Positive und negative Krümmungen im Gaußschen Dreieck

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1 Positive und negative Krümmungen im Gaußschen Dreieck Peter H. Richter Herrn Prof. Dr. Siegfried Großmann zum 70. Geburtstag gewidmet Bremen, 28. Februar 2000 überarbeitete Version: 20. Mai 2000 Zusammenfassung Auf der Grundlage der Schwarzschild-Metrik wird berechnet, welche Winkelsumme ein Dreieck hat, dessen Punkte auf der Oberfläche der Erde liegen und dessen Seiten durch Lichtstrahlen gebildet werden. Für ein gleichseitiges Dreieck von 80 km Seitenlänge ist sie ist knapp größer als π, was auf eine geringe positive Krümmung hindeutet. Aber was ist hier positiv gekrümmt? Es wird analysiert, in welcher Metrik die Lichtstrahlen, definiert als Projektionen von Nullgeodäten in der Einsteinschen Raumzeit auf den dreidimensionalen Raum, Geodäten sind. Dabei wird wesentlich Gebrauch gemacht vom Maupertuis-Prinzip der klassischen Mechanik. Stichworte: Gauß, Riemann, Einstein, Schwarzschild, Krümmungstensor, Geodäten, nicht- Euklidische Geometrie, Maupertuis-Prinzip

2 Einleitung Als Carl Friedrich Gauß die Winkelsumme im Dreieck Hoher Hagen Brocken Inselsberg vermaß, soll er die Möglichkeit in Erwägung gezogen haben, eine Abweichung von π festzustellen. Er hielt es nicht für selbstverständlich, daß Licht geraden Linien folgt, und hätte er entsprechende Hinweise gefunden, so wären seine Überlegungen zur nichteuklidischen Geometrie sicher nicht in der Schublade geblieben. Tatsächlich fand er im Rahmen seiner Messgenauigkeit keinen derartigen Effekt, so dass er die Sache auf sich beruhen ließ. Sein Schüler Bernhard Riemann entwickelte später die nach ihm benannte Differentialgeometrie gekrümmter Räume ohne Bezug zu Anwendungen in der physikalischen Realität. Albert Einstein konnte davon zehren, als er 95 die Allgemeine Relativitätstheorie formulierte. Ohne das Konzept des Krümmungstensors R abcd wäre es ihm vermutlich nicht möglich gewesen, die Äquivalenz von Raumzeit-Krümmung und Gravitation präzise auszudrücken: R ab 2 gab R = 8πG c 2 T ab. ( Das Tensorfeld auf der linken Seite charakterisiert die Krümmung der Raumzeit: R ab = R c acb ist der Ricci-Tensor, g ab der metrische Tensor und R = g ab R ab der Krümmungsskalar. Der Energie-Impuls-Tensor T ab auf der rechten Seite repräsentiert die Materie. Die Gravitationskonstante G spielt die Rolle einer Proportionalitätskonstanten zwischen den beiden vor Einstein nicht zusammen gesehenen Tensorfeldern. Karl Schwarzschild, der von 90 bis 909 Gauß Nachfolger in der Leitung der Göttinger Sternwarte gewesen war, fand als Soldat an der russischen Front noch 95 die nach ihm benannte Lösung der Einsteinschen Feldgleichung für den Fall einer Punktmasse m, ds 2 = g ab x a x b = c 2 dτ 2 ( = r s c 2 dt 2 + dr2 r r s /r + r2 dϑ 2 + r 2 sin 2 ϑ dϕ 2. (2 Dabei ist die Raumzeit durch Koordinaten (x 0, x, x 2, x 3 = (t, r = (t, r, ϑ, ϕ parametrisiert; s ist die Bogenlänge und τ die Eigenzeit. Der Schwarzschild- Radius r s = 2Gm/c 2 hat für die Erde den Wert 8,86 mm. Die Metrik ist indefinit, auf dem Lichtkegel ist ds = dτ = 0. Wenn wir in jedem Falle positive Abstände haben wollen, sollten wir für raumartige Lagen die Bogenlänge ds und für zeitartige die Eigenzeit dτ zur Grundlage metrischer Betrachtungen machen. Mit Hilfe der Metrik (2 lässt sich berechnen, wie groß der für Gauß