Einiges über die Brown sche Bewegung

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1 Einiges über die Brown sche Bewegung Gunther Leobacher und Friedrich Pillichshammer Inhaltsverzeichnis Definition und Existenz einer Brown schen Bewegung Einige elementare Eigenschaften der Brown schen Bewegung 8 3 Die Verteilung des Maximums der Brown schen Bewegung 4 Die Nullstellen der Brown schen Bewegung 3 5 Eine Pfadeigenschaft der Brown schen Bewegung 6 6 Brown sche Bewegungmit Drift 8 Definition und Existenz einer Brown schen Bewegung Einer der einfachsten nicht-trivialen Zeit-stetigen stochastischen Prozesse ist die sog. Brown sche Bewegung welche oft auch Wiener Prozess genannt wird. Dieser Prozess ist benannt nach dem schottischen Botaniker Robert Brown, welcher bei der Beobachtung von kleinen in Flüssigkeit schwimmenden Partikeln eine erratische Zickzack-Bewegung feststellte. Die Brown sche Bewegung spielt eine zentrale Rolle in der Theorie der stochastischen Prozesse und sie tritt in verschiedensten Anwendungen auf wie zb. der Beschreibung von Finanzmärkten Aktienkurse. Vor allem aber stellt sie einen wichtigen Bauteil für die Konstruktion anderer stochastischer Prozesse dar. Wir betrachten hier nur die eindimensionale Brown sche Bewegung. Man kann sich die Brown sche Bewegung vorstellen als Zeit-stetige Approximation einer symmetrischen Irrfahrt auf Z, wobei die Schrittgröße normiert verkleinert wird und die Zeitsprünge gegen gehen. Definition Einen stochastischen Prozess B Bt t nennt man standard-brown - sche Bewegung wenn er folgende Eigenschaften erfüllt:. B,. B hat unabhängige Anstiege, dh. für u < v s < t sind Bv Bu und Bt Bs unabhängige Zufallsvariablen, 3. für s < t ist Bt Bs N, t s,

2 Abbildung : Verschiedene Irrfahrten, auf R mit m N, σm-verteilten unabhängigen Sprüngen. σ m ist dabei so gewählt, dass die Summe aller Sprünge Varianz hat, also m σm. Die Bilder zeigen Graphen für m 6, 64, 56, B ist stetig mit Wahrscheinlichkeit, dh. PB C[,. Wir werden das Wort standard meist weglassen. Es gibt allerdings leicht verallgemeinerte Begriffe, welche auch den Namen Brown sche Bewegung tragen, etwa die Brown sche Bewegung mit Startpunkt a R bzw. zufälligem Startpunkt X. Weiters werden wir später auch ein Brown sche Bewegung mit Drift betrachten. Wir werden nun zeigen, dass eine Brown sche Bewegung existiert. Satz Wiener Eine Brown sche Bewegung existiert. Wir benötigen einige Vorbereitungen. Definition Seien X,...,X n Zufallsvariable auf der gleichen Ereignismenge Ω mit gemeinsamer Verteilungsfunktion F X,...,X n. Die gemeinsame charakteristische Funktion von X,...,X n ist definiert als ψ X,...,X n u,..., u n : E e iu X + +u nx n e iu x + +u nx n df X,...,X n x,...,x n. Lemma Die Zufallsvariable X,..., X n sind genau dann unabhängig, wenn ψ X,...,X n u,...,u n ψ X u ψ Xn u n.

