Mathematik 1, WS 2014/2015 Prof. F. Brock Zusammenfassung

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1 I. Analysis einer Variablen Mathematik 1, WS 2014/2015 Prof. F. Brock Zusammenfassung 1. reelle Zahlen: (siehe Fischer/Kaul 1, S ) Mengen, Aussagen, Satz vom ausgeschlossenen Dritten. indirekter Beweis: Die Aussage A B ist äquivalent zu: nicht B nicht A. Zahlenaufbau, N Z Q R. Körperaxiome der reellen Zahlen. Teilbarkeit, gerade, ungerade Zahlen. R \ Q. Axiome der Ordnung, Ungleichungen mit Beträgen und Quadraten. Das arithmetische Mittel zweier nichtnegativer reeller Zahlen ist grösser oder gleich ihrem geometrischen Mittel. Intervalle. Vollständige Induktion. n k=1 k = n(n + 1)/2. geometrische Summenformel: a n b n = (a b) n 1 k=0 ak b n 1 k. Bernoulli sche Ungleichung, Binomischer Lehrsatz. Beschränkte Mengen, obere und untere Schranken. Supremum, Infimum, Maximum, Minimum. Vollständigkeit von R. Q ist nicht vollständig. Archimedische Eigenschaft von R. Ganzer Teil reeller Zahlen. Quadratwurzel. Dichtheit von Q in R. In jedem offenen Intervall liegen unendlich viele irrationale Zahlen. 2. Zahlenfolgen: Definition von Folgen und Teilfolgen. Konvergenz von Folgen, Nullfolgen. Beispiele: Seien q < 1, k N und x R. Dann gilt n k q n 0 und x n /n! 0 für n +.

2 Eine Folge kann höchstens einen Grenzwert haben. Jede Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert und hat denselben Grenzwert wie die ursprüngliche Folge. Rechenregeln mit Grenzwerten, Drei-Folgen-Satz. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Supremum/Infimum als Grenzwert. Divergenz von Folgen, bestimmte Divergenz nach + bzw.. Grenzwerte von rationalen Ausdrücken. Beispiele: 1/n p 0, n p 1, (p > 0), n n 1, n α /a n 0, (a > 1, α R), für n +. Jede beschränkte monotone Folge konvergiert. Definition der Potenz a r für a > 0 und rationale Zahlen r. Häufungswerte von Folgen. Intervallschachtelungen. Satz von Bolzano Weierstrass: Jede beschränkte Zahlenfolge hat einen Häufungswert. Oberer und unterer Limes. Definition von Cauchy Folgen. Eine Zahlenfolge konvergiert genau dann wenn sie eine Cauchy Folge ist. ( Die Eulersche Zahl e := lim n n. n) Definition der Potenz a x, (a > 0, x R). 3. Komplexe Zahlen: (siehe Fischer/Kaul 1, S ) Definition der komplexen Zahlen, Addition, Multiplikation, Körpereigenschaften von C. Imaginäre Einheit, Betrag, Real- und Imaginärteil, Konjugierte einer komplexen Zahl. Einbettung von R in C. Rechenregeln in C. Komplexe Zahlenebene und Polardarstellung, Argument einer komplexen Zahl, Multiplikation, Moivresche Formel. Division komplexer Zahlen, Reellmachen des Nenners. Komplexe Exponentialfunktion. Quadratwurzeln, Einheitswurzeln, n-te Wurzel. Lsung quadratischer Gleichungen.

3 Fundamentalsatz der Algebra, Wurzelsätze von Vieta, Polynomdivision. Faktorzerlegung reeller Polynome. 4. Unendliche Reihen (siehe Fischer/Kaul 1, S ) Definition unendlicher Reihen. Partialsummen. Konvergenz, Summe einer Reihe, Divergenz. Beispiele: geometrische Reihe. Die Reihe n=1 n p konvergiert für p > 1 und divergiert bestimmt nach + für p 1. Teleskopreihe n=1 1 = 1. n(n+1) Eigenschaften konvergenter Reihen. Cauchy-Kriterium. Konvergiert n=1 a n, so ist {a n } eine Nullfolge. Sind a n 0 n N, so konvergiert n=1 a n genau dann, wenn die zugehörige Folge der Partialsummen beschränkt ist. Majorantenkriterium für die Konvergenz und Divergenz von Reihen. Beispiele. Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen. Beispiel: n=1 ( 1)n 1 1/n. In konvergenten Reihen kann man beliebig Klammern setzen. Absolute Konvergenz. Absolut konvergente Reihen können beliebig umgeordnet werden, ohne die Summe zu ändern. Wurzelkriterium, Quotientenkriterium. Potenzreihen. Konvergenzradius. Beispiele: n=0 na z n, (a R), n=0 zn /n!, n=0 n!zn. Cauchysche Produktreihe. Beispiele: (z 1) 2 = n=0 (n + 1)zn. Produktformel für die Exponentialreihe. Dezimalbruchdarstellung reeller Zahlen. 5. Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen (siehe Fischer/Kaul 1, S ) Definitions- und Wertebereich, Einschränkung einer Funktion, Bildmenge und Urbildmenge, Graph, Beschränkheit. Definition des Grenzwertes einer Funktion f : (a, b) \ {x 0 } R an der Stelle x 0. Beispiel. Folgendefinition des Grenzwertes von Funktionen.