unbeobachtbare Effekt sein sollte; er dürfte auch mit heutigen Methoden kaum messbar sein. Diese sicherlich wohlbekannte Rechnung wird hier noch einmal durchgeführt. Vor allem aber geht es in der vorliegenden Notiz um die Natur der Beziehung zwischen der Gaußschen Messung und Einsteins Gravitationstheorie. Die gängigen Lehrbücher [, 2, 6, 8] suggerieren anhand eines Bildes wie Abb. mehr Die Interpretation der Absichten, die Gauß mit seinem Experiment verfolgte, ist unter Historikern nicht unumstritten, siehe dazu [5, 4]. 2

3 oder weniger explizit, man solle sich die Lichtstrahlen als Trajektorien in einer negativ gekrümmten raumartigen Fläche vorstellen. Andererseits liefert die Rechnung (wie auch die unmittelbare Intuition für das Gauß-Experiment eine Winkelsumme größer als π, was man von geodätischen Dreiecken in positiv gekrümmten Flächen gewohnt ist. Da passt etwas nicht gut zusammen. Erstens verläuft ein Lichtstrahl nicht in Unterräumen t = const; zweitens liegt das Gaußsche Dreieck (näherungsweise in einer (ϑ, ϕ-ebene, die, wie wir sehen werden, positiv gekrümmt ist. Die Analyse muss davon ausgehen, dass die drei Strahlen, die das Gaußsche Dreieck im Raum bilden, selbst keine Geodäten in der (t, r-raumzeit nach Einstein und Schwarzschild sind, auch keine raumartigen. Sie sind zunächst lediglich Projektionen von Nullgeodäten auf den r-raum. Dieser kann allerdings mit einer Metrik versehen werden, in der die Lichtstrahlen Geodäten sind. Dazu werden wir das Maupertuis-Prinzip der klassischen Mechanik benutzen. Abbildung : Lichtablenkung durch negative Raumkrümmung im Gravitationsfeld, aus [2], Kapitel 5. Hier wird die negative innere Krümmung der (r, ϕ-ebene bei konstanten Werten von t und ϑ durch Einbettung in einen dreidimensionalen euklidischen Raum als äußere Krümmung illustriert. Die Raumzeit-Krümmung auf der Erde Die Schwarzschild-Metrik (2 soll im Folgenden mit der durch c = und G = gegebenen Skalierung versehen werden, so dass r s = 2m ist. Nach wohlbekannten Rechenvorschriften ergibt sich für den Riemannschen Krümmungstensor R abcd, dass nur die Komponenten R abab = R baab = R abba = R baba (3 mit den 6 Kombinationen a, b {0,, 2, 3}, a < b, von Null verschieden sind. Wie g ab hängen die R abab allein von den Koordinaten r und ϑ ab, und wenn man im (lokalen Tangentialraum die orthonormierte Basis ( dˆt, dˆr, d ˆϑ, d ˆϕ benutzt, 2m dr dt = dˆt, = dˆr, r dϑ = d r ˆϑ, r sin ϑ dϕ = d ˆϕ, (4 2m/r 3

4 verschwindet sogar die ϑ-abhängigkeit. Die nicht verschwindenden Elemente des Krümmungstensors haben in dieser Basis die einfache Gestalt [6] ˆR 00 = 2m r 3 ˆR0202 = m r 3 ˆR0303 = m r 3 (5 ˆR 22 = m r 3 ˆR33 = m r 3 ˆR2323 = 2m r 3 (6 und der metrische Tensor hat lokal die Standard-Form ĝ ab = ĝ ab = diag(,,,. (7 Der Ricci-Tensor R ab und der Krümmungsskalar R verschwinden, also auch der Einstein-Tensor R ab g 2 abr. Der Riemann-Tensor ist deshalb identisch mit dem Weyl-Tensor; bei r = 0 ist er singulär. Die Gleichungen (5 bis (7 gelten, solange man raumartige Abstände betrachtet und ds als Grundlage der Metrik benutzt. Innerhalb des Lichtkegels, also für zeitartige Abstände, ist ds 2 < 0, so dass man dτ betrachten sollte. Damit ändert der metrische Tensor sein Vorzeichen und mit ihm alle R abcd. Das lässt sich an deren Definition unmittelbar ablesen. (Es sei daran erinnert, dass die Christoffel-Symbole Γ a bc den metrischen Tensor quadratisch enthalten und daher gegenüber deren Vorzeichenänderung invariant sind; die R a bcd sind aus den Γ a bc gebildet und deshalb ebenfalls invariant; der Übergang zu R abcd wird aber durch g ab vermittelt. Wie sollen wir uns nun die so beschriebene gekrümmte Raumzeit vorstellen? Im Hinblick auf ausgedehnte kugelsymmetrische Himmelskörper ist zu bedenken, dass die Metrik (2 nur außerhalb der Massenverteilung gilt, im Falle der Erde also auf ihrer Oberfläche und darüber. 