Einführung in die Relativitätstheorie

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1 Ray d'lnverno Einführung in die Relativitätstheorie Zweite, durchgesehene und korrigierte Auflage Deutsche Ausgabe herausgegeben von Gerhard Schäfer WILEY- VCH WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort des Herausgebers Vorwort des Herausgebers zur ersten deutschen Ausgabe XV XVII Überblick i 1 Der Aufbau des Buches Hinweise für den studentischen Leser Danksagungen Ein kurzer Abriß der Relativitätstheorie Hinweise für den Lehrenden Ein letzter Hinweis für den weniger begabten studentischen Leser Übungen 15 Teil A. Die Spezielle Relativitätstheorie и 2 Der fc-kalkül Modellbildung Historischer Hintergrund Das Newtonsche Begriffssystem Galileitransformationen Das spezielle Relativitätsprinzip Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit Der fc-faktor Die Relativgeschwindigkeit zweier inertialer Beobachter Das Additionstheorem für Geschwindigkeiten Die Relativität der Gleichzeitigkeit Das Uhrenparadoxon Die Lorentztransformationen Die vierdimensionale Welt 37 Übungen 40 Einfiihrung in die Relativitätstheorie, 2. Auflage. Ray d'inverno Copyright 2009 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim ISBN:

3 VIII Inhaltsverzeichnis 3 Die Grundbegriffe der Speziellen Relativitätstheorie Die Standardableitung der Lorentztransformationen Mathematische Eigenschaften der Lorentztransformationen Die Längenkontraktion Die Zeitdilatation Die Transformation der Geschwindigkeiten Die Beziehung zwischen den Raumzeit-Diagrammen inertialer Beobachter Die Beschleunigung in der Speziellen Relativitätstheorie Gleichförmige Beschleunigung Das Zwillingsparadoxon Der Dopplereffekt 58 Übungen 61 4 Die Elemente der relativistischen Mechanik Die Newtonsche Theorie Isolierte Teilchensysteme in der Newtonschen Mechanik Die relativistische Masse Die relativistische Energie Photonen 75 Übungen 78 Teil B. Der Tensorformalismus 81 5 Tensoralgebra Einführung Mannigfaltigkeiten und Koordinaten Kurven und Flächen Koordinatentransformationen Kontravariante Tensoren Kovariante und gemischte Tensoren Tensorfelder Elementare Operationen mit Tensoren Die indexfreie Interpretation kontravarianter Vektorfelder 95 Übungen 99 6 Der Tensorkalkül Die partielle Ableitung eines Tensors Die Lie-Ableitung Der affine Zusammenhang und die kovariante Ableitung Affine Geodäten HO 6.5 Der Riemannsche Krümmungstensor Geodätische Koordinaten 114

4 Inhaltsverzeichnis IX 6.7 Affine Flachheit* Die Metrik Metrische Geodäten Der metrische Zusammenhang Metrische Flachheit Der Krümmungstensor Der Weyl-Tensor 128 Übungen Integration, Variation und Symmetrie Tensordichten Das alternierende Levi-Civita-Symbol * Die Determinante der Metrik Integrale und das Stokessche Theorem* Die Euler-Lagrange-Gleichungen Die Variationsmethode für Geodäten * Isometrien 148 Übungen 151 Teil C. Die Allgemeine Relativitätstheorie Noch einmal Spezielle Relativitätstheorie Die Minkowski-Raumzeit Der Lichtkegel Die Lorentzgruppe * Die Eigenzeit Eine axiomatische Formulierung der Speziellen Relativitätstheorie Ein Zugang zur klassischen Mechanik über ein Variationsprinzip * Ein Zugang zur relativistischen Mechanik über ein Variationsprinzip Die kovariante Formulierung der relativistischen Mechanik* 168 Übungen Die Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Die Rolle physikalischer Prinzipien Das Machsche Prinzip Die Masse in der Newtonschen Theorie Das Äquivalenzprinzip Das Prinzip der allgemeinen Kovarianz Das Prinzip der minimalen gravitativen Kopplung Das Korrespondenzprinzip 191 Übungen 193

5 X I Inhaltsverzeichnis 10 Die Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie Nichtlokale Fahrstuhlexperimente Die Newtonsche Deviationsgleichung Die Gleichung der geodätischen Abweichung Die Newtonsche Korrespondenz Die Vakuumfeldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie Die Geschichte bis hierher Die vollen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie 207 Übungen Die Ableitung der ART aus einem Variationsprinzip Die Palatini-Gleichung Differentielle Bindungsgleichungen der Feldgleichungen Ein einfaches Beispiel Die Einstein-Lagrangedichte Eine indirekte Ableitung der Feldgleichungen Eine äquivalente Lagrangedichte * Der Palatini-Zugang Die vollen Feldgleichungen * 221 Übungen Der Energie-Impuls-Tensor Ausblick Inkohärente Materie Die ideale Flüssigkeit Die Maxwellschen Gleichungen Die Potentialformulierung der Maxwellschen Gleichungen Der Maxwellsche Energie-Impuls-Tensor Weitere Energie-Impuls-Tensoren* Die Bedingung der Energiedominanz * Der Newtonsche Grenzfall Die Kopplungskonstante * 241 Übungen Die Struktur der Feldgleichungen Interpretation der Feldgleichungen Bestimmtheit, Nichtlinearität und Differenzierbarkeit Der kosmologische Term Die Erhaltungsgleichungen Das Cauchy-Problem* Das Lochproblem* Das Äquivalenzproblem 257 Übungen 259

