Statik der Baukonstruktionen: Übungsblätter Lösung Trägerrost kb06 Lö ROST 1. T v [knm]

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1 Statik der Baukonstruktionen: Übungsblätter Lösung Trägerrost kb0 Lö ROST A. ) M y [knm] V z [kn] Hilfszustand T [knm]..00 w [mm] M y v [knm].00 T v [knm].00 A. ) M y [knm] V z [kn] 0.00 Hilfszustand T [knm] w [mm] M y v [knm] T v [knm] A. ) M y [knm] T [knm] V z [kn].00 w [mm]

2 Statik der Baukonstruktionen: Übungsblätter Lösung Trägerrost kb0 Lö ROST A.). M y [knm] 7, T [knm].. V z [kn] w [mm] Hilfszustand M y v [knm],0.0. T v [knm] A. ) M y [knm] T [knm] V z [kn] w [mm].9 A. ) T [knm] M y [knm] V z [kn] w [mm]. 0,8

3 Statik der Baukonstruktionen: Lösung Verschiebungsgrößenverfahren kb07 Lö VV - Verschiebungsgrößenverfahren, Teil : einfach geometrisch unbestimmte Systeme A.) A.) = ( + + ) EJ=,0 EJ,0,0,0,0,0 0 = M,0 = 0,0,0 =,7 8 ξ =, /EJ = ( + ) EJ=,0 EJ,0,0 LF: 0,0,0 M,0 =+ =, 8 0,0,0 M,0 = =, 8 0 = 0,0 ξ =,0 /EJ LF : 0,0, 0 = M,0 = + 0, =, ξ = 9,77 /EJ ql + ql,0 +,0 St 8(l+ l ) 8 (,0 +,0) Ml L,,0 MSt = = =,8 (l+ l ) (,0 +,0) M = = 0,0 =, A. ) Lager () als Festlager: V =7,79 muss nach Tabellenfall N-Verlauf aufgeteilt werden:,0 N = V = 0,9 V =,9,0 +,0,0 N =+ V = 0,7 V =,88,0 +, = ( + + ) EJ =, EJ,0,,0,0, M,0 = =, M,0 =,0,0 =, =,98 keine ξ = 07 /EJ -0.0!,0,0 0! M = M (d.h. = 0),0 = F,0 F=,7kN

4 Statik der Baukonstruktionen: Lösung Verschiebungsgrößenverfahren kb07 Lö VV - A. ) w : Durchbiegung Kragarm und Anteil Knotendrehung () 0,0cos0,,0, w = + +,,/EJ EJ 8EJ =,/ EJ (m) =,(mm) = ( + ) EJ=,8 EJ,, 0,0, M,0 =+ +,0, =,,0, M,0 = =,8 8 =, ξ =, /EJ A. ) = ( + ) EJ =, EJ,0,9 8,0,0 M,0 =+ =,7 8,0,0 M,0 = =,00 8 = M + M = 9, 0,0,0 ξ =,8 /EJ

5 Statik der Baukonstruktionen: Lösung Verschiebungsgrößenverfahren kb07 Lö VV - Verschiebungsgrößenverfahren, Teil : geometrisch einfach unbestimmte Systeme A.).7..9 = ( + + ) EJ=,79 EJ,8,0,0.,0,0 M,0 =+ =,00.,0,0,0,0 M,0 = + 0, =, q 8,8 0 = 9,0 ξ =,8 /EJ ,8,8,8 EJ w FM = + ( 7, 0,9) =, Starreinspannbiegemomente: -,0 bzw. -,0 knm Ermittlung Auflagerkräfte: -.0 Einspannmomente nicht vergessen!! -7. A.) Gleitlager ergibt wegen sym. Belastung = ( + + ) EJ = 0,7 EJ ident. Ergebnisse! 7, 0, 9,0 X 0,0 7, M,0 =+ = 8, ,0 9,0 M,0 = = 00, = 8,0 Starreinspannbiegemomente: ξ =,0 /EJ ,8 bzw. -00,8 knm ,0 7, 7, EJ w FM() () = + ( 8,0) =, wmax = 0,9 8 X X X -.0 Pendelstab : = ( + 7, 0, = 8,0 0 ξ = 9, /EJ M =,0 Kontrolle : + + St + ) EJ = 0,77 EJ 9,0 ql ql 7, 9,0 MSt = = 0,0 (l + l ) ( 7, + 9,0) =,0 größeresm : Einspannung in (),() oder steiferer Diagonalstäbe Pendelstab:

6 Statik der Baukonstruktionen: Lösung Verschiebungsgrößenverfahren kb07 Lö VV - A. ) LF : q ,0 ( ), = ( + ) 0 =,8 0,8,0 0,0,0 0 = M,0 = = 980,0 ξ = 8,9 /0 endg. Biegemomente : ( ), M = ,9 = 888,0,0 7,0 M = ( 8,9) = 887,8,8 0,0,0,0 max w () () = ( 888, ), mm 8, 0 + = Knoten () Starreinspannbiegemomente: -980,0 knm A. ) LF : ΔT , 0, 0 (,0) 0 = M,0 = = 0,0 0, ξ =, /0 endg. Biegemomente : ( ), M = 0 + (,) = +,7,0 7,0 M = ( (,)) =+,7,8 Knoten () Starreinspannbiegemomente:+0,0 knm max w() () =, 0 (,0),0,0 + (,7 ) = 0, 8, 0 0,8 mm Kontrolle Einspannmoment :,,8 k = = 0,07 7,0,0 M = E, 0, 0 (,0) 0,07,0,0 0, 0,07 (0,07 + ) = 70,8 knm

7 Statik der Baukonstruktionen: Lösung Verschiebungsgrößenverfahren kb07 Lö VV - Cross A.) Steifigkeits - und Verteilungszahlen : k 0, k = = = 0, V = = = 0,8 l,0 k(),08 k 0,8 k = = = 0,8 V = = = 0,7 l 7,0 k(),08 k =,08 Kontrolle V =,000 (ok) () () alternativ (da gleiche Randbedingungen) : abliegende Länge 7,0 V = = = 0,8 Gesamtlänge,0 abliegende Länge,0 V = = = 0,7 Gesamtlänge,0 7. LF : Starreinspannmomente und endg. Biegemomente : (),0 ql 0,0 7,0 M,0 = = =, 8 8 Δ M = M =, M = 0 (,) 0,8 =,7 M =, (,) 0,7 =,7 ΔM(), () = = =+9, /EJ Σk, 08 EJ () LF : Starreinspannmomente und endg. Biegemomente : ql 0,0,0 M,0 =+ =+ =+, 8 8 ql 0,0 7,0 M,0 = = =, 8 8 Δ M = M + M = 0,00 (),0,0 M =, ( 0,00) 0,8 = 8,7 M =, ( 0,00) 0,7 = 8,7 ΔM() 0,0 () = = = + 9, /EJ Σk,08 EJ () A.) Steifigkeits - und Verteilungszahlen : k 0,8 k = = = 0,8 V = = = 0, l,0 k(),8 k 0,8 k = = = 0,8 V = = = 0,88 l 7,0 k(),8 k =,8 Kontrolle V =,000 (ok) () () LF : Starreinspannmomente und endg. Biegemomente : LF : Starreinspannmomente und endg. Biegemomente : ql 0,0 7,0 ql 0,0,0 M,0 = = =, M,0 = = = 0,8 8 8 Δ M() = M,0 =, ql 0,0,0 M,0 =+ =+ =+ 0,8 M = { 0 (,) 0,} = 9,88 Δ M() = M,0 = + 0,8 M = 0 (,) 0, 0, = + 9,9 M = 0 ( + 0,8) 0,88 = 7,7 M =, (,) 0,88 = 9,88 M = { + 0,80 ( + 0,8) 0,} = 7,7 ΔM M (), = 0, 8 ( + 0,8) 0, 0, = + 7, () = = = + 9,9 /EJ Σk(),8 EJ Δ M() + 0,8 () = = = 7,0 /EJ.97 Σk(),8 EJ

