Technische Mechanik II

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1 Technische Mechnik II +d d σ,,) τ τ τ σ dg τ VORESUNGSSKRIPT Prof. Dr. Georg Rill September 6 d τ +d,+d,+d) τ +d d σ +d downlod unter:

2 Rill, 8. August 6

3 Inhlt Grundgleichungen der Elsto-Sttik. Modellvorstellung Spnnungen ormle Definition Gleichgewicht Der Spnnungstensor Definition Huptspnnungen Beispiel Verformungen Verschiebungen und Vererrungen Dehnungen Vererrungen Der Vererrungstensor Volumenänderung Mterilgeset Querdehnung Allgemeines Hookesches Geset Kompressionsmodul Übungen Ebener Spnnungsustnd Elstomer ger Einfche Belstungsfälle 8. Äquivlenbeiehungen Zug- und Druck Spnnungsnst Verformungen Beispiel Rotorbltt Beispiel Wärmedehnung Reine Biegung um -Achse Spnnungsnst lächenmomente. Grdes Gerde Biegung Normlspnnung Verformungen Technische Biegelehre Die Euler-Bernoulli-Hpothese Anst von Euler und Bernoulli Biegelinie Ktlog einfcher Biege-Belstungen Einspnnung mit Einelkrft Einspnnung mit Streckenlst Einspnnung mit Moment Gelenkige gerung mit Einelkrft Gelenkige gerung mit Streckenlst i

4 OTH Regensburg Technische Mechnik II.6.6 Gelenkige gerung mit Moment Torsion kreislindrischer Wellen Belstungsbeispiel Schubspnnungs-Anst Polres lächenmoment Mimle Schubspnnung Verwindung oder Drillung Verdrehung Beispiel Kreislindrische Rohre Übungen Einfcher Gitterrost Kompenstionspendel Drht unter Eigengewicht Vierpunkt-Biegung Pinette Hohlwelle Bohrgestänge Sttisch überbestimmte Ssteme 3. Motivtion Beispiele Zusätliche Strebe Zusätliches ger ösungsschritte Teilssteme inere Superposition Spindelpresse gerung Komptibilität Spindelpresse gerung Übungen Gelenk-Träger Träger mit Abspnnseil Bretter über Grube Rhmen-Träger Welle mit Rohr Knickung 6 4. Vorbemerkung Eentrische Krfteinleitung Gleichgewicht m unverformten Buteil Gleichgewicht m verformten Buteil Knickfälle nch Euler Knickspnnung Übungen örderbnd Wärmedehnung Schiefe Biegung 3 5. Motivtion und Belstungssenrio Normlspnnung Anst ii

5 Technische Mechnik II estigkeitslehre) Prof. Dr.-Ing. G. Rill 5.. Neutrle ser Beispiel lächenmomente. Grdes Definition Zusmmengesette Querschnitte Beispiel Z-Profil Koordintentrnsformtion Ergebnis Z-Profil Huptchsensstem Bestimmungsgleichungen Beispiel gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck Beispiel Z-Profil Widerstndsmomente Schubspnnungen Anst Beispiel Rechteckquerschnitt Verformungen Vorüberlegung Biegelinie Differentilgleichungen Rndbedingungen Aufteilung in Biegung und Schub ängs- und Querverformung Beispiel Aufgbenstellung Benspruchungen Spnnungen Biegelinie Verformungen in der -Ebene Verformungen in der -Ebene Übungen Buteil mit Nutquerschnitt lächenmomente Blttfeder Allgemeine Torsion Belstungen und Spnnungen Kreislindrische Rohre Dünnwndig geschlossene Profile Schubspnnung Verformungen Torsions-lächenmoment Schmle Rechteckquerschnitte Unterteilung in Hohlquerschnitte Schubspnnungen Verwindung Dünnwndig offene Querschnitte Prinipielles Vorgehen Schubspnnung Verformung Vergleich offen geschlossen Torsion und Biegung Allgemeines Beispiel iii

6 OTH Regensburg Technische Mechnik II Spnnungen us der Biegebelstung Sttisches Moment der Restfläche Schubspnnungsverluf Momentenwirkung und Schubmittelpunkt Verformungen Verllgemeinerung Übungen Zusmmengesettes Buteil Verkehrsmpel Seilwinde Profil Krgträger Rottionssmmetrische Belstungen 6 7. Grundgleichungen Belstungen Spnnungen Verformungen iner elstisches Mterilverhlten Rohre und Behälter unter Innen- und Außendruck Dünnwndige Rohre Rotierend Unter Innen- und Außendruck Übungen Schwungscheibe mit Ring Behälter Spnnungs- und Verformungsustände Der weichsige Spnnungsustnd Beispiel Spnnungen für verschiedene Schnittrichtungen Huptspnnungen Mimle Schubspnnungen Der Mohrsche Spnnungskreis Vergleichsspnnungen Buteildimensionierung Spnnungsorientiert Die Normlspnnungshpothese Die Schubspnnungshpothese Verformungsorientiert ormänderungsrbeit Gestltänderungshpothese Der weichsige Verformungsustnd Grundgleichungen Auswertung gemessener Dehnungen Übungen Hohlprofil T-Profil Dehnmessrosette iv

7 Grundgleichungen der Elsto-Sttik. Modellvorstellung In der Technischen Mechnik II oder der estigkeitslehre steht ds Modell des festen Körpers im Vordergrund. Der feste Körper ist wr deformierbr, ber die Verformungen bleiben im Vergleich u den Abmessungen des Körpers so klein, dss die Gleichgewichtsbeiehungen in der Regel für ds unverformte Buteil ngeschrieben werden können. Stbilitätsprobleme wie ds Durchschnppen von Mechnismen, ds Knicken dünner Stäbe oder ds Beulen dünnwndiger Buteile bilden Ausnhmen und müssen dnn gesondert behndelt werden. +d d σ,,) τ τ dg d τ τ +d d σ. Spnnungen τ τ +d.. ormle Definition Schnittkräfte unterteilt mn entsprechen ihrer Orientierung in Norml- und Querkräfte. Anlog du unterscheidet mn bei den Spnnungen wischen Norml- und Schubspnnungen. Normlspnnungen σ wirken senkrecht ur Schnittfläche und die mit τ beeichneten Schubspnnungen liegen in der Schnittfläche. Die Voreichendefinition erfolgt nlog u den Schnittrektionen jeweils m positiven Schnittufer. Die Spnnungen werden entsprechend der Schnitt- und ihrer Wirkrichtung durch jeweils wei Indies beeichnet, Bild.. Ein Schnitt senkrecht ur -Achse ht die Normlspnnung σ in Richtung der -Achse sowie mit τ und τ Schubspnnungen in Richtung der - und -Achse ur olge. Dementsprechend treten die Spnnungen σ, τ und τ in einem Schnitt senkrecht ur -Achse uf. Und ein Schnitt senkrecht ur -Achse ht die Spnnungen σ τ und τ ur olge. Der in Bild. drgestellte infinitesimle Quder mit den Kntenlängen d, d,d befindet sich n der Stelle,, ). Die Schnittflächen mit positivem Schnittufer liegen n den Stellen + d, + d und + d. An den negtiven Schnittufern sind die Spnnungspfeile nicht beeichnet. Ds Koordintensstem ist so usgerichtet, dss ds Eigengewicht dg = ρ g dv = ρ g ddd.) σ +d,+d,+d) Bild.: Norml- und Schub-Spnnungen m infinitesimlen Element in Richtung der -Achse wirkt. D lle Abmessungen hier in mm gemessen werden, die Erdbeschleunigung g llerdings weiterhin in m/s ngegeben wird, muss die Dichte ρ hier in kg/mm 3 eingesett werden... Gleichgewicht Um ds Schnittprinip nwenden u können, müssen die Spnnungen durch Multipliktion mit den infinitesiml kleinen Schnittflächen in Schnittkräfte umgewndelt werden. Ds Momentengleichgewicht um eine Achse prllel ur -Achse durch die Mitte des infinitesimlen Quders liefert dnn d τ,, ) + τ, +d, ) ) da d τ,, ) + τ,, +d) ) da =.) wobei die Schubspnnungen τ und τ multipliiert mit den lächen da = d d und da = d d.3) u Schnittkräften werden, die dnn mit den Hebelrmen d und d multipliiert die Momentennteile ergeben.

