Rudolf Taschner LEHRGANG DER KONSTRUKTIVEN MATHEMATIK. 3. Teil: FUNKTIONEN. Vorlesungen über Mathematik. Wien 1993

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1 Vorlesungen über Mathematik Rudolf Taschner LEHRGANG DER KONSTRUKTIVEN MATHEMATIK 3. Teil: FUNKTIONEN Wien 1993 MANZ Verlags- und Universitätsbuchhandlung

2 INHALTSVERZEICHNIS 1. STETIGE FUNKTIONEN... < Harmonische Analyse Approximationstheorie Die Orthogonalitätsrelationen Die schwingende Saite Die Methode der kleinsten Quadrate FourierkoefBzienten und Fourierreihe Rechtecks- und Dreiecksfunktion Stückweise stetige Funktionen Die Rechtecksfunktion Das gibbssche Phänomen Erste Konvergenzvermutungen Berechnungsformeln der FourierkoefBzienten Die Dreiecksfunktion Punktweise Konvergenz von Fourierreihen Die dirichletschen Kerne Eigenschaften der dirichletschen Kerne Die Spaltung des Integrals Das Lemma von Riemann Die Anwendung des riemannschen Lemmas Anwendungen des Konvergenzsatzes Gleichmäßige Konvergenz Punktweise und gleichmäßige Konvergenz Das cauchysche Konvergenzkriterium Der weierstraßsche Majorantentest Gleichmäßige Konvergenz von Fourierreihen Der Hauptsatz über gleichmäßige Konvergenz Integration und gleichmäßige Konvergenz Eine Anwendung auf Fourierreihen 32

3 1.5. Approximation durch trigonometrische Polynome Die fejerschen Kerne Die Konvergenz der fejerschen Näherung Die fejersche Näherung als trigonometrisches Polynom Approximation durch Polynome Der weierstraßsche Approximationssatz Die landauschen Kerne Die Konvergenz der landauschen Näherung Die landausche Näherung als Polynom Die abstrakte Idee der Konvergenz Vollständige Räume Definition einer Topologie Die Dezimalzahlentopologie Die metrische Topologie Die euklidische Topologie Die Topologie der gleichmäßigen Konvergenz Überprüfung der Fundamentalbedingung Freie Folgen und Punkte Der Vollständigkeitssatz Vollständige metrische Räume Die Kennzeichnung vollständiger metrischer Räume Erste Etappe des Beweises Zweite Etappe des Beweises Der Einbettungssatz Stetige Funktionen in vollständigen Räumen Funktionen als Rechenvorschriften Häufungswerte Definition der Stetigkeit Die Stetigkeit der Konstanten Die Stetigkeit der Projektion Die Stetigkeit der Substitution Die Stetigkeit reellwertiger Funktionen Die Stetigkeit der Metrik Die Stetigkeit von Funktionen in metrische Räume Die Stetigkeit von Funktionen über metrischen Räumen Die Stetigkeit von Funktionen zwischen metrischen Räumen Die Verschiedenheit in vollständigen Räumen Offene und abgeschlossene Mengen Innere Punkte und Berührungspunkte Gerundete Näherungen Offene und abgeschlossene Mengen bei einer Metrik Offene und abgeschlossene Kugeln Begrenzbare Mengen Das metrische Komplement Dichte und nirgends dirchte Mengen Der Satz von Baire 72

4 1.11. Kompakte Räume Punktweise und gleichmäßige Stetigkeit Der Fall vollständiger metrischer Räume Endlicherzeugte Mengen Der Fächersatz Kompakte Mengen Totalbeschränkte Mengen Abgeschlossene Mengen als metrische Räume Totalbeschränktheit in der Dezimalzahlentopologie Totalbeschränktheit in der euklidischen Topologie Totalbeschränktheit in der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz Kompakte Mengen in metrischen Räumen Einbettung kompakter in offene Mengen Dichte Algebren in Funktionenräumen Algebren von Funktionen Die Darstellung des Betrags Die Darstellung der reziproken Funktion Die Darstellung der Konstanten Die Trennung von Punkten Der Satz von Stone und Weierstraß Die Approximationssätze von Weierstraß und Fejer Der Struktursatz stetiger Funktionen Beispiele und Ergänzungen Beispiele für Fourierreihen Eigenschaften der Fourierkoeffizienten Lokalisationsprinzip I Das gibbssche Phänomen Rechnen mit gleichmäßig konvergenten Folgen Der Konvergenzsatz von Jordan Die Divergenz der Fourierreihe einer stetigen Funktion Die poissonsche Kernfunktion Die henselsche Topologie Uniforme Topologie Offene und abgeschlossene Mengen Kompaktheit in Funktionenräumen VERALLGEMEINERTE FUNKTIONEN Die Konvergenz im quadratischen Mittel Quadratisch summierbare Folgen Vollständige euklidische Vektorräume Die Vollständigkeit des Folgenraumes t Separable euklidische Vektorräume Die kanonische Darstellung von Vektoren Das Orthonormalsystem der trigonometrischen Funktionen Quadratisch integrierbare verallgemeinerte Funktionen Isometrien euklidischer Vektorräume 115

