Analysis und mathematische Physik

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1 Hans Triebel Analysis und mathematische Physik Carl Hanser Verlag München Wien

2 Inhalt Zahlen und Räume 22 Beeile Zablen 22 Zahlsysteme 22 Abstand und Vollständigkeitsaxiom 23 Komplexe Zablen 23 Definitionen 23 Eigenschaften 24 Konjugierte Elemente, Subtraktion und Division 24 Normaldarstellung 25 Um *'» und metrische Bäume 26 Der w-dimensionale reelle Raum R n 26 Der w-dimensionale komplexe Raum C n 26 Der metrische Raum 27 Konvergenz und Stetigkeit 28 Folgen 28 Infimum, Supremum und Limes 28 Eigenschaften konvergenter Folgen 29 Beispiele 29 Reihen 30 Konvergenz und Divergenz 30 Beispiele 31 Konvergenzkriterien 31 Umordnungen, Multiplikationen und Additionen 32 Beeile Funktionen im JRi 33 Definition 33 Eigenschaften stetiger Funktionen 35 Stetige Abbildungen in metrischen Bäumen 36 Definition 36 Beispiele 36 Reelle stetige Funktionen im jx<fi 37 "Vollständige metrische Bäume 38 Definitionen 38 Der Raum G [a, b] 38 Der Banachsche Fixpunktsatz 39

3 6 Inhalt 3. Differential- und Integralrechnung im R t (Grundbegriffe) Differentiation Definitionen Regeln Beispiele (Rationale Punktionen) Umkehrfunktionen Mittelwertsätze Ableitungen höherer Ordnung, Ableitungen komplexer Funktionen Integration reeller Funktionen Definition des Riemannschen Integrals Eigenschaften Vertauschbarkeit von Limes und Integration Beispiele und Gegenbeispiele integrierbarer Funktionen Stammfunktionen Integraloperatoren Gewöhnliche Differentialgleichungen (Existenz- und Unitätssätze) Anfangswertprobleme Die Differentialgleichung ß n \x) = Problemstellung Existenz- und Unitätssätze Systeme erster Ordnung Differentialgleichungen w-ter Ordnung Lokale Existenz- und Unitätssätze Elementare Funktionen und Potenzreihen Exponentialfunktionen und Potenzfunktionen (reell) Die Funktion e* Die Funktion log « Die Zahle Die Funktionen a x und log a x Die Funktion x" Trigonometrische Funktionen Die Funktionen sin x und cos x Die Funktionen tan x und cot x Die Funktionen aresin x und aretan x Die Funktion e»? Exponentialfunktionen und Potenzfunktionen (komplex) Die Funktionen e 3 und In z Die Funktion z w, Riemannsche Flächen Einheitswurzeln, Fundamentalsatz der Algebra 58

4 5.4. Potenzreihen Konvergenzradius Addition und Multiplikation von Potenzreihen Differentiation von Funktionenfolgen und Potenzreihen Taylorreihen Beispiele und Gegenbeispiele für Taylorreihen Potenzreihe für e 2, analytische Funktionen Irrationalität von e Banaehräume Definitionen und Beispiele Definitionen Beispiele Bäume vom Typ l p Ungleichungen Die Räume l^r, ly <c > l p,r un d l p,c Integralrechnung im ßj (Fortsetzung) Klassen integrierbarer Funktionen Allgemeine Regeln (partielle Integration, Variablensubstitution) Integration rationaler Funktionen, Partialbruchzerlegung Integration von.ß(cos x, sin x) Integration von B(e x ), B(xjx 2-1) und B (», YÜP + 1) Integration von B (x, ii -z 2 ) 70 / /ax + b\ n \ Integration von B Ix, I -jl I Uneigentliche Integrale Typen uneigentlicher Integrale, Beispiele Integralkriterium für Reihen, Euler-Mascheronische Zahl Die /"-Funktion Differentialrechnung im R n Partielle Ableitungen Definition Vertauschbarkeit partieller Ableitungen Taylorpolynome TC-dimensionale Potenzreihen Kurven und Flächen im B n. Kettenregel Geometrische Interpretation des Taylorpolynoms Richtungsableitung 78