8 Statik der Baukonstruktionen: Lösung Verschiebungsgrößenverfahren kb07 Lö VV - LF : Starreinspannmomente und endg. Biegemomente : ql 0,0,0 M,0 = = = 0,8 ql 0,0,0 M,0 =+ =+ =+ 0,8 ql 0,0 7,0 M,0 = = =, 8 8 Δ M = M + M = 0, (),0,0 M =, ( 0,) 0,88 = 7, M = + 0,80 ( 0,) 0, = 7, M = 0,8 ( 0,) 0, 0, = 7,7 ΔM() 0, () = = = +,9 /EJ Σk,8 EJ () A. ) Steifigkeits - und Verteilungszahlen : k 0,7 = = = = = = k 0,7 V 0,0 l, k(),0 k 0, = = = = = = k 0, V 0,7 l 8,0 k(),0 k 0, = = = = = = k 0, V 0,8 l 7, k(),0 k =,0 Kontrolle V =,000 (ok) () () LF : Starreinspannmomente und endg. Biegemomente : F l 0,0 8,0 8 8 Δ M = M = 0,00 M,0 = = = 0,00 (),0 M = 0 ( 0,00) 0,0 =,00 M = 0,00 ( 0,00) 0,7 =,0 M = 0 ( 0,00) 0,0 = 8,0 M = 0 ( 0,00) 0,0, = + 9,0 ΔM() 0,00 () = = = +, /EJ Σk,0 EJ () LF : Starreinspannmomente und endg. Biegemomente : F l 0,0 8,0 8 8 F l 0,0, Δ M = M + M = + 7, M,0 = = = 0,00 M,0 =+ =+ =+, (),0,0 M =, ( + 7,) 0,0 = 9, M = 0,00 ( + 7,) 0,7 =,7 M = 0 ( + 7,) 0,8 =+ 8,7 M = 0 ( + 7,) 0,8 0, =,09 ΔM() 7, () = = =,80 /EJ Σk,0 EJ ()

9 Statik der Baukonstruktionen: Lösung Verschiebungsgrößenverfahren kb07 Lö VV - Symmetrie, Antimetrie, Belastungsumordnung A.) a) symmetrische Gruppe, z.b. VV/ Cross (oder KGV): b) System mit eingeführter Antimetriebedingung: Reduktion auf -Feldträger z.b. mit VV/Cross, KGV oder Tab. Fall + antimetrische Ergänzung! () (),00,00,0 F=0,0 kn A.) a) symmetrische Gruppe, z.b. VV/ Cross (oder KGV): , b) System mit eingeführter Antimetriebedingung: H=8,0 kn w=,0 kn/m () N SYM. A. =0(!) Reduktion auf halbes System (hier statisch bestimmt!) + antimetrische Ergänzung! (), ,00,

10 Statik der Baukonstruktionen: Lösung Verschiebungsgrößenverfahren kb07 Lö VV - A.) a) infolge EA-> können sich () und () NICHT verschieben, daher trägt ()-()-()-() wie ein Durchlaufträger (DLT)! symmetrische Gruppe, z.b. VV/ Cross (oder KGV): , w, M und V des DLT entsprechen w, M und V des Hängewerkes. Die Auflagerkraft B () wird als N ()-() in das Hängewerk eingeleitet: Krafteck Knoten () erforderlich! Beachte Auflagerkräfte Hängwerk ungleich Auflagerkräfte DLT! (zu V des DLT muss noch der Vertikalanteil von N addiert werden, Summe = 0,0!) b) System mit eingeführter Antimetriebedingung:,0 Reduktion auf halbes System (hier statisch bestimmt!) nach Berücksichtigung N Sym. A. =0 (d.h. N =0) + antimetrische Ergänzung! () H=8,0 kn () () Krafteck (): N = - 0,0 kn,00, A. ) a) Belastungsumordnung in sym. Belastung: symmetrische Gruppe, z.b. VV/ Cross (oder KGV):

11 Statik der Baukonstruktionen: Lösung Verschiebungsgrößenverfahren kb07 Lö VV - b) antimetrische Belastung mit eingeführter Antimetriebedingung: Reduktion auf -Feldträger z.b. mit VV/Cross, KGV oder Tab. Fall + antimetrische Ergänzung! c) Addition: A. ) stielsym. System wird zu auflagersym. System, da ()-() keine Biegung bekommt! () =0! hier z. B. Reduktion auf halbes System q=,0 kn/m,0 () () 0. () , A. ) auflagersym. System wird zu feldsym. System, da Pendelstab ()-() wegen N Stiel =0 vollkommen wirkungslos ist! w=,0 kn/m () N SYM. A. =0(!) () N SYM. A. =0(!) w=,0 kn/m () Reduktion auf halbes System (hier statisch bestimmt!) nach Berücksichtigung der Antimetriebed.+ antimetrische Ergänzung! () () (),00,

