Statik II. Lösungsvorschlag zur 3. Hörsaalübung Symmetrie und Antimetrie (KGV)

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Lorenz Lichtenberg
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1 Lösungsvorschlag zur Aufgabe 1: Symmetrie und Antimetrie System mit Belastung: Aufteilung der gegebenen Belastung in symmetrische und antimetrische Belastung: symmetrischer Lastfall: antimetrischer Lastfall: Seite 1/9

2 1.Symmetrischer Lastfall Auf der Symmetrieachse gilt: Q = 0 M 0 N 0 Reduziertes System: Halbiertes (linkes) System mit einem Querkraftgelenk (vertikal verschiebliche Einspannung) auf der Symmetrieachse (symmetrische Lagerungsbedingung) Grad der statischen Unbestimmtheit: n x = 2 Statisch bestimmtes Hauptsystem: Einheitsbelastungszustand X 1 = 1 Einheitsbelastungszustand X 2 = 1 M 1 Linie M 2 Linie Q 1 Linie Q 2 Linie Federkraft N F,1 = 1 Federkraft N F,2 = +1 Seite 2/9

3 Nullzustand M 0 Linie Q 0 Linie Federkraft N F,0 = q m Beim Koppeln des halben Systems ist folgendes zu beachten: Die Feder ist ebenfalls zu halbieren, d.h. man muss mit der halben Federsteifigkeit rechnen: k 2 = EI 16m 3 Seite 3/9

4 EIδ 11 = (4 + 2)m + 1 EIδ 12 = EI k 2 = 6 m + 1m = 3m 3 16m 3 = 2 3 m 1m = 1 3 m EIδ 22 = m 3 = 4 3 m + 1m = 7 3 m EIδ 10 = q m ( q m) 16m 3 = q m 3 = 16 3 q m3 EIδ 20 = q m2 + ( q m) 16m 3 = q m 3 = 8 3 q m Damit erhält man folgendes Gleichungssystem: 3m 1 3 m 1 3 m 7 3 m X1 X 2 = mit der Lösung: X1 X 2 1, 6774 q m 2 = 0, 9032 q m 2 Seite 4/9

5 Lagerreaktionen und Schnittgrößen im symmetrischen Lastfall Lager reaktionen[q m] M Linie[q m 2 ] Q Linie[q m] Seite 5/9

6 Institut für Statik und 2.Antimetrischer Lastfall Auf der Symmetrieachse gilt: Q 6= 0 M = 0 N = 0 Reduziertes System: Halbiertes (linkes) System mit einem Lager (zur Aufnahme der Querkraft) auf der Symmetrieachse (antimetrische Lagerungsbedingung) Grad der statischen Unbestimmtheit: n x = 1 Statisch bestimmtes Hauptsystem: Einheitsbelastungszustand X 3 = 1 Nullzustand M3 Linie M0 Linie Q 3 Linie Q 0 Linie Federkraft NF,3 = 0 Federkraft NF,0 = 0 Die Hauptsysteme des symmetrischen und antimetrischen Lastfalls unterscheiden sich nur dadurch, dass im antimetrischen Hauptsystem auf der Symmetrieachse ein Lager zur Verhinderung der Vertikalenverschiebung (bzw. zur Aufnahme der Querkraft an dieser Stelle) vorhanden ist.dadurch ist im antimetrischen System die Federkraft stets null und bei der Berechnung der Koppelwerte entfallen die Federanteile. Ansonsten ist alles ähnlich wie im symmetrischen Fall. Die Schnittgrößenverläufe in den Einheitsbelastungszustände X 1 und X 3 sowie im Nullsystem des symmetrischen und antimetrischen Lastfalls sind gleich. Seite 6/9

7 EIδ 33 = (4 + 2)m = 2m EIδ 30 = q m2 = 4 3 q m3 X 3 = EIδ 30 EIδ 33 = 2 3 q m2 Seite 7/9

8 Lagerreaktionen und Schnittgrößen im antimetrischen Lastfall Lager reaktionen[q m] M Linie[q m 2 ] Q Linie[q m] Seite 8/9

9 Die endgültigen Lagerreaktionen und Schnittgrößenverläufe ergeben sich durch Superposition des symmetrischen und antimetrischen Lastfalls. Lagerreaktionen und Schnittgrößen im endgültigen Lastfall q Lager reaktionen[q m] M Linie[q m 2 ] Q Linie[q m] 4 = 3, Seite 9/9

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