5 8 Inhalt 8.2. Implizite Funktionen und Auflösungssätze Problemstellung Auflösungssatz, krummlinige Koordinaten Parameterabhängiger Auflösungssatz Implizite Funktionen Extremwerte yon Funktionen Der eindimensionale Fall Der ra-dimensionale Fall Integralrechnung im R n Definitionen und Eigenschaften ^-Gebiete und /-Gebiete Integrale in Q-Gebieten Eigenschaften Integrierbare Funktionen Integrale in /-Gebieten Iterationssatz für m-dimensionale Integrale Transformationsformeln, Volumenmessung, Flächenmessung Volumenmessung Transformationsformeln Bogenlänge von Kurven Flächenmessung Flächenintegrale Die Einheitskugel, F [-^j Uneigentliche Integrale Integralsätze Der Gaußsche Satz Die Greenschen Sätze Gewöhnliche Differentialgleichungen (Lösungsmethoden) Trennbare, homogene und exakte Differentialgleichungen Problemstellung Trennbare Differentialgleichungen Homogene Differentialgleichungen Exakte Differentialgleichungen Der integrierende Faktor Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Die Gleichung y'=f(x) y Die inhomogene lineare Differentialgleichung Lineare Diiferentialgleiehungssysteme erster Ordnung Fundamentalsysteme und Wronskideterminante 97

6 Inhalt Inhomogene Differentialgleichungssysteme Spezielle Differentialgleichungssysteme Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung Problemstellung Fundamentalsysteme und Wronskideterminante Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Stetige Abhängigkeit von Anfangsdaten Differentialgleichungssysteme erster Ordnung Differentialgleichungen m-ter Ordnung Stetige Abhängigkeit von der rechten Seite Variationsrechnung Die Grundgleichungen der Variationsrechnung Problemstellung Vorbereitungen Die Eulerschen Gleichungen Beispiele Eine physikalische Vorbemerkung 106 > Die Brachistochrone Das Problem von der Geraden als kürzeste Verbindung zweier Punkte Rotationssymmetrische Minimalflächen Prinzipien der klassischen Mechanik Modellbildung in der Physik Zum Verhältnis von Mathematik und Physik Mathematische Modelle Kriterien für Modelle Ein Beispiel Das Modell für die Punktmechanik Das Hamiltonprinzip Ein Beispiel (Freier Fall) Das erste Integral Systeme von n Massenpunkten Das Grundmodell Kräftefreie Systeme Konservative Systeme Teilchen im Potentialtopf, harmonischer Oszillator Planetenbewegung Problemstellung und Grundmodell Ebene Bahnen, zweites Keplersches Gesetz 119

7 10 Inhalt Erstes Keplersohes Gesetz Drittes Keplersches Gesetz Maßtheorie Mengensysteme Algebren und «--Algebren Erweiterungssätze Borelmengen im R n Elementarmaße und Maße Definitionen Eigenschaften Überdeckungssatz von Heine-Borel Borelsche Elementarmaße im R l Lebesguesches Elementarmaß im R n Das äußere Maß, Fortsetzung von Elementarmaßen Das äußere Maß Das induzierte Maß Der Fortsetzungssatz Borelsche, Lebesguesche und Diracsche Maße Unitätssätze Meßbare Funktionen Definition Eigenschaften meßbarer Funktionen Folgen meßbarer Funktionen Konvergenz fast überall, Maßkonvergenz 132 J 14. Integrationstheorie Integrierbare Funktionen, Eigenschaften von Integralen Integrierbare einfache Funktionen Integrierbare Funktionen Eigenschaften integrierbarer Funktionen Eigenschaften von Integralen Die Hauptsätze der Integrationstheorie Die r Konvergenz Der Satz von Lebesgue Weitere Eigenschaften integrierbarer Funktionen Der Banachraum L^X, 58, ft) Die Sätze von B. Levi und Fatou Transformationsformeln Meßbare Abbildungen und Bildmaße Eine spezielle Transformationsformel Absolut-stetige Maße, der Satz von Radon-Nikodym Die allgemeine Transformationsformel 140

