Konstruktion von Flächen vorgeschriebener mittlerer Krümmung mit der Kontinuitätsmethode

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1 Konstruktion von Flächen vorgeschriebener mittlerer Krümmung mit der Kontinuitätsmethode Diplomarbeit vorgelegt von Matthias Bergner aus Chemnitz Institut für Mathematik der Brandenburgischen Technischen Universität Cottbus 2003

2 Ausgabe des Themas: 19. Januar 2003 Abgabe der Arbeit: 18. Juli 2003 Gutachter: Prof. Dr. rer. nat. habil Friedrich Sauvigny Zweitgutachter:Prof. Dr. rer. nat. habil Sabine Pickenhain

3 3 Einleitung Ziel dieser Arbeit ist es, das Plateausche Problem für Graphen vorgeschriebener mittlerer Krümmung zu lösen. Allgemein wird dieses Problem als ein Variationsproblem aufgefasst und entsprechende Methoden der Variationsrechnung angewandt. Wir werden hier einen anderen Weg zur Konstruktion von Lösungen beschreiten, nämlich die Kontinuitätsmethode. Als Grundlage dient uns die Arbeit [7] von F. Sauvigny, in welcher eine solche Methode vorgeschlagen wurde. In 1 leiten wir zunächst die Differentialgleichungen für Flächen vorgeschriebener mittlerer Krümmung her, einerseits für Graphen und andererseits für konform parametrisierte Flächen. In 2 betrachten wir die Variation einer konform parametrisierten Fläche in Richtung ihrer Normalen. Wir zeigen dort, dass die variierte Fläche eine vorgeschriebene mittlere Krümmung annimmt genau dann, falls eine nichtlineare, elliptische Differentialgleichung erfüllt ist. Diese Differentialgleichung können wir mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes lösen, müssen jedoch von der Ausgangsfläche strikte Stabilität (vgl. 2, Def. 2) fordern. Mit Hilfe einer Differentialgleichung für die Normale (Hilfssatz 1 in 2), welche wir der Arbeit [4] entnommen haben, untersuchen wir dann in 4, unter welchen Voraussetzungen eine Fläche strikt stabil ist. Es zeigt sich, das dies der Fall ist falls die betrachtete Fläche ein Graph über der x, y-ebene ist und die vorgeschriebene mittlere Krümmung H : R 3 R C 1 (R 3 ) die Voraussetzung erfüllt. H(x, y, z) z 0 in R 3 In 5 werden wir Kompaktheitsaussagen für Flächen vorgeschriebener mittlerer Krümmung herleiten. Wir betrachten eine Folge von Graphen vorgeschriebener mittlerer Krümmung. Zunächst werden wir mit dem Uniformisierungssatz (vgl. [9]) auf jeder Fläche konforme Parameter einführen. Mit Hilfe der bekannten a-priori Abschätzungen für Systeme mit quadratischem Wachstum im Gradienten (siehe [9]) werden wir a-priori Abschätzungen dieser Folge sowohl im Inneren als auch bis zum Rand erbringen (vgl. 5, Hilfssatz 2). Nach Auswahl einer konvergenten Teilfolge erhalten wir dann eine konform parametrisierte Grenzfläche. Diese lässt sich erneut als Graph parametrisieren, was wir mit den Sätzen aus 4 zeigen. Die Kontinuitätmethode werden wir dann in 6 zeigen. Es sind dafür zwei Teile zu zeigen, nämlich sowohl die Offenheit als auch die Abgeschlossenheit. Die Offenheit weisen wir mit dem in 2 gezeigten Variationsergebnis nach. Als wichtiges Hilfsmittel benötigen wir jedoch einen Fortsetzungssatz (siehe [3]), welcher es erlaubt, eine Fläche als Lösung der H-Flächengleichung über den Rand hinweg fortzusetzen. Der Nachweis der Abgeschlossenheit erfolgt mit den Sätzen aus 5. In 7 zeigen wir gewisse Schauderabschätzungen mit Randwerten, welche wir in dieser Arbeit benötigen. Als Basis dienen uns die Schauderabschätzungen aus [9], Kap XV, 7, welche dort nur im Falle von Null-Randwerten gezeigt werden.

4 4 Schließlich werden wir in 8 einige Anwendungen der Kontinuitätsmethode angeben. Wir werden das Dirichletproblem der H-Flächengleichung für Graphen lösen im Falle konstanter mittlerer Krümmung. Außerdem werden wir für die Gauss-Laplace-Gleichung des Kapillaritätsproblemes Lösungen kontruieren. An dieser Stelle möchte ich recht herzlich Herrn Prof.Dr.F.Sauvigny danken, unter dessen Anleitung ich diese Arbeit geschrieben habe. Durch seine sehr interessanten Vorlesungen und Seminare über Analysis bin ich in die Themengebiete der partiellen Differentialgleichungen und der Differentialgeometrie eingeführt worden. Dadurch wurde die Grundlage für diese Diplomarbeit gelegt. Außerdem gilt mein Dank Herrn Dr.rer.nat.F.Müller, welcher mir stets mit hilfreichen Hinweisen zu meiner Arbeit zur Verfügung stand.

5 5 Inhaltsverzeichnis 1 Flächen und ihre Parametrisierungen 6 2 Normalvariation einer H-Fläche in konformen Parametern 10 3 Maximumprinzipien für H-Flächen 19 4 Stabilitätsaussagen im Inneren und am Rand 23 5 Kompaktheitseigenschaften 32 6 Die Kontinuitätsmethode 48 7 Schauderabschätzungen am Rande 53 8 Anwendungen der Kontinuitätsmethode 59

6 6 1 Flächen und ihre Parametrisierungen Definition 1 : Es sei Ω R 2 eine offene, beschränkte Menge. Dann verstehen wir unter einer Parametrisierung einer Fläche eine Abbildung x = x(u, v) : Ω R 3 C 2 (Ω) C 0 (Ω). Ein (u 0, v 0 ) Ω nennen wir Verzweigungspunkt von x, falls x u x v (u 0, v 0 ) = 0 gilt, ansonsten nennen wir x regulär in (u 0, v 0 ). Eine Fläche, welche keine Verzweigungspunkte besitzt, bezeichnen wir als regulär. Hierbei bezeichnet das im R 3 erklärte Kreuzprodukt. Zwei Parametrisierungen x : Ω R 3 und x : Ω R 3 nennen wir äquivalent, falls es einen positiv orientierten Diffeomorphismus φ : Ω Ω gibt mit x = x φ. Wir sagen dann, dass x und x die selbe Fläche im R 3 parametrisieren. Bemerkung: Im allgemeinen identifizieren wir eine Fläche mit ihrer gegebenen Parametrisierung x. Für eine Fläche x lässt sich in den regulären Punkten ihre Normale X durch X(u, v) := x u x v (u, v) x u x v (u, v), (u, v) Ω erklären. Dabei haben wir mit Ω := {(u, v) Ω x u x v (u, v) 0} die Menge aller regulären Punkte in Ω gesetzt. In der Differentialgeometrie werden die folgenden Größen einer Fläche erklärt H = H(u, v) := GL 2F M + EN 2(EG F 2 ) (1.1) K = K(u, v) := LN M 2 EG F 2. (1.2) Man nennt H die mittlere Krümmung und K die Gauss sche Krümmung der Fläche. Die in diesen Formeln auftretenden Größen E, F, G sind die Koeffizienten der ersten Fundamentalform, erkärt durch E := x u x u, F := x u x v und G := x v x v. L, M, N bezeichnen die Koeffizienten der zweiten Fundamentalform, definiert durch L := x u X u, M := x v X u und N := x v X v. Wir bemerken, dass die Definition von E, F, G sowie L, M, N von der Parametrisierung der Fläche abhängig sind, jedoch sind die mittlere und Gauss sche Krümmung invariant gegenüber positiv orientierter Umparametrisierung der Fläche, wie in der Differentialgeometrie nachgewiesen wird.

7 7 Wir möchten nun zunächst einige wichtige Eigenschaften von Parametrisierungen einer Fläche nennen. Es gilt x uu X + x u X u = 0 = x uv X + x u X v x uv X + x v X u = 0 = x vv X + x v X v X u X = 0 = X v X X uu X + X u X u = 0 = X uv X + X u X v. Diese Gleichungen erhält man jeweils durch Differentiation der Identitäten x u X = 0 und X X = 1. Definition 2 : Zu O R 3 betrachten wir eine Fläche x : Ω O C 2 (Ω) C 0 (Ω). Weiter sei H : O R eine gegebene Funktion. Wir sagen, dass die Fläche x die vorgeschriebene mittlere Krümmung H besitzt, falls für die in (1.1) erklärte mittlere Krümmung die Beziehung H(x(u, v)) = H(u, v) für (u, v) Ω gilt. In diesem Falle nennen wir die Fläche eine Fläche der vorgeschriebenen mittleren Krümmung H oder kurz eine H-Fläche. Vom Standpunkt der partiellen Differentialgleichugen aus erweisen sich die folgenden speziellen Parameter einer Fläche als sehr hilfreich. Definition 3 : Eine Parametrisierung x : Ω R 3 einer Fläche nennen wir konforme Parameter, falls die Relationen gelten. x u 2 = x v 2 = E(u, v) und x u x v = 0 (1.3) Wir bemerken, dass im Falle von konformen Parametern für die Koeffizienten der ersten Fundamentalform E = G und F = 0 richtig ist. Wir kommen nun zu folgendem Hilfssatz 1 : Sei O R 3 offen und H = H(x, y, z) : O R eine vorgegebene Funktion. Weiter sei x : Ω O eine reguläre Fläche der vorgeschriebenen mittleren Krümmung H in konformen Parametern. Dann ist die Differentialgleichung erfüllt. x = 2H(x)x u x v in Ω (1.4) Beweis: Durch Differentiation von (1.3) ergeben sich die Gleichungen Damit berechnen wir x u x uu = x v x uv x v x vv = x u x uv x uv x v = x u x vv x uv x u = x v x uu. x x u = x uu x u + x vv x u = x uv x v + x vv x u = 0.