3 Beweis. Einfache Übung. Lemma Es gilt x e u / du e x / x. Beweis. Mit Produktintegration folgt Also gilt x e x / x / du / u e u u e u x x + u e u / du x x e u / du. e u / du. Lemma 3 Seien X, X zwei Zufallsvariable mit gemeinsamer Dichtefunktion fx DetπD e x µd x µ wobei x x, x R, µ µ, µ und D eine reelle, symmetrische, positiv definite -Matrix ist. Dann sind X, X genau dann unabhängig, wenn CovX, X. Beweis. Da D positiv definit ist, muss σ D ρσ σ ρσ σ σ. sein mit σ, σ R und ρ < Übung. O.B.d.A. gilt σ, σ,. Wir schreiben nun f als fx, x πσ σ ρ e Mittels Integration erhält man nun ρ x µ σ «ρx µ x µ + x µ σ σ σ. EX i µ i und V X i σi für i {, } und CovX, X ρσ σ. Falls CovX, X, dann ist also ρ und somit gilt fx, x e x µ σ e x µ σ. πσ πσ Also sind X und X unabhängig. Die Umkehrung ist bekannterweise auch richtig. Wir kommen nun zum Beweis von Satz. 3

4 Beweis. Wir konstruieren zuerst eine Brown sche Bewegung auf dem Intervall [, ]. Für N,,,... sei D N die Menge der ganzzahligen Vielfachen von N in [, ], dh. { } k D N : k {,.. N.,N } und weiters D : D N. N N Wir sagen Bt t DN ist eine Brown sche Bewegung mit Index D N, falls B und für alle t < t <... < t n in D N die Zuwächse Bt Bt,..., Bt n Bt n unabhängige, normal-verteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert und Varianzen t t,...,t n t n sind. Für jedes t D seien Y t unabhängige Zufallsvariable mit Y t N,. Wir werden nun wie folgt vorgehen: Wir konstruieren induktiv für jedes N N eine Brown sche Bewegung mit Index D N. Daraus erhalten wir eine Brown sche Bewegung mit Index D welche wir stetig für t [, ] erweitern. Am Ende zeigen wir, dass man dadurch eine Brown sche Bewegung auf [, ] erhält. Für t D {, } sei { falls t, Bt Y sonst. Dann ist Bt t D eine Brown sche Bewegung mit Index D. Angenommen Bt t DN ist eine Brown sche Bewegung mit Index D N. Sei t D N \ D N, dh. t ist von der Form t k + N. Seien r : t N und s : t + N sodass also r, s D N. Wir definieren nun die Zufallsvariable Dann gilt Zt : Bt Br Br + Bs N+/Y t und Bt : + Zt. Br + Bs + Zt Br Bs Br + Zt und Br + Bs Bs Br Bs Bt Bs Zt Zt. Also sind Bt Br und Bs Bt normal-verteilte Zufallsvariable und und EBt Br EBs Bt EBt Br 4 EBs Br + EBs BrZt + EZt V Bs Br + EBs BrEZt + V Zt 4 s r 4 + N+ N t r. 4

5 B N k+ N B N k N Z N k+ N B N k+ N k k+ k+ D N N D N N \ D N N D N Abbildung : Der Prozess B N t t [,. Analog zeigt man Damit folgt nun EBs Bt N s t. Weiters ist Bt Br N, t r und Bs Bt N, s t. E Bt BrBs Bt E 4 Bs Br Zt V Bs Br V Zt 4 s r 4. N+ Mit Hilfe von Lemma 3 folgt nun, dass Bt Br und Bs Bt unabhängig sind. Weiters sind die beiden Zuwächse sicher von allen Zuwächsen über Intervalle außerhalb von r, s unabhängig, da sie ja aus Bs Br und Y t konstruiert wurden. Somit ist Bt t DN eine Brown sche Bewegung mit Index D N. Für jedes N N sei nun B N t t jener stetige Prozess, den man durch lineare Interpolation aus Bt t DN erhält. Weiters sei siehe Abbildung, Z N t : B N t B N t. Für t D N ist natürlich Z N t. Für t D N \ D N ist Z N t Bt Bt N + Bt + N Zt Y t. N+ 5

