4 Der Kreisring unter rotationssymmetrischer Belastung
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- Margarethe Brandt
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1 4 Der Kreisring unter rottionssymmetrischer Belstung 4.1 Allgemeines K C HE C, HK? HE C 4 E C JH C A H >? Bild 4.1-1: Beispiele für Kreisringe ls Konstruktionselemente rottionssymmetrischer Flächentrgwerke Der Kreisring ist ein häufig verwendetes Konstruktionselement bei zusmmengesetzten, rottionssymmetrischen Flächentrgwerken. In Bild werden drei Beispiele gezeigt. 4 ) Bild 4.1-: Rottionssymmetrische Grundlstfälle m Kreisring
2 18 4 Der Kreisring unter rottionssymmetrischer Belstung Der drgestellte Kreisringträger uf Einzelstützen (c) wird hier nicht behndelt, d er nicht usschließlich rottionssymmetrisch bensprucht ist. Zunächst werden nur die beiden Lstfälle nch Bild 4.1- untersucht, wobei R S und M S uf die Ringchse bezogen sind. Die Querschnittsform ist beliebig. S stellt den Schwerpunkt, A die Fläche des Ringquerschnitts dr. 4. Lstfll Rdilkrft R S Die Rdilkrft R S const. wirkt in der Ringebene und knn deshlb nur die Schnittgrößen N und M z wecken, d Q y us Symmetriegründen verschwindet. Die Normlkrft N ergibt sich nch Bild 4.-1 us der Gleichgewichtsbedingung ΣH oder ΣV m Viertelkreis. 4 Bild 4.-1: Viertelkreis mit Rdilkrft R S und resultierenden Schnittgrößen N und M z Drus erhält mn ΣH N + π/ RS cos ϑ dϑ π/ N R S sinϑ R S, (4..1) ein Ergebnis, ds ls Gleichung (..3) bereits n der schmlen Kreisringscheibe hergeleitet wurde. Aus der Beziehung ergibt sich die Rdilverformung Δ U π ε π N EA πδr
3 4.3 Lstfll Krempelmoment M S 19 N R S Δ r, (4..) EA EA die der Gleichung (..33) entspricht. Die elstische Vergrößerung des Rdius ht die Krümmungsänderung 1 1 Δr Δr R S κ + Δr ( + Δr) EA zur Folge, die ds Biegemoment Iz M z EIz κ R S (4..3) A erzeugt. M z knn in der Regel vernchlässigt werden. Für einen Rechteckquerschnitt mit der Höhe h gilt beispielsweise 3 Iz hb b Iz Ab und Wz. A 1 bh 1 b / 6 Dmit ergeben sich die Umfngsspnnungen n der Innen- und Außenseite des Ringes zu N M σ z N b 6 N b i, m ± R S 1 ±. A Wz A 1 Ab A Für ds Verhältnis b/ 1/1 beträgt beispielsweise die Abweichung von der Spnnung im Schwerpunkt ± %. 4.3 Lstfll Krempelmoment M S Bild 4.3-1: Viertelkreis mit Krempelmoment M S und resultierender Schnittgröße M y
4 16 4 Der Kreisring unter rottionssymmetrischer Belstung Ds Krempelmoment M S const. will den Ring us seiner Ebene herus verformen. Es stellt lso die Belstung eines ebenen Systems senkrecht zu seiner Ebene dr und erzeugt ls einzige Schnittgröße ds Biegemoment M y. Die Querkrft Q z und ds Torsionsmoment M x sind nämlich us Symmetriegründen gleich Null. Am Viertelkreis (siehe Bild 4.3-1) lutet ds Momentengleichgewicht um eine horizontle Achse Drus erhält mn ΣM H π/ M y + MS sin ϑ dϑ π/ M y MS cosϑ MS. (4.3.1) Zur Berechnung der Verdrehung ϕ des Ringes um seine Achse wird wie bei der Herleitung von Gleichung (3..) vorgegngen. Hierzu muß zunächst ds Moment M y in die Richtungen der Huptquerschnittschsen η,ζ zerlegt werden (siehe Bild 4.3-). D ) D Bild 4.3-: Huptquerschnittschen und Zerlegung von M y Mn erhält Mη M y cos α MS cos α, Mζ M y sin α MS sin α. Dementsprechend erzeugt ein virtuelles Krempelmoment M S 1 die Biegemomente M η cos α, M ζ sin α. Nch dem Prinzip der virtuellen Arbeit gilt dnn M S MηM ϕds EI und für die Verdrehung ergibt sich η η MζM ds + EI ζ ζ ds,
