Resonanzkurven Freie und erzwungene Schwingungen eines Drehpendels

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1 Stichworte: Hooksches Gesetz Resonnzkurven Freie und erzwungene Schwingungen eines Drehpendels 1 Grundlgen Die Bewegungsgleichung eines Drehpendels lässt sich us der dynmischen Grundgleichung, formuliert für die Drehbewegung, bleiten: M = &&ϕ M = ds m Drehpendelkörper ngreifende Drehmoment (1) = Trägheitsmoment des Drehpendelkörpers ϕ &&ϕ = d = die durch ds Drehmoment bewirkte Winkelbeschleunigung () dt Wird ds zur Erzeugung einer Schwingung notwendige rücktreibende Drehmoment M R durch die elstische Deformtion einer Spirlfeder mit der Winkelrichtgröße D* hervorgerufen, so gilt bei nicht zu großen Winkeluslenkungen ϕ ds Hookesche Gesetz: M = R D * ϕ (3) Im Flle eines reibungsfrei gelgerten Drehpendels ohne äußere Krfteinwirkung erhält mn dmit ls Bewegungsgleichung: M = D R + * && ϕ oder && ϕ ϕ = (4) Mit Einführung der Kreisfrequenz = D * (5) lutet die Gleichung &&ϕ + ϕ = (6) Dies ist die Gleichung einer hrmonischen Schwingung, denn ihre Lösung lutet: ϕ = $ ϕ sin( t ϕ ) (7) Die konstnte Winkelmplitude ist dbei mit $ϕ und der Nullphsenwinkel, der ngibt welche hse die Schwingung zur Zeit t = ht, ist mit ϕ bezeichnet. Die Schwingungsduer benötigt die Zeit T = π (8) Wirkt ds System zusätzlich eine geschwindigkeitsproportionle Reibungskrft, z. B. bei Drehung der endelchse in geölten Lgern oder bei einer Wirbelstrombremse (Erläuterung siehe unten), so muss uch noch ds Dämpfungsdrehmoment M = D b * &ϕ (9) 1

2 in die Bewegungsgleichung mit ufgenommen werden. b * ist die Dämfungskonstnte. Die Bewegungsgleichung für die freie gedämpfte Schwingung lutet lso: b* MR + MD = && && + & ϕ oder ϕ ϕ+ ϕ= (1) Die Lösung dieser Gleichung beschreibt eine Schwingung, deren Amplitude wegen des Energieentzuges durch die Reibung mit der Zeit bnimmt: δ t ϕ = $ ϕ e sin( d t ϕ ) (11) wobei b* δ = die Abklingkonstnte und (1) ( δ ) die Kreisfrequenz (13) d = der gedämpften Schwingung bedeutet. Die Eigenfrequenz eines gedämpften Systems ist lso kleiner ls die eines ungedämpften, ber sonst gleichen Systems. Für strke Dämpfung knn δ = werden und dmit d =. In diesem periodischen Grenzfll kehrt ds System symptotisch in seine Ruhelge zurück ohne eine Schwingung uszuführen. Frge: Wrum wird in der Messtechnik zur Dämpfung schwingungsfähiger Messwerke oder in der Fhrzeugtechnik zur Stoßdämpfung häufig der periodische Grenzfll ngestrebt? Die Abklingkonstnte δ lässt sich durch Vergleich zweier ufeinnderfolgender Amplituden $ ϕ $ n und ϕn+1 leicht bestimmen. Der zeitliche Abstnd zwischen dem Erreichen dieser beiden Amplituden beträgt nämlich gerde eine Schwingungsduer T d = π (14) d des gedämpften Systems. Dmit erhält mn $ ϕn δ T = e $ d (15) ϕn+ 1 Ds rodukt δ T d bezeichnet mn ls ds logrithmische Dekrement Λ. ϕn Λ= δ T d = ln $ $ (16) ϕn+ 1 Frge: Welches Dämpfungsdrehmoment wäre in die Bewegungsgleichung einer gedämpften Schwingung einzusetzen, wenn nur äußere Reibung in den Lgern uftreten würde? Völlig nders verhält sich ds schwingungsfähige System jedoch, wenn es n ein periodisch von ußen einwirkendes Drehmoment mit der Kreisfequenz ngekoppelt wird. In diesem Fll stellt sich bei jedem Wert von nch dem Abklingen eines Einschwingungsvorgnges ein sttionärer Schwingungszustnd ein, in dem ds Drehpendel mit der Frequenz des nregenden Drehmomentes schwingt. Ds System führt jetzt eine erzwungene Schwingung us. Für den Fll eines sich sinusförmig mit der Zeit ändernden Drehmoments M = M$ sin( t) (17)