6 Sei nun siehe Abbildung M N : sup Z N t sup B N t B N Y t t sup. t t t D N \D N Da D N \ D N genau N Elemente enthält gilt P M N > x/ P sup Y t > x N t D N \D N N PY > x N π N+ N P Y > x x e t N e x dt π x, wobei wir Lemma verwendet haben. Wir wählen nun x N und erhalten N P M N > N e N+ N N π N c e mit einer Konstanten c >. Also gilt N P M N > N c N < N e N und mit Hilfe des ersten Borel-Cantelli Lemmas folgt nun N P M N > unendlich oft. N Also gibt es ein größtes N abhängig von ω mit M N > N. Für große N gilt nun mit N Wahrscheinlichkeit, dass N M N N und somit folgt mit Wahrscheinlichkeit, dass M N <. sup t N Die Folge {{B N t : t } : N } C[, ] ist mit Wahrscheinlichkeit eine Cauchy-Folge, da für n < m gilt B n t B m t Mn+ + + M m für n, m mit Wahrscheinlichkeit. Da C[, ] ein vollständiger, metrischer Raum ist existiert nun lim N B N in C[, ] mit Wahrscheinlichkeit. Wir definieren also { limn B B : N falls der Grenzwert existiert, sonst auf einer Menge mit Wahrscheinlichkeit. Wir zeigen noch, dass B eine Brown sche Bewegung auf [, ] ist. 6

7 . Es ist B.. Die Pfade von B sind mit Wahrscheinlichkeit stetig, da B der gleichmäßige Grenzwert stetiger Funktionen ist. 3. Für t > s ist fast sicher und Für n folgt Bt Bs lim n B n B n t n n t n n s B n n n s B n n N, tn sn. n n n Bt Bs N, t s, da aus Konvergenz fast sicher die Konvergenz in Verteilung folgt. 4. B hat unabhängige Anstiege, da dies für B N gilt und diese Eigenschaft beim Grenzübergang erhalten bleibt. Das sieht man zb. unter Verwendung von charakteristischen Funktionen. Sei u < v < s < t. Dann gilt mit Hilfe von Lemma, E e iθbt Bs e iθ Bv Bu lim E e iθ B N t B Ns e iθ B N v B N u N lim E e iθ B N t B N s N E E e iθ Bt Bs E e iθ Bv Bu. e iθ B N v B N u Nach Lemma sind Bt Bs und Bv Bu unabhängig. Wie erhält man nun eine Brown sche Bewegung auf [,? Seien dazu B, B, B 3,... unabhängige Brown sche Bewegungen auf [, ]. Für t [n, n + definieren wir nun n Bt : B k + B n+ t n. Dann ist B eine Brown sche Bewegung auf [,, denn es gilt:. B. k. Sei s < t, wobei s [m, m + und t [n, n + mit m, n N und m n. Für m < n gilt n m Bt Bs B k + B n+ t n B k + B m+ s m k n km+ n km+ k B k + B n+ t n B m+ s m B k + B n+ t n + B m+ B m+ s m. 7

8 Da B k N,, B n+ t n N, t n und B m+ B m+ s m N, s + m und wegen der Unabhängigkeit der entsprechenden Zufallsvariablen folgt nun Bt Bs N, n m + t n + s + m N, t s. Falls n m, dann gilt die Aussage trivialerweise auch. 3. Sei u < v s < t und seien u [l, l +, v [k, k +, s [m, m + und t [n, n + mit l, k, m, n N und l k m n. Seien zunächst l < k und m < n. Dann ist Bv Bu k il+ B i + B k+ v k + B l+ B l+ u l und n Bt Bs B i + B n+ t n + B m+ B m+ s m. im+ Falls k < m, dann sieht man sofort, dass Bv Bu unabhängig von Bt Bs ist. Sei also k m. Es ist B k+ v k unabhängig von B k+ B k+ s k da v s und somit v k s k. Also ist Bv Bu unabhängig von Bt Bs. Falls l k m n, dann ist trivialerweise Bv Bu unabhängig von Bt Bs. Betrachte den Fall l < k m n. Dann ist Bt Bs B k+ t k B k+ s k unabhängig von B k+ v k und somit von Bv Bu. Die restlichen Fälle kann man sich analog überlegen. 4. Nach Konstruktion ist Bt genau dann stetig auf [,, wenn B k t für alle k N auf [, ] stetig ist. Also gilt PB C[, P [B k C[, ]] k P [B k C[, ]] k PB k C[, ]. k Damit ist Satz vollständig bewiesen. Einige elementare Eigenschaften der Brown schen Bewegung Wir werden hier einige einfache Eigenschaften der Brown schen Bewegung zusammenfassen. 8