8 OTH Regensburg Technische Mechnik II Die us den Normlspnnungen resultierenden Schnittkräfte hben beüglich der Qudermitte keine Momentenwirkung. Die Schubspnnungen τ, + d, ), τ,, + d) werden nun in eine Tlor-Reihe entwickelt, wobei Glieder höherer Ordnung vernchlässigt werden. Dmit erhält mn τ, +d, ) τ,, ) + τ,, ) τ,, +d) τ,, ) + τ,, ) d d.4) wobei prtielle Ableitungen erforderlich sind, d die Spnnungen j unktionen von, und sind, die Änderung ber jeweils nur in eine Koordintenrichtung betrchtet wird. In.) eingesett bleibt unter Berücksichtigung von.3) τ,, ) + τ τ,, ) + τ ) d ) d d d d d d d =.5) D die prtiellen Ableitungen mit den infinitesiml kleinen Abmessungen d und d multipliiert werden, können diese Terme gegenüber den Spnnungen τ,, ) und τ,, ) vernchlässigt werden. Es bleibt dnn τ,, ) τ,, ) =.6) Ähnliche Beiehungen erhält mn us den restlichen Momentensummen. Die Ergebnisse können im St der ugeordneten Schubspnnungen usmmengefsst werden. τ,, ) = τ,, ) τ,, ) = τ,, ) τ,, ) = τ,, ) Ds Kräftegleichgewicht in -Richtung liefert σ +d,, ) σ,, ) ) da + τ, +d, ) τ,, ) ) da + τ,, +d) τ,, ) ) da =.7).8) wobei die infinitesimlen Schnittflächen durch da = dd, da = dd, und da = dd gegeben sind. Die Spnnungen n den positiven Schnittufern σ + d,, ), τ, +d, ) und τ,, +d) können nun wieder nlog u.4) durch die beiden ersten Glieder einer Tlor-Reihe pproimiert werden. Dnn lutet.8) ) ) ) σ τ d dd+ d τ dd+ d dd =.9) Nch Ausklmmern des Volumenelement dv = ddd bleibt ) σ + τ + τ d d d =.) D die Abmessungen des infinitesimlen Quders wr klein ber endlich sind, muss der Ausdruck in den runden Klmmern verschwinden. Berücksichtigt mn noch die Gleichgewichtsbeiehungen in - und -Richtung, dnn erhält mn mit σ τ + τ + σ + τ + τ τ + τ + σ = = = ρ g.) drei gekoppelte prtielle Differentilgleichungen, die die Spnnungsänderungen innerhlb eines festen Körpers beschreiben. D die Gleichgewichtsbeiehungen uf ds Volumenelement dv = ddd beogen sind, reduiert sich die in -Richtung wirkende Gewichtskrft dg uf den Ausdruck ρ g. Die prtiellen Differentilgleichungen können llerdings nur in Sonderfällen mit geeigneten Vereinfchungen nltisch gelöst werden...3 Der Spnnungstensor..3. Definition Wegen.7) wird der räumliche Spnnungsustnd durch drei Norml- und drei Schubspnnungen vollständig chrkterisiert. Diese können im smmetrischen 3 3- Spnnungstensor usmmengefsst werden σ = σ τ τ τ σ τ τ τ σ.) Die Spnnungen sind jedoch bhängig von der gewählten Schnittrichtung...3. Huptspnnungen Es gibt stets drei ufeinnder senkrechte Schnittrichtungen bei denen der Spnnungstensor dnn nur noch uf

9 Technische Mechnik II estigkeitslehre) Prof. Dr.-Ing. G. Rill der Huptdigonlen besett ist σ τ τ geeignet gedrehte σ σ,s = τ σ τ ====> σ,h = τ τ σ Schnitt- σ richtungen σ 3.3) Die durch Komm bgetrennten Indies kenneichnen mit S Schnitte in einem beliebigen Koordintensstem und mit H Schnitte im Huptchsensstem. Die Huptspnnungen σ, σ und σ 3 sowie die durch Einheitsvektoren e, e und e 3 gekenneichneten Huptspnnungsrichtungen sind nicht-trivile ösungen des homogenen Gleichungssstems ) σ,s σ E e =.4) wobei E eine 3 3-Einheitsmtri beeichnet. Ds Eigenwertproblem.4) ht eine nicht trivile ösung, wenn det σ,s σ E =.5) erfüllt ist. Die Bedingung.5) führt uf ein chrkteristische Polnom, dessen Nullstellen die Huptspnnungen σ, σ und σ 3 liefern. Die mimle Huptspnnung σ M = m σ, σ, σ 3 ).6) knn dnn für die Dimensionierung des Buteils verwendet werden Beispiel Nimmt mn n, dss ein Buteil in der --Ebenen lediglich durch die Schubspnnung τ bensprucht wird, dnn ht ds homogene Gleichungssstem.4) die orm σ τ τ σ e =.7) σ Die notwendige Bedingung für eine ösung det σ τ τ σ σ führt uf ein Polnom 3. Grdes ds sofort die Huptspnnungen =.8) σ 3 + σ τ =.9) liefert. Die homogenen Gleichungsssteme und τ τ τ τ τ τ τ e, =.) e 3 =.) liefern dnn die Huptspnnungsrichtungen, die hier durch die Einheitsvektoren e =, e =, e 3 =.3) festgelegt sind. Die Richtungen der Huptspnnungen σ = +τ und σ = τ sind hier lso um 45 gegenüber den ursprünglichen Koordintenchsen e = [ ] T und e = [ ] T gedreht..3 Verformungen.3. Verschiebungen und Vererrungen Die Verformungen eines festen Körpers werden von einem fest mit dem unverformten Körper verbundenen Koordintensstem us beobchtet. Ddurch können die Strrkörperbewegungen eliminiert werden. D die Eckpunkte des Volumenelements dv = ddd bei der Verformung eines festen Körpers im llgemeinen unterschiedlich verschoben werden, kommt es uch u Vererrungen, Bild.. d d unverformt d s,,) s+d,+d,+d) verformt Bild.: Verformungen m Volumenelement Der Vektor s mit den Komponenten u, v und w beschreibt die Verschiebungen einelner Punkte. Gibt σ, = ±τ und σ 3 =.) s,, = u,, ) v,, ) w,, ).4) 3