8 8 Analog dazu ergibt sich x x v = 0. Da nun x u, x v, X in jedem Punkt eine orthogonale Basis des R 3 erzeugen, schließen wir mit Hilfe von (1.1) x = ( x X) X = (x uu X + x vv X) X = L + N 2E 2EX = 2EH(x)X = 2H(x)x u x v q.e.d. Wir wollen nun noch eine weitere mögliche Parametrisierung einer Fläche betrachten. Definition 4 : Für eine Funktion ζ = ζ(x, y) : Ω R C 2 (Ω) C 0 (Ω) erklären wir durch x = x(x, y) : Ω R 3, x(x, y) := (x, y, ζ(x, y)) (1.5) die Parametrisierung einer Fläche. Diese Parametrisierung bezeichnen wir als den Graph von ζ über der x, y-ebene. Hilfssatz 2 : Es sei ζ = ζ(x, y) C 2 (Ω) C 0 (Ω) gegeben. Dann besitzt ζ als Graph über der x, y-ebene genau dann die mittlere Krümmung H, falls ζ der quasilinearen, elliptischen Differentialgleichung Mζ := (1 + ζ 2 y)ζ xx 2ζ x ζ y ζ xy + (1 + ζ 2 x)ζ yy = 2H(x, y, ζ(x, y))(1 + ζ 2 ) 3 2 in Ω (1.6) genügt. Den Operator M nennen wir den Minimalflächenoperator. Setzen wir ζ := (ζ x, ζ y ) in Ω, so ist diese Differentialgleichung äquivalent zur folgenden in Divergenzform ) div ((1 + ζ 2 ) 1 2 ζ = 2H(x, y, ζ(x, y)) in Ω, wobei wir für ein Vektorfeld a(x, y) = (a 1 (x, y), a 2 (x, y)) : Ω R 2 C 1 (Ω) seine Divergenz erklären durch div a := a 1 x + a 2 y. Beweis: Mit x(x, y) := (x, y, ζ(x, y)) berechnen wir zunächst wobei wir x x = (1, 0, ζ x ) x y = (0, 1, ζ y ) x x x y = ( ζ x, ζ y, 1) X = σ 1 2 ( ζx, ζ y, 1), σ := x u x v 2 = 1 + ζ 2 = 1 + ζ 2 x + ζ 2 y setzen. Damit ergibt sich für die Koeffizienten der ersten Fundamentalform E = x x x x = 1 + ζ 2 x F = x x x y = ζ x ζ y G = x y x y = 1 + ζy 2.

9 9 Für die Koeffizienten der zweiten Fundamentalform leiten wir L = x xx X = σ 1 2 ζxx M = x xy X = σ 1 2 ζxy N = x yy X = σ 1 2 ζyy her. Gemäss (1.1) gilt für die mittlere Krümmung H H = GL 2F M + EN 2(EG F 2 ) = σ 1 (1 + ζy)ζ 2 xx 2ζ x ζ y ζ xy + (1 + ζx)ζ 2 yy 2 2(1 + ζx)(1 2 + ζy) 2 2ζxζ 2 y 2 woraus wir sofort = σ 1 (1 + ζy)ζ 2 xx 2ζ x ζ y ζ xy + (1 + ζx)ζ 2 yy 2 2(1 + ζx 2 + ζy) 2 = σ 3 ) 2 ((1 + ζ 2 2 y)ζ xx 2ζ x ζ x ζ xy + (1 + ζx)ζ 2 yy, (1.7) (1 + ζ 2 y)ζ xx 2ζ x ζ y ζ xy + (1 + ζ 2 x)ζ yy = 2H(x, y, ζ(x, y))(1 + ζ 2 ) 3 2 schlussfolgern. Wir zeigen nun noch die Differentialgleichung in Divergenzform. Dazu berechen wir ) ) div ((1 + ζ 2 ) 1 2 ζ = (σ 1 2 ζx (σ )x ζy = σ 3 2 (ζ 2 x ζ xx + ζ x ζ y ζ xy ) + σ 1 2 ζxx σ 3 2 (ζ 2 y ζ yy + ζ x ζ y ζ xy ) + σ 1 2 ζyy = σ 3 2 ( ζ 2 x ζ xx + σζ xx ζy 2 ζ yy + σζ yy 2ζ x ζ y ζ xy ) ) = σ 3 2 ((1 + ζy)ζ 2 xx 2ζ x ζ y ζ xy + (1 + ζx)ζ 2 yy = 2H(x, y, ζ(x, y)), y wobei wir (1.7) verwendet haben. q.e.d. Bemerkung: Wie wir im Beweis dieses Satzes gesehen haben, lässt sich die Normale des Graphen über der x, y-ebene schreiben als X = σ 1 2 ( ζx, ζ y, 1) mit σ := 1 + ζ 2. Somit ist ein Graph stets verzweigungspunktfrei und seine Normale erfüllt die Bedingung X e 3 = σ 1 2 > 0, wobei e 3 = (0, 0, 1) gesetzt ist. Diese Ungleichung wird sich später für Stabilitätsaussagen als nützlich erweisen. Es sei nun H : R 3 R C 0 (R 3 ) die vorgeschriebene mittlere Krümmung. Wir betrachten das folgende Dirichlet-Randwertproblem ζ = ζ(x, y) : Ω R C 2 (Ω) C 0 (Ω) (1 + ζ 2 y)ζ xx 2ζ x ζ y ζ xy + (1 + ζ 2 x)ζ yy = 2H(x, y, ζ(x, y))(1 + ζ 2 x + ζ 2 y) 3 2 in Ω(1.8) ζ(x, y) = g(x, y) auf Ω,

10 10 welches das Dirichletproblem der H-Flächengleichung in nichtparametrischer Form genannt wird. Es ist dabei g C 0 ( Ω) eine beliebige Randverteilung. Eine Lösung dieses Randwertproblemes ist wegen Hilfssatz 2 sofort als Graph eine Fläche der vorgeschriebenen mittleren Krümmung H. Dieses Problem besitzt den Vorteil, dass es nur aus einer Gleichung besteht. Man kann außerdem Dirichlet-Randwerte vorschreiben. Die Schwierigkeit dieses Problemes liegt jedoch in der komplizierten Nichtlinearität der Gleichung. Gegenüberstellend kann man sich auch das folgende Randwertproblem stellen x = x(u, v) : Ω R 3 C 2 (Ω) C 0 (Ω) x = 2H(x)x u x v sowie x u 2 x v 2 = 0 = x u x v in Ω (1.9) x Ω : Ω Γ topologisch. Hierbei ist Γ R 3 eine einfach geschlossene Jordankurve im R 3. Die geforderte Randbedingung bedeutet, dass x Ω : Ω Γ eine stetige und bijektive Abbildung ist. Falls eine Lösung von (1.9) keine Verzweigungspunkte enthält, so ist sie wegen Hilfssatz 1 sofort eine Fläche der vorgeschriebenen mittleren Krümmung H. Dieses Problem besitzt gegenüber (1.8) den Vorteil der einfacheren Differentialgleichung, welche als Hauptteil den Laplace- Operator besitzt. Ihre Schwierigkeit besteht jedoch in der nichtlinearen Randbedingung sowie in der Tatsache, dass eine Lösung noch Verzweigungspunkte besitzen kann. Falls man in (1.9) die Forderung der konformen Parametrisierung, d.h. x u 2 x v 2 = 0 = x u x v, weglässt, so kann man zusätzlich Dirichlet-Randwerte fordern und erhält dann das Dirichletproblem für das H-Flächensystem. Dieses besitzt unter gewissen Zusatzvoraussetzungen eine Lösung (vgl. [9], Kap. XVII, 4). Die Voraussetzung der konformen Parameter ist jedoch wichtig, da nur in diesem Fall die differentialgeometrische mittlere Krümmung einer Lösung von (1.9) mit der vorgeschriebenen Funktion H übereinstimmt. Wir erkennen, dass jedes der beiden Probleme (1.8) und (1.9) als Lösung Flächen der vorgeschriebenen mittleren Krümmung H besitzen. Zusätzlich hat jedes der beiden Probleme gewisse Vorteile wie Nachteile. In folgenden werden wir beide Probleme parallel zu studieren haben. 2 Normalvariation einer H-Fläche in konformen Parametern Wir benötigen zunächst eine Differentialgleichung für die Normale X einer Fläche in konformen Parametern. Hilfssatz 1 : Es sei O R 3 offen, H = H(x, y, z) : O R C 1+α (O) die vorgeschriebene mittlere Krümmung zu einem Hölderexponenten α (0, 1). Weiter sei eine H-Fläche x : Ω O C 2+α (Ω) in konformen Parametern gegeben, welche in Ω verzweigungspunktfrei sei. Dann ist X C 2+α (Ω) richtig und die Normale erfüllt die Differentialgleichung ( ) X + 2E 2H(x) 2 K H X X + 2E H = 0 in Ω ; wobei E = x u 2 und K die Gauss sche Krümmung der Fläche x seien. Beweis: 1.) Da wegen Hilfssatz 1 aus 1 x = 2H(x)x u x v in Ω (2.1)

