in den knotenzentrierten Koordinatensystemen des linken und rechten Knotens (Element i) bekannt sind. Das Prinzip der Berechnung lat

Transkript

1 Kapitel Gleichgewicht von Stabwerken Durch die Festlegung auf die grundlegenden Elementtypen und die knotenzentrierten Koordinatensysteme ist der Weg zur Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen vorgezeichnet. Wir betrachten nur Stabwerke, die aus den in Kapitel festgelegten Elementtypen aufgebaut sind und nehmen an, da die Elementsgleichgewichtsbedingungen (a i ) T F i = S i (.) in den knotenzentrierten Koordinatensystemen des linken und rechten Knotens (Element i) bekannt sind. Das Prinzip der Berechnung lat sich damit einfach darstellen.. Grundlagen Eine wesentliche Grundlage ist das Schnittprinzip: Wir denken uns die einzelnen Elemente des Stabwerks herausgeschnitten. Fur die Wechselwirkung zwischen Element und Knoten gilt das Gegenwirkungsprinzip:

2 KAPITEL. GLEICHGEWICHT VON STABWERKEN actio = reactio; die Stabendkrafte in einem durch einen Schnitt freigelegten Stabende sind den auf den Knoten wirkenden Kraften entgegengerichtet und dem Betrage nach gleich gro (Abbildung.) Abbildung.: Erlauterung zum Schnittprinzip Fur ein Tragwerk gelten zusammengefat folgende Gleichgewichtsaussagen: Satz.: ein Stabwerk ist nur dann im Gleichgewicht, wenn die Lasten mit den Lagerreaktion im Gleichgewicht sind, jedes Stabelement im Gleichgewicht ist, an allen Knoten, die man sich durch Knotenschnitte freigelegt denkt, Gleichgewicht zwischen den Knotenlasten und den Knotenkraften herrscht. Die Knotenkrafte im Knoten i sind die Summe der Stabendkrafte (reactio) aller am Knoten i angeschlossenen Stabelemente.

3 .. GLEICHGEWICHTSBEDINGUNGEN. Gleichgewichtsbedingungen Mit Bezug auf die Randbedingungen bezeichnen wir ein Stabwerk als unverschieblich, wenn alle Starrkorperverschiebungen verhindert sind: in einem ebenen Stabwerk gibt es drei unabhangige Starrkorperverschiebungen, zwei Translationen in der Ebene und eine Rotation in der Ebene; mindestens diese Starrkorperverschiebungen mussen in einem unverschieblichen ebenen Stabwerk vorgegeben sein. In einem unverschieblichen raumlichen Stabwerk mussen mindestens drei linear unabhangige Translationen und drei linear unabhangige Rotationen vorgegeben sein. Fur die Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen nehmen wir an, da die vorgegebenen Verschiebungen bzw. Verdrehungen Null sind; vorgegebene Lagerverschiebungen ungleich Null werden an spaterer Stelle ausfuhrlich behandelt. Die Uberprufung, ob durch die vorgegebenen Lagerungsbedingungen tatsachlich alle Starrkorperverschiebungen verhindert werden, ist im allgemeinen nur durch die Uberprufung der linearen Unabhangigkeit der Gleichgewichtsbedingungen moglich; wir zeigen deshalb zunachst, wie diese Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt werden. Die Gleichgewichtsbedingungen in den durch Knotenschnitte freigelegten Knoten werden im globalen oder einem lokalen knotenbezogenen Koordinatensystem aufgestellt. Alle Knoten eines Stabwerkes konnen durch auere Krafte beansprucht werden die inneren Knoten durch die Belastung, die Randknoten durch die Lagerreaktionen. Lagerreaktionen werden also zu den aueren Kraften gezahlt (Abbildung.). Denition.: Lagerreaktionen im Knoten i sind positiv in Richtung der positiven Achsen des Koordinatensystems im Knoten i.