8 Inhalt Produktmaße, Satz von Fubini Die cr-algebra im Produktraum, meßbare Schnitte Das Produktmaß Der Satz von Fubini für nicht-negative Funktionen Der Satz von Fubini für beliebige Funktionen Vergleich zwischen Biemannschen und Lebesgueschen Integralen Integrierbare Funktionen Die Sätze von Lebesgue und Fubini Transformationsformeln I/p-Eäume Definition Die Ungleichungen von Holder und Minkowski Die Räume L P (X, S3, fi) Die Räume L p (E n ) und L p (Ü) Funktionentheorie Holomorphe Funktionen Die komplexe Ebene C Holomorphe Funktionen Beispiele holomorpher Funktionen Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen, harmonische Funktionen Integralsätze Komplexe Kurvenintegrale Der Cauchysche Integralsatz Die Cauchysche Integralformel Eigenschaften holomorpher Funktionen Differenzierbarkeit und Ableitungsformeln Taylorreihen Der Identitätssatz Das Maximumprinzip Der Satz von Liouville Der Fundamentalsatz der Algebra Singularitätentheorie Laurentreihen Singularitäten Systematische Funktionentheorie, rationale Funktionen Besiduentheorie Der Residuensatz Das logarithmische Residuum Abbildungseigenschaften holomorpher Funktionen Umkehrfunktionen 162

9 12 Inhalt Holomorphe Fortsetzung Das Kreiskettenverfahren Der Monodromiesatz Riemannsche Flächen Konforme Abbildungen Grundeigenschaften Der Riemannsche Abbildungssatz Lineare Transformationen Konforme Abbildungen von C und Cj Die Gruppe der linearen Transformationen Kreisinvarianz Abbildungseigenschaften und Doppelverhältnis Fixpunkte und Abbildungstypen Das Spiegelungsprinzip Konforme Abbildungen des Einheitskreises Spezielle Funktionen Die Funktionen e 2 und In z Die Funktionen sin s, cos z, tan z und cot z Partialbruchzerlegung für cot z Prinzipien der Hydrodynamik ebener Strömungen Die Grundgleichungen der Hydrodynamik Vorbemerkungen zur Modellbildung Quellenfreie und zirkulationsfreie Strömungen Reelle und komplexe Grundgleichungen Das mathematische Modell Strömungen Staupunkt- und Multipolströmungen Strudelströmungen Profilströmungen Konforme Abbildungen in der Hydrodynamik und 2ukovskij-Profile Elemente der Geometrie Die Geometrie der Raumkurven im JJ Das begleitende Dreibein Die Frenetschen Formeln Ebene Kurven Existenz- und Unitätssatz Die hyperbolische Geometrie Grundprinzipien axiomatischer Geometrien Ein Modell der hyperbolischen Geometrie 183

10 Inhalt Längen, Winkel und Dreiecke Kreise Bogenlänge und Flächeninhalt Flächeninhalt von Dreiecken Die Geometrie des Hilbertraumes Hilberträume Beispiele von Hilberträumen Orthogonalsysteme Das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren Orthogonalzerlegungen Orthogonalreihen n-dimensionale trigonometrische Funktionen Orthonormierte Systeme Fourierkoeffizienten und absolute Konvergenz Periodische trigonometrische Reihen in L 2 (Q) Halbperiodische trigonometrische Reihen in L 2 (Q) Ein Beispiel Orthogonale Polynome Approximationssätze Legendresche Polynome Partielle Differentialgleichungen Typen partieller Differentialgleichungen und physikalische Beispiele Typen Physikalische Beispiele Die Laplace-Poisson-Gleichung Grundlösungen und Integraldarstellungen Greensche Funktionen Eigenschaften harmonischer Funktionen Das Dirichletsche Randwertproblem Die Poisson-Gleichung Die Wellengleichung Unitätssätze Die Wellengleichung in einer Dimension Anfangswertprobleme für die Wellengleichung in zwei und drei Dimensionen Physikalische Interpretationen, Huygenssche Eigenschaft, Kugelwellen Die inhomogene Wellengleichung, retardierte Potentiale Die Wärmeleitungsgleichung Die Singularitätenlösung Das Maximum-Minimum-Prinzip Das Anfangswertproblem 209 1