11 11 gilt, H C 1+α (O) und x C 2+α (Ω) richtig ist, ergibt sich für die rechte Seite aus (2.1) 2H(x)x u x v C 1+α (Ω). Mit potentialtheoretischen Mitteln (siehe [2]) können wir damit x C 3+α (Ω) ableiten. Da nun die Fläche x verzeigungspunktfrei ist, können wir ihre Normale in Ω durch X(u, v) := x u x v (u, v) x u x v (u, v) für (u, v) Ω erklären und wir erkennen X C 2+α (Ω). 2.) Da die Fläche keine Verzweigungspunkte besitzt, bilden die Vektoren x u, x v sowie X eine Orthogonalbasis des R 3 und E = x u 2 = x v 2 > 0 ist richtig. Daher gelten die folgenden Darstellungen X u = L E x u M E x v und X v = M E x u N E x v (2.2) mit den Koeffizienten L, M, N der zweiten Fundamentalform. Damit berechnen wir unter Beachtung von (1.1) und (1.2) X X = X uu X + X vv X = X u X u X v X v = ( L E x u + M E x v) ( L E x u + M E x v) ( M E x u + N E x v) ( M E x u + N E x v) = L2 E M 2 E M 2 E N 2 E ( L 2 + 2LN + N 2 = E ( = E 4( L + N E 2 2 LN M 2 E 2 ) 2E )2 2 LN M 2 ) E 2 = 2E(2H(x) 2 K). und wir erkennen ( ( ) ) X + 2E 2H(x) 2 K H X X + 2E H X = 0 in Ω. (2.3) Wegen (2.2) gilt nun Es folgt daraus X X u = L E x v + M E x u = M E x u + N E x v N + L E x v = X v 2H(x)x v X X v = M E x v + N E x u = L E x u M E x v + N + L E x u = X u + 2H(x)x u. X X = X X uu + X X vv = (X X u ) u + (X X v ) v = X uv 2( H(x) x u )x v 2H(x)x uv +X uv + 2( H(x) x v )x u + 2H(x)x uv = 2( H(x) x u )(x u X) + 2( H(x) x v )(x v X) ) = 2 (( H(x) x u )x u + ( H(x) x v )x v X ( ) = 2E ( H(x) ( H(x) X)X X = X (2E H(x)),

12 12 wobei wir die Darstellung H(x) = 1 E ( H(x) x u)x u + 1 E ( H(x) x v)x v + ( H(x) X)X ausnutzen. Wir schließen daraus, dass ( ( ) ) X X + 2E 2H(x) 2 K H X X + 2E H = 0 in Ω (2.4) gilt. Zusammen mit (2.3) erhalten wir die behauptete Differentialgleichung für X in Ω. q.e.d. Bemerkung: Diesen Satz haben wir der Arbeit [4] entnommen. Dort wird diese Differentialgleichung auch für Flächen mit Verzweigungspunkten gezeigt. Wir werden in 4 die Verzweigungspunkte explizit ausschließen und benötigen diesen Satz daher nur im Falle regulärer Flächen. Wir betrachten nun die vorgeschriebene mittlere Krümmung H = H(x, y, z) : O R C 1+α (O) auf der offenen Menge O R 3. Auf dem Definitionsbereich Ω R 2, welches ein beschränktes, einfach zusammenhängendes C 2+α -Gebiet sei, sei eine H-Fläche in konformen Parametern x = x(u, v) : Ω O C 3+α (Ω) x = 2H(x)x u x v in Ω x u 2 = x v 2 = E(u, v), x u x v = 0 in Ω gegeben, welche in Ω keine Verzweigungspunkte besitze. Zu dieser Fläche betrachten wir ihre Variation in Richtung der Normale x(u, v) := x(u, v) + ζ(u, v)x(u, v) für (u, v) Ω (2.5) mit einer Funktion ζ = ζ(u, v) C 2+α (Ω). Zunächst folgt damit für die normalvariierte Fläche x C 2+α (Ω). Weiterhin können wir wegen x(ω) O ein ε 1 > 0 derart ermitteln, dass für alle ζ C 2+α (Ω) mit ζ Ω 0 ε 1 die Aussage x(u, v) = x(u, v) + ζ(u, v)x(u, v) O für alle (u, v) Ω (2.6) richtig ist. Wir wollen ζ so ermitteln, dass die variierte Fläche x erneut eine Fläche der vorgeschriebenen mittleren Krümmung H ist. Wir werden zeigen, dass dies genau dann der Fall ist, falls ζ einer gewissen nichtlinearen, elliptischen Differentialgleichung genügt. Zunächst differenzieren wir (2.5) und erhalten damit x u = x u + ζ u X + ζx u ; x v = x v + ζ v X + ζx v. (2.7) Nochmaliges Differenzieren liefert die Gleichungen x uu = x uu + ζ uu X + 2ζ u X u + ζx uu x uv = x uv + ζ uv X + ζ u X v + ζ v X u + ζx uv (2.8) x vv = x vv + ζ vv X + 2ζ v X v + ζx vv.

13 13 Von nun an bezeichnen wir Terme, welche von höherer als linearer Ordnung in ζ, ζ u, ζ v, ζ uu, ζ uv, ζ vv sind, durch.... Solche Terme sind z.b. ζ 2, ζ u ζ v, ζζ uu. Wir bezeichnen nun mit E, F, G die Koeffizienten der ersten Fundamentalform von x und L, M, N die Koeffizienten der zweiten Fundamentalform. Unter Verwendung von (2.7) entwickeln wir Weiter gilt mit Hilfe der Darstellungen (2.2) E E = 1 E x u x u = 1 2ζ L E +... F E = 1 E x u x v = 2ζ M +... E (2.9) G E = 1 E x v x v = 1 2ζ N E +... x u X v + X u x v = x u ( M E x u N E x v) + ( L E x u M E x v) x v Damit entwickeln wir weiter = L + N E x u x v = 2Hx u x v. 1 E x u x v = 1 E (x u x v ζ v x v + ζx u X v ζ u x u + ζx u x v ) +... = 1 E (x u x v ζ v x v ζ u x u 2ζHx u x v ) +... = (1 2ζH)X 1 E (ζ ux u + ζ v x v ) +..., womit wir 1 E 2 x u x v 2 = (1 2Hζ) = 1 4Hζ +... (2.10) erhalten. Unter Beachtung von (2.6) besitzt die variierte Fläche x hat genau dann die vorgeschriebene mittlere Krümmung H, falls die Gleichung H(x) = G L 2F M + E M 2(E G F 2 ) = (G x uu 2F x uv + E x vv ) X 2((x u x u )(x v x v ) (x u x v ) 2 ) = (G x uu 2F x uv + E x vv ) X 2 x u x v 2 erfüllt ist. Indem wir mit 2 E 2 x u x v 3 durchmultiplizieren, erhalten wir Wir entwickeln nun 2H(x) 1 E 2 x u x v 3 = ( E E x vv 2 F E x uv + G E x uu H(x) = H(x + ζx) = H(x) d H(x + tζx)dt dt ) xu x v E. (2.11)

14 14 1 = H(x) + 0 ζ H(x + tζx) Xdt = H(x) + ζ H(x) X + ζ 1 0 ( ) H(x + tζx) H(x) Xdt = H(x) + ζ H(x) X (2.12) Wegen (2.10) finden wir nun ein ε 2 mit 0 < ε 2 ε 1, so dass 1 E 2 x u x v 2 ( 1 2, 3 2 ) gilt für alle ζ mit ζ Ω 2+α < ε 2. Für ζ mit dieser Bedingung ergibt sich 1 E 2 x u x v 3 = E( 1 E 2 x u x v 2 ) 3 2 = E(1 4Hζ +...) 3 2 = Eψ( 4Hζ +...)., t ( 1 2, 1 2 ) und entwickeln ψ mit Taylorreihenent- Hierbei setzen wir ψ(t) := (t + 1) 3 2 wicklung ψ(t) = ψ(0) + tψ (0) t2 ψ (λt) welches für ein λ = λ(t) (0, 1) gilt. Wir folgern daraus = t (1 + λt) 1 2 t 2, (2.13) 1 E 2 x u x v 3 = E(1 + 3 ( 4Hζ +...) +...) = E 6EHζ (2.14) 2 Indem wir dies mit (2.12) kombinieren, folgern wir 2H(x) 1 E 2 x u x v 3 = 2(H(x) + ( H(x) X)ζ +...)(E 6EζH +...) ( ) = 2E H(x) 6H(x) 2 ζ + ( H(x) X)ζ +... (2.15) = 2EH(x) 12EH(x) 2 ζ + 2E( H(x) X)ζ +... und erhalten eine Entwicklung der linken Seite von (2.11). Um die rechte Seite von (2.11) entwickeln zu können, berechnen wir zunächst mit Hilfe von (2.8) und (2.9) E E x vv = (x vv + ζ vv X + 2ζ v X v + ζx vv +...)(1 2ζ L E +...) = x vv + ζ vv X + 2ζ v X v + ζx vv 2ζ L E x vv F E x uv = 2(x uv + ζ uv X + ζ u X v + ζ v X u + ζx uv +...)( 2ζ M E +...) = 4ζ M E x uv +... G E x uu = (x uu + ζ uu X + 2ζ u X u + ζx uu +...)(1 2ζ N E +...) = x uu + ζ uu X + 2ζ u X u + ζx uu 2ζ N E x uu +...