4 KAPITEL. GLEICHGEWICHT VON STABWERKEN Abbildung.: Positive Lagerreaktionen unverschieblicher Lager Lagerreaktionen sind damit unbekannte auere Krafte, die in den Knoten in Richtung der Verschiebungskomponenten auftreten, welche vorgegeben sind. In Richtung der freien Verschiebungskomponenten konnen Knotenlasten vorgegeben werden. Zur Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen numerieren wir alle in den Knoten angreifenden Krafte und Momente; der Kopfzeiger kennzeichnet die Knotenummer, der Fuzeiger die Belastungskomponente, die Lasten werden mit R bezeichnet, die Lagerreaktion mit ~ R. Die Anzahl der Belastungskomponenten im Knoten k sei d k.fur das Stabwerk konnen somit px n = d k (.) k=

5 .. GLEICHGEWICHTSBEDINGUNGEN Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt werden. Abbildung.: Gleichgewicht am Knoten Fur den Knoten k eines Rahmens (Abbildung.) erhalt man die folgenden Gleichgewichtsbedingungen: Gleichgewicht: s h + s i + s j = R k s h + s i + s j = R k s h + s i + = R k Der Knotennumerierung folgend werden alle Komponenten der Knotenlasten in einem Knotenlastenvektor R zusammengefat: Der Elementnumerierung folgend werden alle Komponenten der Stabendkrafte in einem Stabendkraftvektor S zusammengefat; fur q Ele- R = R R. ~R n innere Knoten Lager (.)

6 KAPITEL. GLEICHGEWICHT VON STABWERKEN mente erhalt man: S = S S S. S m S S. S q (.) qx mit m = d i: (.) i= Die Gleichgewichtsbedingungen des Gesamtsystems ergeben sich damit zu C S = R (.) mit C n m. Die Komponenten von C erhalt man zeilenweise wie folgt: C ij =,wenn S j einen Beitrag zu dem Gleichgewicht in Richtung von R i leistet C ij =,wenn S j am Gleichgewicht in Richtung von R i nicht beteiligt ist C ist eine (; )-Matrix; wir bezeichnen sie als Verknupfungs- oder Inzidenzmatrix des Stabwerkes. Die systematische Besetzung von C erfolgt ausgehend von der Verknupfungstafel (Kapitel ). Gleichung (.) ist in Abbildung. symbolisch dargestellt.

7 .. GLEICHGEWICHTSBEDINGUNGEN S m C n m m' R n (innere Knoten) Knotenlasten n' (Lager) Lagerreaktionen Abbildung.: Vollstandige Gleichgewichtsbedingungen In Reihenfolge der Elementnumerierung wird der Vektor der linear unabhangigen Stabendkrafte eingefuhrt: F = F F F. F m F F. F q (.) Analog zu (.) gilt fur das Gesamttragwerk mit diagf(a i ) T g als Hyperdiagonalmatrix (Anhang A) S = diagf(a i ) T gf: (.8) Durch Einsetzen in (.) erhalt man C diagf(a i ) T gf = R : (.9) Zur Abkurzung der Schreibweise setzen wir (a ) T = C diagf(a i ) T g: (.)

8 8 KAPITEL. GLEICHGEWICHT VON STABWERKEN und erhalten damit fur (.) (a ) T F = R : (.) Es ist dies die vollstandige Gleichgewichtsbedingung des Gesamttragwerkes. Zur naheren Erlauterung wird dieses Gleichungssystem fur das in Abbildung. dargestellte Stabtragwerk aufgestellt. Element Knoten l r i i i i i Knoten Koordinaten x [m] z, 8 8 Abbildung.: Rahmen in der Ebene mit Verknupfungstafel

9 .. GLEICHGEWICHTSBEDINGUNGEN 9 Beispiel.: Vollstandige Gleichgewichtsbedingungen nach (.): R = C S Die Elementgleichgewichtsmatrizen (a i ) T werden dem Elementkatalog (Anhang A) entnommen. Im Elementkatalog stehen zwei ebene Stabelemente zur Auswahl. Wir wahlen das StabelementTyp b und erhalten mit cos =(x r, x l )=l i und sin =(z r, z l )=l i

10 KAPITEL. GLEICHGEWICHT VON STABWERKEN die folgenden Elementgleichgewichtsmatrizen (a i ) T =, cos sin, sin, cos l, cos, sin sin cos Element l i [m] cos sin i i,,9 -,8 i,,9,8 i i (a ) T =(a ) T = (a ) T =,, ::::::::::::,,; 9 ; 8,; 8,; 9 ;, ::::::::::::::::::::: ; 9,; 8 ; 8 ; 9 (a ) T = (a ) T =,; 9,; 8 ; 8,; 9 ;, ::::::::::::::::::::: ; 9 ; 8,; 8 ; 9,,, ::::::::::::