11 14 Inhalt Separationsansätze Vorbemerkung Die eingespannte belastete Platte Der Separationsansatz für die Laplace-Gleichung Die Fouriersche Methode für die Wellengleichung Die schwingende Membran, die schwingende Saite Die Fouriersche Methode für die Wärmeleitungsgleichung Operatoren in Banachräumen Banachräume Separable Banachräume Spezielle Mengen in Banachräumen Der Raum G(ü) Endlichdimensionale Banachräume Vervollständigung normierter Räume Operatoren Grundbegriffe Der Raum L(B lt B 2 ) Das Spektrum und Resolventen Der Raum (l p )' Integraloperatoren Operatoren in Hilberträumen Klassen stetiger Operatoren Isomorphie von Hilberträumen Lineare Funktionale Bilinearformen Adjungierte Operatoren Projektionsoperatoren Isometrische und unitäre Operatoren Kompakte und ausgeartete Operatoren Die Theorie von Riesz und Schauder Problemstellung Zerlegungssätze Das Spektrum kompakter Operatoren Fredholmsche Integralgleichungen Der adjungierte Integraloperator Die Fredholmschen Alternativsätze Distributionen Grundbegriffe Einleitung Die Räume D(Q) und D'(Q) 228

12 Beispiele von Distributionen Operationen mit Distributionen Der Raum E'(Q) Die Fouriertransformation und die Bäume S(K«) und S'(R n ) Der Raum 8(R n ) und die Fouriertransformation Eigenschaften der Fouriertransformation Der Raum S'(B ) Die Fouriertransformation in S'(Rn) Weitere Eigenschaften von Fouriertransformationen Tensorprodukte und Faltungen Tensorprodukte Eigenschaften von Tensorprodukten Faltungen Eigenschaften von Faltungen Partielle Differentialgleichungen und Distributionen Fundamentallösungen Grundeigenschaften Die Laplace-Gleichung Die Wärmeleitungsgleichung Die Wellengleichung Anfangswertprobleme Problemstellung Die Wellengleichung Die Wärmeleitungsgleichung Grundbegriffe der klassischen Feldtheorie Tensoren Vorbemerkung Der Fundamentaltensor Tensoren Eigenschaften von Tensoren Metrische Geodäten Klassische Feldtheorie Das Modell der Feldtheorie Lagrange-Dichten Lagrange-Formalismus Beispiele für Feldtheorien Die kovariante Punktmechanik Die Maxwell-Lorentz-Gleichungen der Elektrodynamik Interpretation und Umschrift der Maxwellschen Gleichungen 258

13 16 Inhalt 25. Prinzipien der speziellen Relativitätstheorie und der Elektrodynamik Die Lorentz-Gruppe und die Baum-Zeit Der Minkowskiraum und Inertialsysteme Weltlinien Die Lorentz-Gruppe Spezielle Transformationen der eigentlichen Lorentz-Gruppe Die Raum-Zeit (physikalische Aspekte) Die Raum-Zeit (mathematische Aspekte) Effekte der speziellen Relativitätstheorie Die Zeitdilatation und das Zwillingsparadoxon Die Lorentz-Kontraktion Das relativistische Additionstheorem der Geschwindigkeiten Das freie relativistische Teilchen Eigenzeit, Masse und Energie Die Maxwellschen Gleichungen Problemstellung Anfangswertprobleme Selbstadjungierte Operatoren im Hilbertraum Unbeschränkte Operatoren Abgeschlossene Operatoren Abschließbare Operatoren Adjungierte Operatoren Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren Kriterien für die Selbstadjungiertheit von Operatoren Das Spektrum selbstadjungierter Operatoren Die Spektren ß Ä und C Ä Die Spektren D A und C A Kompakte selbstadjungierte Operatoren Spektralscharen Definitionen Eigenschaften Spektraloperatoren Riemann-Stieltjes Integrale für Funktionen Riemann-Stieltjes Integrale für Spektralscharen auf endlichen Intervallen Riemann-Stieltjes Integrale für Spektralscharen auf B t Spektraloperatoren Der Hauptsatz der Spektraltheorie Das Spektrum selbstadjungierter Operatoren Operatoren mit reinem Punktspektrum 284