4 Einseitige GWe, unendliche GWe, GWe im Unendlichen. Rechenregeln für das Rechnen mit GWen und mit den Symbolen + und. Beispiel: GWe rationaler Funktionen für x +. Definition der Stetigkeit. Summe, Produkt, Quotient und Komposition stetiger Funktionen. Die Menge C(D), (D R). Beispiele: Polynome, rationale Funktionen. Definition der gleichmässigen Stetigkeit, Vergleich mit Stetigkeit. Gleichmässige Stetigkeit auf beschränkten abgeschlossenen Intervallen. Unstetigkeiten 1. und 2. Art. Beispiele. Definition von Injektion, Surjektion, Bijektion. Inverse monotoner Funktionen. Beispiele: log a x, arcsin x, arccos x, arctan x, arsinh x, arcosh x. Die Inverse einer streng monotonen stetigen Funktion ist stetig. Zwischenwertsatz. Beispiel: Nullstellen von Polynomen. Satz vom Maximum. 6. Differenzierbare Funktionen: (Siehe Fischer/Kaul 1, S ) Motivation: Tangentenproblem und momentane Geschwindigkeit. Definition der Ableitung. Restglied. Rechenregeln für die Differentiation: Linearität, Produkt- und Quotientenregel, Kettenregel, Ableitung von Umkehrfunktionen. Beispiele: Polynome, Potenzfunktionen, trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmus. Höhere Ableitungen. Leibnizsche Produktformel. Stetig differenzierbare Funktionen. Die Mengen C ( I), C n (I), C (I), (I: Intervall, n N). Definition lokaler Extrema. Notwendige Bedingung für das Vorliegen eines lokalen Extremums. Satz von Rolle. Mittelwertsatz. Ableitung monotoner Funktionen. Ist f (x) = 0 auf einem Intervall, so ist f dort konstant. Verallgemeinerter Mittelwertsatz. Regel von de l Hospital. Ausdrücke der Form 0/0, /,, und

5 1. Beispiele: sin x, 1 cos x, x sin x und ( 1 1 x x 2 x 3 sin x e 1) für x 0. x log x a, (a > 0, α > 0), x( π arctan x) und ( 1 + a x x α 2 x) für x +. Taylorscher Satz. Taylor-Polynom, Restglied. Beispiele: Restglieder für e x, arctan x, ln(1 + x). Fehlerabschätzung für e x mit einem Taylor-Polynom 5. Grades. Definition analytischer Funktionen. Beispiele: e x, ln(1 + x) und (1 + x) α in x 0 = 0. Beispiel einer C -Funktion, die nicht analytisch ist. Gliedweise Differentiation analytischer Funktionen. Identitätsatz für analytische Funktionen. Beispiele: Taylorsche Reihen für (1 x) 2 und ln (1 + x). Notwendige und hinreichende Bedingungen für lokale Extrema bei C 2 -Funktionen. Beispiel: Unter allen Kreiszylindern festen Volumens, mit Höhe h und Basisradius r, hat derjenige Zylinder, für den h = 2r ist, die kleinste Oberfläche. 7. Integration von Funktionen einer Variablen: (siehe Fischer/Kaul, S ) Motivation: Flächeninhalt unterhalb des Graphen einer Funktion. Treppenfunktionen: Definition und Integral von Treppenfunktionen. Eigenschaften. Beschränkte Funktionen, Supremumsnorm und gleichmässiger Abstand. Eine Funktion, die auf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall beschränkt ist, heisst (Regel-)integrierbar, wenn sie sich gleichmässig durch Treppenfunktionen approximieren lässt. Definition des Integrals einer integrierbaren Funktion als Grenzwert der Integrale einer sie approximierenden Folge von Treppenfunktionen. Stetige Funktionen, stückweise stetige Funktionen, sowie monotone Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen sind integrierbar. Funktionen von beschränkter Variation sind integrierbar. Nicht Regel-integrierbar, aber Riemann-integrierbar auf [0, 1] sind: f(x) = sin(1/x) für x 0, f(0) = 0. g(x) = 1 für x = 1/n, g(x) = 0 sonst. Lebesgue-integrierbar, aber weder Riemann- noch Regel-integrierbar auf [0, 1] ist: h(x) = 1 für rationales x, h(x) = 0 für irrationales x.

