Theorem 19 Sei (X 1,X 2 ) T ein normalverteilter Zufallsvektor. Dann gilt: λ U (X 1,X 2 ) = λ L (X 1,X 2 ) = 0.

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1 Theorem 19 Sei (X 1,X 2 ) T ein normalverteilter Zufallsvektor. Dann gilt: λ U (X 1,X 2 ) = λ L (X 1,X 2 ) = 0. Korollar 2 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungen und einer Gauss schen Copula Cρ Ga, wobei ρ der Koeffizient der linearen Korrelation zwischen X 1 und X 2 ist. Dann gilt: λ U (X 1,X 2 ) = λ L (X 1,X 2 ) = 0. Theorem 20 Sei (X 1,X 2 ) T ein t-verteilter Zufallsvektor mit ν Freiheitsgraden, Mittelwert 0 und linearer Korrelationsmatrix R: (X 1,X 2 ) T t 2 (0,ν,R). Für R 12 > 1 gilt: ( ν ) 1 R12 λ U (X 1,X 2 ) = λ L (X 1,X 2 ) = 2 t ν R12 Beweis: Ähnlich wie der Beweis von Satz 19. Hinweis:. X 2 X 1 = x ( ν +1 ν +x 2 ) 1/2 X 2 ρx 1 ρ 2 t ν+1 48

2 Korollar 3 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungen und einer t-copula Cν,R t mit ν Freiheitsgraden und einer Korrelationsmatrix R. Dann gilt: ( ν ) 1 R12 λ U (X 1,X 2 ) = λ L (X 1,X 2 ) = 2 t ν R12 Theorem 21 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungen und einer Gauss schen copula Cρ Ga, wobei ρ der Koeffizient der linearen Korrelation zwischen X 1 und X 2 ist. Dann gilt: ρ τ (X 1,X 2 ) = 2 π arcsinρ und ρ S(X 1,X 2 ) = 6 π arcsin ρ 2 Korollar 4 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungen und einer elliptischen copula Cµ,Σ,ψ E. Dann gilt: ρ τ (X 1,X 2 ) = 2 π arcsinr 12, wobei R 12 = Σ 12 Σ11 Σ 22 Theorem 22 Sei X E d (µ,σ,ψ) ein elliptisch verteilter Vektor mit stetigen Randverteilungsfunktionen. Dann gilt: ρ τ (X i,x j ) = 2 π arcsinr ij, wobei R ij = Σ ij Σii Σ jj für i,j = 1,2,...,d Beweise von Satz 21, Satz 22 und Korollar 4: siehe McNeil et al. (2005). 49

3 Archimedische Copulas Nachteile elliptischer Copulas: I.A. keine Darstellung in geschloßener Form möglich radial-symmetrisch Bivariate Archimedische Copulas Definition 22 Sei φ:[0,1] [0,+ ] stetig, streng monoton fallend, sodass φ(1) = 0. Die pseudo-inverse Funktion φ [ 1] :[0, ] [0,1] von φ wird folgendermassen definiert: φ [ 1] (t) = { φ 1 (t) 0 t φ(0) 0 φ(0) t φ [ 1] ist stetig und monoton fallend in [0, ], streng monoton fallend in [0,φ(0)] und es gilt: φ [ 1] (φ(u)) = u für u [0,1] φ(φ [ 1] (t) = { t 0 t φ(0) φ(0) φ(0) t + Falls φ(0) = +, dann φ [ 1] = φ 1. 50