2 Dort ist die Massendichte Null, nach ( verschwinden daher auch R ab und R. In einem noch zu präzisierenden Sinn ist also die mittlere Krümmung der vierdimensionalen Raumzeit Null. Dagegen erkennen wir an (5 und (6, dass die Krümmung diverser zweidimensionaler Koordinaten-Flächen nicht verschwindet. Hierzu sei an folgenden Sachverhalt erinnert, der zum Beispiel in [0] bewiesen wird: Seien X a und Y a orthogonale Einheitsvektoren des Tangentialraums an einen Punkt (t, r und ɛ(x bzw. ɛ(y ihre Indikatoren (+ für raumartige und für zeitartige Vektoren. Dann ist die Schnittkrümmung der von X a und Y a aufgespannten Fläche K = ɛ(xɛ(y R abcd X a Y b X c Y d. (8 In der durch ( dˆt, dˆr, d ˆϑ, d ˆϕ gegebenen Basis sind aber die Einheitsvektoren in den jeweiligen Koordinaten-Richtungen ˆT a = (, 0, 0, 0 für die Zeit, ˆR a = (0,, 0, 0 für die radiale Koordinate, ˆΘ a = (0, 0,, 0 für den Polarwinkel und ˆΦ a = (0, 0, 0, für den Azimutwinkel. Wenn also mit K (t,r die lokale Schnittkrümmung der von dˆt und dˆr aufgespannten Fläche bezeichnet wird, dann finden wir K (t,r = ˆR 00. Analoges gilt für die anderen fünf Paarungen. Nun ist aber zu bedenken, dass die drei Paarungen 2 Auch für das Innere hat Schwarzschild eine Lösung der Feldgleichung angegeben, die uns hier aber nicht interessiert. 4

5 ( dr, dϑ, ( dr, dϕ und ( dϑ, dϕ wegen t = const raumartige Flächen erzeugen; es sind daher auf jeden Fall die Krümmungen von (6 zu nehmen. Dagegen schneiden die drei von ( dt, dr, ( dt, dϑ und ( dt, dϕ aufgespannten Flächen den Lichtkegel; in ihrem raumartigen Teil gelten daher die Krümmungen (5, während im zeitartigen Teil jeweils das andere Vorzeichen zu nehmen ist. Das führt auf K (t,r = ± 2m r 3 K (t,ϑ = m r 3 K (t,ϕ = m r 3 (9 K (r,ϑ = m r 3 K (r,ϕ = m r 3 K (ϑ,ϕ = 2m r 3 (0 Dabei gilt in (9 das obere Vorzeichen im raumartigen, das untere im zeitartigen Teil der jeweiligen Fläche. Auf dem Lichtkegel ist die Krümmung nicht definiert. Auf diese Weise lassen sich die Komponenten des Riemann-Tensors ˆR abab als die lokalen Krümmungen der durch die Koordinaten-Indizes a, b bezeichneten zweidimensionalen Schnittflächen interpretieren. Zu jeder Koordinatenrichtung a gibt es zwei andere, mit denen je eine negativ gekrümmte Fläche aufgespannt wird, und eine, mit denen eine doppelt so stark positiv gekrümmte Fläche gebildet wird. Das Verschwinden des Ricci-Tensors bedeutet, dass die Summe dieser drei lokalen Schnittkrümmungen Null ist. Der durch t = const definierte Raum in der Umgebung eines Punktes (t, r auf der Erde ist also in den vertikalen Ebenen negativ gekrümmt, während die horizontale Ebene r = const positive Krümmung hat. Da aber alle diese Ebenen raumartig sind, kann in ihnen kein Lichtstrahl verlaufen. Schon darum ist Abb. irreführend. Es kommt hinzu, dass die Krümmungen dieser Flächen selbstverständlich nicht berechnet werden können, indem