5 Die ausgezeichnete Rolle des Raumes l Quadratisch integrierbare periodische Distributionen Integrierbare Funktionen und Treppenfunktionen Treppenfunktionen und stetige Funktionen Integrierbare Funktionen und Distributionen Die Gleichheit integrierbarer Funktionen Funktionswerte von Distributionen Analyse des Meßprozesses Temperierte verallgemeinerte Funktionen Verallgemeinerte Folgenräume Stetige lineare Funktionale Ein vollständiger metrischer Folgenraum Schnelle Nullfolgen und langsam wachsende Folgen Testfunktionen und temperierte Distributionen Der Raum der Testfunktionen Kennzeichnung von Testfunktionen Die Konvergenz von Testfunktionen. " Rechnen mit Testfunktionen Der Verschiebungsoperator Der Ableitungsoperator Der Raum der temperierten Distributionen Die schwache Konvergenz Rechnen mit temperierten Distributionen Die diracsche Deltafunktion auf dem Kreis Beispiele und Ergänzungen Folgen- und Funktionenräume Orthogonale Funktionensysteme Gleichverteilung von Folgen modulo 2ir Die isoperimetrische Ungleichung Rechnen mit verallgemeinerten Funktionen Multiplikation von Fourierreihen ANALYTISCHE FUNKTIONEN Die komplexe Ebene Elementare Algebra Die lineare und die quadratische Gleichung Die kubische Gleichung Die Algebra komplexer Größen Beispiele Das geometrische Modell Betrag und Argument Die geometrische Multiplikation Die Einheitswurzeln Reine Gleichungen Holomorphe Funktionen 165

6 Komplexe Variable Komplexe Differentiation Die Wirtingerableitungen Konforme Funktionen Komplexe Differentialformen Die Umkehrfunktion Wurzelfunktionen Der komplexe Logarithmus Der Hauptzweig des Logarithmus Die Exponentialfunktion Trigonometrische und hyperbolische Funktionen Die Umkehrung der Exponentialfunktion Homologie von Zyklen Zellen und Ketten Die Zerfällung von Streckenketten Ränder und Zyklen Die Windungszahl Windungszahl und Rechtecksdarstellung Homologe Streckenzyklen Kreisscheibenzyklen Integrale längs stetiger Kurven Homologie geschlossener Kurven Einfacher Zusammenhang Einfach zusammenhängende Gebiete Integration entlang eines halben Kreisrings Die Standardabschätzung Das jordansche Lemma Der Integralsinus Integration entlang eines Achtelkreises Die fresnelschen Integrale Mehrfacher Zusammenhang Die Windungszahl geschlossener Kurven Gebiete mit einem Loch Gebiete mit mehreren Löchern Die cauchysche Integralformel Kreisringe Die Laurententwicklung holomorpher Funktionen Die cauchyschen Abschätzungen...." Der Satz von Riemann Der Satz von Liouville Holomorphie und Analytizität Variable Laurentkoeffizienten Die Taylorreihe holomorpher Funktionen Der Konvergenzsatz von Weierstraß Der Identitätssatz Die Berechnung von Integralen 211

7 Der Residuensatz Hebbare Singularitäten Polstellen Residuen an Polstellen Integration entlang eines Halbkreises Integration rationaler Funktionen Fourierintegrale Mellinintegrale Singularitäten auf dem Integrationsweg Exponentialreihe und binomische Reihe Die Exponentialreihe Die Sinus- und die Cosinusreihe Die Berechnung von e Die binomische Reihe Der binomische Lehrsatz Die Berechnung der Wurzelfunktion Die Berechnung der Wurzel von Die Mercatorreihe Die Berechnung des Logarithmus von Die Arcustangensreihe Die Berechnung von ir Analysis analytischer Funktionen Das Halo kompakter Mengen Die Umrandung kompakter Mengen Das Maximumprinzip Das Minimumprinzip Schwarzsches Lemma Das lagrangesche Interpolationspolynom Der Satz über die Absenz von Nullstellen Der Satz von der Nullstelle Der Fundamentalsatz der Algebra Der erste Produktsatz Der zweite Produktsatz Reell-analytische Funktionen Ihre Definition Der Satz von der Nullstelle im Reellen Die Vielfachheit von Funktionswerten Wendetangenten und Begrenzungstangenten Die Monotonie der Folge des Newtonverfahrens Die Konvergenz der Folge des Newtonverfahrens Das babylonische Wurzelziehen Einfach periodische Funktionen Meromorphe Funktionen Die Partialbruchzerlegung des reziproken quadratischen Sinus Die Differentialgleichung des reziproken quadratischen Sinus Die Partialbruchzerlegung des Cotangens Die Produktdarstellung des Sinus Fourierreihen analytischer Funktionen 268