11 .. GLEICHGEWICHTSBEDINGUNGEN Damit ergibt sich als Gleichgewichtsbedingung fur das Gesamtsystem: R R R R R R R R R er er er er er er -,9 -,8 - -,8 -,9 - -, - -,9,8 -,9,8 -,8,9 -,8 -,9, -,9,8 -,8, h h h h h F F F F F F F F F F F F F F F Fur den Aufbau der Gleichgewichtsmatrix entsprechend (.) ist es nicht erforderlich, die Multiplikation (.) durchzufuhren. Auch (a ) T kann wie C direkt mit der Verknupfungstafel aufgebaut werden. Ein Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte der Gleichgewichtsmatrix (a ) T ist nur dann verschieden von Null, wenn F j einen Beitrag zum Gleichgewicht in Richtung von R i leistet. In der Gleichgewichtsmatrix steht der Beitrag als Element der betreenden Gleichgewichtsmatrix des Elementes. Bisher wurde der Einu der Lagerung auf das Gleichgewicht nichtberucksichtigt. Zwischen den Lagerreaktionen R ~ k und den Knotenlasten an inneren Knoten R k besteht jedoch ein wesentlicher Unterschied: Die Knotenlasten R k sind bekannt, und die Lagerreaktionen ~R k sind unbekannt. Das bedeutet, da die Gleichungen mit den Lagerreaktionen im Lastvektor R keine Bestimmungsgleichungen fur F sind. Die Anzahl der Lagerreaktionen wird mit n r bezeichnet. Die letzten n r Zeilen von (a ) T, die das Gleichgewicht der Lagerpunkte beschreiben, konnen nicht zur Bestimmung der linear unabhangigen Stabendkrafte F verwendet werden, da die Lagerreaktionen unbekannt sind. Das Gleichgewicht des Gesamtsystems ist allein durch die Gleichgewichtsbedingungen der inneren Knoten bestimmt.

12 KAPITEL. GLEICHGEWICHT VON STABWERKEN Die Anzahl der Knotenlasten R k i wird mit n bezeichnet: n = n, n r : Fur Tragwerke mit unverschieblichen Lagern ist die Matrix der ersten n Zeilen von (a ) T die Gleichgewichtsmatrix a T (Abbildung.). Die Gleichgewichtsbedingungen eines Tragwerkes lauten damit a T F = R (.) Eine andere Moglichkeit zur Berucksichtigung der Lagerreaktionen besteht darin, da man die unbekannten Stabendkrafte F mit den unbekannten Lagerreaktionen in einem Vektor zusammenfat. Dieser Weg wird in der Literatur (//, //) verschiedentlich angegeben. Da er jedoch eine groere Gleichgewichtsmatrix als der hier beschriebene Weg erfordert, wird er nicht weiter verfolgt. Abbildung.: Gleichgewichtsbedingungen des Tragwerkes Dem Streichen von Gleichgewichtsbedingungen fur die unbekannten Lagerreaktionen entspricht eine Linksmultiplikation von (.8) mit einer unvollstandigen Einheitsmatrix Î, man erhalt Î(a ) T F = a T F mit R = ÎR ; Înn ;n >n und Îij = fur alle i = j = fur alle i = j.

13 .. GLEICHGEWICHTSBEDINGUNGEN Die letzten n, n Spalten von Î sind Null. Bei beliebiger Numerierung der Gleichgewichtsgleichungen an Lagerpunkten mussen Zwischenzeilen in (a ) T gestrichen werden; jede Zwischenspalte mit Nullwerten in einer unvollstandigen Einheitsmatrix bewirkt die Streichung der entsprechenden Zeilen vor (a ) T,z.B.werden durch Linksmultiplikation einer allgemeinen Matrix (a ) T qm mit der Matrix Î 9 = 8 9 " " " die Zeilen, und 9 gestrichen und man erhalt Î(a ) T = a T m Wir zeigen dies fur den durch ein schiefes Gleitlager (Abbildung.) modizierten Rahmen nach (Abbildung.) : Abbildung.: Rahmen mit schiefem Gleitlager im Knoten