4 Theorem 23 Sei φ:[0, 1] [0, + ] stetig, streng monoton fallend in [0,1], sodass φ(1) = 0, und sei φ [ 1] die pseudo-inverse Funktion von φ. Sei C:[0,1] 2 [0,1], sodass C(u 1,u 2 ) = φ [ 1] (φ(u 1 )+φ(u 2 )). C ist eine Copula dann und nur dann wenn φ convex ist. Copula dieser Form heißen Archimedische Copulas. φ heißt Generator von C. Falls φ(0) = +, dann φ [ 1] = φ 1 und C(u 1,u 2 ) = φ 1 (φ(u 1 )+φ(u 2 )). Beweis: Siehe Nelsen Beispiel 16 Gumbel Copulas Sei φ(t) = ( lnt) θ, θ 1, t [0,1]. ) Cθ Gu (u 1,u 2 ) = exp ( [( lnu 1 ) θ +( lnu 2 ) θ ] 1/θ Copula mit Parameter θ. Für θ = 1: C1 Gu = u 1 u 2. lim θ Cθ Gu = M(u 1,u 2 ) = min{u 1,u 2 }. Die Gumbel Copulas haben eine obere Tail Abhängigkeit. Beispiel 17 Clayton Copulas Sei φ(t) = (t θ 1)/θ, θ > 0. ist die Gumbel C Cl θ (u 1,u 2 ) = ( u θ 1 +u θ 2 1) 1/θ ist die Clayton Copula mit Parameter θ. lim θ 0 C Cl θ = u 1 u 2 und lim θ C Cl θ = M = min{u 1,u 2 }. Die Clayton Copulas haben eine untere Tail Abhängigkeit 51

5 Beispiel 18 φ(t) = 1 t, t [0,1]. φ [ 1] (t) = max{1 t,0}. C φ (u 1,u 2 ) = max{u 1 +u 2 1,0} = W(u 1,u 2 ). D.h. die untere Fréchet Schranke ist eine Archimedische Copula. Theorem 24 Sei (X 1,X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungen und einer Archimedischen Copula C generiert von φ. Dann gilt ρ τ (X 1,X 2 ) = Beweis: Siehe Nelsen φ(t) φ (t) dt. Beispiel 19 Kendalls Tau für Gumbel und Clayton Copulas Gumbel Copulas: φ(t) = (lnt) θ, θ 1. ρ τ (θ) = φ(t) 0 φ (t) dt = 1 1 θ. Clayton Copulas: φ(t) = (t θ 1)/θ, θ > 0. ρ τ (θ) = φ(t) 0 φ (t) dt = θ θ+2. 52

6 Multivariate Archimedische Copulas Definition 23 Eine Funktion g:[0, ) [0, ) heißt vollständig monoton wenn alle höheren Ableitungen von g existieren und folgende Ungleichungen gelten für k = 0,1,2,...: ( 1) k ( d k ds kg(s)) s=t 0, t (0, ) Theorem 25 (Kimberling 1974) Sei φ:[0,1] [0, ] eine stetige und streng monoton fallende Funktion, sodass φ(0) = und φ(1) = 0. Die Funktion C:[0,1] d [0,1], C(u) = φ 1 (φ(u 1 )+φ(u 2 )+...+φ(u d )) ist eine Copula für d 2 dann und nur dann wenn φ 1 vollständig monoton in [0, ) ist. Lemma 6 Eine Funktion ψ:[0, ) [0, ) ist die Laplace-Stieltjes Transformation einer Verteilungsfunktion G in [0, ) (ψ(s) = 0 e sx dg(x), s 0) dann und nur dann, wenn ψ vollständig monoton und ψ(0) = 1 gilt. 53

7 Theorem 26 Sei G eine Verteilungsfunktion in [0, ), sodass G(0) = 0 und sei ψ die Laplace-Stieltjes Transformation von G ψ(s) = 0 e sx dg(x), für s 0. Sei X eine ZV mit Verteilungsfunktion G und seien U 1,U 2,...,U d bedingt unabhängige Zufallsvariablen in [0, 1] für ein gegebenes X = x mit folgender bedingter Verteilungsfunktion: Es gilt dann F Uk X=x(u) = exp( xψ 1 (u)) für u [0,1]. P(U 1 u 1,U 2 u 2,...,U d u d ) = ψ(ψ 1 (u 1 )+ψ 1 (u 2 )+...+ψ 1 (u d )). und die Verteilungsfunktion von U = (U 1,U 2,...,U d ) ist eine Archimedische Copula mit Generator ψ 1. Vorteile und Nachteile Archimedischer Copulas: Modellierung einer breiteren Klasse von Abhängigkeitsstrukturen Darstellung in geschloßener Form möglich Wenige freie Parameter vorhanden Technische Voraussetzungen für die Generator-Funktionen multivariater Archimedische Copulas. 54