9 Eigenschaft Sei Bt t eine Brown sche Bewegung und sei s > fest gewählt. Dann ist der Prozess B s t t definiert durch B s t Bt + s Bs, t wieder eine Brown schen Bewegung. Diese Eigenschaft nennt man Differentialeigenschaft der Brown schen Bewegung. Beweis. Es gilt:. B s Bs Bs.. Zu zeigen, dass B s unabhängige Anstiege hat, ist eine einfache Übung. 3. Für t < t gilt B s t B s t Bt + s Bt + s N, t t. 4. Falls Bt stetig ist, dann auch Bs+t und somit auch B s t Bt+s Bs. Eigenschaft Sei Bt t eine Brown sche Bewegung. Dann ist auch Bt t eine Brown sche Bewegung. Diese Eigenschaft nennt man Symmetrie der Brown schen Bewegung. Beweis. Der Beweis dieser Eigenschaft ist eine einfache Übung. Eigenschaft 3 Sei Bt t eine Brown sche Bewegung und sei c >. Dann ist auch cbt/c t eine Brown sche Bewegung. Diese Eigenschaft nennt man Skalierungseigenschaft der Brown schen Bewegung. Beweis. Es gilt:. cb/c cb.. Für s < t gilt cbt/c cbs/c cbt/c Bs/c N, s t. }{{} N,t s/c 3. Für u < v s < t gilt u/c < v/c s/c < t/c und somit sind Bv/c Bu/c und Bt/c Bs/c unabhängig. Diese Unabhängigkeit bleibt erhalten, wenn man mit c multipliziert. 4. Falls Bt auf [, stetig ist, dann ist auch cbt/c auf [, stetig. 9

10 Eigenschaft 4 Sei Bt t eine Brown sche Bewegung. Sei s < t und sei A BR die Borelsche σ-algebra auf R. Dann gilt PBt A Bs x PBt Bs A x Bs x PBt Bs A x, da Bt Bs und Bs Bs B unabhängig sind. Wegen Bt Bs N, t s gilt also PBt A Bs x πt s πt s e y t s dy A x A e y x t s dy : pa, x, t s. Die Brown sche Bewegung ist also ein Markov Prozess mit stationären Übergangswahrscheinlichkeiten. Eigenschaft 5 Sei < s < t. Dann sind Bs und Bt abhängig. Wir berechnen nun die Korrelation der beiden Zufallsvariablen. Es gilt CovBs, Bt EBs EBsBt EBt EBsBt EBsBs + Bt Bs EBs + EBs BBt Bs V Bs + EBs BEBt Bs s. Die Brown sche Bewegung ist also ein Gauß scher Prozess mit Kovarianzfunktion min{s, t}. Weiters ist KorrBs, Bt s s,. s t t Eigenschaft 6 Sei Bt t eine Brown sche Bewegung und sei a >. Sei T a : inf{t : Bt a} T a ist eine Zufallsvariable!. Wir definieren nun den Prozess B a t t durch siehe Abbildung 3, { Bt falls t Ta, B a t a Bt falls t > T a. Dann ist ohne Beweis B a t t eine Brown sche Bewegung. Diese Eigenschaft nennt man Reflexionseigenschaft der Brown schen Bewegung. Bemerkung: Man kann zeigen, dass PT a <. Eigenschaft 7 Sei Bt t eine Brown sche Bewegung und sei a >. Sei T a wie oben definiert. Dann ist Bt t, definiert durch Bt : BT a +t BT a, eine Brown - sche Bewegung welche unabhängig ist vom Pfad von B bis zum Zeitpunkt T a. Diese Eigenschaft folgt aus der sog. strong independent increments property der Brown - schen Bewegung ohne Beweis. Streng genommen muss man sich och überlegen, was die Bedeutung der bedingten Wahrscheinlichkeit hier ist: für PA > ist PB A PB A/PA. Aber PBs x.