8 Die Thetafunktion Doppelt periodische Funktionen Die Periodengruppe Die Ableitung der weierstraßschen p-funktion Die weierstraßsche p-funktion Die Differentialgleichung der weierstraßschen p-funktion Die weierstraßsche ^-Funktion Die weierstraßsche <r-funktion Die eulersche Gammafunktion Das eulersche Integral Der Ergänzungssatz Anwendungen des Ergänzungssatzes Die eulersche Betafunktion Asymptotische Berechnung von Integralen Das watsonsche Lemma Ein Beispiel Das gaußsche Fehlerintegral Die Verallgemeinerung von Laplace Die Methode des absoluten Minimums Die Rechtfertigung der Methode von Laplace Die stirlingsche Formel Die Methode der stationären Phase Die Airyfunktion Lineare Differentialgleichungen: der Integralansatz Die laplacesche Methode Die Forderungen an Kurve und Integranden Die hermitesche Differentialgleichung Die hermiteschen Polynome Die besselsche Differentialgleichung Die Besselfunktionen Lineare Differentialgleichungen: der Potenzreihenansatz Eulersche Differentialgleichungen Die Methode von Frobenius und Fuchs Die Holomorphie des Lösungsansatzes Die hypergeometrische Differentialgleichung Die legendreschen Polynome Beispiele und Ergänzungen Rechnen mit komplexen Größen Tschebyschowsche Polynome Die biquadratische Gleichung Quaternionen Die riemannsche Kugel Gebrochen lineare Abbildungen Berechnung von Integralen Eine schwache Version des Fundamentalsatzes der Algebra. 321

9 Ausgelassene Funktionswerte Bernoullizahlen und Bernoullipolynome Ein neuerlicher Konvergenzbeweis von Fourierreihen Elliptische Funktionen Die Invarianten der p-funktion Die jacobischen elliptischen Funktionen Die Gammafunktion Ergänzungs- und Multiplikationssatz der Gammafunktion Die kummersche Differentialgleichung Legendresche Polynome Bessel-, Neumann- und Hankelfunktionen DIE FOURIERTRANSFORMATION Hilberträume über der komplexen Ebene Innere Produkträume Quadratisch summierbare Folgen Innere Produkträume und euklidische Vektorräume Die Fourierdarstellung von Vektoren Ein Hilbertraum holomorpher Funktionen Die Definition des Raumes H Die Struktur von H Ein stetiges lineares Funktional in M Quadratisch integrierbare Distributionen Funktionen mit kompakten Trägern Der Ubertragungskern Erste Etappe des Beweises: Umformung der Aufgabe Zweite Etappe des Beweises: ein Vierfachintegral Dritte Etappe des Beweises: ein Doppelintegral Vierte Etappe des Beweises: die entscheidenden Abschätzungen Eine Orthonormalbasis von I?(R) Erzeugungs- und Vernichtungsoperator Testfunktionen Testfunktionen und temperierte Distributionen Normabschätzungen Die Abschätzung des Betrags durch die Norm Die Kennzeichnung der Testfunktionen Die Fouriertransformation Die Fouriertransformierte der nullten Hermitefunktion Die Fouriertransformierten der Hermitefunktionen Der Satz von Fourier und Plancherei Die poissonsche Summenformel Die Thetarelation Beispiele und Ergänzungen Der Hilbertraum il 2 (JRj) 365

10 Der Hilbertraum E 2 (S) Kontinuierliche Orthonormalbasen Rechenregeln mit der Fouriertransformation Das Faltungsintegral Die Wellengleichung Die diracsche Deltafunktion Die Funktionalgleichung der Zetafunktion 371 LITERATURVERZEICHNIS 372 NAMEN- UND SACHVERZEICHNIS 378