BAUSTATIK I KOLLOQUIUM 10, Lösung

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Etta Blau
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BAUSTATIK I KOLLOQUIUM 10, Lösung (101-011) Thema: Kraftmethode Aufgabe 1, Lösung Gegeben: Gesucht: Unterspanntes Fachwerk, EA = konstant für alle Stäbe Stabkräfte S i Grad der statischen

1 BAUSTATIK I KOLLOQUIUM 10, Lösung ( ) Thema: Kraftmethode Aufgabe 1, Lösung Gegeben: Gesucht: Unterspanntes Fachwerk, EA = konstant für alle Stäbe Stabkräfte S i Grad der statischen Unbestimmtheit: n 1 Abzählkriterium für ebene Fachwerke: n r s k g N.B. g Anzahl Gelenke am Ersatzsystem Vergleich: Abzählkriterium für ebene Rahmen: n r s k g N.B. Pro Knoten: g Anzahl angeschlossene Stäbe 1 GS und ÜG: Merke: Für ein GS dürfen Stäbe nicht entfernt sondern nur Bindungen gelöst werden. An deren Stelle sind die entsprechenden ÜG X einzuführen. i S 0 ( Q ) am GS: SSch Kolloquium 10 Seite 1/15

2 S1( X1 1) am GS: S 0 10 i Si1 li Verformung am GS an der Stelle und in Richtung von X1 infolge äusserer Einwirkung : EA EA EA Ql Q l Q l Q l Merke: 10 : 1. Index entspricht Ort und Richtung massgebend dafür ist der BZ mit Si1. Index entspricht Ursache massgebend dafür ist der VZ mit S i0 S 1 11 i Si1 li Verformung am GS an der Stelle und in Richtung von X1 infolge X1 1: EA l l l 5 l 1 1 l 1 1 l EA l EA Merke: : 1. Index entspricht Ort und Richtung massgebend dafür ist der BZ mit S 11 i1. Index entspricht Ursache massgebend dafür ist der VZ mit Si1 Verträglichkeitsbedingung: Ql X X EA 1 0.5Q kn 11 l EA Stabkräfte durch Superposition: Si Si0 X1 Si1 SSch Kolloquium 10 Seite /15

3 Aufgabe Gegeben: Gesucht: System und Einwirkung: l 5 m, h 0.5 m, E.110 kn/m, I m, T =10 C Temperaturänderung: Trägeroberseite: To 10 C Trägerunterseite: Tu 10 C Auflagerkräfte, Momente und Krümmungen infolge einer linear über die Stabhöhe verteilten Temperaturänderung Grad der statischen Unbestimmtheit: n 1 Verformungslinie qualitativ: GS und ÜG: 0: ( M0 0!) w0 ( To, Tu ) : Merke: Temperaturdifferenz ergibt am stat. best. GS keine Schnittgrössen (Eigenspannungszustand) M1( X1 1) : w1( X1 1) : SSch Kolloquium 10 Seite /15

4 Verformung am GS an der Stelle und in Richtung von X 10 1 ( ) ( ) T u o T u o 1 T T T T l 10 M1 0 dx 1 l h h infolge differentieller Temperatur: Merke: : 1. Index entspricht Ort und Richtung mas 10 sgebend dafür ist der BZ mit M1. Index entspricht Ursache massgebend dafür ist der VZ mit 0 Verformung am GS an der Stelle und in Richtung von X infolge X 1: M1 1 1 l 11 M1 dx 1 l EI EI EI Merke: : 1. Index entspricht Ort und Richtung massgebend dafür ist der BZ mit M Index entspricht Ursache massgebend dafür ist der VZ mit M 1 Verträglichkeitsbedingung: 11 ( ) ( ) T u o EI T u o 10 T T l T T EI 1 10 X X1 h l h X1 0. knm 0.5 Momente und Krümmungen durch Superposition: M X1 M1 : ( M0 0) M EI 1 0 X1 1 0 X1 : SSch Kolloquium 10 Seite 4/15

5 Aufgabe, Lösung Gegeben: Gesucht: U-Rahmen, oben mit Seil geschlossen; Einwirkung Q Seil: EAS EIR/ l (Das Seil ist mit einer Spannvorrichtung versehen, mit der eine beliebige Spannkraft eingestellt werden kann.) Rahmen: EAR ; EIR konst. Rechteckquerschnitt mit h l/ a) Momente infolge der Einzellast Q ohne Vorspannung b) Wie gross muss die Spannkraft P 0 (vor dem Aufbringen der Last Q) sein, damit sich der Punkt A insgesamt (nach dem Aufbringen der Last Q) nicht verschiebt? c) Wie gross muss P 0 gewählt werden, damit im Rahmenquerschnitt beim Punkt A keine Zugspannungen unter der Last Q auftreten? Ermittlung des Grades der statischen Unbestimmtheit mit dem Abzählkriterium für ebene Rahmen n r s k g Andere Möglichkeit zur Ermittlung der statischen Unbestimmtheit: Zurückführen auf ein stabiles statisch bestimmtes GS durch Lösen von Bindungen n 1 = Anzahl der gelösten Bindungen a) Momentenlinie infolge Einzellast Q ohne Vorspannung Verformungslinie qualitativ: M qualitativ : GS und ÜG: Merke: Für ein GS dürfen Stäbe nicht entfernt sondern nur Bindungen gelöst werden. An deren Stelle sind die entsprechenden ÜG X einzuführen. i SSch Kolloquium 10 Seite 5/15