10 OTH Regensburg Technische Mechnik II die Verschiebungen n der Stelle,, n, dnn knn der Verschiebungsvektor n benchbrten Stellen über eine Tlor-Reihe, die nch dem lineren Glied bgebrochen wird, ngenähert werden. So beschreibt dnn s +d,, = s,, + s,, Verschiebung n der Stelle + d,, ) und s +d, +d,+d = s,, + s,, d + s,, d + s,, d.5) d.6) gibt Verschiebung n der Stelle + d, + d, + d) n. Der Verschiebungsgrdient u u u [ ] s,, s,, s,, H = = v v v w w w.7) fsst lle erforderlichen prtiellen Ableitungen usmmen..3. Dehnungen Die ängenänderung eines Elements beogen uf die unverformte änge gibt die Dehnung ɛ n. Die Eckpunkte,, ) und +d,, ) legen eine Elementknte mit der unverformten änge d fest. Mit den -Komponenten der in.4) und.5) ngegebenen Verschiebungsvektoren ist die Dehnung in -Richtung durch ɛ = u+d,, ) u,, ) d definiert. In erster Näherung bleibt dnn.8) u,+d,) d u,,) ϕ π/ γ v,,) d v+d,,) Bild.3: Winkeländerung in der -Ebene Sie sett sich us wei Anteilen usmmen ϕ γ = ϕ + ϕ..3) ür kleine Winkel ϕ und ϕ gilt in erster Näherung und ϕ = ϕ = u, +d, ) u,, ) d v+d,, ) v,, ) d in.3) eingesett erhält mn somit γ = u + v = u.3) = v..33).34) Anlog du findet mn für die Vererrungen in der und -Ebene die Beiehungen und γ = u + w.35) ɛ = u u,, ) + d u,, ) d Anlog du geben dnn ɛ = v und ɛ = w die Dehnungen in - und -Richtung n. = u.9).3) und γ = v + w.36) Genuso wie die Dehnungen können lso uch die Vererrungen über prtiellen Ableitungen der Komponenten des Verschiebungsvektors berechnet werden..3.3 Vererrungen Die Vererrung γ beschreibt die Winkeländerung des Volumenelements in der -Ebene, Bild Der Vererrungstensor Ds gesmte Deformtionsverhlten eines festen Körpers knn durch den smmetrischen Deformtor oder Vererrungstensor 4

11 Technische Mechnik II estigkeitslehre) Prof. Dr.-Ing. G. Rill ɛ D = D T γ = γ ɛ γ γ ɛ γ γ.37) beschrieben werden. Die Dehnungen ɛ, ɛ, ɛ und die Vererrungen γ, γ, γ können dbei gemäß.9),.3) und.34) bis.36) us den prtiellen Ableitungen des Verschiebungsvektors ermittelt werden. Ein Vergleich mit.7) eigt, dss der Vererrungstensor D über D = ) H + H T.38) direkt us dem Verschiebungsgrdient H bestimmt werden knn. Genu wie beim Spnnungstensor werden die Dehnungen und Vererrungen von der Richtung der Koordintenchsen beeinflusst. Auch hier gibt es ein Huptchsensstem, in dem die Vererrungen verschwinden und ds gesmte Deformtionsverhlten durch die Huptdehnungen ɛ, ɛ und ɛ 3 chrkterisiert wird. Auf Grund der Smmetrie des Vererrungstensors und der Orthogonlität der Koordintenssteme gilt der wichtige Zusmmenhng ɛ + ɛ + ɛ = ɛ + ɛ + ɛ 3.39) Die Summe der Dehnungen ist dmit unbhängig von der Koordintenrichtung..3.5 Volumenänderung Die Deformtion eines festen Körpers knn durch die Huptdehnungen ɛ, ɛ und ɛ 3 vollständig beschrieben werden, Bild.4. ε d d d ε 3 d d ε d d + ɛ d und d + ɛ 3 d. Die Volumenänderung ist dnn durch V = +ɛ ) d +ɛ ) d +ɛ 3 ) d d d d.4) gegeben. Auf ds nfängliche Volumen V = d d d beogen erhält mn V V = +ɛ ) +ɛ ) +ɛ 3 ).4) Ausmultipliiert bleibt V V =+ɛ +ɛ +ɛ 3 +ɛ ɛ +ɛ ɛ 3 +ɛ ɛ 3 +ɛ ɛ ɛ 3..4) Bei kleinen Dehnungen ɛ, ɛ und ɛ 3 können Terme höherer Ordnung vernchlässigt werden und mn erhält V V = ɛ + ɛ + ɛ 3 = ɛ V.43) Auf Grund der Invrinbeiehung.39) ist die speifische Volumenänderung oder die Volumendilttion eines festen Körpers uch durch ɛ V = ɛ + ɛ + ɛ.44) gegeben. Die Vererrungen γ, γ und γ hben lso im Rhmen dieser lineren Betrchtung keine Volumenänderung ur olge..4 Mterilgeset.4. Querdehnung Beim Zugversuch stellt mn neben der ängenänderung uch eine Veränderung des Durchmessers fest, Bild.5. D/ / Bild.5: Querkontrktion Bild.4: Volumenänderung Ds Volumenelement mit den Abmessungen d, d und d ht nch der Deformtion die Kntenlängen d+ɛ d, Invrinte des Vererrungstensors Der einchsige Spnnungsustnd mit σ = /A führt lso u Dehnungen in llen drei Rumrichtungen. Im liner-elstischen Bereich liefert ds Hookesche Mterilgeset mit σ = E ɛ bw. ɛ = E σ.45) 5