15 15 Durch Summation erhalten wir dann E E x vv 2 F E x uv + G E x uu = (2.16) x + ( ζ)x + 2ζ u X u + 2ζ v X v + ζ X 2ζ 1 E (Lx vv 2Mx uv + Nx uu ) Wir bilden das Skalarprodukt dieses Ausdruckes mit X und berechnen { x + ( ζ)x + 2ζ u X u + 2ζ v X v + ζ X 2ζ 1 } E (Lx vv 2Mx uv + Nx uu ) X = 2H(x u x v ) X + ζ 2Eζ(2H 2 K) 2ζ 1 E (LN 2M 2 + LN) = 2HE + ζ 2Eζ(2H 2 K) 4ζE LN M 2 = 2HE + ζ 4EζH 2 + 2EζK 4ζEK = 2HE + ζ 4EζH 2 2EζK. (2.17) Hierbei haben wir für X X die in Hilfssatz 1 hergeleitete Darstellung benutzt. Weiter gilt x ( 2HζX 1 E (ζ ux u + ζ v x v )) = (2H)(x u x v ) ( 2HζX 1 E (ζ ux u + ζ v x v )) E 2 = 4H 2 ζe. (2.18) Wir kombinieren die Formeln (2.16), (2.17) und (2.18) und erhalten { E E x vv 2 F E x uv + G uu} E x xu x v E { = x + ( ζ)x + 2ζ u X u + 2ζ v X v + ζ X 2ζ 1 } E (Lx vv 2Mx uv + Nx uu ) +... { X 2HζX 1 } E (ζ ux u + ζ v x v ) +... { = x + ( ζ)x + 2ζ u X u + 2ζ v X v + ζ X 2ζ 1 } E (Lx vv 2Mx uv + Nx uu ) X + x ( 2HζX 1 E (ζ ux u + ζ v x v )) +... = 2HE + ζ 4EζH 2 2EζK 4H 2 ζe +... = 2HE + ζ 8EH 2 ζ 2EKζ (2.19) Wegen (2.11) sowie (2.15) muss obiger Ausdruck gleich der rechten Seite aus (2.15) sein, also ergibt sich 2HE + ζ 8EH 2 ζ 2EKζ +... = 2EH 12EH 2 ζ + 2E( H X)ζ +..., woraus wir die Differentialgleichung Lζ := ζ + 2E(2H 2 K H X)ζ = Φ(ζ) (2.20) ableiten. Hierbei ist L ein linearer, elliptischer Differentialoperator, welchen wir als den Schwarzschen Operator bezeichnen. Die superlinearen Terme... haben wir zur rechten Seite Φ(ζ) zusammengefasst. Es ist hierbei richtig. Φ(ζ) : C 2+α (Ω) C α (Ω)

16 16 Definition 1 : Es sei u = u(x 1,..., x n ) : Ω R C 2+α (Ω) gegeben. Dann erklären wir ihre C 2+α -Norm durch n n u Ω 2+α := sup u(x) + sup u xi (x) + sup u xi x j (x) x Ω x Ω i=1 x Ω i,j=1 n u xi x + sup j (x) u xi x j (x ) x x α x,x Ω x x i,j=1 Hilfssatz 2 : Gegeben sei die vorgeschriebene mittlere Krümmung H : O R C 1+α (O). Auf der konvexen Menge Ω R 2 sei eine Fläche x : Ω O C 3+α (Ω) in konformen Parametern der mittleren Krümmung H gegeben. Für ein ζ C 2+α (Ω) mit ζ Ω 2+α < ε ist die normalvariierte Fläche x(u, v) := x(u, v) + ζ(u, v)x(u, v) C 2+α (Ω) ist genau dann eine Fläche der vorgeschriebenen mittleren Krümmung H, falls ζ der nichtlinearen, elliptischen Differentialgleichung ζ + 2E(2H 2 K H X)ζ = Φ(ζ) in Ω genügt. Die rechte Seite Φ unterliegt der Kontraktionsbedingung Φ(ζ) Φ(η) Ω α C(ϱ) ζ η Ω 2+α für alle ζ Ω 2+α ϱ, η Ω 2+α ϱ, ϱ ε. (2.21) Hierbei ist ε > 0 eine Konstante und C(ϱ) > 0 erfüllt lim C(ϱ) = 0. ϱ 0 Beweis: Die Differentialgleichung haben wir bereits durch die obigen Überlegungen bewiesen. Wir müssen noch die Kontraktionsbedingung (2.21) nachweisen. Hierzu bemerken wir, dass sich Φ als Summe von endlich vielen Termen der Form a(u, v)dζ(u, v) darstellen lässt. Dabei ist Dζ gleich einem der Terme ζ, ζ u, ζ v, ζ uu, ζ uv oder ζ vv. Weiterhin hängt a C α (Ω) zwar von ζ, ζ u, ζ v, ζ uu, ζ uv oder ζ vv ab, es gilt jedoch sowie a(ζ) a(η) Ω α L ζ η Ω 2+α für ζ, η C 2+α (Ω) mit ζ Ω 2+α, η Ω 2+α < ε. a(ζ) Ω α C( ζ Ω 2+α) mit einer Konstanten L > 0 sowie C = C(ϱ), welche C(ϱ) 0 für ϱ 0 erfüllt. Damit können wir für ζ, η C 2+α (Ω) folgende Abschätzung angeben a(ζ)dζ a(η)dη Ω α a(ζ)dζ a(η)dζ Ω α + a(η)dζ a(η)dη Ω α a(ζ) a(η) Ω α Dζ Ω α + a(η) Ω α Dζ Dη Ω α L ζ η Ω 2+α ζ Ω 2+α + C( η Ω 2+α) ζ η Ω 2+α. Wir erhalten so die gewünschte Kontraktionsbedingung. q.e.d. Wir wollen nun die Differentialgleichung (2.20) unter Vorgabe von Dirichlet-Randwerten lösen. Hierzu benötigen wir die Schaudertheorie für die Lösbarkeit elliptischer Differentialgleichungen, weshalb wir folgende Voraussetzung stellen müssen.

17 17 Definition 2 : Wir nennen eine H-Fläche x : Ω R 3 strikt stabil, falls es eine Funktion gibt, welche der Bedingung ξ = ξ(u, v) : Ω (0, + ) C 2+α (Ω) Lξ 0 genügt. Hierbei ist L der in (2.20) erklärte, mit x assoziierte Schwarzsche Operator. Satz 1 : Auf dem Gebiet Θ R 2 sei eine strikt stabile Fläche x : Θ O C 3+α (Θ) der vorgeschriebenen mittleren Krümmung H C 1+α (O) gegeben. Weiterhin sei ein zum Einheitskreis B diffeomorphes, konvexes Gebiet Ω Θ mit einem Diffeomorphismus h : B Ω gewählt, so dass die Abschätzung in Ω h B 2+α L und h 1 Ω 2+α L gelte. Dann gibt es eine Konstante ε = ε(α, x, L, H) > 0, so dass das nichtlineare Randwertproblem ζ = ζ(u, v) : Ω R C 2+α (Ω) Lζ = Φ(ζ) in Ω (2.22) ζ = ψ auf Ω für alle Funktionen ψ : Ω R C 2+α ( Ω) mit ψ Ω 2+α < ε eine Lösung ζ besitzt. Für dieses ζ ist x(u, v) := x(u, v) + ζ(u, v)x(u, v), (u, v) Ω eine H-Fläche, welche sich in die Randkurve Γ := x( Ω) = (x + ψx)( Ω) einspannt. Weiterhin gilt die Abschätzung ζ Ω 2+α C ψ Ω 2+α mit einer Konstanten C = C(α, x, L, H) > 0. Beweis: Da x strikt stabil in Θ ist, gibt es eine Stabilitätsfunktion ξ : Θ (0, + ), welche den Bedingungen der Definition 2 genügt. Wir zeigen zunächst, dass der Operator L dem Maximumprinzip unterliegt. Für ζ C 2+α (Ω) berechnen wir dazu L(ξ ζ) = (ξ ζ) + 2E(2H 2 K H X)ξ ζ Erklären wir nun den Operator = (ξ u ζ + ξ ζu ) u + (ξ v ζ + ξ ζv ) v + 2E(2H 2 K H X)ξ ( ζ = ξ ζ + 2ξ u ζu + 2ξ v ζv + ξ + 2E(2H 2 K H X)ξ) ζ = ξ ζ + 2ξ u ζu + 2ξ v ζv + (Lξ) ζ. L ζ := L(ξ ζ) = ξ ζ + 2ξ u ζu + 2ξ v ζv + (Lξ) ζ, so erkennen wir, dass L wegen Lξ 0 in Θ dem Maximumprinzip unterliegt. Nach Satz 1, 1, Kap. XII in [8] gibt es nun eine Konstante M 1 = M 1 (ξ), so dass die Abschätzung ζ Ω 0 ζ Ω 0 + M 1 L ζ Ω 0 für alle ζ C 2+α (Ω)