14 KAPITEL. GLEICHGEWICHT VON STABWERKEN Beispiel.: Schiefes Gleitlager Zunachst wird die Elementgleichgewichtsmatrix auf das knotenzentrierte Koordinatensystem im Knoten (Abbildung.) transformiert; durch L D (a ) T =(~a ) T mit L D = erhalt man (~a ) T = ;,; ; ;,, :::::::::::::::::::::::,;,; ;,; Da im Knoten nur in ~z-richtung eine Auagerreaktion moglich ist, ergibt sich der Vektor der aueren Krafte zu (R) T = h R R R ; R R R ; R R R ; ~ R ~ R ~ R ; R ~ R R (a ) T und F bleiben unverandert. i

15 .. GELENKE UND GELENKKNOTEN. Gelenke und Gelenkknoten Bisher wurde davon ausgegangen, da die Stabe eines Stabtragwerkes immer biegesteif miteinander verbunden sind. In Kapitel wurden jedoch auch Stabtragwerke mit Gelenken eingefuhrt. Wir unterscheiden zwei Arten von Gelenken (vgl. Abbildung.8): (a) Stabgelenke sind spezielle Stabelemente mit einer oder mehreren zusatzlichen Kraftebedingungen im Innern des Stabelementes, z. B. werden die Biegemomente, Querkrafte oder Normalkrafte zu Null vorgegeben (bei n e Komponenten von F i konnen hochstens n e, innere Krafte zu Null vorgegeben werden), (b) Knotengelenke sind durch zusatzliche Kraftebedingungen bei mehr als zwei Staben in einem Knotenpunkt gekennzeichnet. Abbildung.8: Ausfuhrungsformen allgemeiner Gelenkknoten bei ebenen Stabtragwerken Die Erfassung von Stabgelenken erfolgt durch spezielle Stabelemente mit Gelenken im Innern. Die zusatzlichen Kraftebedingungen werden in den entsprechenden Elementmatrizen erfat. Dies wird am Beispiel eines ebenen Stabelementes am nachfolgenden Beispiel gezeigt: Beispiel.: Ebenes Stabelement mit Querkraftgelenk Ausgegangen wird von einem ebenen Stabelement mit einem Querkraftgelenk an beliebiger Position innerhalb des Elementes. Eine statisch bestimmte Lagerung und die zugehorigen linear unabhangigen Stabendkrafte F i sind in Abbildung.9 dargestellt.

16 KAPITEL. GLEICHGEWICHT VON STABWERKEN Abbildung.9: Mogliche Lagerung und linear abhangige Stabendkrafte fur ein ebenes Stabelement mit Querkraftgelenk Die Kraftetransformationsmatrix T i und die Gleichgewichtsmatrix (a i ) T ergeben sich somit zu: T i = mit,, (a i ) T = c,,c (.) c = cos =(x r, x l )=l: (.) Durch jede Gelenkbedingung entfallt genau eine linear unabhangige Stabendkraft und die Anzahl der Spalten von (a ) T verringert sich um eins. Die Aufstellung der Gesamtgleichgewichtsbedingungen erfolgt in unveranderter Form wie im Abschnitt. beschrieben. Die Erfassung von Knotengelenken ist komplizierter und kann nur durch die Einfuhrung von mehreren Knoten am Gelenk mit Kopplung von Freiheitsgraden erfolgen. Fur das Knotengelenk nach Abbildung. wurden z. B. zwei Knoten k und l mit einem knotenzentrierten Koordinatensystem eingefuhrt. In Richtung von ~x werden fur jeden der Knoten k und l gesonderte Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt, in ~z-richtung und fur die Rotation der Zeichenebene wird jeweils nur eine Gleichgewichtsbedingung

17 .. GELENKE UND GELENKKNOTEN Abbildung.: Koordinatensystem zur Erfassung von Knotengelenken formuliert; dies entspricht einer Kopplung der entsprechenden Freiheitsgrade. Die Elemente und sind dadurch biegesteif in k angeschlossen, Element ist mit einem Momentengelenk angeschlossen und die Elemente und sind biegesteif in l angeschlossen. Die Gleichgewichtsbedingungen in ~x-richtung werden in Knoten k und l jeweils getrennt formuliert. Beispiel.: Knotengelenk Fur das in Abbildung. dargestellte System werden die Elementgleichgewichtsmatrizen (a i ) T und die Gesamtgleichgewichtsmatrix (a ) T aufgestellt. Die Elemente i, i, i und i werden als ebene Stabelemente vom Typ a gewahlt. Das Momentengelenk in Knoten l wird dem Element i zugeordnet. Fur das Element i wurde abweichend von Kapitel. der Knoten als linker Knoten gewahlt. Die Elementgleichgewichtsmatrizen konnen dem Anhang A entnommen werden. Fur die Winkel der Koordinatentransformation ersetzt am Knoten das Knotenkoordinatensystem (Abbildung.) das globale Koordinatensystem.