12 OTH Regensburg Technische Mechnik II den Zusmmenhng wischen Spnnung und Dehnung in Belstungsrichtung. Die Dehnungen quer ur Belstungsrichtung sind bei isotropen Mterilien gleich und uf Grund des liner-elstischen Werkstoffverhlten proportionl ur Dehnung in Belstungsrichtung. Mit ν ls Querdehnhl und.45) erhält mn dnn ɛ = ɛ = ν ɛ = ν E σ.46) wobei ds Minuseichen berücksichtigt, dss bei Zugbelstung mit der Vergrößerung der änge ɛ > ) eine Verringerung des Durchmessers ɛ <, ɛ < ) einhergeht..4. Allgemeines Hookesches Geset Anlog u.46) ereugen die Spnnungen σ und σ ebenflls entsprechenden Dehnungen in -, - und - Richtung. Berücksichtigt mn ferner noch näherungsweise den Einfluss der Tempertur T, dnn erhält mn ds llgemeine Hookesche Geset in der orm sind die Vererrungen γ, γ und γ proportionl u den entsprechenden Schubspnnungen τ, τ und τ. Anlog u.45) gilt deshlb τ = G γ τ = G γ τ = G γ bw. γ = G τ γ = G τ γ = G τ.49) wobei G ls Gleit- oder Schubmodul beeichnet wird. Über G = E + ν).5) sind die drei Mterilkonstnten, der Elstiitätsmodul E, die Querdehnhl ν und der Schubmodul G, miteinnder verknüpft..4.3 Kompressionsmodul ɛ = E ɛ = E [ σ ν σ + σ )] + αt T [ σ ν σ + σ ) ] + α T T.47) Mit dem Mterilgeset knn die Volumendilttion uf den Spnnungsustnd urückgeführt werden. Mit.47) lutet.44) ɛ = E [ σ ν σ + σ )] + αt T ɛ V = E [ σ ν σ + σ )] + αt T wobei α T der Wärmeusdehnungskoeffiient mit der Dimension [/K] ist und T = T T die Änderung der Tempertur T gegenüber einem Referenwert T ngibt. Bei T = T ist ds Mteril spnnungs- und dehnungsfrei. D in.47) nur die Temperturdifferen benötigt wird, können T und T sowohl nch Kelvin [K] ls uch nch Celsius [ C] gemessen werden. Bei großen Temperturänderungen verändern sich uch die Mterilkennwerte mit der Tempertur E = ET) und ν = νt). Bei Kunststoffen mcht sich dieser Einfluss schon bei geringen Temperturänderungen bemerkbr. Bei gegebenen Dehnungen, die.b. durch Messungen ermittelt wurden, knn.47) uch nch den Spnnungen ufgelöst werden. Mn erhält σ = E [ ɛ + ν ) ] ɛ +ɛ +ɛ E +ν ν ν α T T σ = E [ ɛ + ν ) ] ɛ +ɛ +ɛ E +ν ν ν α T T σ = E [ ɛ + ν ) ] ɛ +ɛ +ɛ E +ν ν ν α T T.48) Temperturänderungen hben in der Regel keine Vererrungen ur olge. Bei genügend kleinen Deformtionen + E + E [ σ ν σ + σ ) ] + α T T [ σ ν σ + σ )] + αt T = E ν) σ +σ +σ ) + 3αT T Mit der mittleren Spnnung σ m = ) 3 σ + σ + σ bleibt.5).5) ɛ V = 3 ν) σ m + 3α T T = E K σ m + 3α T T.53) Die Proportionlitätskonstnte K = E 3 ν).54) wird ls Kompressionsmodul beeichnet. Bei einer Querdehnhl ν.5 wird ds Mteril inkompressibel, d der dnn unendlich große Kompressionsmodul K bei beliebigen ber endlichen Belstungen mit ɛ V eine verschwindende Volumenänderung bei der Referentempertur T = T ur olge ht. Der Wert ν =.5 stellt somit eine Obergrene für die Querdehnhl dr. D bei 6

13 ür liegt ein eindimensionler Spnnungsustnd vor, der durch σ = A = gekenneichnet ist, wobei die Querschnittsfläche des Blocks mit A = gegeben ist. Gemäß Hooke ht dies die Dehnungen ɛ = σ E = E A = νe und ɛ = ɛ = νɛ = E ur olge. Bei ɛ = ɛ = b legt sich der Block n die Vertiefung n. Dmit erhält mn ν E = b oder = Eν b ) Bei kleinen Verformungen ist die Volumendehnung durch ɛv = V = V ɛ + ɛ + ɛ gegeben. Mit dem Anfngsvolumen erhält mn V = 3, ɛ = ɛ = b und ɛ = ν b Vlin = b ν + + ) 3 = b ν) 3 ν = N/mm, σ = 5 N/mm und σ3 = N/mm sowie e = 5, e = 5, e3 = b) Die Normlspnnung in -Richtung ist in Belstungsrichtung nch wie vor durch σ = A = A + ) A gegeben. Der uf die die Grundfläche A = b beogene Krftnteil liefert die Spnnungsänderung σ = A = b die infolge der verhinderten Querdehnung u Spnnungen in - und -Richtung führt. Diese können us der orderung verschwindender Querdehnungen ɛ = E [ σ ν σ + σ) ] = ɛ = E [ σ ν σ + σ)] = ermittelt werden. Zunächst erhält mn σ νσ = ν σ und σ νσ = ν σ Aufgelöst bleibt σ = σ = ν + ν ν σ = ν ν σ = ν ) ν) b Technische Mechnik II estigkeitslehre) Prof. Dr.-Ing. G. Rill Sthl die Querdehnhl bei ν e 3 liegt, erhält mn hier in etw gleiche Werte für den Elstiitäts- und Kompressionsmodul, K e E e. Siliium dgegen kommt mit ν Si =.45 einem inkompressiblen Mterilverhlten sehr nhe..5 Übungen.5. Ebener Spnnungsustnd Der Spnnungstensor σ = σ τ τ σ beschreibt einen llgemeinen Spnnungsustnd in der --Ebene. Zeigen Sie, dss dieser ebene Spnnungsustnd durch die Huptspnnungen σ, = σ + σ σ σ ) ± + τ σ 3 = gekenneichnet wird. Ermitteln Sie die Huptspnnungen und die Huptspnnungsrichtungen, wenn der ebene Spnnungsustnd durch σ = 5 N/mm, σ = N/mm, σ = N/mm, τ = N/mm, τ = N/mm, τ = N/mm gegeben ist. ösung: σ.5. Elstomer ger Ein Elstomer-ger wird ls würfelförmiger Block usgeführt, der unbelstet die Kntenlänge ht. Der Block sitt mittig in einer Vertiefung mit qudrtischem Grundriss der Kntenlänge b. Die Mterileigenschften des Elstomer-Blocks werden durch den Elstiitäts-Modul E und die Querdehnhl ν beschrieben. ür einen ersten unktionstest wird ein Stempel uf den Elstomer-Block gesett und b mit der Krft belstet. ) Bei welcher Krft = legt sich der Block n die Vertiefung n und um welchen Betrg V ht sich dbei sein Volumen verändert? b) Ermitteln Sie Normlspnnungen σ, σ und σ, die im Block uftreten, wenn der Stempel mit einer Krft > belstet wird und die Verformungen der Vertiefung unberücksichtigt bleiben. ösung: ) 7