18 18 richtig ist. Für ein beliebiges ζ C 2+α (Ω) setzen wir nun ζ := ζ ξ und berechnen damit ζ Ω 0 = ξ ζ Ω 0 ξ Ω 0 ζ Ω 0 ξ Θ 0 ( ζ Ω 0 + M 1 L ζ Ω 0 ) = ξ Θ 0 ( ζ ξ Ω 0 + M 1 L(ξ ζ) Ω 0 ) (2.23) ξ Θ 0 ( 1 ξ Θ 0 ζ Ω 0 + M 1 Lζ Ω 0 ) M 2 ( ζ Ω 0 + Lζ Ω 0 ). Hierbei ist M 2 = M 2 (ξ, M 1 ) eine Konstante. In 7, Satz 2 zeigen wir die folgende Schauderabschätzung ζ Ω 2+α M 3 ( ζ Ω 0 + Lζ Ω α + ζ Ω 2+α) für alle ζ C 2+α (Ω), (2.24) welche mit einer Konstanten M 3 = M 3 (α, x, ξ, L) gilt. Die in dieser Abschätzung auftauchende Norm ζ Ω 0 können wir nun mit Hilfe von (2.23) gegen die anderen beiden Normen abschätzen und ermitteln so ein M 4 = M 4 (M 1, M 3 ), so dass ζ Ω 2+α M 4 ( Lζ Ω α + ζ Ω 2+α) für alle ζ C 2+α (Ω) (2.25) gilt. Wegen (2.23) besitzt nun die Gleichung ζ C 2+α (Ω), Lζ = 0 in Ω, ζ = 0 auf Ω nur die triviale Lösung ζ 0. Mit dem Schauderschen Fundamentalsatz (vgl. [9], Kap. XV, 6, Satz 5) können wir daher das Problem ζ C 2+α (Ω), Lζ = f in Ω, ζ = ψ auf Ω (2.26) für alle rechten Seiten f C α (Ω) und alle Randfunktionen ψ C 2+α ( Ω) eindeutig lösen. Wählen wir nun eine feste Randverteilung ψ C 2+α ( Ω) und bezeichnen die Lösung von (2.26) als L 1 (f) := ζ. Für f, g C α (Ω) gilt dann L(L 1 (f) L 1 (g)) = f g in Ω, L 1 (f) L 1 (g) = 0 auf Ω. Aus (2.25) ergibt sich L 1 (f) L 1 (g) Ω 2+α M 4 f g Ω α. Nutzen wir weiter die Kontraktionseigenschaft von Φ aus Hilfssatz 2 aus, so folgt L 1 Φ(ζ) L 1 Φ(η) Ω 2+α M 4 Φ(ζ) Φ(η) Ω α C(ϱ)M 4 ζ η Ω 2+α für alle ζ, η C 2+α (Ω) mit ζ Ω 2+α, η Ω 2+α ϱ. Ermitteln wir nun ein ϱ 0 > 0 so klein, dass M 4 C(ϱ 0 ) 1 2 richtig ist, so gilt für ε 0 ϱ 0 L 1 Φ(ζ) L 1 Φ(η) Ω 2+α 1 2 ζ η Ω 2+α (2.27) für alle ζ, η C 2+α (Ω) mit ζ Ω 2+α ε 0, η Ω 2+α ε 0.

19 19 Setzen wir nun speziell η 0 ein, so folgt zunächst Φ(η) = 0 und weiter L 1 Φ(ζ) L 1 (0) Ω 2+α 1 2 ε 0 (2.28) für alle ζ C 2+α (Ω) mit ζ Ω 2+α ε 0. Nun löst weiterhin L 1 (0) das Randwertproblem Die Abschätzung (2.25) liefert daher L(L 1 (0)) = 0 in Ω, L 1 (0) = ψ auf Ω. L 1 (0) Ω 2+α M 4 ψ Ω 2+α 1 2 ε 0 (2.29) für alle Randverteilungen ψ C 2+α ( Ω) mit ψ Ω 2+α ε 0(2M 4 ) 1 =: ε 1. Wir erklären jetzt die abgeschlossene, nichtleere Teilmenge A := {f C 2+α (Ω) : f Ω 2+α ε 0, f = ψ auf Ω} des Banachraumes C 2+α (Ω). Auf dieser ist der Operator L 1 Φ : A C 2+α (Ω) erklärt. Dieser ist wegen (2.27) eine stetige Kontraktion. Aus (2.28) und (2.29) ermitteln wir L 1 Φ(ζ) Ω 2+α L 1 Φ(ζ) L 1 (0) Ω 2+α + L 1 (0) Ω 2+α 1 2 ε ε 0 = ε 0. Wir schließen daraus, dass L 1 Φ : A A richtig ist. Wir wenden den Banachschen Fixpunktsatz an und erhalten eine eindeutige Lösung ζ A, welche Lζ = Φ(ζ) in Ω, ζ = ψ auf Ω sowie ζ Ω 2+α ε 0 erfüllt. Dieses ist richtig für alle ψ C 2+α ( Ω) mit ψ Ω 2+α ε 1 = (2M 4 ) 1 ε 0 und alle ε 0 ϱ 0. Für ψ Ω 2+α = ε 1 folgt insbesondere ζ Ω 2+α ε 0 = 2M 4 ε 1 = 2M 4 ψ Ω 2+α. (2.30) Damit sind die Aussagen des Satzes bewiesen. q.e.d. 3 Maximumprinzipien für H-Flächen In diesem Paragraphen wollen wir einige Maximumprizipien für H-Flächen zeigen, die wir in der weiteren Arbeit noch benötigen werden. Wir betrachten dazu H-Flächen in konformen Parametern x = x(u, v) : Ω O C 2 (Ω) C 0 (Ω) x = 2H(x)x u x v in Ω x u 2 x v 2 = 0 = x u x v in Ω, (3.1) wobei H C 0 (O) die vorgeschriebene, mittlere Krümmung sei.

20 20 Hilfssatz 1 : Auf der offenen Menge O R 3 sei die vorgeschriebene mittlere Krümmung H C 0 (O) gegeben, welche die Bedingung sup H(x, y, z) h (x,y,z) O erfülle. Weiterhin sei eine H-Fläche x : Ω O C 2 (Ω) C 0 (Ω) in konformen Parametern gegeben. Schließlich sei ein p R 3 so gewählt, dass die Funktion Φ(u, v) := x(u, v) p 2, (u, v) Ω die Bedingung Φ(u, v) 1 h 2 erfülle. Dann ist Φ subharmonisch und unterliegt somit dem Maximumprinzip. Beweis: Wir differenzieren Φ sowohl zweimal nach u als auch nach v und erhalten Φ uu = 2((x p) x uu + x u x u ) Φ vv = 2((x p) x vv + x v x v ). Addition der beiden Gleichungen liefert zusammen mit der konformen Parametrisierung Φ = 2( x (x p) + x u 2 + x v 2 ) = 2(2H(x u x v ) (x p) + 2 x u 2 ) 4( x u 2 H x u x v x p ) = 4( x u 2 H x u 2 Φ 1/2 ) = 4 x u 2 (1 H Φ 1/2 ) (3.2) 4 x u 2 (1 h 1 h ) 0 Wir folgern, dass Φ 0 in Ω gilt. Somit ist Φ wie behauptet subharmonisch und das Maximumprinzip für solche Funktionen (vgl. [6], Kap. XI, 2, Satz 7) ist anwendbar. q.e.d. Für h > 0 erklären nun den offenen Zylinder Z h := {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 < 1 h 2 }. Wir können nun für H-Flächen x : Ω Z h die z-komponente durch die Randwerte von x abschätzen. Hilfssatz 2 : Zu h > 0 sei die H-Fläche x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) : Ω Z h C 2 (Ω) C 0 (Ω) in konformen Parametern auf dem zusammenhängenden Gebiet Ω gegeben. Die mittlere Krümmung H C 0 (Z h ) erfülle die Bedingung Zu r 0 erklären wir die Mengen D r := sup H(x, y, z) h. (x,y,z) Z h { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + (z t) 2 < 1 } h 2 für ein t [ r, r] Z h. Für ein r 0 erfülle die Randkurve von x die Inklusion x( Ω) D r. Dann gilt x(ω) D r.

21 21 Beweis: Wir erklären zunächst den oberen Rand S r von D r durch S r := {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + (z r) 2 = 1 h 2, z > r}. Es gilt dann S r D r. Weiterhin ist S r innerhalb des Zylinders Z h eine abgeschlossene Menge. Nehmen wir nun an, die Aussage des Satzes sei falsch. Dann können wir ohne Einschränkung ein R r und ein (u 0, v 0 ) Ω finden, für welche x(ω) D R und x(u 0, v 0 ) S R (3.3) gilt. Insbesondere folgt z(u 0, v 0 ) > R. Es gibt dann aus Stetigkeitsgründen eine offene Umgebung U Ω von (u 0, v 0 ) mit z(u, v) > R für alle (u, v) U. Zusammen mit (3.3) folgt Φ(u, v) := x(u, v) 2 + y(u, v) 2 + (z(u, v) R) 2 1 h 2 für (u, v) U. Die Funktion Φ erfüllt die Voraussetzungen des Hilfssatzes 1 und ist wegen diesem subharmonisch. Sie nimmt ebenfalls im inneren Punkt (u 0, v 0 ) U ihr Maximum an. Das Maximumprinzip liefert damit Φ 1 in U, woraus wir x(u) S h 2 R ableiten. Betrachten wir nun eine Folge so gilt die Aussage {(u n, v n )} n=1,2,... Ω mit (u n, v n ) (u 0, v 0 ) Ω für n +, x(u n, v n ) S R für alle n N x(u 0, v 0 ) S R. Ein Fortsetzungsargument längs Wegen liefert dann x(ω) S R, dieses stellt jedoch wegen S R D r = einen Widerspruch zur Voraussetzung x( Ω) D r dar. q.e.d. Als direkte Folgerung ergibt sich: Für eine Fläche x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), welche den Voraussetzungen des Hilfssatzes 2 genügt, gilt die Abschätzung inf z(u, v) 1 (u,v) Ω h z(u 0, v 0 ) sup z(u, v) + 1 (u,v) Ω h für (u 0, v 0 ) Ω. In Analogie zu Hilfssatz 1 zeigen wir nun folgendes Resultat, welches nur die x und y- Komponente einer H-Fläche abschätzt. Satz 1 : Es sei x = x(u, v) : B O C 2 (B) C 1 (B) eine konform parametrisierte Fläche der vorgeschriebenen mittleren Krümmung H C 0 (O). Es gelte sup H(x, y, z) h (x,y,z) O für eine Konstante h > 0. Es sei (x 0, y 0 ) R 2 so gewählt, dass die Funktion Φ(u, v) := (x(u, v) x 0 ) 2 + (y(u, v) y 0 ) 2, (u, v) B der Bedingung Φ(u, v) 1 4h 2 in B