5 4.4 Lstfll beliebige rottionssymmetrische Belstung 161 MS ϕ E cos α sin α +. (4.3.) Iη I ζ Flls die y-achse eine Huptchse des Querschnitts ist, vereinfcht sich (4.3.) wegen α und I η I y uf MS EI y ϕ. (4.3.3) D die Verdrehung durch Biegemomente verurscht wird, erfolgt sie um den Querschnittsschwerpunkt, d.h. nicht um den Schubmittelpunkt. Bei der Verdrehung um den Winkel ϕ erfährt jeder Punkt des Querschnitts die Rdilverschiebung Δr ϕ z, (4.3.4) wie us Bild zu ersehen ist. Die Rdilverschiebung ist unbhängig von der y-koordinte des Punktes. K, H K, H K K Bild 4.3-3: Rdilverschiebungen infolge der Querschnittsverdrehung ϕ 4.4 Lstfll beliebige rottionssymmetrische Belstung Ds in Bild drgestellte Lstbild läßt sich uf die beiden, zuvor behndelten Lstfälle R S und M S (siehe Bild 4.1-) reduzieren. Die äußeren Krftgrößen R, V und M sind uf den Kreis mit dem Rdius bezogen. Ds Mß c ist positiv, wenn R unterhlb der Ringchse ngreift. Die äquivlente Rdilkrft R S ergibt sich, wenn mn die Krft R mit ihrer Wirkungslänge multipliziert und dieses Produkt durch die Länge der Ringchse dividiert:
6 ? 16 4 Der Kreisring unter rottionssymmetrischer Belstung R π R S R. (4.4.1) π 8? 4 ) Bild 4.4-1: Kreisring mit llgemeiner rottionssymmetrischer Belstung Zum Moment M S trgen die Kräfte R, V und A sowie ds Moment M bei. Um die Ringchse erzeugen sie insgesmt ds tordierende Moment ΣM [ R c + V ( ) + M] π + A ( L ) π L Mit der us dem Gleichgewicht in Vertiklrichtung folgenden Beziehung A V / L ergibt sich drus [ R c + V ( ) + M] Σ M L π. Dieses Gesmtmoment ist durch die Länge der Ringchse zu dividieren, um ds äquivlente Krempelmoment [ R c + V ( ) + M] MS L (4.4.) zu erhlten. Die Auflgerkrft tritt in dieser Gleichung nicht explizit uf.. F C Bild 4.4-: Vorgespnnter Kreisring
7 4. Der Kreisring mit Rechteckquerschnitt 163 Im Lstfll Vorspnnung (siehe Bild 4.4-) wird die der Vorspnnkrft V entsprechende Umlenkkrft V R v ls Belstung ngesetzt. Die äquivlenten Lsten m Schwerpunkt S (siehe Bild 4.1-) luten dnn V R S R v (4.4.3) und Vc MS R v c, (4.4.4) unbhängig von dem Rdius des Spnnglieds. Die Schnittgrößen und Verformungen des Rings ermittelt mn mit den us (4.4.1) bis (4.4.4) berechneten Größen R S und M S nch den Abschnitten 4. und Der Kreisring mit Rechteckquerschnitt Der in Bild 4.-1 drgestellte Ring wird durch die Rdilkrft R und ds Krempelmoment M bensprucht. Deren Bezugslinie mit dem Rdius liegt um ds Mß c unterhlb der Ringchse. Die Huptchsen des Querschnitts stimmen mit dem Koordintensystem y,z überein. Gesucht seien die Rdilverschiebung eines beliebigen Punktes i und die Verdrehung des Ringes um seine Achse. Die Berechnung wird kommentrlos nch den Gleichungen (4..), (4.3.3), (4.3.4), (4.4.1) und (4.4.) durchgeführt. > D, H I E E, H E 4? A bh I y 3 bh 1 Bild 4.-1: Beispiel für die Berechnung von Ringverformungen
8 164 4 Der Kreisring unter rottionssymmetrischer Belstung 4..1 Lstfll R mit beliebigem Angriffspunkt R S R ; MS Rc MS 1Rc ϕ EI 3 y Ebh R Δ Δ + ϕ S 1Rc R 1cz + + i ri rs zi zi 1 Ebh 3 Ebh Ebh h Für die Unterknte des Ringquerschnitts wird mit z i h/: R 6c Δ r u 1 + (vgl. Tfel 14). Ebh h 4.. Lstfll M mit beliebigem Angriffspunkt R S ; MS M MS 1M ϕ EI 3 y Ebh 1M Δri ϕ zi z 3 i Ebh 4..3 Lösungen für usgewählte Angriffspunkte von R und M Für einige usgewählte Lstfälle bzw. Lstngriffspunkte wurden die Schnittgrößen des Kreisrings, die Rdilverschiebungen der Unter- und berknte sowie die Querschnittsverdrehung in Tfel 14 zusmmengestellt. 4.6 Der Kreisring mit einfch symmetrischem Querschnitt Bild zeigt mehrere einfch symmetrische Ringquerschnitte, deren Huptchsen mit dem y-z-system zusmmenfllen.