14 Einfche Belstungsfälle. Äquivlenbeiehungen In der Technik werden häufig lng gestreckte Buteile verwendet. Die Schnittrektionen geben bei bschnittsweise konstnten Belstungen Auskunft über die Benspruchungen im Innern. Bei einem Schnitt senkrecht ur -Achse treten in der Schnittfläche A die Spnnungen σ, τ und τ uf, Bild.. M Belstung lnggestrecktes Buteil M Schnittfläche A Q τ da τ M S A Q σ N Schnittrektionen M n A Spnnungen Bild.: Schnittrektionen und Spnnungen Die Äquivlenbeiehungen N = Q = Q = σ da.) τ da.) τ da.3) ) M = τ τ da.4) M = σ da.5) M = σ da.6) stellen den Zusmmenhng wischen den Schnittrektionen und den Spnnungen her, wobei die -Achse durch den Mittelpunkt S A der Schnittfläche läuft und sich ds lächenelement da = dd n der Stelle, ) befindet. Die Schwierigkeit besteht nun drin, dss bei beknnten Querschnittsbmessungen wr die Schnittrektion us den Spnnungen nicht ber die Spnnungen us den Schnittrektionen eindeutig ermittelt werden können. Die direkte Berechnung des Spnnungsustnd erfordert ds ösen prtieller Differentilgleichungen und ist deshlb äußerst kompliiert. Die Schnittrektionen dgegen können mit den Methoden der Sttik us den Belstungen ermittelt werden. In der estigkeitslehre versucht mn deshlb geeignete Ansäte für die Spnnungen u finden, die den Äquivlenbeiehungen.) bis.6) und gleicheitig den Spnnungsdifferentilgleichungen.) genügen. In mnchen ällen gelingt dies llerdings nur näherungsweise.. Zug- und Druck.. Spnnungsnst Wird ein Buteil nur uf Zug oder Druck belstet, dnn ht ein Schnitt senkrecht ur Belstungsrichtung die Schnittrektionen N, Q =, Q =, M =, M =, M =.7) ur olge. Ds Koordintensstem wurde dbei so ngeordnet, dss die -Achse mit der Belstungsrichtung usmmenfällt. Ds Eigengewicht des Buteils wird gegenüber den äußeren Belstungen vernchlässigt. Der einfche Spnnungsnst σ und τ = sowie τ =.8) ht über die Äquivlenbeiehungen.),.3) verschwindende Querkräfte Q =, Q = ur olge und ereugt mit der Äquivlenbeiehung.4) uch kein Torsionsmoment, M =. Nimmt mn, wie beim Zugstb geschehen, eine über der Querschnittsfläche konstnte Normlspnnung n, dnn knn σ weder von noch von bhängen. Mit σ = σ ) hben die verbleibenden Äquivlenbeiehungen.) mit.5) und.6) N = σ )da = σ ) A.9) M = σ da = σ da.) M = σ da = σ da.) ur olge. Die Normlspnnung knn hier lso mit σ ) = N) A.) 8

15 Technische Mechnik II estigkeitslehre) Prof. Dr.-Ing. G. Rill direkt us dem Verluf der Normlkrft N = N) ermittelt werden. Die verschwindenden Biegemomente M = und M =.3) sind mit.) und.) unbhängig von der Normlspnnung gewährleistet, d die -Achse durch den Mittelpunkt S A der Schnittfläche läuft und deshlb da = und da = gilt. Bei konstnter Normlkrft N = const. ist gemäß.) uch die Normlspnnung konstnt. Mit τ =, τ = und σ = const. ist dnn die hier relevnte erste prtielle Differentilgleichung us.) ebenflls in triviler Weise erfüllt... Verformungen Beim hier vorliegenden ein-chsigen Spnngungsustnd mit σ = σ), σ =, σ = und τ =, τ = sowie τ = treten keine Vererrungen uf, γ =, γ = und γ =. Auf Grund der Querdehnung kommt es gemäß.47) uch ohne Tempertureinfluss T = ) mit ɛ ) = E σ) und ɛ ) = ɛ ) = ν σ).4) E u einem dreichsigen Verformungsustnd. Die Integrtion der Dehnung ɛ ) über die Buteillänge liefert mit = ɛ ) d = die gesmte ängenänderung...3 Beispiel Rotorbltt σ) d.5) E Zur Abschätung der Benspruchung und Dehnung wird ein Rotorbltt durch einen dünnen Stb mit dem Querschnitt A und der änge pproimiert. Ds Rotorbltt ht die Dichte ϱ und rotiert mit der konstnten Winkelgeschwindigkeit Ω um eine vertikle Achse, Bild.. Die Benspruchungen und Verformungen des Rotorblttes werden vom mitrotierenden Koordintensstem B us beschrieben. Die B -Achse läuft durch den Mittelpunkt der Querschnittsfläche. Auf Grund der Drehung des Rotorblttes mit der Winkelgeschwindigkeit Ω entsteht im bgeschnittenen Teil die liehkrft ) + ) Z = ϱ A ) } {{ } m) } {{ } r) Ω.6) Ω B = B ρ, A, B N) Bild.: Rotierendes Rotorbltt - wobei m) die Msse und r) die rdile Entfernung von der Drehchse ngeben. Ds Kräftegleichgewicht liefert dnn die Normlkrft N) = Z = ϱ A Ω ).7) wobei die Beiehung + ) = + ) und die binomische ormel ) + ) = verwendet wurden. Die Normlspnnung σ) = N) A Z = ϱ Ω ).8) fällt lso qudrtisch vom Mimlwert n der Einspnnstelle σ m = σ =) = ϱ Ω.9) uf den Wert Null m freien Ende σ = ) = b. Mit.8) gilt für die Dehnung ɛ in Stbrichtung ɛ = E ϱ Ω ).) Gemäß.5) folgt die Verlängerung des Rotorblttes us = ɛ ) d = E ϱ Ω = E ϱ Ω 3 3 ) 3 = E ) d ϱ Ω 3 3 Mit der mimlen Spnnung us.9) bleibt dnn = E..4 Beispiel Wärmedehnung.) 3 σ m.) Ein bgesettes Buteil mit der Gesmtlänge + ist n einem Ende fest eingespnnt. Am nderen Ende ist bei der Tempertur T = T ein Splt von der Größe vorhnden. Ds Buteil besteht us wei Werkstoffen, deren Eigenschften durch die Dehnsteifigkeiten E A und E A sowie durch die Wärmeusdehnungskoeffiienten α und α bestimmt sind. Bei unehmender Erwärmung wird der Splt immer kleiner, bis er bei T = T K 9

16 OTH Regensburg Technische Mechnik II Δ.3 Reine Biegung um -Achse E A, α E A, α Bild.3: Abgesettes Buteil gn verschwindet. Solnge der Splt besteht ist ds Buteil spnnungsfrei. Dem erweiterten Hookeschen Geset.47 u olge gilt dnn in den einelnen Abschnitten ɛ = α T und ɛ = α T.3) Die Integrtion der Dehnungen über die Buteillängen liefert gemäß.5) die ängenänderungen. i = i ɛ i d = α i T i für i =,.4) Bei T = T K oder T = T K T stimmt die ängenänderung des Buteils = + mit dem Splt überein. Aus α T K T ) + α T K T ) =.5) erhält mn sofort T K = T + α + α.6) Wird ds Buteil weiter ufgeheit, dnn drückt es bei T > T K mit einer Krft uf die ger. D jett mit σ = /A und σ = /A in den Buteilbschnitten uch Normlspnnungen in iler Richtung uftreten, liefert.47 die Dehnungen ɛ = E σ +α T und ɛ = E σ +α T.7) Mit T = T T K weitere Aufheiung) erhält mn nlog u.4) die ängenänderungen i = ) + α i T T K ) i E i A i für i =,.8) Die Begrenung lässt jedoch keine weitere ängenänderung u. olglich muss = α T T K ) ) E A + α T T K ) ) = E A.9) gelten. Nch der Krft ufgelöst, erhält mn = α + α ) T T K ) +.3) E A E A.3. Spnnungsnst In Anlogie um Zugstb wird nun ein lnggestrecktes Buteil betrchtet, ds n beiden Enden durch Momente M um die -Achse belstet wird, die gleich groß sind ber entgegengesett wirken, Bild.4. Die Rektionen M M Bild.4: Buteil belstet durch Momente in einem Schnitt n der Stelle sind dnn durch N =, Q =, Q =, M =, M = M, M =.3) gegeben. Ds im Buteil uftretende Biegemoment M ht entsprechend der Äquivlenbeiehung.4) eine Normlspnnung σ ur olge. D weder Querkräfte noch ein Torsionsmoment uftreten, knn wieder mit Spnnungsnst σ und τ = sowie τ =.3) gerbeitet werden. Die Äquivlenbeiehungen.),.3) und.4) sind dnn wieder in triviler Weise erfüllt. Eine über den Querschnitt konstnte Normlspnnung σ = const. ht, wie in Abschnitt.. geeigt, verschwindende Biegemomente M = und M = ur olge und knn deshlb hier nicht verwendet werden. D keine Belstung in -Richtung vorliegt und die Schubspnnungen verschwinden, ht die Spnnungsdifferentilgleichung.) in -Richtung σ + + =.33) ur olge. Dmit knn die Normlspnnung σ wr nicht von ber sehr wohl von und bhängen. Wie im folgenden nchgewiesen wird, können im vorliegenden Belstungsfll die verbleibenden Äquivlenbeiehungen.),.5) und.6) mit dem lineren Spnnungsnst σ = σ, ) = C + C + C.34) erfüllt werden. Mit N =, M = M und M = und dem Spnnungsnst us.34) luten die entsprechenden