8 Simulation von Gauss schen Copulas und t-copulas Sei R IR d d eine symmetrische positiv definite Matrix. Sei AA T = R die Cholesky Zerlegung von R (A IR d d ). Falls Z 1,Z 2,...,Z d N(0,1) unabhängig dann gilt µ+az N d (µ,r). Algorithmus 1 zur Erzeugung eines Zufallsvektors U = (U 1,U 2,...,U d ) dessen Verteilungsfunktion die Copula C Ga R ist. Berechne die Cholesly Zerlegung A von R: R = AA T. Simuliere d unabhängige standard normal verteilte ZV Z 1,Z 2,...,Z d N(0,1) Setze X = AZ Setze U k = φ(x k ) für k = 1,2,...,d, wobei φ die Verteilungsfunktion der standard Normalverteilung ist. U = (U 1,U 2,...,U d ) hat Verteilungsfunktion C Ga R. 55

9 Algorithmus 2 zur Erzeugung eines Zufallsvektors U = (U 1,U 2,...,U d ) dessen Verteilungsfunktion die Copula C t ν,r ist. Berechne die Cholesly Zerlegung A von R: R = AA T. Simuliere d unabhängige standard normal verteilte ZV Z 1,Z 2,...,Z d N(0,1) Simuliere eine ZV S χ 2 ν unabhängig von Z 1,...,Z d. Setze Y = AZ Setze X = ν S Y Setze U k = t ν (X k ) für k = 1,2,...,d, wobei t ν die Verteilungsfunktion einer standard t-verteilung mit ν Freiheitsgraden ist. U = (U 1,U 2,...,U d ) hat Verteilungsfunktion C t ν,r. 56

10 Simulationen der Gumbel und Clayton Copulas Aus Satz 26 lässt sich ein generischer Algorithmus zur Erzeugung archimedischer Copulas konstruieren. Algorithmus 3 zur Erzeugung eines Zufallsvektors U = (U 1,U 2,...,U d ) dessen Verteilungsfunktion die Archimedische Copula C(u) = φ 1 (φ(u 1 )+φ(u 2 )+...+φ(u d )) mit Generator φ ist. Simuliere eine Variable X mit Verteilungsfunktion G, sodass die Laplace-Stieltjes Transformation ψ von G die inverse Funktion des Generators der gesuchten Copula ist, ψ = φ 1. Simuliere unabhängige gleichverteilte Zufallsvariablen V 1,V 2,..., V d in [0,1]. Setze U = (ψ( ln(v 1 )/X),ψ( ln(v 2 )/X),...,ψ( ln(v d )/X)). U hat Verteilungsfunktion C(u). Der Generator φ(t) = (t θ 1)/θ, θ > 0 erzeugt die Clayton Copula C Cl θ. Aber auch φ(t) = t θ 1 ist ein Generator der Clayton Copula. Für X Gamma(1/θ,1) d.h. f X (x) = x 1/θ 1 e x /Γ(1/θ) gilt: E(e sx ) = 0 e sx 1 Γ(1/θ) x1/θ 1 e x dx = (s+1) 1/θ = φ 1 (s). 57