11 .6.4. a T a Abbildung 3: Reflexion der Brown schen Bewegung. 3 Die Verteilung des Maximums der Brown schen Bewegung Für t sei Mt : max s t Bs. Dann ist Mt eine Zufallsvariable. Da eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ein Maximum annimmt, existiert Mt mit Wahrscheinlichkeit. Wir werden nun die Dichte- und Verteilungsfunktion und den Erwartungswert von Mt bestimmen. Dazu benötigen wir zunächst ein Hilfsresultat. Proposition Sei Bt t eine Brown sche Bewegung. Für a > und y gilt dann PBt a y, Mt a PBt a + y. Beweis. Zunächst ist klarerweise Mt a genau dann, wenn Weiters gilt Darum, und da B B a gilt nun T a inf{s : Bs a} t. T a T a : inf{s : B as a}. PBt a y, Mt a PBt a y, T a t PB a t a y, T a t Pa Bt a y, T a t PBt a + y, T a t PBt a + y,

12 da für y aus Bt a + y folgt, dass T a t. Nun erhalten wir folgendes Resultat. Korollar Für a ist PMt a PBt a Beweis. Mit Proposition für y gilt πt a e x t dx. PMt a PMt a, Bt a + PMt a, Bt > a PBt a + PMt a, Bt > a PBt a e x t dx. πt a Nun erhalten wir folgenden Satz. Satz Sei a. Die Verteilungsfunktion von Mt lautet a PMt a t dx. Die Dichtefunktion von Mt ist gegeben durch x πt e Beweis. Aus Korollar folgt f Mt x x πt e t. PMt a PMt a πt πt a πt Durch ableiten erhält man die Dichtefunktion. Korollar Es gilt Beweis. Es gilt EMt πt a EMt e x t dx e x t dx e x t dx. xe x t dx t πt t π. πt a e x t dx x e x t t dx t π.

13 Wir bestimmen noch Dichte- und Verteilungsfunktion und Erwartungswert der Zufallsvariable T a. Korollar 3 Für t ist und für x > gilt PT a t f Ta x e x t dx πt a a π e a x x 3. Beweis. Es gilt PT a t PMt a und die Formel für die Verteilungsfunktion folgt aus Satz. Durch Differentiation der Verteilungsfunktion erhält man die Dichtefunktion, f Ta t d dt PT a t d e x t dx. dt πt Es ist πt a e x t dx π a/ t e u du π a/ t a e u a du N t wobei Nx die Verteilungsfunktion einer N, verteilten Zufallsvariable ist. Da at N e a t π folgt die Behauptung. Es gilt also ET a a πt e a t dt. 4 Die Nullstellen der Brown schen Bewegung Sei < t < t. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein brownscher Pfad eine Nullstelle im Intervall t, t hat? Zur Beantwortung dieser Frage benötigen wir zwei Hilfsresultate. Lemma 4 Sei X N,. Für a gilt dann P X a π und f X a wobei f X die Dichtefunktion von X ist. 3 a a π e e x dx

14 Beweis. Es ist P X a P a X a π a a e x dx π a e x dx. Die Dichtefunktion erhält man durch Differentiation der Verteilungsfunktion nach a. Lemma 5 Seien X und X unabhängige, N, -verteilte Zufallsvariable. Dann ist die Zufallsvariable X X Cauchy-verteilt mit Parameter a und b. Dh. für x R gilt bzw. f X x X π + x F X x X + π arctanx. Beweis. Sei Y : X / X und D Y a : PY a. Dann gilt Es ist D Y a PY > a PX > a X Also gilt unter Verwendung von Lemma 4 PX > av Nav. PX > avf X v dv. Weiters gilt F Y x f Y a d da D Y a x d da π π Navf X v dv N avvf X v dv e av v π f Y a da π e v a + v dv e v a + dv π x v π e dv a +. a + da + π arctanx. Nun zur eigentlichen Fragestellung. Satz 3 Für < t < t gilt PBt für ein t t, t π arccos t. t 4