22 22 genüge. Dann ist Φ subharmonisch und unterliegt somit dem Maximumprinzip. Falls die Funktion Φ zusätzlich nicht konstant ist, so gilt Φ(u, v) < 1, (u, v) B 4h2 und Φ ν (u 0, v 0 ) > 0 für jeden Randpunkt (u 0, v 0 ) B, in dem Φ ihr Maximum annimmt. Dabei ist ν die äußere Normale an B im Punkt (u 0, v 0 ). Beweis: Wir differenzieren Φ und erhalten Durch Addition ergibt sich Φ uu (u, v) = 2x uu (x x 0 ) + 2x 2 u + 2y uu (y y 0 ) + 2y 2 u Φ vv (u, v) = 2x vv (x x 0 ) + 2x 2 v + 2y vv (y y 0 ) + 2y 2 v Φ(u, v) = 2( x(x x 0 ) + y(y y 0 ) + x 2 u + x 2 v + y 2 u + y 2 v) = 2( x (x x 0, y y 0, 0) + x 2 u + x 2 v + y 2 u + y 2 v) = 2(2H(x)(x u x v ) (x x 0, y y 0, 0) + x 2 u + x 2 v + y 2 u + y 2 v) (3.4) Da nun x konform parametrisiert ist, gilt im Falle E = x u 2 = x v 2 > 0 die Darstellung e 3 = 1 E (e 3 x u )x u + 1 E (e 3 x v )x v + (e 3 X)X = 1 E z ux u + 1 E z vx v + (e 3 X)X. Durch Skalarprodukt beider Seiten mit e 3 ergibt sich woraus wir 1 = 1 E z2 u + 1 E z2 v + (e 3 X) 2 1 E z2 u + 1 E z2 v, z 2 u = z 2 u + z 2 v z 2 v E z 2 v = x v 2 z 2 v = x 2 v + y 2 v ableiten. Wir bemerken, dass diese Ungleichung auch im Falle E = 0 richtig ist. Wir schätzen nun weiter wie folgt ab 2H(x)(x u x v ) (x x 0, y y 0, 0) 2 H(x) x u x v (x x 0, y y 0, 0) 2h x u 2 ((x x 0 ) 2 + (y y0)) 2 1/2 Das Einsetzen dieser Ungleichung in (3.4) liefert 2h(x 2 u + y 2 u + z 2 u) 1 2h x 2 u + y 2 u + x 2 v + y 2 v. Φ(u, v) 0 für (u, v) B. Φ ist damit subharmonisch und die weiteren angegebenen Eigenschaften folgern wir aus dem Maximumprinzip sowie dem Hopfschen Randpunktlemma (siehe [8], Kap. XII, 1, Satz 2). q.e.d. Für Flächen, welche Graphen über der x, y-ebene sind, zeigen wir noch folgendes Maximumprinzip.

23 23 Hilfssatz 3 : Im Zylinder Z h sei die vorgeschriebene mittlere Krümmung H C 0 (Z h ) gegeben, welche zusätzlich die Bedingung H(x, y, z) > 0 für z > R und H(x, y, z) < 0 für z < R für ein R > 0 erfülle. Schließlich sei auf Ω B 1 (0) ein Graph ζ = ζ(x, y) C 2 (Ω) C 0 (Ω) h der mittleren Krümmung H gegeben, welcher genüge. Dann ist richtig. ζ(x, y) R ζ(x, y) R auf Ω in Ω Beweis: Nehmen wir an, die Funktion ζ nehme in (x 0, y 0 ) Ω ihr globales Maximum an und es gelte ζ(x 0, y 0 ) > R. Nach Voraussetzung ist dann zunächst H(x 0, y 0, ζ(x 0, y 0 )) > 0 richtig. Weiterhin gilt ζ(x 0, y 0 ) = (ζ x, ζ y ) = 0 und die Hessematrix von ζ ist im Punkt (x 0, y 0 ) negativ semidefinit. Insbesondere folgt daraus ζ xx 0 und ζ yy 0. Da ζ als Graph die mittlere Krümmung H besitzt, so genügt sie der Differentialgleichung (1 + ζ 2 y)ζ xx 2ζ x ζ y ζ xy + (1 + ζ 2 x)ζ yy = 2H(x, y, ζ(x, y))(1 + ζ 2 x + ζ 2 y) 3 2 in Ω. Werten wir diese Gleichung speziell im Punkt (x 0, y 0 ) aus, so folgt 0 ζ xx (x 0, y 0 ) + ζ yy (x 0, y 0 ) = 2H(x 0, y 0, ζ(x 0, y 0 )) > 0, also ein Widerspruch. Deshalb muß also ζ(x, y) R in Ω richtig sein. Analog zeigt man ζ(x, y) R in Ω. q.e.d. 4 Stabilitätsaussagen im Inneren und am Rand In diesem Paragraphen betrachten wir auf der Einheitskreisscheibe B = B 1 (0, 0) = {(u, v) R 2 u 2 + v 2 < 1} Lösungen der H-Flächengleichung in konformen Parametern: x = x(u, v) : B O C 3+α (B) x = 2H(x)x u x v in B x u 2 = x v 2 und x u x v = 0 in B zu einem H C 1+α (O). Als Randkurve von x erkären wir Γ := x( B) R 3. Wir sagen dann auch, dass sich die Fläche x in die Randkurve Γ einspannt. In 2 Satz 1 haben wir gesehen, dass es möglich ist, zu dieser H-Fläche neue H-Flächen zu anderen Randkurven mit Hilfe des Ansatzes der Variation in Richtung der Normale x = x + ζx zu

24 24 ermitteln. Eine wichtige Voraussetzung in diesem Satz war die strikte Stabilität der Fläche x. Gemäß Definition 2, 2 ist diese erfüllt, falls es eine Funktion ξ : B R C 2+α (B) gibt mit Lξ 0 in B sowie ξ > 0 in B. (4.1) Hierbei bezeichnet L den Schwarzschen Operator für x erklärt als Lζ := ζ + 2E(2H(x) 2 K H(x) X)ζ, wobei E = x u 2 und K die Gauss sche Krümmung der Fläche sind. Die strikte Stabilität ist insbesondere dann erfüllt, falls 2H 2 K H X 0 in B (4.2) gilt. Die Funktion ξ 1 hat dann die Eigenschaften (4.1). Jedoch ist Bedingung (4.2) im allgemeinen nicht erfüllt. Benutzen wir die beiden Hauptkrümmungen κ 1 und κ 2, so können wir die Gauss sche sowie mittlere Krümmung berechnen durch Damit ergibt sich K = κ 1 κ 2, H = 1 2 (κ 1 + κ 2 ). 2H 2 K H X = 1 2 (κ κ 1 κ 2 + κ 2 2) κ 1 κ 2 H X = 1 2 (κ2 1 + κ 2 2) H X Bedingung (4.2) ist also beispielsweise im Falle H const 0 verletzt. Um an eine besser geeignete Stabilitätsfunktion ξ zu gelangen, betrachten wir das Ergebnis des Hilfssatzes 1 aus 2. Falls die Fläche x verzweigungspunktfrei ist, so genügt ihre Normale X C 2+α (B) der Differentialgleichung X + 2E(2H(x) 2 K H X)X = 2E H in B. (4.3) Wir stellen nun folgende Bedingung an die mittlere Krümmung. Voraussetzung (H1): Die vorgeschriebene mittlere Krümmung H C 1+α (O) erfülle H(x, y, z) e 3 = H(x, y, z) 0 für (x, y, z) O. (4.4) z Hierbei haben wir den Vektor e 3 = (0, 0, 1) gesetzt. Wir bemerken, dass unter Voraussetzung (H1) die Eindeutigkeit von Lösungen des Dirichletproblemes der H-Flächengleichung in nichtparametrischer Form gewährleistet ist, was wir z.b. [8], Kap. XII, 2 entnehmen können. Multiplizieren wir nun (4.3) skalar mit e 3, so folgt unter Beachtung von (H1) (X e 3 ) + 2E(2H(x) 2 K H(x) X)(X e 3 ) = 2E( H e 3 ) 0 in B. Wir erhalten mit der Funktion ξ(u, v) := X(u, v) e 3, (u, v) B eine gute Wahl der Stabilitätsfunktion. Diese genügt sofort der Bedingung Lξ = ξ + 2E(2H 2 K H X)ξ 0 in B. (4.5) Wir müssen nun noch weitere Voraussetzungen an die Fläche x fordern, um die Bedingung ξ > 0 in B zu erfüllen. Wir werden dazu getrennt den Fall ξ > 0 in B und den Fall ξ > 0 auf B betrachten. Mit dem folgenden Hilfssatz kann aus ξ(u 0, v 0 ) > 0 für ein (u 0, v 0 ) B die Bedingung ξ > 0 in B abgeleitet werden.