18 8 KAPITEL. GLEICHGEWICHT VON STABWERKEN Knoten Abbildung.: System mit Querkraftgelenk Koordinaten x z linker Knoten rechter Knoten Element Knoten l i [m] cos sin cos sin l r i, -,8 i,8 -,8, i - -,8 -, i, -,8 i,8 -,8, (a ) T,,;,; ; ; ;,; 8 ; ; ; (a ) T ; ;,,; 8 ;,; 88,;,; 88,;

19 .. GELENKE UND GELENKKNOTEN 9 (a ) T = (a ) T = a T =,;,; 8 ;,;,; 8 ; (a ) T = ; 8 ; 88 ; 88,; ; ;,;,;,;,;,; ; 8,;,; ; ; ; 8 ; 88 ; 88,; ; ;,,;,; ; ; ; ; ;,; 8 ;,;,;,;,;,;,; 8 ; ;,,;,; 8 ; 8,;,; ; ;,; 8,; 88,; 88 ;,;,;,; i i i i i

20 KAPITEL. GLEICHGEWICHT VON STABWERKEN Der zugehorige Vektor der aueren Krafte R lautet: (R ) T = ~R ~ R ~ R... ~ R ~ R R... R l Rr R R... R ~ R R... ~ R ~ R ~ R... ~ R ~ R ~ R. Redundanz eines Stabwerkes Aus der Mechanik /9/ sind der Begri der Redundanz (statischen Unbestimmtheit) und Abzahlkriterien zur Feststellung der Redundanz bekannt. Die Redundanz eines Tragwerkes ergibt sich direkt aus der Ordnung n m der Gleichgewichtsmatrix a T (Abbildung.). Es gilt: Satz.: Ein Tragwerk ist statisch bestimmt, wenn n = m und a T nicht singular ist; ein Tragwerk ist statisch unbestimmt, wenn n<mist; ein Tragwerk ist kinematisch verschieblich, wenn n>mist. Fur n = m, d. h. wenn das Tragwerk statisch bestimmt ist, konnen wir das Gleichungssystem a T F = R losen. Die Stabendkrafte und damit die Schnittgroen konnen allein mit den Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden. In der Literatur ndet man oft eine Unterscheidung in auerliche und innerliche statische Bestimmtheit. Ein Tragwerk ist auerlich statisch bestimmt, wenn die Lagerreaktionen alleine mit den () Gleichgewichtsbedingungen der Ebene (des Raumes) berechnet werden konnen. Der Begri der inneren statischen Bestimmtheit eines statisch unbestimmtentragwerkes sagt aus, da eine statischunbestimmte Lagerung vorliegt. Oft ndet man auch den Begri der Wertigkeit eines Lagers. Unter Wertigkeit eines Lagers versteht man die Anzahl der durch das Lager behinderten Verschiebungen.

21 .. SCHNITTGR OEN. Schnittgroen statisch bestimmter Stabwerke Bei statisch bestimmten Stabwerken ist die Gleichgewichtsmatrix a T quadratisch und nicht singular, d. h. es existiert die Inverse (a T ),. Die linear unabhangigen Stabendkrafte F konnen mit dem Gau'schen Algorithmus (siehe Anhang A.) berechnet werden. Sind die linear unabhangigen Stabendkrafte F aus der Losung des linearen Gleichungssystems (Abbildung.) bekannt, konnen die Vektoren der Stabendkrafte S i in lokalen Koordinaten elementweise mit (.) berechnet werden. Die Schnittgroen ergeben sich aus den Stabendkraften durch : Satz.: Die Schnittgroen am rechten Stabende (r) sind die Stabendkrafte am rechten Stabende; die Schnittgroen am linken Stabende (l) sind die negativen Stabendkrafte am linken Stabende (vgl. Denition.). Bei Fachwerken ist die Ermittlung der Schnittgroen einfacher. Mit (.) ergibt sich, da die Normalkraft N in jedem Stab mit der linear unabhangigen Stabendkraft identisch ist. Die Transformation nach (.) ist somit uberussig. Bei ebenen Stabtragwerken stellt man die Schnittgroen graphisch durch die sogenannten Zustandslinien dar. Da wir vorlaug nur unbelastete Elemente betrachten, sind die Normalkraft N und die Querkraft Q in jedem Element konstant, und das Biegemoment M ist linear veranderlich. Einen Uberblick uber die erforderlichen Einzelschritte gibt die folgende