9 D D D 4.6 Der Kreisring mit einfch symmetrischem Querschnitt 16 Bild 4.6-1: Beispiele für einfch symmetrische Kreisringquerschnitte Für die Verformungsberechnung dieser Ringe werden die Querschnittswerte A und I y benötigt. Diese sind in Bild 4.6- für Teilflächen in Rechteck-, Dreieck-, Kreis- und Hlbkreisform ngegeben. Querschnitt > D! 1 A bh bh I y > D > CF 1 π π d 4 d 8 1 π 1 d 64 9π π 4 4 bh 1 bh 36 bh 48 d 64 Bild 4.6-: Querschnittswerte für Teilflächen Die Gesmtfläche A erhält mn entsprechend A (4.6.1) A i i ls Summe der Teilflächen A i. In einem zu den Koordinten prllelen Hilfssystem y, z ergibt sich die Lge des Schwerpunkts S us 1 zs Aizi. (4.6.) A i Ds Gesmtträgheitsmoment I y setzt sich nch dem Stz von STEINER ( I yi + Ai zi ) [ I yi + Ai ( zi zs ) ] I (4.6.3) y i us den I yi der Teilflächen und den Produkten us Teilfläche und Abstndsqudrt von der y-achse zusmmen. In dem folgende Beispiel sollen die lstunbhängigen Formänderungswerte ik für einen Ring ermittelt werden, der eine Pltte und eine Zylinderschle biegesteif miteinnder verbindet (siehe Bild 4.6-3). Ds System ist vierfch sttisch unbe- i
10 166 4 Der Kreisring unter rottionssymmetrischer Belstung stimmt. Sttt der sttisch Unbestimmten X i werden die äquivlenten Größen R Si und M Si ngesetzt. A H 4 E C # &!! : : : " 4!!!! $ $ %!! HA EI F JJA # # # # :! Bild 4.6-3: Einfch symmetrischer Ring ls Berechnungsbeispiel Die Querschnittswerte werden tbellrisch nch den Gleichungen (4.6.1) bis (4.6.3) ermittelt. Teilfläche i h i A i b z i Ai zi zi zs zi 1 3 I 3 yi 1 A i z i 1,,,3,3,7,1,,4,1,67,1667 -,833,37 1,1,83 1,4 Σ,,8 1, 3,1 z S,8,3667 m;, I y1 I y ,,3 3,,3, ,1 1 3 ; 3 A, m ; I y (1, + 3,1) 1 3 4,6 1 3 m 4 Dmit ergeben sich us (4..) und (4.3.3) für R S 1 und M S 1 die Formänderungen 1 1 EΔ rs 1,; Eϕ.99,. A I Unter Verwendung von (4.3.4) erhält mn für die Verschiebungen bzw. Verdrehungen der Angriffspunkte der vier X i y
11 4.6 Der Kreisring mit einfch symmetrischem Querschnitt 167 Lstfll E 1 E E 3 E 4 R M S S 1-1, 1-496,6 -.99, +1, +1.39, Die Krft X 1 1 ist lut (4.4.1) und (4.4.) gleichwertig mit +.99,,, R S1 1,94 und M S1 1,833, 794.,, Drus folgt mit den Zhlenwerten der vorstehenden Tbelle Lstfll E 11 E 1 E 31 E 41 RS1, ,7-116,7 MS1, ,4 +473, -11,4-473, Σ +16,1 +473, -7,1-473, Die Berechnung wird sinngemäß uch für die nderen drei Lstfälle X i 1 durchgeführt., X 1 RS und M S 1, 94., M S Lstfll E 1 E E 3 E 4, , +.67,7-1.34,3 -.67,7 X3 S3 + 1 R 1 und + 1,333, 333. M S 3 Lstfll E 13 E 3 E 33 E 43 RS3 1-1, +1, MS3 +,333-11,9-1.39, +34, +1.39, Σ -38,4-1.39, +447, +1.39, X4 S4 1 R und 1. M S 4 + Lstfll E 14 E 4 E 34 E 44 M S ,6 -.99, +1.39, +.99, Wegen der unterschiedlichen Wirkungsrdien gilt entsprechend (..31) ,. Bei 1 und 34 dgegen dürfen die Indizes vertuscht werden.
12 168 4 Der Kreisring unter rottionssymmetrischer Belstung 4.7 Der Kreisring mit unsymmetrischem Querschnitt Die Berechnung erfolgt, wie für den einfch symmetrischen Querschnitt gezeigt wurde. Der einzige Unterschied liegt in der Ermittlung der Verdrehung ϕ infolge M S 1 nch (4.3.) sttt (4.3.3). Die Neigung α der Huptchsen und die Huptträgheitsmomente I η, I ζ wird mn in der Regel mit Hilfe eines Rechenprogrmms bestimmen.
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