25 25 Hilfssatz 1 : Zur vorgeschriebenen mittleren Krümmung H, welche Voraussetzung (H1) erfülle, sei eine reguläre H-Fläche x C 3+α (B) gegeben. Die Funktion ξ(u, v) := X(u, v) e 3, (u, v) B erfülle die Bedingungen ξ(u, v) 0 für (u, v) B und ξ(u 0, v 0 ) = 0 für ein (u 0, v 0 ) B. Dann gilt ξ 0 in B. Beweis: Aus (4.5) leiten wir zunächst die folgende Differentialungleichung ξ(u, v) + q(u, v)ξ(u, v) 0 für (u, v) B (4.6) ab. Hierbei ist q = 2E(2H 2 K H X) C 0 (B). Es sei w 0 = (u 0, v 0 ) B gewählt mit ξ(w 0 ) = 0. Wir wählen nun R 0 > 0 so klein, dass B R0 (w 0 ) B gilt. Dann gilt wegen der Poissonschen Integralformel für 0 < R < R 0 0 = ξ(w 0 ) = 1 2πR w w 0 =R ξ(w)dσ(w) 1 2π w w 0 R Da q stetig in B ist, finden wir ein L > 0, so dass erfüllt ist. Es folgt mit (4.6) ( log q(w) L für w B R0 (0) ξ(w) Lξ(w), und wir berechnen mit Hilfe von (4.7) 0 1 ξ(w)dσ(w) L 2πR 2π w w 0 =R w w 0 R ( log R w w 0 R w w 0 ) ξ(w)dudv. (4.7) ) ξ(w)dudv. Wir setzen nun ψ(r) := 1 R w w 0 =R 2π ξ(w)dσ(w) = ξ(w 0 + Re iϕ )dϕ 0 und erhalten ψ(r) L = L w w 0 R R 0 ( R r log r ( log R w w 0 ) 2π 0 ) ξ(w)dudv = L ξ(w 0 + re iϕ )dϕdr = L R 2π 0 R 0 0 r log ( R r ) ξ(w 0 + re iϕ )dϕdr ( R ) r log ψ(r)dr. (4.8) r Wir erklären hier ( R ) f(r) := r log = r log R r log r für r > 0, f(0) := 0 r und weisen die Beschränktheit von f in [0, R] nach. Zunächst ist f C 0 ([0, R]) C 1 ((0, R]) richtig. Wir berechnen nun f (r) = log R log r 1 = 0 r = R e

26 26 und damit folgt ( R ) f(r) = r log R r log r f = R e e R 0 e. Zusammen mit (4.8) ergibt sich R ψ(r) L 0 R 0 e ψ(r)dr = LR 0 e und wir schließen mit Gronwalls Ungleichung, dass R ψ(r) = 0 für 0 < R < R 0 0 ψ(r)dr, richtig ist. Da nun ψ(r) = 1 R ξ(w)dσ(w) = 0 w w 0 =R und nach Voraussetzung ξ(w) 0 gilt, folgern wir ξ(w) = 0 für alle w w 0 = R und 0 < R < R 0. Damit ergibt sich, dass jeder Punkt w 0 B mit ξ(w 0 ) = 0 eine offene Umgebung U = U(w 0 ) B besitzt mit f(u) = {0}. Mit einem Fortsetzungsargument längs Wegen ergibt sich dann die Behauptung ξ(w) 0. q.e.d. Bemerkung: Die Aussage von obigem Hilfssatz bleibt auch richtig, falls man B durch ein beschränktes, offenes und zusammenhängendes Gebiet Ω ersetzt. Wir müssen wir nun noch die Bedingung ξ = X e 3 > 0 auf B sowie x verzweigungspunktfrei in B sichern. Wir setzen dazu x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) für (u, v) B und berechnen Eξ = (EX) e 3 = (x u x v ) (0, 0, 1) = (x u ) (x v (0, 0, 1)) (4.9) = (x, y) (x u, y u, z u ) (y v, x v, 0) = x u y v x v y u = (u, v) = J f (u, v) mit der Funktion f(u, v) := (x(u, v), y(u, v)). Damit gilt in allen regulären Punkten (u, v) die folgende Äquivalenz J f (u, v) > 0 X(u, v) e 3 > 0. Der folgende Satz untersucht die Verzweigungspunkte einer H-Fläche. Hilfssatz 2 : Zu O R 3 sei eine H-Fläche x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) : Ω O C 2 (Ω) C 1 (Ω) in konformen Parametern gegeben. Die vorgeschriebene mittlere Krümmung H C 0 (O) erfülle die Bedingung sup H(x, y, z) h (x,y,z) O mit einer Konstanten h > 0. Die Funktion f = f(u, v) := x(u, v) + iy(u, v) genüge den Bedingungen J f (u, v) = x u y v x v y u 0 in Ω sowie f w (w) M für alle w = u + iv Ω.

27 27 Dann ist die Abschätzung f ww (w) 2hM f w (w) für w Ω erfüllt. Die Funktion f w ist somit pseudoholomorph und lässt sich darstellen als f w (w) = e Ψ(w) ϕ(w) für w Ω, wobei Ψ C 0 (Ω) und ϕ : Ω C holomorph gilt. Weiterhin gilt für alle w 0 Ω die Äquivalenz f w (w 0 ) = 0 x u (w 0 ) x v (w 0 ) = 0. Beweis: Zunächst schätzen wir f w 2 ab. f w 2 = 1 2 (f u if v ) 2 = 1 4 x u + iy u ix v + y v 2 Insbesondere gilt also = 1 4 {(x u + y v ) 2 + (y u x v ) 2 } = 1 4 (x2 u + x 2 v + y 2 u + y 2 v + 2x u y v 2x v y u ) = 1 4 (x2 u + x 2 v + y 2 u + y 2 v + 2J f ). (4.10) f w J f. (4.11) Wir verwenden die Differentialgleichung x = 2Hx u x v, um f ww 2 wie folgt abzuschätzen f ww 2 = 1 4 (f u if v ) u i(f u if v ) v 2 = 1 16 f uu if uv + if uv + f vv 2 = 1 16 x uu + x vv + iy uu + iy vv 2 = 1 16 {(x uu + x vv ) 2 + (y uu + y vv ) 2 } = 1 16 {( x e 1) 2 + ( x e 2 ) 2 } = 1 16 {(2H(x u x v ) e 1 ) 2 + (2H(x u x v ) e 2 ) 2 } = 1 4 H2 {(x u x v e 1 ) 2 + (x u x v e 2 ) 2 }. (4.12) Hierbei haben wir e 1, e 2, e 3 die kanonischen Basisvektoren des R 3 gesetzt. Es gilt nun die Gleichung x u x v 2 = (x u x v e 1 ) 2 + (x u x v e 2 ) 2 + (x u x v e 3 ) 2. Weiterhin gilt wegen der konformen Parametrisierung von x die Ungleichung z 2 u x 2 v +y 2 v. Wir nutzen dies aus um aus (4.12) weiter zu folgern f ww 2 = 1 4 H2 { x u x v 2 (x u x v e 3 ) 2 } = 1 4 H2 {(x 2 u + y 2 u + z 2 u) 2 (x u y v x v y u ) 2 } 1 4 h2 {(x 2 u + y 2 u + x 2 v + y 2 v) 2 J 2 f } { 1 2 h(x2 u + y 2 u + x 2 v + y 2 v)} 2. (4.13)

28 28 Aus den Berechnungen (4.10) und (4.13) ergibt sich f ww 1 2 h(x2 u + x 2 v + y 2 u + y 2 v) 2h 1 4 (x2 u + x 2 v + y 2 u + y 2 v + 2J f ) = 2h f w 2 = 2h f w f w 2hM f w, (4.14) wobei wir die Voraussetzung J f 0 verwendet haben. Die Funktion f w genügt also der Abschätzung f ww 2hM f w. Sie ist damit pseudoholomorph und nach dem Ähnlichkeitsprinzip von Bers und Vekua (vgl. [6], Kap. 10, 5, Satz 1) gibt es eine stetige Funktion Ψ C 0 (Ω) und eine holomorphe Funktion ϕ : Ω C, so dass die Darstellung f w (w) = e Ψ(w) ϕ(w), z B richtig ist. Es sei nun ein w 0 Ω gewählt. Falls f w (w 0 ) = 0 richtig ist, so gilt wegen (4.10) x u = x v = y u = y v = 0 und es folgt x u (w 0 ) x v (w 0 ) = 0. Falls andererseits x u (w 0 ) x v (w 0 ) = 0 ist, so folgt wegen der konformen Parametrisierung x u (w 0 ) = 0 und x v (w 0 ) = 0, woraus wir ebenfalls f w (w 0 ) = 0 ableiten. Somit gilt die im Satz behauptete Äquivalenz. q.e.d. Wir wenden diesen Hilfssatz an um das folgende Resultat zu zeigen. Hilfssatz 3 : Für ein R > 0 erklären wir zunächst B R := {(u, v) R 2 u 2 + v 2 < R 2 }. Gegeben sei die Folge H n C 1+α (O) von vorgeschriebenen mittleren Krümmungen mit sup H n (x, y, z) h für n N (x,y,z) O sowie eine Folge x n : B R O C 2 (B R ) von H n -Flächen in konformen Parametern, für welche die Abbildungen f n (u, v) := x n (u, v) + iy n (u, v) die Voraussetzung J f n(u, v) > 0 für (u, v) B R und n N (4.15) erfüllen. Weiterhin gebe es zur vorgeschriebenen mittleren Krümmung H C 1+α (O), welche (H1) erfüllt, eine H-Fläche x : B R O C 2 (B R ), für welche die Konvergenz x n x in C 2 (B R ) für n richtig ist. Schließlich erfülle f(u, v) := x(u, v)+iy(u, v) die Bedingung J f (0, 0) > 0. Dann gilt J f (u, v) > 0 für (u, v) B R. Beweis: Aus der Konvergenz der x n leiten wir zunächst die Konvergenz ab. Aus Voraussetzung (4.15) leiten wir daher f n f in C 2 (B R ) für n (4.16) J f (u, v) 0 in B R (4.17) ab. Wegen f C 2 (B R ) können wir ein M < + finden wir mit f w (u, v) 1 2 M für (u, v) B R.