17 Technische Mechnik II estigkeitslehre) Prof. Dr.-Ing. G. Rill Äquivlenbeiehungen = C + C + C ) da.35) M = C + C + C ) da.36) = C + C + C ) da.37) Nch Ausklmmern der Konstnten C, C und C und Aufteilen der Integrle erhält mn = C da + C da + C da.38) M = C da + C da + C da.39) = C da + C da + C da.4) wobei die lette Gleichung mit multipliiert wurde. Die Integrle da und da verschwinden, d die -Achse wieder durch den Mittelpunkt des Querschnitts verläuft. Mit da =, da = und da = A bleiben mit = C A.4) M = C da + C da.4) = C da + C da.43) drei Gleichungen ur Bestimmung der unbeknnten Konstnten C, C und C. Die Integrle in.39) und.4) werden ls lächenmomente. Grdes oder. Ordnung beeichnet..3. lächenmomente. Grdes Die lächenmomente. Grdes I = da und I = da.44) werden uch ls lächenträgheitsmomente beüglich der - und -Achse beeichnet. Ds lächenmoment. Grdes oder ds lächendevitionsmoment I = da oder I = da.45) verschwindet für lle Querschnitte die smmetrisch ur - und/oder -Achse ufgebut sind. In einschlägigen chbüchern,.b. in der Hütte Grundlgen der Ingenieurwissenschften oder im Dubbel Tschenbuch für den Mschinenbu, findet mn für eine Reihe unterschiedlicher Querschnitte die lächenmomente. Grdes. Bei den Angben für eventuell vorhndene lächendevitionsmomente muss llerdings die dbei ugrunde gelegte Definition bechtet werden. In diesem Skript wird ds lächendevitionsmoment nlog um Mssendevitionsmoment mit einem Minuseichen definiert. Bei einem Rechteckquerschnitt knn ds lächenelement da mit d d ngegeben werden. Mit den us Bild.5 bgelesenen Integrtionsgrenen erhält mn dnn gemäß 5.6) für ds lächenmoment. Grdes beüglich der -Achse I = + h h + b b d d = }{{} da + h h + b d d.46) Die Integrtionen über und können hier sukessive h/ S d d +h/ +b/ da b S S b b/ Bild.5: Rechteckquerschnitt durchgeführt werden. Unter Berücksichtigung des konstnten Ergebnisses der inneren Integrtion b + b ) = b liefert die formle Integrtion über ds Resultt [ 3 I = b 3 ] + h h = b 3 h 3 8 h3 8 ) h = b h3.47) Anlog du erhält mn uch ds lächenmoment. Grdes beüglich der -Achse. ür einen Rechteckquerschnitt gilt lso I = b h3 und I = h b3.48) Ds lächendevitionsmoment verschwindet nicht nur hier beim Rechteckquerschnitt I =.49) sondern für lle Querschnitte, die smmetrisch u mindestens einer Koordintenchse sind. Beim Rechteckquerschnitt sind ds die S - und die S -Achse.

18 OTH Regensburg Technische Mechnik II.4 Gerde Biegung.4. Normlspnnung ür smmetrische Querschnitte mit I = können die Gleichungen in.4) bis.43) sehr leicht nch den Konstnten ufgelöst werden. Mn erhält C =, C = und C = M I..5) Die Normlspnnung ist dnn dem Anst in.34) entsprechend mit σ = σ ) = M I.5) eine unktion von. Sie verschwindet uf der Höhe des lächenmittelpunktes neutrle inie) und erreicht die Etremwerte m oberen und unteren Rnd des Querschnitts Rndfsern) Bild.6. Bei einem Rechteckprofil obere Rndfser neutrle inie untere Rndfser Druck σ m Zug + σ m Bild.6: Verluf der Normlspnnung bei gerder Biegung um die -Achse in einem Querschnitt smmetrisch ur -Achse mit der Höhe h liegen die Rndfsern bei R = ± h. Mit dem entsprechenden lächenmoment us.48) erhält mn gemäß.5) die mimle Normlspnnung u σ m = M b h3 ± h ) = ± 6 M A h.5) wobei A = b h die Querschnittsfläche ngibt. Bei vorgegebener Belstung knn folglich der Betrg der mimlen Spnnung durch eine größere Querschnittsfläche A oder durch eine größere Höhe h reduiert werden. D die Erhöhung der Querschnittsfläche ds Gewicht des Buteils erhöht, verwendet mn in der Pris in der Regel kleine ber hohe Querschnitte..4. Verformungen Die reine Biegung um die -Achse ist für smmetrische Querschnitte entsprechend dem Anst.3) und dem Ergebnis.5) durch den Spnnungsustnd und σ = M I, σ =, σ =.53) τ =, τ =, τ =.54) gekenneichnet. Anlog u.4) ht dies uch ohne Tempertureinfluss T = ) mit ɛ = E σ = M E I und ɛ = ɛ = ν σ.55) einen drei-chsigen Verformungsustnd ur olge. Auf Grund der verschwindenden Schubspnnungen treten keine Vererrungen uf γ =, γ =, γ =.56) Die Belstung durch ds Moment M = M führt u einer Durchbiegung in -Richtung, wobei w) = w, =, =).57) die -Verschiebung des Querschnittmittelpunktes n der Schnittstelle beeichnet, Bild.7. Die Vererrungen M w) M Bild.7: Verformung durch Biegemoment sind mit den Ableitungen der Verschiebungen verknüpft. Mit γ = folgt dnn us.35) der Zusmmenhng u + w = oder w = u.58) Aus der ängsdehnung erhält mn im vorliegenden ll über.9) die Beiehung u = ɛ = E σ = M E I.59) D ds Moment M, der Elstiitätsmodul E und ds lächenträgheitsmoment I nicht von der Koordinte bhängen, knn.59) nochmls prtiell nch bgeleitet werden u = M E I.6) Die prtielle Ableitung von.58) nch liefert w = u.6)

