Anton Deitmar. Analysis. 2., durchgesehene Auflage

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1 Springer-Lehrbuch

2 Anton Deitmar Analysis 2., durchgesehene Auflage

3 Anton Deitmar Mathematisches Institut Universität Tübingen Tübingen, Deutschland ISSN Springer-Lehrbuch ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014, 2017 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Planung: Dr. Annika Denkert Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist Teil von Springer Nature Die eingetragene Gesellschaft ist Springer-Verlag GmbH Berlin Heidelberg Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, Berlin, Germany

4 Vorwort Dieses Buch liefert eine vollständige Einführung in die Analysis, von den mengentheoretischen Grundlagen bis zum Satz von Stokes. Enthalten sind ein- und mehrdimensionale Differentiation und Integration, die Theorie metrischer Räume, metrische und abstrakte Topologie, Maßtheorie und Lebesgue-Integral, sowie Differentialformen und Integration auf Mannigfaltigkeiten. Besonderer Wert wurde auf eine kurze und prägnante Darstellung gelegt, sowie auf Vollständigkeit und Klarheit der Argumente. Die Sprache wurde von unnötigen Floskeln befreit, prozesshafte Schilderungen wurden zugunsten prägnanter Zustandsbeschreibungen gekürzt. Insgesamt kann man die hinter dem Buch stehende Auffassung in drei Sätzen so formulieren: Was gesagt werden kann, kann kurz gesagt werden. Die beste Motivation für einen mathematischen Sachverhalt ist ein klarer und einfacher Beweis. Für einen guten Text ist es nicht nur wichtig, was gesagt, sondern auch, was verschwiegen wird. Das Buch eignet sich zum Selbststudium, als Vorlage für Lehrveranstaltungen oder als Begleittext. Für Anregungen, Bemerkungen und Korrekturen bedanke ich mich bei den Kollegen Christian Hainzl, Frank Loose und Reiner Schätzle, sowie bei Alheydis Geiger, Lukas Epple, Stefan Köberle, Frank Monheim und einem anonymen Leser. v

5 Inhaltsverzeichnis 1 Mengentheoretische Grundlagen Aussagen Mengen und Abbildungen Komposition ProdukteundRelationen VollständigeInduktion Aufgaben und Bemerkungen I Differential- und Integralrechnung 25 2 Die reellen Zahlen Zahlbereiche Körper Anordnung Intervalle und beschränktemengen Dedekind-Vollständigkeit Aufgaben und Bemerkungen Folgen und Reihen Konvergenz Intervallschachtelung vii

6 viii INHALTSVERZEICHNIS 3.3 Teilfolgen Reihen Konvergenzkriterien fürreihen AbsoluteKonvergenz Umordnung DieExponentialreihe Aufgaben Funktionen und Stetigkeit Funktionen StetigeFunktionen Sätze über stetige Funktionen DerLogarithmus Die Exponentialfunktion im Komplexen Trigonometrische Funktionen Aufgaben Differentialrechnung Differenzierbarkeit Lokale Extrema, Mittelwertsatz Die Regeln von de l Hospital Aufgaben Integralrechnung Treppenfunktionen und Integrierbarkeit RiemannscheSummen Hauptsatz der Infinitesimalrechnung Uneigentliche Integrale Aufgaben

7 INHALTSVERZEICHNIS ix 7 Funktionenfolgen GleichmäßigeKonvergenz Potenzreihen Taylor-Reihen Fourier-Reihen Aufgaben und Bemerkungen Metrische Räume und Topologie Metrik und Vollständigkeit MetrischeTopologie Stetigkeit Zusammenhang Kompaktheit Der Satz von Arzela-Ascoli Normierte Vektorräume Aufgaben II Mehrdimensionale Reelle Analysis Differentialrechnung im R n PartielleAbleitungen Totale Differenzierbarkeit Taylor-Formel und lokale Extrema Lokale Umkehrfunktionen ImpliziteFunktionen Aufgaben Integration im R n ParameterabhängigeIntegrale

8 x INHALTSVERZEICHNIS 10.2 Stetige Funktionen mit kompakten Trägern Die Transformationsformel DerIgelsatz Aufgaben Gewöhnliche Differentialgleichungen Existenz und Eindeutigkeit Lineare Differentialgleichungen Aufgaben Allgemeine Topologie AbstrakteTopologie Stetigkeit Kompaktheit und das Lemma von Urysohn Erzeuger und Abzählbarkeit Initial- und Final-Topologien DasZornscheLemma DerSatzvonTychonov Der Satz von Stone-Weierstraß Hilbert-Räume Konvergenz von Fourier-Reihen DerSatzvonBaire Tietzes Fortsetzungssatz Netze Aufgaben und Bemerkungen III Maß und Integration Maßtheorie 295

9 INHALTSVERZEICHNIS xi 13.1 σ-algebren MessbareAbbildungen Maße DasLebesgue-Maß Aufgaben Integration Integrale positiver Funktionen Integrale komplexer Funktionen Parameter und Riemann-Integrale Der Rieszsche Darstellungssatz KomplexwertigeMaße Aufgaben und Bemerkungen L p -Räume EinigeUngleichungen Vollständigkeit Der Satz von Lebsgue-Radon-Nikodym Aufgaben Produktintegral Vorbemerkungen Produktmaße DerSatzvonFubini Aufgaben und Bemerkungen IV Integration auf Mannigfaltigkeiten Differentialformen Mannigfaltigkeiten

10 xii INHALTSVERZEICHNIS 17.2Derivationen MultilineareAlgebra Zurückziehen von Differentialformen Aufgaben und Bemerkungen Der Satz von Stokes Orientierung TeilungderEins Orientierung von Hyperflächen Der Stokessche Satz für den R n Holomorphe Funktionen Poincaré Lemma Die Stokes-Formel für Mannigfaltigkeiten Der Brouwersche Fixpunktsatz Aufgaben A Existenz der reellen Zahlen 407 A.1 Existenz der reellen Zahlen A.2 Eindeutigkeit A.3 Dezimalzahlen B Vollständigkeit 413 B.1 Cauchy-Vollständigkeit Literaturverzeichnis 417 Index 417