man schon in der Metrik (2 die entsprechenden Einschränkungen vornimmt. So ergibt sich zum Beispiel aus der Metrik ds 2 = r 2 dϑ 2 + r 2 sin 2 ϑ dϕ 2, die man mit t = const und r = const erhielte, die Krümmung der (ϑ, ϕ-kugel vom Radius r, nämlich /r 2, aber das hat nichts zu tun mit der Schnittkrümmung K (ϑ,ϕ auf derselben Kugel, aufgefasst als Fläche in der Schwarzschild-Raumzeit. Ebenso wenig erhält man das K (r,ϕ aus (0, indem man die durch t = const und ϑ = π/2 definierte (r, ϕ-ebene mit Hilfe der Metrik ds 2 = ( 2m/r dr 2 + r 2 dϕ 2 diskutiert, denn deren Krümmung ist 3m/r 3 (Übung!. Genau das aber wird im Zusammenhang mit Abb. getan, vgl. z. B in [6]. Geodäten und Lichtstrahlen Warum oder in welchem Sinne gelten Lichtstrahlen als kürzeste Verbindungen zwischen zwei Punkten? Der naive Betrachter eines Gaußschen Experiments mit gebogenen Lichtstrahlen mag einwenden: Man sieht doch, dass das Licht auf gekrümmten Bahnen verläuft. Lege ich stattdessen einen geraden Maßstab zwischen die Punkte und lese ab, so finde ich ohne weiteres einen kürzeren Abstand. Das Argument ist so abwegig nicht, wie wir Enkel oder Urenkel Einsteins als Besserwisser manchmal glauben machen wollen. Noch Poincaré, der zwar die Geburt der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht mehr erlebte, die Spezielle aber gründlich kannte, vertrat vehement den Standpunkt, dass es eine Frage der Konvention sei, ob man zwischen zwei Punkten r und r 2 auf der Erde 5

6 den euklidischen, den geodätischen oder den durch Lichtstrahlen hergestellten Abstand als wahren Abstand ansehen wolle [7]. Es hat etwas von Taschenspieler-Trick an sich, wenn man dagegen hält, es komme eben nicht auf die räumliche Distanz zwischen Punkten r an, sondern auf den Abstand zwischen Punkten (t, r in der Raumzeit, welcher für lichtartige Verbindungen verschwindet und damit nicht unterboten werden kann. Aber genau das ist das Wesentliche. Raum und Zeit bilden metrisch eine Einheit; weder dt noch dr sind vom Koordinatensystem des Betrachters unabhängige Abstandsmaße, wohl aber dτ oder ds. Das ist ein Gedanke, der Gauß sicher ganz fremd war. Für ihn war eine Trajektorie des Lichtstrahls im R 3 (r noch die triviale Projektion aus der Newtonschen Raumzeit R 4 (t, r = R(t R 3 (r. Vor Maxwell gab es keinen Anlass, das anders zu sehen. Man mag die gebogenen Lichtstrahlen in einem mit Massen versehenen R 3 (r zur Grundlage einer Metrik wählen, wie das im nächsten Abschnitt geschieht. Doch wäre das im Sinne Poincarés eine Konvention, neben der die Euklidische ohne weiteres bestehen kann. Eine solche Lichtstrahlen-Metrik enthielte nicht den Witz der Relativitätstheorie, die im R 4 (t, r lebt. Sie wäre übrigens auch nicht mit dt = 0 aus (2 ableitbar. Das physikalisch Zwingende an der Einstein-Schwarzschild-Metrik, das den konventionalistischen Standpunkt aushebelt, ist zum Einen die Universalität der Lichtgeschwindigkeit (durch die Raum und Zeit miteinander verknüpft werden, zum Andern die Gültigkeit des Äquivalenzprinzips in der Form (. Zunächst soll von Geodäten deshalb nur auf der Basis von (2 die Rede sein. Dann sind Lichtstrahlen genau die Nullgeodäten; sie verbinden Punkte (t, r, deren Abstand verschwindet. Im R 4 (t, r bilden sie den Lichtkegel, also eine dreidimensionale Untermenge. Er trennt den Bereich der zeitartigen Abstände, dτ > 0, in dem die Geodäten Trajektorien