19 Technische Mechnik II estigkeitslehre) Prof. Dr.-Ing. G. Rill D die gemischten prtiellen Ableitungen von u nch und uf Grund der Schwrschen Vertuschungsregel gleich sind, erhält mn schließlich oder w = M E I.6) E I w = M.63) wobei w die weite Ableitung der Durchbiegung w nch der Koordinte ngibt und der Term E I ls Biegesteifigkeit beeichnet wird..5 Technische Biegelehre.5. Die Euler-Bernoulli-Hpothese In den meisten technischen Anwendungsfällen werden Buteile nicht llein durch Momente sondern uch durch einelne Kräfte und/oder verteilte sten bensprucht. Unter folgenden Vorussetungen kleine Verformungen linere Theorie) keine wesentlichen Schubdeformtion lnge schlnke Blken) Querschnitte bleiben eben liner-elstisches Mterilgeset die ls Euler-Bernoulli3-Hpothese beeichnet werden, können jedoch die Ergebnisse us den Abschnitten.3 und.4 uch uf technisch relevnte Belstungsfälle übertrgen werden. Beschränkt mn sich uf die älle der gerden Biegung, dnn erhält mn für die Biegung in der -Ebene die ängsspnnung im Querschnitt us σ, ) = M ) I ).64) und die entsprechende Biegedifferentilgleichung lutet E I ) w = M ).65) wobei die Erweiterung von.5) und.63) hier forml durch die Abhängigkeit des Biegemomentes M und des St von Schwr: Sind die prtiellen Ableitungen k-ter Ordnung stetig, so ist die Reihenfolge der Differentitionen beliebig vertuschbr eonhrd Euler, Mthemtiker, Schwei/Russlnd ) 3 Jcob Bernoulli, schweier Mthemtiker ) und Dniel Bernoulli, Mthemtiker, Phsiker, Philosoph, Niederlnde/Schwei 7-78) lächenträgheitsmomentes I von der ängskoordinte um Ausdruck kommt. Anlog du erhält mn für die Biegung in der -Ebene, die ängsspnnung im Querschnitt us σ, ) = M ) I ).66) und die entsprechende Biegedifferentilgleichung u wobei E I ) v I I = M ).67) v) = v, =, =).68) die -Verschiebung des Querschnittmittelpunktes n der Schnittstelle beeichnet, M ds Schnittmoment um die -Achse ist und I ds lächenträgheitsmoment beüglich der -Achse ngibt. Aufgrund der Voreichendefinition in einem rechtshändigen Koordintensstem entfällt in der Biegedifferentilgleichung.67) ds Minuseichen vor dem Moment. Ist ds lächenträgheitsmoment I über der Buteillänge konstnt, dnn knn die Biegedifferentilgleichung.65) nochmls differeniert werden. Mn erhält dnn E I w = d M ) = Q ) d E I w IV = d Q ) = q ) d.69) wobei die differentiellen Zusmmenhänge wischen dem Biegemoment M ), der Querkrft Q ) und der Streckenlst q ) bereits berücksichtigt wurden. Ähnliche Beiehungen können uch für die Biegung in der -Ebene ngegeben werden..5. Anst von Euler und Bernoulli D die Querschnitte per Vorussetung eben bleiben und uch keine Vererrungen uftreten, knn die Verformung eines Blkenelements durch einen Kreisbogen proimiert werden, Bild.8. In der Rndfser bei = h tritt gemäß.53) die mimle Spnnung uf ) σ M = σ = h = M h I.7) Die -Achse bildet die neutrle ser, d dort die Normlspnnung verschwindet, σ = ) =. Die spnnungsfreie Mittellinie des Blkenelements wird folglich nicht gedehnt und behält mit d ihre ursprüngliche änge. Die Rndfser dgegen wird uf die änge +ɛ M ) d 3

20 OTH Regensburg Technische Mechnik II ) Belstung M d h/ h/ M b) Spnnungsverteilung d σ ) σ ) h/ h/ σ M c) Verformung dφ R d +ε M )d Bild.8: Blkenbschnitt mit Belstung, Spnnungsverteilung und Verformung gedehnt, wobei die mimle Dehnung nlog u.55) über ds Hooksche Mterilgeset über M > krümmt den Blken nch oben, Bild.7. D ber die Durchbiegung w) nch unten gemessen wird, entspricht dies einer negtiven Krümmung, k) <. Die Biegelinie w = w) ist dnn durch w + w ) ) 3 = R) = M ) E I ).76) definiert. In den meisten technischen Anwendungen bleibt die Durchbiegung klein. Dnn ist uch die Neigung klein und.76) knn dnn mit w u w = M ) E I ) vereinfcht werden. oder E I ) w = M ).77) ɛ M = E σ M = M h E I.7).5.3 Biegelinie mit der mimlen Spnnung σ M und schließlich mit der Belstung M verknüpft ist. ür ds u einem Kreissegment gebogene Blkenelement gilt dnn ) R dϕ = d und R + h dϕ = + ɛ M ) d.7) wobei dϕ den Öffnungswinkel und R den Rdius der gebogenen Blkenmittellinie ngibt. Die Kombintion beider Gleichungen liefert unächst R+ h ) dϕ = +ɛ M ) R dϕ oder R + h = R + ɛ M R.73) Mit.7) bleibt R h = ɛ M = M h E I oder R = M E I.74) Die spnnungsfreie neutrle ser eines Blkens, der in einem Abschnitt durch ein konstntes Biegemoment M belstet wird, beschreibt gemäß Euler einen Kreisbogen, dessen Rdius R durch.74) bestimmt ist. Über die Definition der Krümmung k = /R knn.74) uch uf älle ngewendet werden, bei denen sich ds Biegemoment und/oder ds lächenträgheitsmoment über der Blkenlänge verändern. Rein forml ist die Krümmung der Biegelinie w = w) durch k) = + d w d dw d ) ) 3 = w + w ) ) 3.75) beschrieben, wobei ur Abkürung die Ableitungen der Durchbiegung w nch der Koordinte durch Striche gekenneichnet wurden. Ein positives Biegemoment An einem einfchen Beispiel knn ds Vorgehen ur Bestimmung der Biegelinie w = w) demonstriert werden. Du wird ein Blken mit der änge und der Biegesteifigkeit n einem Ende fest eingespnnt und m nderen Ende durch die Krft in -Richtung belstet, Bild.9. D keine Streckenlst vorhnden ist, knn die Bild.9: Blken belstet durch Einelkrft Biegedifferenilgleichung gemäß.69) in der orm w IV =.78) ngeschrieben werden. Ersett mn die vierte Ableitung durch die Ableitung der dritten dnn erhält mn Nch der Seprtion w IV d w d = d w d.79) =.8) d w = d.8) knn eine unbestimmte Integrtion durchgeführt werden d w = d + C I I I.8) 4