14 27. Differentialoperatoren und orthogonale Funktionen Klassische orthogonale Funktionen Vorbemerkung Trigonometrische Funktionen Hermitesohe Funktionen Legendresche Funktionen Laguerresche Funktionen Kugelflächenfunktionen Der Beltramische Differentialoperator Kugelflächenfunktionen als Eigenfunktionen Dreidimensionale Kugelflächenfunktionen Prinzipien der Quantenmechanik Axiomatik der Quantenmechanik Das Hilbertraum-Modell Die Dynamik quantenmechanischer Systeme Stationäre Zustände Interpretationen Das Bohrsche Postulat Die statistische Interpretation der Quantenmechanik Die Heisenbergsche Unschärferelation Quantisierung Die Quantisierungsregel Beispiele zur Quantisierung Ein-Teilchen-Probleme Das freie eindimensionale Teilchen Der harmonische Oszillator Das relativistische freie Teilchen im B Das Wasserstoffatom Das Wasserstoffatom ohne Spin Der Zeeman-Effekt Das Wasserstoffatom mit Spin Das relativistische Wasserstoffatom Atome und das Periodensystem der chemischen Elemente Atome ohne Spin Der Raum L% Ä (B 3n ) Atome mit Spin Das Pauli-Prinzip Das Periodensystem der chemischen Elemente Triebel, Math. Physik

15 18 Inhalt 29. Geometrie auf Mannigfaltigkeiten I (Tensoren) Mannigfaltigkeiten Der parakompakte Hausdorffraum O-Mannigfaltigkeiten Funktionen auf C~-Mannigfaltigkeiten Geometrische Objekte Faserbündel Tensordichten Tensoranalysis Grundoperationen für Tensordichten Differentielle Operationen Integrale auf Mannigfaltigkeiten Affine Räume Affinitäten Normale Koordinaten Kovariante Differentiation Parallelverschiebung Affine Geodäten Krümmungstensor Flache affine Räume Metrische Räume Fundamentaltensor Indexziehen Charakteristische Flächen Metrische Geodäten Geodätisch konvexe Gebiete Metrische Räume Krümmungstensor und verwandte Tensoren Allgemeine Relativitätstheorie I (Grundgleichungen) Extremalprinzipien Lagrange-Formalismus Die Einsteinschen Gleichungen Die Einstein-Maxwell-Gleichungen Äußerungen Einsteins zur Relativitätstheorie und zur Quantentheorie Der Energie-Impuls-Tensor Killingvektoren und Erhaltungssätze Das Kovarianzprinzip Energie-Impuls-Tensor für ideale Flüssigkeiten, Vergleich mit der Newtonschen Gravitationstheorie Bewegungsgleichungen Testteilchen und elektromagnetische Wellen Eigenzeit und Zwillingsparadoxon 339