3 wird die Bewegungsgleichung: b* M$ MR + MD + M = && && + & ϕ oder ϕ ϕ+ ϕ= sin( t) (18) Diese Gleichung besitzt für den sttionären Zustnd die Lösung ϕ = $ ϕ p sin( t ϕ ) (19) Es ist dies die Gleichung einer ungedämpften hrmonischen Schwingung mit der Amplitude $ ϕ p des Drehpendels und dem Nullphsenwinkel ϕ, der die hsenverschiebung gegen ds nregende Drehmoment ngibt. Es gelten die folgenden Zusmmenhänge: ˆ ϕ = p (1 ( ) δ tn ϕ = Der Ausdruck $ $ M ϕ p = ) M 4 δ + ( ) gibt nch Gl. den Grenzwert der Amplitude des Drehpendels für sehr lngsme Erregung ( ) n. () (1) () Frge: Frge: Wie luten die Gleichungen für die freie und erzwungene Dehnungsschwingungen eines Schrubenfederpendels? Wrum duert der Einschwingvorgng um so länger, je kleiner die Dämpfung ist? Die Abhängigkeit der Amplitude des Drehpendels von der nregenden Kreisfrequenz ist in Abb. 1 für verschiedene Werte der Abklingkonstnte ufgetrgen. ϕˆ Abb. 1: Resonnzkurven für verschiedene Dämpfung (Kurve gilt für die schwächste, Kurve c für die stärkste Dämpfung) b c Die Amplitude erreicht lso bei kleiner Dämpfung ein usgeprägtes Mximum, wenn die nregende Frequenz etws unterhlb der Eigenfrequenz des ungedämpften Systems liegt. Diese Erscheinung nennt mn Resonnz. Die Kurven in Abb. 1 heißen Resonnzkurven. Bei Erhöhung der Dämpfung ein usgeprägtes Mximum flcher und verschiebt sich zu niedrigeren Frequenzen. 3

4 Der Verluf des Nullphsenwinkels der erzwungenen Schwingung in Abhängigkeit von der nregenden Kreisfrequenz ist in Abb. ebenflls für verschiedene Dämpfungen drgestellt. Abb. : Frequenzgng der hsenverschiebung zwischen erzwungener und nregender Schwingung für verschiedene Dämpfungen (siehe Abb.1) Die erzwungene und die nregende Schwingung sind für << in hse. Für in der Resonnzstelle, bleibt die hse der erzwungenen Schwingung um π/ hinter dem erregenden Drehmoment zurück. In diesem Fll wird dem schwingenden System duernd Energie zugeführt. Die Amplitude ϕˆ wird dnn nur mehr durch die Dämpfung begrenzt. Für hohe nregende Frequenzen schwingen Drehpendel und erregendes Drehmoment mit einer hsenverschiebung π von, d. h. gegeneinnder. Frgen: Wie knn mn mthemtisch begründen, dss dem System im Resonnzfll in jedem Augenblick Energie zugeführt wird? Woher kommt diese Energie? Versuchsnordnung Eine Kupferscheibe SCH ist um eine Achse A möglichst reibungsfrei drehbr gelgert. Ihr Trägheitsmoment um diese Achse ist. Ds eine Ende der Spirlfeder F (mit der Winkelrichtgröße D * ) ist n SCH befestigt, ds ndere Ende n einem Hebel H, der ebenflls um A drehbr ist. Die Scheibe trägt einen Zeiger Z, der die Ablesung der Winkelmplitude uf einer feststehenden Skl S erlubt. Bei feststehendem Hebel H führt ds Drehpendel freie Schwingungen us. Zur Anregung von erzwungenen Schwingungen des endels wird der Hebel H über eine Schubstnge St, deren nderes Ende n einem Exzenter E uf der Achse eines Elektromotors befestigt ist, sinusförmig mit kleiner Amplitude hin und her bewegt. Die Drehzhl des Elektromotors ist vribel. Um ds endel einstellbr dämpfen zu können, schwingt die Scheibe zwischen den olen eines Elektromgneten M. D die Kupferscheibe ein senkrecht zu einem inhomogenen Mgnetfeld bewegter Leiter ist, werden in der Ebene der Scheibe wirbelrtig in sich geschlossene elektrische Ströme induziert. Auf diese übt ds Mgnetfeld Kräfte us, die nch der Lenzschen Regel die Bewegung des Leiters hemmen. D die Krft uf den stromdurchflossenen Leiter im Mgnetfeld proportionl zur Geschwindigkeit des bewegten Leiters ist, ist ds in der Einführung ngenommene geschwindigkeitsproportionle Dämpfungsdrehmoment für eine Wirbelstrombremse gültig. Durch Veränderung der Stromstärke I W in den Mgnetspulen knn die Dämpfungskonstnte in einem weiteren Bereich vriiert werden. 4