21 Technische Mechnik II estigkeitslehre) Prof. Dr.-Ing. G. Rill wobei die uf beiden Seiten nfllenden Integrtionskonstnten in C I I I usmmengefsst wurden. D hier die Biegesteifigkeit E I konstnt ist, erhält mn in triviler Weise w = + C I I I.83) Anlog du findet mn w = C I I I + C I I w = C I I I + C I I + C I w = 6 C I I I 3 + C I I + C I + C.84) Die vier Integrtionskonstnten C bis C I I I müssen nun n die speielle Belstung und gerung ngepsst werden. Du stehen wei geometrische und wei dnmische Rndbedingungen ur Verfügung. Die geometrischen Rndbedingungen ergeben sich us der Art der gerung. Im vorliegenden ll lässt die feste Einspnnung n der Stelle = weder eine Verschiebung in -Richtung noch eine Neigung der Blkenchse u. Ds führt uf die geometrischen Rndbedingungen d w d w =) =.85) = w =) =.86) = D der Blken m freien Ende, n der Stelle =, durch die Krft in -Richtung belstet wird, erhält mn dort die Schnittrektionen Q = ) = und M = ) =. Gemäß.67) und.69) sind Querkrft und Moment ber proportionl ur weiten und dritten Ableitung von w. Deshlb sind die wei dnmischen Rndbedingungen hier durch w =) = M =) =.87) w =) = Q =) =.88) gegeben. In.84) und.83) eingesett erhält mn C I I I = und C I I I + C I I =.89) Schließlich führen die geometrischen Rndbedingungen.85) und.86) uf C = und C I =.9) Die Biegelinie ist im vorliegenden ll lso durch ds kubische Polnom oder w = ) w) = 6 3 ) 3 ).9) gegeben. Die mimle Durchbiegung f = w m = w =) = ) tritt erwrtungsgemäß n der Stelle der Krfteinleitung uf. D es sich dbei um ein Rnd-Etremum hndelt, ist dort die Neigung nicht Null sondern durch tn α = dw d = w =) = =.94) gegeben, Bild.. D die Berechnung nur für kleine w) Bild.: Biegelinie f d α dw Deformtionen gilt, knn ntürlich die Tngensfunktion in.93) durch ds Argument pproimiert werden, tn α α. In einschlägigen chbüchern,.b. in der Hütte Grundlgen der Ingenieurwissenschften oder im Dubbel Tschenbuch des Mschinenbus, findet mn für eine Vielhl von Belstungs- und gerungsfällen Angben über die Biegelinie, den Ort und die Größe der mimlen Durchbiegung und Neigung. Die Ergebnisse für einige einfche älle sind im folgenden usmmengestellt..6 Ktlog einfcher Biege-Belstungen.6. Einspnnung mit Einelkrft Biegelinie w) = 6 Neigung w ) = 3 ) ) 3 ) Mimle Durchbiegung w m = w) = 3 Neigung m Ende w ) = 3 w) w m 5

22 OTH Regensburg Technische Mechnik II.6. Einspnnung mit Streckenlst Biegelinie w) = 4 Neigung w ) = 6 q 4 q 3 Mimle Durchbiegung w m = w) = 8 Neigung m Ende w ) = 6 q 3 q 4 w) q ) ) ) ) ).6.3 Einspnnung mit Moment w) Biegelinie und mimle Durchbiegung w) = M w m w m M ), wm = w) = M Neigung n der Stelle und m Ende bei = w ) = M, w ) = M Der Belstung entsprechend wurde hier die Durchbiegung und die Neigung nch oben positiv beschrieben..6.4 Gelenkige gerung mit Einelkrft w = w) = 3 3 ) ) b Mimle Durchbiegung für b m = 3 b ) w m = w m ) = 3 Neigung n den Enden ) ) w ) = b 6 b w ) = 6 ) ) Neigung m Angriffspunkt der Krft ) w ) = b b 3 3 m.6.5 Gelenkige gerung mit Streckenlst Biegelinie w) w) = q 4 4 Neigung w ) = q 3 4 w m Mimle Durchbiegung w m = w = ) = 5 q Neigung n den Enden w ) = w ) = q 3 4 q ) + ) ) ) + ) ).6.6 Gelenkige gerung mit Moment b Biegelinie w)= 6 3 m b w) w m w b ) ) b ), ) ) ) ), Biegelinie w) = 6 Neigung w ) = 6 m M M w) w m ) ) 3 ) ) M Neigung w )= 6 b ) ) b 3 ), ) 3 ) ), Durchbiegung m Angriffspunkt der Krft Mimle Durchbiegung m = 3 w m = w m ) = Neigung n den Enden w ) = 6 3 M 7 M w ) = 3 M = w ) 6

23 Technische Mechnik II estigkeitslehre) Prof. Dr.-Ing. G. Rill.7 Torsion kreislindrischer Wellen.7. Belstungsbeispiel Kreuschlüssel werden um ösen von fest ngeogenen Muttern verwendet. Ds über die Querstreben eingeleitete Kräftepr, ) belstet den unteren Schft dnn nur mit einem Torsionsmoment M, Bild.. Auf M Bild.: Belstung durch Torsionsmoment M Grund der speiellen Belstung, die durch die Schnittrektionen N =, Q =, Q = M, M =, M =.95) gekenneichnet ist, können in einem Schnitt senkrecht ur -Achse nur die Schubspnnungen τ und τ uftreten. D keine Normlspnnung σ = ) uftritt, sind die Äquivlenbeiehungen.), und.5),.6) in triviler Weise erfüllt..7. Schubspnnungs-Anst Bei Buteilen mit Kreisquerschnitt können die in - und -Richtung wirkenden Schubspnnungen über τ = τ ϕ sin ϕ und τ = τ ϕ cos ϕ.96) durch eine tngentile Spnnung τ ϕ ersett werden, Bild.. Der einfche linere Anst S ϕ da r τ ϕ R M Bild.: Tngentile Schubspnnung und lächenelement im Kreisquerschnitt dϕ dr r τ ϕ τ ϕ = τ ϕ r) = C r.97) ϕ S erfüllt dnn infolge der Rottionssmmetrie die Äquivlenbeiehungen Q = τ da = C r sin ϕ rdϕ dr =.98) und Q = τ da = C r cos ϕ rdϕ dr =.99) Die verbleibende Äquivlenbeiehung für ds Torsionsmoment 6.4) vereinfcht sich u M = r τ ϕ da.) Mit dem Anst.97) bleibt M = r C r da = C r da.) Die Belstung mit dem Torsionsmoment M ht dnn gemäß.97) die tngentilen Schubspnnungen τ ϕ r) = M r da r = M I P r.) ur olge, wobei I P ds dbei uftretende polre lächen- Trägheitsmoment4 beeichnet..7.3 Polres lächenmoment Ds lächenmoment. Grdes I P = r da.3) wird ls polres lächen-trägheitsmoment des Querschnitts beeichnet, ds mit r = + über I P = r da = + ) da = I + I.4) uf die lächenmomente. Grdes I und I urückgeführt werden knn. Ds lächenelement in Bild. knn uf Grund seiner infinitesiml kleinen Ausdehnung durch ein Rechteck mit den Kntenlängen dr und rdϕ pproimiert werden. Mit da = rdϕdr.5) erhält mn dnn für einen kreisförmigen Querschnitt mit dem Rdius R I P = r da = R π r r dϕ dr.6) 4 Hinweis: Polre lächen-trägheitsmomente können forml für jeden Querschnitt ngegeben werden. Die dmit nch.) berechneten Schubspnnungen gelten jedoch nur für kreisförmige Querschnitte. 7