6 Riemann-Summen für stetige Funktionen. Stammfunktionen. Beispiele: x α dx = xα+1 + c, (α 1), α+1 e αx dx = eαx + c, (α 0), α ln x dx = 1 + c, dx = arctan x + c, x 1+x 2 = arcsin x + c, (c R). dx 1 x 2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Partielle Integration. Beispiele: ln xdx = x(ln x 1) + c, 2π sin(nx) sin(mx)dx = 2π cos(nx) cos(mx)dx = πδ 0 0 nm, 2π sin(nx) cos(mx)dx = 0, (n, m Z \ {0}). 0 Substitutionsregel. Beispiele: xe x2 /2 dx. logarithmische Ableitung: u (x) = (ln u(x) u(x) ). tan x dx. r sin xf(cos x) dx, r2 x r 2 dx, dx 1 x 2, dx 1+x 2, x 7 dx. x 4 +1 Integration rationaler Funktionen: Polynomdivision. Partialbruchzerlegung. Beispiel: x 4 dx x 3 1. Uneigentliche Integrale: Integration auf unbeschränkten Intervallen. Konvergenz und absolute Konvergenz. Beispiele: dx konvergiert α > 1. 1 x α e x dx. 0 Cauchy-Kriterium. Absolut-konvergente uneigentliche Integrale konvergieren. Beispiel: sin x dx konvergiert, aber nicht absolut. 1 x Integralkriterium für unendliche Reihen. Beispiel: n=2 1 konvergiert p > 1. n(ln n) p Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale. Beispiel: dx 1 ( konvergiert p > 1. x 2 +1) p Unbeschränkte Funktionen auf beschränkten Intervallen. Beispiel: 1 0 dx konvergiert p < 1. x p Cauchy-Kriterium. Majorantenkriterium. Gemischte Typen uneigentlicher Integrale. Beispiele: 1 dx divergiert. 2 dx konvergiert. 0 x(1 x) 0 x 1

7 II. Lineare Algebra 1. Vektorräume: (siehe Fischer/Kaul I, S ) Definition des Vektorraumes, elementare Eigenschaften. Beispiele: R n, Folgenraum, Funktionenräume, Raum der Polynome P. Unterräume. Beispiele: C [a, b] C n+1 [a, b] C n [a, b], P n P, (n N {0}). Linearkombinationen, lineare Hülle. Beispiele: Geraden und Ebenen in R 3, P n = span {1, x,..., x n }. Lineare Abhängigkeit/ Unabhängigkeit von Vektorsystemen. Beispiele: Vektoren im R n, {e 1,..., e n } ist linear unabhängig. {1, x,..., x n } ist linear unabhängig in P. Basen. Eine Menge M von Vektoren ist Basis eines Vektorraumes V, wenn span M = V ist und M linear unabhängig ist. Beispiele: {e 1,..., e n }= kanonische Basis des R n, {1, x,..., x n } ist eine Basis von P n. Dimension. Basisergänzungssatz, Basisauswahlsatz. In einem n-dimensionalen Vektorraum bilden je n lineare unabhängige Vektoren eine Basis. Ist U ein Unterraum von V und ist dim U = dim V, so ist U = V. 2. Lineare Abbildungen und Matrizen: (siehe Fischer/Kaul I, S ) Lineare Abbildungen, lineare Funktionale. Beispiele: Nulloperator, Identität, Ableitungsoperator, Integralfunktional. Kern und Bild einer linearen Abbildung. Eine lineare Abbildung L ist injektiv Kern L = {0}. Beispiel: Die Lösungen der Schwingungsgleichung y + ay + by = 0 bilden einen Unterraum von C 2 (R). Dimensionsformel. Verknüpfung linearer Abbildungen. Der Raum L(V, W ). Hintereinanderausführung linearer Abbildungen. Beschreibung linearer Abbildungen mit Hilfe von Basen. Matrix MA B (L) einer linearen Abbildung L : V W bzgl. von Basen A und B in V bzw. W. Quadratische Matrizen. Beispiele: Einheitsmatrix, Nullmatrix, Drehungen im

8 R 2. Matrizenrechnung: Matrix-Vektor-Multiplikation, Multiplikation von Matrizen, Rechenregeln. Algebra der n n-matrizen. Invertierbare Abbildungen, reguläre Matrizen. Inverse eines Produkts. Transformationsmatrix. Transformationsverhalten von Matrizen und Koordinaten. Lineare Abbildungen (siehe Fischer/Kaul I, S ) Allgemeine lineare Probleme. Homogenes und inhomogenes Problem. Struktur des Lösungsraumes. Hauptbeispiel: m lineare Gleichungen für n reelle Unbekannte. Rang einer linearen Abbildung. Rang einer Matrix, Spaltenrang und Zeilenrang. Rangbedingungen. Eliminationsverfahren für lineare Gleichungssysteme. Elementare Umformungen. Begründung des Verfahrens. Freiheitsgrade. Beispiel. Berechnung der Inversen mit Hilfe des Eliminationsverfahrens. Beispiel.