5 3 Versuchsdurchführung und Aufgben Abb. 4: Aufbu 3.1 Bestimmung der Schwingungsduer T der freien Schwingung des Drehpendels. Hinweis: Führen Sie diese Messungen bei bgeschlteter Wirbelstrombremse us. Zur Erhöhung der Genuigkeit messen Sie mehrmls die Zeit die Schwingungen benötigen. Berechnen Sie. T 3. Bestimmung der Abklingkonstnten δ der freien gedämpften Schwingungen für verschiedene Dämpfungen. Bestimmen Sie zunächst die mximle Dämpfungsstromstärke des Bremsmgneten, bei der es noch möglich ist, mindestens 4 ufeinnderfolgende Amplituden uf der Winkelskl bzulesen. b. Für 5 verschiedene Dämpfungsstromstärken bis zu diesem Mximlwert und bei bgeschlteter Dämpfung bestimme mn ds logrithmische Dekrement Λ nch Gl. 16, indem mn die ufeinnderfolgenden Amplituden immer uf der gleichen Seite der Winkelskl bliest und us den Verhält- ˆ ϕ nissen n ˆ ϕ einen Mittelwert bildet. Zur Erhöhung der Genuigkeit sollte n+ 1 sein und die Messung jeweils wiederholt durchgeführt werden. ϕˆ n dbei nicht zu klein Zur Bestimmung der Abklingkonstnten δ verwende mn die Gleichung δ = Λ/T mit T us Aufgbe 3.1. Wegen Gl. 16 müsste mn streng genommen δ us δ = Λ/T d errechnen. Begründen Sie, wrum im vorliegenden Fll diese Abweichung vernchlässigbr ist! Mn trge Λ gegen die Mgnetstromstärke I w uf (Millimeter-pier). Welche Kurve erwrtet mn? Diskutieren Sie den Ordintenschnittpunkt dieser Kurve! 5

6 3.3 Bestimmung der Resonnzkurven für verschiedene Dämpfungen Messe Sie die Resonnzkurven für 3 verschiedene Dämpfungsstromstärken, für die ds logrithmische Dekrement etw,9,, und,5 beträgt. Wird die Wirbelstrombremse vollkommen bgeschltet, so wird die Amplitude bei Resonnz zu groß und ußerdem duert der Einschwingvorgng sehr lnge. Die Messung beginnt mn mit kleinen Frequenzen, die sicher unter der Resonnzstelle liegen. Dnn erhöht mn in großen Schritten, um die ungefähre Lge des Resonnzmximums zu finden. Schließlich vermisst mn die Umgebung der Resonnzstelle noch mit kleiner Schrittweite von.mn bestimmt dbei für jede Drehzhlseinstellung die nregende Frequenz und misst die Amplitude ϕˆ der erzwungenen Schwingung, nchdem mn den sttionären Schwingungszustnd bgewrtet ht. Die Amplitude ergibt sich ls Mittelwert der Ausschläge nch links und rechts. Für die grphische Drstellung der Resonnzkurven ist ˆ ϕ notwendig. Für diese Größe erhält mn us Gl. durch eine Reihenentwicklung für kleine den Näherungsusdruck: ) ϕ δ ˆ ϕ = Trägt mn lso bei niedrigen Frequenzen ϕˆ gegen uf, so erhält mn eine Gerde, welche die Ordinte bei ˆ ϕ schneidet. ˆ ϕ muss sich ls unbhängig von der Dämpfung ergeben. Zur grphischen Drstellung der Resonnzkurven trägt mn Als rmeter gebe mn ds logrithmische Dekrement n. ˆ ϕ ˆ ϕ gegen uf Millimeterppier uf. Hinweis: Mn knn die Messungen ddurch beschleunigen, dss mn zunächst für eine erste Frequenz 1 die Amplitude ϕˆ der erzwungenen Schwingung für die ungefähren Dekremente,9,, und,5 misst. Dnch führt mn die gleiche Messung für eine weitere und für lle folgenden Frequenzen durch. Für die Grphen verbindet mn lle unkte mit gleichem Dekrement miteinnder. Bei der vorliegenden Versuchsnordnung knn uf die grphische Bestimmung von ˆ ϕ verzichtet werden, ˆ ϕ muss hier gleich sein der Amplitude des Zeigers, der mit der Achse des Drehpendels fest gekoppelt ist und den zeitlichen Verluf der Anregung nzeigt. Bei sehr kleinen Anregungsfrequenzen folgt nämlich ds Drehpendel nicht nur phsen-, sondern uch mplitudengleich diesem Zeiger. Litertur: Gertsen, Kneser: hysik, Springer Verlg Dobrinski, Krku, Vogel: hysik für Ingenieure, Teubner Verlg Stuttgrt Wlcher: rktikum der hysik, Teubner Verlg Stuttgrt ohl: Mechnik, Akustik und Wärmelehre, Springer Verlg 6