frei fallender Körper sind, vom Bereich der raumartigen Abstände, ds > 0, in dem es keine physikalische Realisierung der Geodäten gibt. In jedem Fall sind abseits des Lichtkegels die Abstände zwischen Raumzeit-Punkten positiv. So hätten also der Hohe Hagen r H und der Brocken r B den Abstand Null? Natürlich nur dann, wenn man sie als Punkte (0, r H bzw. (t HB, r B in der Raumzeit betrachtet, wobei t HB die Zeit ist, die das Licht für den Weg von r H nach r B benötigt. Nun lassen sich aber Lichtstrahlen, die zwischen den drei Bergen r H, r B und r I laufen, nicht zu einem Dreieck im (t, r-raum kombinieren. Nur in der Projektion auf den r-raum ist das möglich. Aber diese raumartigen Projektionen sind als Linien in der Raumzeit im allgemeinen keine Geodäten. Es sei denn, wir konstruieren eine Metrik, die das erzwingt. Eine Lichtstrahlen-Metrik Wir stellen uns die Aufgabe, eine Metrik für den R 3 zu finden, deren Geodäten die Projektionen der Lichtstrahlen aus dem Einstein-Schwarzschild-Raum sind. Dazu erinnern wir uns zunächst, wie man die Bahnen des Lichts aus (2 erhält. Da für Licht dτ = 0 gilt, benutzt man einen Bahnparameter σ und schreibt, wenn das Symbol jetzt d/ dσ bedeutet, ( 2m r ṫ2 + 2m/r ṙ2 + r 2 ϑ2 + r 2 sin 2 ϑ ϕ 2 = 0. ( 6

7 Aus der Euler-Lagrange-Gleichung für die Koordinate t erhält man die Integrationskonstante ( 2m/rṫ = k, so dass als Ausgangspunkt zur Berechnung der Bahn im Raum der r = (r, ϑ, ϕ (x, x 2, x 3 die Energiegleichung 2m/r ṙ2 + r 2 ϑ2 + r 2 sin 2 ϑ ϕ 2 k 2 2m/r = 0 (2 dienen kann. Wir interpretieren sie als Summe aus einer in den Geschwindigkeiten quadratischen kinetischen Energie T ijẋ i ẋ j und der potentiellen Energie V (r = k 2 /( 2m/r. Der Wert der Gesamtenergie E ist 0. Selbstverständlich benutzen wir die Gleichung nur für r > 2m. Uns interessiert nicht der Zeitverlauf der Bahn, sondern nur ihre Form. Daher können wir auf das Variationsprinzip von Maupertuis zurückgreifen [9], das die Bahnen als Geodäten in der Metrik g ij = (E V T ij beschreibt. Wegen E = 0 ist deswegen ( g ij = diag ( 2m/r, r 2 2 2m/r, r 2 sin 2 ϑ (3 2m/r eine adäquate Metrik für die Lichtstrahlen im R 3. (Die Konstante k 2 spielt für die Bahnform und die Raumkrümmung keine Rolle. Die nicht verschwindenden Christoffel-Symbole dieser Metrik sind Γ 2m = r 2 ( 2m/r Γ 2 r 3m 2 = r 2 ( 2m/r Γ 22 = 3m r Γ 33 = Γ 22 sin 2 ϑ (4 Γ 2 2 = Γ 2 2 Γ 2 22 = sin ϑ cos ϑ (5 Γ 3 3 = Γ 2 2 Γ 3 3 = Γ 2 2 Γ 3 23 = cot ϑ = Γ 3 32 (6 woraus sich der Krümmungstensor berechnen lässt. Benutzen wir die lokale orthonormale Basis von Differentialen ( ( dˆr, d ˆϑ, dr d ˆϕ = 2m/r, r dϑ r sin ϑ dϕ,, (7 2m/r 2m/r so erhalten wir (bis auf die üblichen Symmetrien den Krümmungstensor ˆR 22 = ˆR 33 = 2m r 3 ( 3m 2r, ˆR2323 = 4m r 3 ( 9m 4r, (8 was sich direkt als lokale Schnittkrümmung der von den jeweiligen Differentialen aufgespannten Flächen interpretieren lässt. Der Vergleich mit (0 zeigt, dass diese Krümmungen bis auf Korrekturen der relativen Ordnung m/r doppelt so groß sind wie im Fall der Schwarzschild-Metrik. Für den Ricci-Tensor erhalten wir ˆR = 4m r 3 ( 3m 2r und für den Krümmungsskalar, ˆR22 = ˆR 33 = 2m r 3 ( 3m r, (9 R = 6m2 r 4, (20 also eine sehr kleine mittlere Raumkrümmung, die negativ ist. 7