6 Inhaltsverzeichnis XI 14 Die Schwarzschild-Lösung Stationäre Lösungen Hyperflächenorthogonale Vektorfelder Statische Lösungen Kugelsymmetrische Lösungen Die Schwarzschild-Lösung Eigenschaften der Schwarzschild-Lösung Isotrope Koordinaten 275 Übungen Experimentelle Tests der Allgemeinen Relativitätstheorie Einführung Die klassische Keplerbewegung Die Periheldrehung des Merkur Die Lichtablenkung Die gravitative Rotverschiebung Laufzeitverzögerung des Lichts * Das Eötvös-Experiment* Die Abplattung der Sonne* Eine Chronologie experimenteller und beobachteter Ereignisse Gummimattengeometrie 301 Übungen 305 Teil D. Schwarze Löcher Nichtrotierende Schwarze Löcher Charakterisierung von Koordinaten Singularitäten Räumliche und Raumzeit-Diagramme Das Raumzeit-Diagramm in Schwarzschild-Koordinaten Ein radial einfallendes Teilchen Eddington-Finkelstein-Koordinaten Ereignishorizonte Schwarze Löcher Ein klassisches Argument Gezeitenkräfte in einem Schwarzen Loch Hinweise auf Schwarze Löcher aus Beobachtungsergebnissen Der Stand der theoretischen Untersuchung Schwarzer Löcher 329 Übungen Maximale Erweiterung und konforme Kompaktifizierung Maximale analytische Erweiterungen Die Kruskal-Lösung 336

7 XII I Inhaltsverzeichnis 17.3 Die Einstein-Rosen-Brücke * Das Penrose-Diagramm für die Minkowski-Raumzeit Das Penrose-Diagramm für die Kruskal-Lösung* 345 Übungen Geladene Schwarze Löcher Das Feld eines geladenen Massenpunktes Intrinsische und Koordinatensingularitäten Das Raumzeit-Diagramm der Reissner-Nordstram-Lösung Neutrale Teilchen in der Reissner-Nordstrem-Raumzeit * Penrose-Diagramme der maximal analytischen Erweiterungen* 356 Übungen Rotierende Schwarze Löcher Nulltetraden Die Kerr-Lösung aus einer komplexen Transformation Die drei wichtigsten Formen der Kerr-Lösung Grundlegende Eigenschaften der Kerr-Lösung Singularitäten und Horizonte Die Hauptnullkongruenzen Eddington-Finkelstein-Koordinaten Der stationäre Grenzfall Die maximale Erweiterung für den Fall a 2 < m 2 * Die maximale Erweiterung für den Fall a 2 > m 2 * Rotierende Schwarze Löcher Die Singularitätentheoreme Der Hawking-Effekt 387 Übungen 390 Teil E. Gravitationswellen Ebene Gravitationswellen Die linearisierten Feldgleichungen Eichtransformationen Linearisierte ebenfrontige Gravitationswellen Polarisationszustände Strenge ebenfrontige Gravitationswellen Ebene Gravitationsstoßwellen * Kollidierende ebenfrontige Gravitationsstoß wellen * Kollidierende Gravitationswellen * Der Nachweis von Gravitationswellen 414 Übungen 418

8 Inhaltsverzeichnis XIII 21 Strahlung von einer isolierten Quelle Strahlende isolierte Quellen Charakteristische Hyperflächen der Einsteinschen Gleichungen Strahlungskoordinaten Die Bondische Strahlungsmetrik Das charakteristische Anfangswertproblem * Newsfunction und Massenverlust * Die Petrow-Klassifikation* Das Aufspaltungstheorem * Die optischen Skalare* 438 Übungen 440 Teil F. Kosmologie Relativistische Kosmologie Ausblick Das Olberssche Paradoxon Newtonsche Kosmologie Das kosmologische Prinzip Das Weylsche Postulat Relativistische Kosmologie Räume konstanter Krümmung Die Geometrie dreidimensionaler Räume konstanter Krümmung Die Friedmannsche Gleichung Die Lichtausbreitung Eine kosmologische Abstandsdefinition Das Hubblesche Gesetz der relativistischen Kosmologie 472 Übungen Kosmologische Modelle Die flachen Raummodelle Modelle mit verschwindender kosmologischer Konstante Die Klassifikation der Friedmannschen Modelle Das de-sitter-modell Die ersten Modelle Das Zeitskalenproblem Spätere Modelle Das Problem der fehlenden Materie Die Standardmodelle Frühe Epochen des Universums * Kosmische Koinzidenzen Die Steady-State-Theorie Der Ereignishorizont des de-sitter-universums 500

9 XIV Inhaltsverzeichnis Teilchen-und Ereignishorizonte * Die konforme Struktur von Robertson-Walker-Raumzeiten* Die konforme Struktur der de-sitter-raumzeit* Inflation* Das anthropische Prinzip * Schluß 525 Übungen 518 Lösungen zu Übungsaufgaben 521 Weiterführende Literatur 545 Ausgewählte Literatur 549 Stichwortverzeichnis 553

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