16 Inhalt Die Schwarzschild-Lösung Das Birkhoff-Theorem Die Eddington-Porm der Schwarzschild-Lösung Die klassischen Effekte der allgemeinen Relativitätstheorie Planetenbewegung Ablenkung von Lichtstrahlen Rotverschiebung im Gravitationsfeld Allgemeine Relativitätstheorie II (Singularitäten, schwarze Löcher, Kosmologie) Singulare Mannigfaltigkeiten Kriterien Die Schwarzsehild-Eddington-Kruskal-Metrik Einschlußflächen Singularitäten Schwarze Löcher Die Theorie der schwarzen Löcher, Sternentwicklung Die Eddington-Metrik Sterne Das Hertzsprung-Russel-Diagramm und die himmlische Skala Die Kerr-Metrik Energiebilanz schwarzer Löcher Kosmologie Prinzipien Die Robertson-Walker-Metrik Der Staubkosmos Das Hubblesche Gesetz Lösungen der Friedmannschen Differentialgleichung Die Friedmanschen Modelle Der Urknall Die Entstehung des Lebens im Weltall Geometrie auf Mannigfaltigkeiten II (Formen) Tensoren und Differentialformen 365 d Die Vektoren r-j und da;*. Tensorprodukte Das alternierende Produkt und das Keilprodukt Die äußere Ableitung »-Formen Der Satz von Poincare Integralrechnung auf Mannigfaltigkeiten Integrale über»-formen Der de Rham Operator Der Satz von Stokes Leray-Formen 371

17 20 Inhalt Distributionen auf Mannigfaltigkeiten Skalare Distributionen 372 Tensordistributionen 374 Kovariante Ableitung und Koableitung von Distributionen 374 Der Wellenoperator 375 Distributionen vom Typ f(s) Die Wellengleichung in gekrümmten Baum-Zeiten Charakteristische Flächen und Singularitäten Charakteristische Flächen 377 Anfangswertprobleme für charakteristische Flächen und Nullfelder 378 Kaustik 379 Die Kaustik im Minkowskiraum 380 ünstetigkeiten von Lösungen der Wellengleichung und Katastrophen Fundamentallösungen Problemstellung 382 Kausalgebiete 383 Die Distribution dq+(r) 384 Fundamentallösungen Lösungen von Pu =f, Cauchyprobleme Vergangenheits-kompakte Mengen und Distributionen 385 Ein Existenz- und Unitätssatz 386 Das Cauchyproblem: Existenz und Unität 387 Das Cauchyproblem: Darstellung Tensor-Wellengleichungen Definitionen 389 Fundamentallösungen 390 Lösungen von Pu=f Die Maxwellschen Gleichungen Definition 392 Kontinuitätsgleichung und Cauchy-Daten 392 Eiohbedingung und Viererpotential 394 Das Cauchyproblem für die Maxwellschen Gleichungen Singularitätentheorie Lokale Abbildungen Abbildungskeime, das Ideal min) 396 Eadlich-determinierfce Keime 397 Kriterien für endlich-determinierte Keime Stabilität Definitionen 398 Immersionen und Submersionen 400 Globale Sätze 401 /

18 Inhalt Singularitäten und Morse-Funktionen Singularitäten Morse-Funktionen Abbildungen in der Ebene Gute und exzellente Abbildungen Normalformen von Faltpunkten und Spitzenpunkten Die Whitneysche Theorie Entfaltungen Definition Assoziierte und äquivalente Entfaltungen Stabile und universelle Entfaltungen (Definition und Beispiele) Stabile und universelle Entfaltungen (Kriterien) Reduktion von Entfaltungen Minima Der Satz von Thom Katastrophen: Theorie und Anwendung Prinzipien und Modelle Allgemeine Prinzipien und Grundgedanken Das lokale Regime Anwendungsbeispiele Die drei Interpretationen der Katastrophentheorie Elementare Katastrophen Der generisohe Aspekt Bilder elementarer Katastrophen Anwendungen in der Physik Die van der Waalssche Gleichung Eulersche Deformationen Brechung von Wasserwellen Katastrophenmaschinen Weitere Anwendungen Taylorreihen und Zellen Anwendungen in der Biologie Hunde und Mathematiker 428 Anhang: Über das Verhältnis von Geometrie und Realität im Wandel der Zeiten 429 Literatur 435 Literaturhinweise 437 Register 438