6 Einwirkung Q am Grundsystem: M 0 ( Q ) : w 0 ( Q ) : Überzählige Grösse X1 1 am Grundsystem: M1( X1 1) : w1( X1 1) : M0 1 Ql Ql 10 M1 dx l l EI EI EI M1 N 1 11 M1 dx N1 dx EI EA 1 l l 1 8l l 8l l l l l l l l 1 l EI EI EA EI EA EI EI EI SSch Kolloquium 10 Seite /15

7 Verträglichkeitsbedingung: X X EI l Ql EI Q kn Schnittkräfte durch Superposition: S S0 X1 S1 M : V : N : SSch Kolloquium 10 Seite 7/15

8 b) Grösse der Vorspannkraft P 0 im Seil, damit die Durchbiegung w A im Punkt A verschwindet VZ( Q ): BZ( Q 1) : Verformungslinie: Merke: Gemäss Reduktionssatz kann der Belastungszustand BZ an einem beliebigen statisch bestimmten Grundsystem gewählt werden (vgl. Aufgabe 4, Seite 14). M Q : MQ 1: 1 1 A l Ql l Ql w Q l l Ql Ql Ql EI EI 1EI EI 1EI Merke: SSch Kolloquium 10 Seite 8/15

9 VZ( P 0): BZ( Q 1) : (wie Seite 8) Verformungslinie: M P 0 : M Q 1: (wie Seite 8) 1 l 0 0 A 0 P l P w P l l EI EI Bedingung für die totale Durchbiegung im Punkt A: wa 0 Ql P0 l wa wa Q wa P EI EI Q P0 SSch Kolloquium 10 Seite 9/15

10 c) Grösse von P 0, damit im Querschnitt im Punkt A keine Zugspannungen auftreten M Q : NQ : M P NP 0 : 0 : Beanspruchung Querschnitt A: x 0 Normalspannungen allgemein: N M x y M z x z y A I y Iz Schnittkräfte im Querschnitt A: Q Nx P0 Ql M y P0 l M 0 z A b h b h I 1 b h W l h (gegeben) h h z(1) z() SSch Kolloquium 10 Seite 10/15

11 Punkt (1): h 1 Q h Ql 1 Q 1 Ql z (A) P P l P P l 0 (1) (1) A I y A W 1 Q Ql P0 P 0l 0 b h b h l Q mit h P0 P0 1Q 0 7 P0 Q 0.5Q 10 Punkt (): h 1 Q h Ql 1 Q 1 Ql z (A) P P l P P l 0 () () A I y A W 1 Q Ql P0 P 0l 0 b h b h l Q mit h P0 P0 1Q 0 71 P0 Q 0.Q Bereich für die Vorspannkraft P 0, für die gilt x(a) 0 : 0.Q P 0.5Q 0 Normalkraft im Querschnitt A greift im Kern an Bemerkung: Q P0 0.Q Moment im Querschnitt A verschwindet konstante Druckspannungen über den ganzen Querschnitt SSch Kolloquium 10 Seite 11/15

12 Aufgabe 4, Lösung Gegeben: System und Einwirkung Q, EI konstant Gesucht: Momentenlinie und Durchbiegung w Abzählkriterium für ebene Rahmen: n r s k g Verformungslinie qualitativ: M qualitativ : GS und ÜG: Q am Grundsystem: M 0 ( Q ) : w 0 ( Q ) : X1 1 am Grundsystem: M1( X1 1) : w1( X1 1) : SSch Kolloquium 10 Seite 1/15

13 X 1 am Grundsystem: M( X 1) : w( X 1) : M 0 10 M1 dx 0 EI M0 1 Ql Ql 0 M dx 1 l EI 4 EI 4EI M1 1 1 l 11 M1 dx 1 l EI EI EI M 1 1 l M dx 1 l 11 aus Symmetriegründen EI EI EI M 1 1 l 1 M1 dx 1 l EI EI EI M1 1 1 l 1 M dx 1 l EI EI EI Merke: 1 1 Indices vertauschbar, da BZ und VZ vertauschbar (Maxwell) Verträglichkeitsbedingung: l l 1 10 X1 11 X X1 X 0 EI EI Ql l l 0 X1 1 X 0 X1 X 0 4EI EI EI Ql X 70 X Ql 5 knm knm SSch Kolloquium 10 Seite 1/15

14 Auflagerkräfte und Schnittkräfte durch Superposition: S S0 X1 S1 X S SKD: M M 0 X 1 M 1 X M : V V 0 X 1 V 1 X V : Durchbiegung w: Gemäss Reduktionssatz kann der Belastungszustand BZ an einem beliebigen statisch bestimmten Grundsystem gewählt werden. Bei der Wahl des GS sollte darauf geachtet werden, dass der Rechenaufwand möglichst klein ist. Varianten für die Wahl eines statisch bestimmten GS: a) BZ Variante 1 M : 1 l Ql Ql w l 4 70EI 80EI Aufwand gering! SSch Kolloquium 10 Seite 14/15

15 b) BZ Variante M : 1 l Ql 1 l Ql Ql l Ql Ql w l l 140EI 140EI 70EI 140EI 70EI 1 l Ql 9Ql 1 1 Ql Ql l 70EI 5EI EI 80EI Aufwand gross! c) BZ Variante M : 1 Ql Ql 1 Ql 9Ql w l l l l 140EI 70EI 140EI 5EI Ql Ql EI 80EI Aufwand mittel! SSch Kolloquium 10 Seite 15/15

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