12 Statik der Baukonstruktionen: Lösung Verschiebungsgrößenverfahren kb07 Lö VV - Cross A.) Cross Verteilungszahlen: gemäß Ü Cross A Starreinspannmomente und endg. Biegemomente : EJ EJ 0,0 M = ψ = ( ) =+ 0,00 EJ l,00,00,0,0 Δ M = M = + 0,00 EJ (),0 M = + 0, EJ ( + 0,00 EJ) 0,8 = 0,000 EJ =,00 M =+ 0 ( + 0,00 EJ) 0,7 = 0,000 EJ=,00 Δ M() + 0,00 EJ () = = = 0,007 (rad) Σk,08 EJ () Starreinspannmomente und endg. Biegemomente : EJ EJ 0,0 M = ψ = ( ) =+ 0,00 EJ l,00,00,0,0 Δ M = M = + 0,00 EJ (),0 M = + 0, EJ ( + 0,00 EJ) 0, = 0,000 EJ = 8,7 M =+ 0 ( + 0,00 EJ) 0,88 = 0,0008 EJ= 8,7 Δ M() + 0,00 EJ () = = = 0,009 (rad) Σk,8 EJ () A.) LF ).7 S H tan α= ; H = tan α 0,0=, 0 m 0,0 0,0 0,0 cos α= ; S = =,7 0 m S cosα, 0 ψ = =, 0,0 Biegemomente : EJ 0 M = ψ = (, 0 ) =+,0 knm l,0 N V aus M: V = V = M /l =,kn V Krafteck() : N = V tanα = 8,; N = = 0, kn cosα V N LF ) ,0 ψ = = +,0 0 (rad),0 Biegemomente : EJ 0 M = ψ = ( +,0 0 ) = 8,7 knm l,0 V = V =,9 kn; N =, kn; N =+ 7,8kN

13 Statik der Baukonstruktionen: Lösung Verschiebungsgrößenverfahren kb07 Lö VV - LF ). S S S H = tan α 0,0=, 0 m L = sin α 0,0= 8,0 0 m S = H sinα =,07 0 m S = cos α 0,0=,0 0 m H, 0 (rad) der Knoten () wandert um H nach rechts (d.h. um H zur Stabachse ()-()) oder um L in Richtung der Stabachse ()-() und anschließend um S zur Stabachse ()-()! Knoten () analog um S ψ = = l Biegemomente : EJ 0 M = ψ =, 0 =,0 knm l,0 V aus M: V = V = M /l = +,kn V Krafteck() : N = V tanα= 8,; N = =+ 0, kn cosα LF ) Δl 0,0 H= = =,7 0 m cos α cosα S =Δl tanα=, 0 m ψ = = l H,7 0 (rad) Biegemomente : EJ 0 M = ψ =,7 0 =,knm l,0 V aus M: V = V = M /l = + 7,8kN V Krafteck() : N = V tanα= 0,; N = =+,0 kn cosα 0. äquivalente Temperatur Δ= l 0,0 =α T l T T SCH 0,0 0,0 = = =,7 K l, 0,0 SCH αt usatzfrage: kein Gelenk in (), LF der Williotplan bleibt identisch, es entstehen nun aber zunächst die Stabendmomente im 0 ustand; dann Cross oder VV rechnen (hier nur Endergebnis). 7.0 endg. Biegelinie: die Knotenverschiebung () ist identisch zum 0 - ustand, der Knoten verdreht sich nun jedoch! ,0 ψ = = +,0 0 (rad),0 Stabendmomente im"0" us tand : Biegemomente im 0 -ustand EJ 0 M = M = ψ = ( +,0 0 ) = 7,0 knm l,0,0,0 -.8

14 Statik der Baukonstruktionen: Lösung Verschiebungsgrößenverfahren kb07 Lö VV - A. ) a) Infolge der sym. Belastung trägt das System sym. und somit quasi unverschieblich! Die Riegelmitte kann sich aus Symmetriegründen nur vertikal verschieben Verschiebungsmöglichkeit: V T SCH Δ=α l T l =, 00,0 = 0 m Δ l/ = 0 m Δl/ Δl/ S= =, 0 m; V = =,00 0 m sinα tanα S, 0 ψ = = =,0 0 (rad) l, Biegemomente : EJ 0 M = ψ = (,0 0 ) =+ 8,kNm l,. T T b) Williotplan für den 0 -ustand wie bei a), dann VV oder Cross (hier nur Endergebnis) Stabendmomente im "0" us tand : EJ 0 M = ψ = (,0 0 ) =+, knm l, A. ) w () in Richtung Stab ()-() zerlegen, dann N berechnen, dann Krafteck Knoten () Δ l = w sin0 = 0,00 m Δl N = EA = 7,80kN l o Grenzwerte: EA= : wie Grenzwerte: EA=0: wie - das vorliegende System mit EA liegt somit näher bei EA-> 78.