8 Die Winkelsumme im Gauß-Dreieck Was folgt hieraus nun für die Winkelsumme in einem aus Lichtstrahlen gebildeten Dreieck? Die Rechnung soll hier nur bis zur Ordnung m/r vorgenommen werden und nur für Dreiecke, deren Punkte wie im Falle der Gaußschen Messungen auf der Erdoberfläche liegen. Der Einfachheit halber sei angenommen, dass es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt. Wir betrachten zuerst einen einzelnen Lichtstrahl, der zwei Punkte r und r 2 auf der Erde verbindet. Zusammen mit dem Mittelpunkt der Erde spannen sie eine Ebene auf, in der der Strahl verläuft. In dieser Ebene führen wir Polarkoordinaten (r, φ ein, wobei φ = 0 die Richtung nach r + r 2 bezeichne. Dann mögen die beiden Punkte bei r = (R, α und r 2 = (R, α liegen. Die bekannte Darstellung des Strahlverlaufs ist [2] r = cos φ D + m D ( + 2 sin2 φ. (2 Für m = 0 ergibt das in niedrigster Näherung eine Gerade, wobei der Paramter D den Wert D 0 = R cos α annimmt. Setzen wir das in den Korrekturterm von (2 ein, so erhalten wir D D 0( + δ mit δ = m R + sin 2 α cos 2 α. (22 Für die Tangente an den Strahl im Punkt r berechnen wir daraus mit (x, y = (r cos φ, r sin φ ( dx, dy = R ( γ sin α cos α, γ sin 2 α dφ, (23 cos α wobei γ = δ + 2m R = m 3 sin 2 α R sin 2 α. (24 Damit lässt sich der Einheitsvektor in Tangentenrichtung wie folgt koordinatenunabhängig schreiben: t = r 2 r r 2 r + γ sin α cos α r 2 + r r 2 + r. (25 Dies wenden wir nun auf ein gleichseitiges Dreieck an, welches in geeigneten Kugelkoordinaten die folgenden Punkte hat: r = R(sin θ, 0, cos θ r 2 = R( sin θ, sin θ, cos θ (26 r 3 = R( sin θ, sin θ, cos θ. Die Fläche dieses Dreiecks, sofern man es als ebenes Dreieck mit Winkelsumme π auffasst, ist F e = 3 4 3R 2 sin 2 θ; (27 fasst man es dagegen als Dreieck auf der Kugel von Radius R auf, so ist die Fläche F k = (3β πr 2 cos β = 3 cos2 θ 3 cos 2 θ +, (28 8

9 und die Winkelsumme ist 3β = π + F k /R 2. Für θ 0 stimmen die beiden Flächen überein. Betrachten wir nun den Lichtstrahl, der r mit r 2 verbindet. Für den Winkel α zwischen den Richtungen von r und r + r 2 finden wir sin α = 3 4 sin2 θ, cos α = cos 2 θ + 4 sin2 θ. (29 Der Krümmungsparameter γ wird dann γ = 3m R 3 6 sin4 θ 9 6 sin4 θ. (30 Für den Einheitsvektor t 2 in Richtung der Tangente an den Lichtstrahl bei r finden wir mit (25, (26 und (29 t 2 = ( 2 3,, 0 + γ 3 sin θ ( sin θ, sin θ, cos θ, (3 und analog für den entsprechenden Vektor t 3 = ( 2 3,, 0 + γ 3 sin θ ( sin θ, sin θ, cos θ. (32 Der Winkel zwischen diesen beiden Vektoren ergibt sich aus deren Skalarprodukt, Entwicklung bis zur ersten Ordnung in γ gibt Die Winkelsumme ist daher cos = γ sin2 θ. (33 = π γ 3 sin 2 θ. (34 3 = π + 2γ F e R π + 6m 6m 2 Fe π + R3 R F k. (35 3 Die letzten beiden Näherungen gelten für Dreiecke, die klein sind im Vergleich zur Erde. Man beachte, dass dieses Ergebnis für den Winkelexzess 3 π um einen Faktor 3/2 größer ist, als man es nach Gauß-Bonnet für eine zweidimensionale Fläche mit der Krümmung ˆR 2323 und r = R gemäß (8 erwarten würde. Der Grund dafür dürfte in der Tatsache liegen, dass Lichtstrahlen eben nicht in einer Fläche r = const verlaufen. Nehmen wir für die Basislänge des Gaußschen Dreiecks 80 km an, so erhalten wir als Winkelsumme π Man müsste also über 80 km eine Position mit 0 Nanometern Genauigkeit bestimmen können. Das charakterisiert die sehr schwache positive Krümmung der horizontalen Flächen, in qualitativem Einklang mit dem Wert für ˆR 2323 in (8. Für Messungen an vertikalen Dreiecken sollte man eine