22 KAPITEL. GLEICHGEWICHT VON STABWERKEN Zusammenfassung der Berechnung der Schnittgroen statisch bestimmter Stabwerke. Numerierung der Knoten und Elemente;. Aufstellen der Koordinaten- und Verknupfungstafel;. Aufstellen der Elementtypen entsprechend Anhang A ;. Zusammenstellung der Gleichgewichtsmatrizen (a i ) T ;. Zusammenbau der Gleichgewichtsmatrizen der Elemente zur Gleichgewichtsmatrix a T unter Berucksichtigung der Randbedingungen;. Losung des Gleichungssystemes a T F = R;. Berechnung von S i = T i F i ; 8. Umkehr der Vorzeichen am linken Stabende, bei ebenen Stabtragwerken graphische Darstellung der Schnittgroen. An einem Beispiel soll nun die Ermittlung der Zustandslinien eines einfachen Rahmens gezeigt werden.

23 .. SCHNITTGR OEN Beispiel.: Zustandslinien Abbildung.: Rahmen Koordinatentafel Knoten x z Verknupfungstafel Element Knoten l i [m] cos sin l z i - i i i mit cos =(x r, x l )=l i sin =(z r, z l )=l i

24 KAPITEL. GLEICHGEWICHT VON STABWERKEN Elementgleichgewichtsmatrizen (fur die Elemente i, Stabelement Typ-b gewahlt): i und i wird (a ) T =,, ::::::::::::, (a ) T =,,; ::::::::: ; (a ) T =,,, :::::::::::: (a ) T =,, ::::::::::::, Gleichgewichtsbedingungen des gesamten Tragwerks, ; =,,,;, ;,,,,, F F F F F F F F F F F Element: i i i i

25 .. SCHNITTGR OEN Fur die Losung des Gleichungssystems verwenden wir das Matrizeninterpretationssystem SMIS //. Die Eingabe ist im folgenden zusammengestellt: LOAD F=AT N= N=. Es folgen zeilenweise die Elemente der Matrix a T. LOAD F=R N= N=. Es folgen die Elemente des Vektors R. SOLVE F=AT F=R PRINT F = R Es werden die linear unabhangigen Stabendkrafte ausgegeben: F T =[,;, 9 j j, j, ]: Kraftetransformationsmatrizen T = T =,,, ::::::::::::,,, :::::::::::: T = T =,,; ::::::::: ;,,, ::::::::::::

26 KAPITEL. GLEICHGEWICHT VON STABWERKEN Stabendkrafte S = ;,,;,9 = S S S S S S S =,; ; = S S S S S S S =, = S S S S S S S =, = S S S S S S Schnittgroen am linken und rechten Stabenende (Dimension [kn, knm]) Element N l Q l M l N r Q r M r = i,;,,;,9 N l Q l M l N r Q r M r i = ;, ; N l Q l M l N r Q r M r i =,, N l Q l M l N r Q r M r i =,, Die Zustandslinien sind in Abbildung. graphisch dargestellt. Abbildung.: Zustandslinien

27 .. SCHNITTGR OEN Aufgaben. Stellen Sie fur die in Aufgabe. und. dargestellten Systeme die Gleichgewichtsmatrix a T auf. Der Grad der statischen Unbestimmtheit ist jeweils anzugeben. Fur die statisch bestimmten Systeme sind die Schnittgroen zu ermitteln.. Stellen Sie fur die abgebildeten Stabtragwerke die Gleichgewichtsmatrix auf. Verwenden Sie fur Aufgabe (a) einmal Stabelement Typ-a und einmal Typ-b. Berechnen Sie fur das in Aufgabe (b) dargestellte Stabwerk die Schnittgroen.

28 8 KAPITEL. GLEICHGEWICHT VON STABWERKEN. Stellen Sie fur den abgebildeten Kragarm die Gleichgewichtsmatrix auf. Die Elemente sollen einmal Tragerrost- und einmal raumliche Stabelemente sein. Wie darf der Kragarm belastet werden, damit er wie ein Tragerrost berechnet werden kann?