15 Beweis. Sei n, t, a die Dichtefunktion einer N, t-verteilten Zufallsvariable. Mit der Markoveigenschaft der Brown schen Bewegung gilt PBt f. e. t t, t PBt f. e. t t, t Bt af Bt a da PBt t f. e. t t, t t Bt t an, t, a da PBt f. e. t, t t B an, t, a da. Sei nun mt : min s t Bs. Dann gilt PBt f. e. t t, t Korollar + Pmt t B a n, t }{{}, a da PMt t B a PMt t > B an, t, a da PMt t B an, t, a da PMt t a B n, t, a da PBt t a }{{} PBt t a+pbt t a n, t, a da PBt t an, t, a da + PBt t an, t, a da. }{{} R PBt t an,t,a da Da Bt Bt gilt PBt t a PBt t a und somit folgt PBt f. e. t t, t PBt t a n, t, a da PBt Bt a n, t, a da PBt Bt a Bt an, t, a da PBt Bt Bt, da Bt Bt und Bt unabhängig sind. Es ist Bt Bt N, t t, also Bt Bt X t t mit X N, und Bt N, t, also Bt X t mit X N,. Damit gilt mit Hilfe von 5

16 β t t α π t t Abbildung 4: Beweis für arccos t t π arctan t t t. Lemma 5, PBt f. e. t t, t PX t t X t X P X t t t π arctan t t t π π arctan t. t t Betrachte nun Abbildung 4. Es ist sin α t /t, cos β t /t und cos α t t /t. Also ist tan α t /t t und wir erhalten arccos t t β π α π arctan t. t t Damit folgt dann die Behauptung. 5 Eine Pfadeigenschaft der Brown schen Bewegung Per Definition ist fast jeder Pfad einer standard Brown schen Bewegung stetig auf [,. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Frage nach der Differenzierbarkeit eines Brownschen Pfades. Es gilt Satz 4 Fast alle Pfade einer Brown schen Bewegung Bt t sind nirgends differenzierbar auf [,, da P t : lim sup Bt + h Bt h h +. Bevor wir obigen Satz beweisen, zeigen wir ein einfaches Lemma, welches aber bereits einen Hinweis auf obiges Resultat gibt. Dieses Lemma werden wir später im Beweis von Satz 4 benötigen. 6

17 Lemma 6 Sei M >. Für alle t [, und n N gilt dann Bt + n P Bt M M. n n Beweis. Da Bt t eine Brown sche Bewegung ist, folgt Bt + Bt N, und n n somit ist nbt + Bt N,, also standard normalverteilt. Damit folgt n Bt + n P Bt M P nbt + Bt M n n n n M/ n π Für alle x R ist e x und somit gilt Bt + n P Bt M M/ n e x dx π π M n. M/ n e x dx. Da /π < folgt die Behauptung. Beweis von Satz 4. Wegen der Differentialeigenschaft einer Brown schen Bewegung reicht es aus zu zeigen, dass P t [, : lim sup Bt + h Bt h h +. Sei M [, und { A M : ω : t [, mit lim sup h Bt + h Bt h } M. Wir zeigen nun P A M für alle M [,. Daraus folgt dann die Behauptung. Falls ω A M, dann existiert ein t [, und ein n N, sodass für alle n n gilt Bs Bt M t s falls t s. Für n N definieren wir nun die Menge n A n : Dann gilt natürlich { ω : t [, mit Bs Bt M t s falls t s n A n A n+ n N und A M A n. n }. Also folgt P A M P n A n lim n PA n, 7