vergleichbar kleine negative Abweichung von π erwarten (Übung!. Der Winkelexzess F k /R 2 des entsprechenden sphärischen Dreiecks, das aus Großkreisen längs der Erdoberfläche gebildet wird, beträgt in dem Beispiel übrigens oder etwa 4 Bogensekunden. Was hat nun Gauss tatsächlich gemessen? Ich beziehe mich im Folgenden auf persönliche Mitteilungen von A. Wittmann, der die Gaußschen Werke [3] in dieser Angelegenheit konsultiert hat. Danach behandelt Gauss das Dreieck aus Hohem Hagen (HH, Höhe 505 m, Brocken (BR, Höhe 50 m und Inselsberg (IB, 9

10 Höhe 920 m von vornherein als sphärisches Dreieck. Er gibt die Entfernungen zwischen den drei Punkten nicht in euklidischer Luftlinie an, sondern entlang Großkreisen auf der Erdkugel in Höhe Null: HH-BR = km, BR-IB = km und IB-HH = km. Das Dreieck hat einen sphärischen Exzess von 4.9 Bogensekunden, und genau diesen enthält die Winkelsumme der ausgeglichenen Azimutdifferenzen: (bei HH, (bei BR und (bei IB. Wittmann hat die Gaußschen Angaben auf das ebene Dreieck zwischen den drei Messpunkten zurückgerechnet und gefunden, dass die euklidischen Entfernungen km, km und km betragen, die direkt gemessenen Azimutdifferenzen (die Gauß aber nicht angibt (bei HH, (bei BR und (bei IB. Der Winkelexzess ist dann Null. Als damals typischerweise erreichbare Messgenauigkeit gibt Wittmann einige wenige Bogensekunden an, wobei die Begrenzung in erster Linie nicht von der Optik der Fernrohre, sondern von der Refraktion und atmosphärischer Turbulenz herrühre. Gauß war natürlich mit der nicht-euklidischen Natur der sphärischen Geometrie vertraut. Er sah aber keinen Anlass, den dreidimensionalen Raum, in dem wir leben, als nicht-euklidisch anzusehen. Denn seine Messungen waren konsistent mit der Annahme, dass Lichtstrahlen euklidischen Geraden folgen. Acht Größenordnungen trennten ihn von den Befunden, die die Relativitätstheorie vorhersagt. Danksagung Von Herrn Großmann habe ich den Umgang mit Christoffel-Symbolen und das Maupertuis-Prinzip der klassischen Mechanik gelernt. Für dies und unendlich Vieles mehr möchte ich ihm an seinem 70. Geburtstag danken. Den Herren Prof. H. Goenner, Göttingen, und Dr. V. Kastens, Hannover, danke ich für Verbesserungsvorschläge zur ersten Version dieser Studie. Herr Dr. A. Wittmann, Göttingen, schickte mir die erwähnten Daten zu den Gaußschen Messungen, und Frau Prof. K. Reich, Hamburg, machte mich auf die Diskussion zwischen Miller, Goe und van der Waerden aufmerksam. Literatur [] M. V. Berry. Principles of Cosmology and Gravitation. Adam Hilger, Bristol, 989. [2] R. A. d Inverno. Einfürung in die Relativitätstheorie. VCH, Weinheim, 995. [3] C. F. Gauß. Werke, Bd. I - XII. Königl. Ges. d. Wissenschaften, Göttingen, 870 ff. In Commission bei Teubner, Leipzig. [4] G. Goe, B. L. van der Waerden, and A. I. Miller. Comments on [5]. Isis, 65:83 87, 974. [5] A. I. Miller. The myth of Gauss experiment on the Euclidean nature of physical space. Isis, 63: , 972. [6] C. W. Misner, K. S. Thorne, and J. A. Wheeler. Gravitation. Freeman, New York,

11 [7] H. Poincaré. Wissenschaft und Hypothese. Teubner, Leipzig, 904. [8] H. Stephani. Allgemeine Relativitätstheorie. Deutscher Verlag d. Wissenschaften, Berlin, 99. [9] J. L. Synge. On the geometry of dynamics. Phil. Trans. A, 226:3 06, 926. [0] J. L. Synge and A. Schild. Tensor Calculus. Univ. of Toronto Press, Toronto, 949.