29 29 Zusammen mit (4.16) ermitteln wir ein n 0 N mit f n w(u, v) M für (u, v) B R und n n 0. Wir nehmen ohne Einschränkung n 0 = 1 an. Mit Hilfe von Hilfssatz 2 erhalten wir die Abschätzung f n ww(u, v) 2hM f n w(u, v) für (u, v) B R. Aus der Voraussetzung J f n > 0 in B R leiten wir 0 < f n w(u, v) M für alle (u, v) B R und n N ab, wobei wir (4.11) benutzt haben. Damit sind die Voraussetzungen des Satzes 1, 5, Kap XVII erfüllt. Mit diesem können wir zu jedem r < R ein C = C(r, R, M, h) ermitteln, so dass die Abschätzung R+r fw(u, n v) C fw(0, n R r 0), (u, v) B r (4.18) richtig ist. Lassen wir nun in (4.18) n gehen, so folgt R+r R r f w (u, v) C f w (0, 0), (u, v) B r. (4.19) Aus der Voraussetzung J f (0, 0) > 0 ergibt sich zusammen mit (4.11) f w (0, 0) > 0. Setzen wir dies in (4.19) ein, so folgt f w (u, v) 0 für alle (u, v) B R. (4.20) Mit der im Hilfssatz 2 angegebenen Äquivalenz schließen wir x u (u, v) x v (u, v) 0 für (u, v) B R, die Fläche x ist also in B R regulär. Weiterhin gilt wegen (4.17) X(u, v) e 3 = 1 E J f (u, v) 0 in B R. Wir können daher Hilfssatz 1 anwenden, welcher wegen J f (0, 0) > 0 liefert. 1 E J f (u, v) = X(u, v) e 3 > 0 für (u, v) B R q.e.d. Um nun auch die Stabilität am Rande zu gewährleisten, müssen wir die folgenden Einschränkungen an die Randkurve voraussetzen. Definition 1 : Es sei Ω R 2 ein Gebiet, dessen Rand Ω eine einfach geschlossene Jordankurve der Klasse C 2 sei, parametrisiert durch die reguläre Parametrisierung (x(t), y(t)) : R Ω C 2 (R). Zu einem k > 0 nennen wir Ω dann eine k-konvexe Menge, falls für die Krümmung der Randkurve κ(t) die Abschätzung κ(t) = x y x y (t) > k für alle t R (x 2 + y 2 ) 3 2 richtig ist und zusätzlich die Inklusion erfüllt ist. Ω B 1 (0) k

30 30 Bemerkungen: 1.) Da der Betrag der Krümmung einer Kurve invariant gegenüber Umparametrisierung ist, hängt die obige Definition nur von Ω, nicht jedoch von seiner konkret gewählten Parametrisierung ab. 2.) Jedes k-konvexe Gebiet ist ein konvexes Gebiet. 3.) Für ein k-konvexes Gebiet gilt in jedem Randpunkt (x, y) Ω die folgende Stützkreisbedingung: Es gibt eine offene Umgebung U von (x, y) sowie einen Stützkreis B r (x 0, y 0 ) vom Radius r = 1 k und Mittelpunkt (x 0, y 0 ) R 2, so dass erfüllt ist. Ω U B r (x 0, y 0 ) U und (x, y) B r (x 0, y 0 ) Definition 2 : Zu k > 0 sei das k-konvexe Gebiet Ω gegeben. Weiterhin sei eine Funktion g : Ω R C 1 ( Ω) vorgeschrieben. Dann erklären wir eine Randkurve Γ R 3 durch Γ := {(x, y, g(x, y)) R 3 (x, y) Ω}. Eine solche Randkurve nennen wir k-randkurve, das Gebiet Ω nennen wir das Projektionsgebiet von Γ. Von nun an betrachten wir Flächen x : B Z 2h. Diese Flächen befinden sich also vollständig innerhalb des Zylinders Z 2h = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 < 1 4h 2 }. Wir beachten dazu, dass der Rand Z 2h als Fläche die konstante mittlere Krümmung h besitzt. Der Zylinder Z 2h wird uns daher als Stützkörper dienen. Satz 1 : Es sei die mittlere Krümmung H C 0 (Z 2h ) gegeben, welche sup H(x, y, z) h (x,y,z) Z 2h mit einer Konstanten h > 0 genüge. Weiterhin sei eine (2h)-Randkurve Γ mit zugehörigem (2h)-konvexen Projektionsgebiet Ω gegeben. Schließlich sei x : B Z 2h C 2 (B) C 1 (B) eine H-Fläche in konformen Parametern zur Randkurve Γ, welche die Bedingung erfülle. Dann gilt x(b) Z Ω = {(x, y, z) R 3 (x, y) Ω} (4.21) (x u x v (u, v)) e 3 0 für (u, v) B. Die Fläche hat also insbesondere keine Verzweigungspunkte auf B. Beweis: 1.) Es sei ein (u 0, v 0 ) = (cos θ, sin θ) B gewählt. Mit Hilfe einer Rotation im Definitionsbereich um den Winkel θ können wir uns auf den Fall (u 0, v 0 ) = (1, 0) zurückziehen. Wir setzen nun (x 0, y 0 ) := (x(1, 0), y(1, 0)) Ω. Da Ω 2h-konvex ist, gibt es wegen der Bemerkung zu Definition 2 einen Stützkreis vom Radius R := 1 2h und Mittelpunkt (x 1, y 1 ) R 2. Mit Hilfe einer Translation im Bildbereich um ( x 1, y 1 ) können wir ohne Einschränkung (x 1, y 1 ) = (0, 0) annehmen. Es folgt also Ω U B R (0) U und (x 0, y 0 ) B R (0), (4.22)

31 31 wobei U eine offene Umgebung des Punktes (x 0, y 0 ) ist. 2.) Mit x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) erklären wir f(u, v) := (x(u, v), y(u, v)) für (u, v) B. Da nun f(1, 0) = (x 0, y 0 ) U und U offen ist, können wir aus Stetigkeitsgründen ein 0 < δ < 1 so klein wählen, dass mit w 0 := (1 δ, 0) die folgenden Bedingungen erfüllt sind B δ (w 0 ) B, (1, 0) B δ (w 0 ) sowie f(b δ (w 0 )) U. Wegen Voraussetzung (4.21) sowie (4.22) ist dann weiterhin richtig. Erklären wir die Funktion f(b δ (w 0 )) Ω U B R (0) U Φ(u, v) := f(u, v) 2 = x(u, v) 2 + y(u, v) 2, (u, v) B, so genügt diese den Bedingungen Das Maximumprinzip aus Satz 1 in 3 liefert Φ(u, v) R 2 = 1 4h 2 in B δ (w 0 ) Φ(u, v) < R 2 = 1 4h 2 in B δ (w 0 ) Φ(1, 0) = R 2 = 1 4h 2. 1 Φ 2 ν (1, 0) = 1 Φ 2 u (1, 0) = x(1, 0)x u(1, 0) + y(1, 0)y u (1, 0) = x 0 x u (1, 0) + y 0 y u (1, 0) > 0 (4.23) Hierbei ist ν = (1, 0) die äußere Normale an B δ (w 0 ) im Punkt (1, 0). Insbesondere folgern wir daraus x 2 u + y 2 u + z 2 u (1,0) = x 2 v + y 2 v + z 2 v (1,0) > 0, (4.24) weshalb der Punkt x(1, 0) also kein Verzweigungspunkt der Fläche x sein kann. 3.) Wir setzen nun Φ(θ) := Φ(w 0 + δe iθ ) für θ ( 2π, 2π). Dann nimmt Φ(θ) in θ = 0 sein Maximum an, und es folgt 0 = 1 2 Φ (0) = 1 2 Φ v(1, 0) = xx v + yy v (1,0) = x 0 x v (1, 0) + y 0 y v (1, 0) (4.25) ( ) x0 y = det v (1, 0). y 0 x v (1, 0) 4.) Da die Randkurve Γ eine (2h)-Randkurve ist, gibt es eine Funktion g : V R C 1 (V ) mit z(cos θ, sin θ) = g(x(cos θ, sin θ), y(cos θ, sin θ)) für θ ( 2π, 2π). Hierbei ist V R 2 eine offene Umgebung von Ω. Differentiation nach θ und Einsetzen von θ = 0 liefert z v (1, 0) = g x (x 0, y 0 )x v (1, 0) + g y (x 0, y 0 )y v (1, 0).