18 dh. wir haben PA n für große n N zu betrachten. Für ω A n gibt es ein t [, mit der Eigenschaft Bs Bt M t s j falls t s. Sei nun i sup { j : t} i, dh. t < i+. Da t < kann man n so n n n n groß wählen, dass i n 3. Dann gilt B i n Bi+ n Analog zeigt man auch B i n M Bt + Bt Bi+ + M M. n n n n Sei nun B i+ n Bi+ n 3M n und B i+ n Bi+3 n 5M n. Y i,n : max { B i n Bi+ n, Bi+ n Bi+, Bi+ n n Bi+3 }. n Damit gilt für hinreichend große n N, {ω : t [, mit Y i,n 5Mn } für das zu t gehörige i Also ist A n n 3 i Mit Lemma 6 folgt nun { ω : Y i,n 5M n } : B n. lim PA n lim PB n. n n PB n n 3 i P { ω : Y i,n 5M n n 3 } i 5M n 3 5M3 n. Somit ist lim n PB n und auch P A M. Das Resultat folgt. 6 Brown sche Bewegungmit Drift In vielen Anwendungen benötigt man eine etwas verallgemeinerte Definition der Brown - schen Bewegung. Definition 3 Sei Bt t eine Brown sche Bewegung und sei µ R. Der Prozess B µ t t mit B µ t : Bt + µt heißt Brown sche Bewegung mit Drift µ. Im Folgenden sei immer µ < angenommen. Für a R gilt dann Bt PB µ t a PBt a µt P a µ t t t A/ t µ t π 8 e x dx,

19 . Bt Bt + µt t Abbildung 5: Brown sche Bewegung mit Drift. falls t, da µ <. Also ist lim B µt t mit Wahrscheinlichkeit. Insbesondere gilt mit Wahrscheinlichkeit, dass M µ : sup B µ t <, t< dh. fast jeder Pfad geht nach unten. Wir bestimmen nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung von M µ. Gesucht ist also PM µ a für a R. Seien dazu zunächst a, b. Wir bestimmen PM µ < a + b. Um a + b zu erreichen, muss man zunächst einmal a in endlicher Zeit T a erreichen siehe Abbildung 5. Hier beginnt man eine neue Brown sche Bewegung mit Drift welche unabhängig ist von dem, was vor dem Zeitpunkt T a geschieht. Mit dieser Brown schen Bewegung mit Drift muss man dann zu b kommen. Also gilt PM µ > a + b PM µ > apm µ > b. Für einen exakten Beweis dieser Tatsache würden wir die sog. strong independent increments property der Brown schen Bewegung benötigen siehe Eigenschaft 7. Sei nun fa : PM µ > a, dann gilt also fa + b fafb. Da f nicht die Nullfunktion ist folgt, dass f. Die Lösung dieser Funktionalgleichung sind Exponentialfunktionen der Form fa e ca mit c >, dh. PM µ > a e ca. 9

20 Wir müssen nur noch die Konstante c > bestimmen. Es gilt e ca PM µ > a PB µ t a für ein t PBt + µt a für ein t. Da µ < folgt, dass B µ erst nach B den Wert a erreicht. Der Prozess B erreicht a zum ersten mal zum Zeitpunkt T a. Damit ist obige Wahrscheinlichkeit gleich PBT a + t + µt a + t a für ein t PBT a + t + µt a + t BT a für ein t PBT a + t BT a + µt µt a für ein t PB µ t µt a für ein t, da BT a + t BT a eine Brown sche Bewegung ist, und somit unabhängig ist vom Pfad von B bis zu T a siehe Eigenschaft 7. Also gilt nun e ca PB µ t µt a für ein t PM µ µt a PM µ µy T a yf Ta y dy, wobei f Ta die Dichtefunktion der Zufallsvariable T a ist. Aus Korollar 3 wissen wir bereits, dass für y gilt f Ta y a e a y y 3. π Damit und da PM µ µy T a y PM µ µy e cµy folgt nun e ca e cµy a e a y y 3 dy e a c µ. π Somit ist c c µ bzw. c µ. Es gilt also folgender Satz. Satz 5 Für eine Brown sche Bewegung B µ t t mit negativer Drift µ ist das Supremum M µ mit Wahrscheinlichkeit endlich und exponential verteilt, dh. für x gilt PM µ > x e µx.