3.3 Es sind die Lgerrektionen für die in ) und b) drgestellten Systeme zu bestimmen. ) b) c C b Lösung Wir skizzieren ds jeweilige reikörperbild und bestimmen us den Gleichgewichtsbedingungen die Lgerrektionen. Zur Probe setzen wir die Ergebnisse in eine vierte Gleichgewichtsbedingung ein, die dnn identisch erfüllt sein muss. ) : c =0 = c, : V c =0 V = c, H : H + =0 H =. Probe: C : ( + b) V b c =0 V (c + b c) b c c =0. b) I : + 3 =0 =, : S cos 45 =0 S = I, S S : S S sin 45 =0 S =. Probe: : S + S cos 45 +S sin 45 + =0 + =0.

55 50 Ermittlung 3.4 ufgbe 3.4 ür die nebenstehende Konstruktion ermittle mn die Lgerrektionen. Dbei soll die Reibung m Rollenlger sowie zwischen Seil und Rolle vernchlässigt werden R R C R D R 3R Lösung Wir überprüfen zunächst die notwendige edingung für sttische estimmtheit. In der gegebenen ufgbe sind r = 4 (je Lgerrektionen bei und ) n = 3 (3 strre Körper) v = 5 (Verbindungsgelenk, Rollenlger, Seil ) Dmit führt die bzählbedingung uf f =3 }{{} 3 (4 + 5) =0. }{{}}{{} 3 n r v Dementsprechend ist ds System der drei Körper sttisch bestimmt. Wir trennen ds System und erhlten die folgenden reikörperbilder: S C x x C x D x C y y C y D y x y y x S D x D y Dnn liefern die Gleichgewichtsbedingungen für die Rolle 3 D : RS = R S =, 3 : D y =, : D x =,

56 der Lgerrektionen 5 für den Hebel : RCx RC y 3RS =0, : y = C y, x = C x S und für den Hebel (unter Verwendung der Ergebnisse für die Rolle) D : 5R y 3RC y =0, : y + C y =0, : x + C x =0. us den letzten 6 Gleichungen folgt für die noch 6 Unbeknnten (4 Lgerrektionen, Verbindungsrektionen m Gelenk C) y = 3, C y = y = 5, C x =4, x = 3, x =3. Die Lgerrektionen in horizontler Richtung lssen sich uch us dem Gleichgewicht m Gesmtsystem ermitteln: x y x y : 6R +Rx =0 x = 3, : x + x =0 x =3. Zur Ermittlung der restlichen Lgerrektionen y, y muss ds System in jedem ll geschnitten werden!