11 Algorithmus 4 zur Erzeugung eines Zufallsvektors U = (U 1,U 2,...,U d ) dessen Verteilungsfunktion die Clayton Copula C Cl θ ist. Simuliere X Gamma(1/θ,1). Simuliere unabhängige gleichverteilte Zufallsvariablen V 1,V 2,..., V d in [0,1]. die Verteilungsfunktion des Vektors U = (ψ( ln(v 1 )/X),ψ( ln(v 2 )/X),...,ψ( ln(v d )/X)) ist die Clayton Copula C Cl θ. Die Simulation von Gumbel Copulas C Gu θ : Sei X eine positive stabile ZV, X St(1/θ,1,γ,0) mit γ = (cos(π/(2θ))) θ, θ > 1. Die Laplace-Stieltjes Transformation von F X ist φ(t) = exp( t 1/θ ). Simulation von Z ST(α,β,1,0): siehe Nolan Für γ 1 gilt: X = δ +γz St(α,β,γ,δ). 58

12 Alternativer Ansatz: Sei θ 1 und F(x) = 1 F(x) = exp( x 1/θ ) für x 0. Sei V U(0,1). Sei S eine von V unabhängige ZV. mit Dichtefunktion h(s) = (1 1/θ +s/θ)exp( s) Sei (Z 1,Z 2 ) T = (VS θ,(1 V)S θ ). Die Verteilungsfunktion von ( F(Z 1 ), F(Z 2 )) T ist C Gu Überzeugen Sie sich (Hausübung)! Algorithmus 5 zur Erzeugung eines Zufallsvektors U = (U 1,U 2,...,U d ) dessen Verteilungsfunktion die Gumbel Copula ist. C Cu θ θ. Simuliere zwei unabhängige ZV. V 1,V 2 U(0,1). Simuliere zwei unabhängige ZV. W 1 Γ(1,1), W 2 Γ(2,1) Setze S = I V2 1/θW 1 +I V2 >1/θW 2. Setze (Z 1,Z 2 ) = (V 1 S θ,(1 V 1 )S θ ). Die Verteilungsfunktion von U = C Gu θ. ( exp( Z 1/θ 1 ),exp( Z1/θ 2 ) ) T ist 59

13 Schätzung von Copulas Gegeben sei ein Satz multi-dimensionaler Daten. Gesucht ist eine Copula und die Randverteilungen die diesem Datensatz am besten entsprechen. 1. Frage: Welche Familie von (bekannten) Copulas eignet sich am besten? Antwort: Visueller Vergleich der graphischen Darstellungen von Daten bzw. bekannten Copulas, Berechnung der empirischen Koeffizienten der Tail-Abhängigkeit und Auswahl von dazu passenden Copula Familien. 2. Frage: Schätzung der Parameter einer vorspezifizierten Copula Familie. Gegeben: Eine Stichprobe {X 1,X 2,...,X n } aus eine Gesamtverteilung F mit stetigen Randverteilungen F 1, F 2,..., F d. Gesucht: Ein Schätzer ˆθ des Parameter-Vektors θ der eindeutigen Copula C θ, für die F(x) = C(F 1 (x 1 ),...,F d (x d )) gilt. 60

14 Die Schätzer ˆθ für CR Ga, Ct ν,r, CCl θ und Cθ Gu C Ga R = φd R (φ 1 (u 1 ),...,φ 1 (u d )) R ij = sin(π(ρ τ ) ij /2) C t ν,r = td ν,r (t 1 ν (u 1 ),...,t 1 ν (u d )) R ij = sin(π(ρ τ ) ij /2) C Gu θ (u) = exp ( [( lnu 1 ) θ +...+( lnu θ d ]1/θ) θ = 1/(1 (ρ τ ) ij ) Cθ Cl (u) = (u θ u θ d d+1) 1/θ θ = 2(ρ τ ) ij /(1 (ρ τ ) ij ) wobei, (ρ τ ) ij = ρ τ (X k,i,x k,j ) = P((X k,i X l,i )(X k,j X l,j ) > 0) P((X k,i X l,i )(X k,j X l,j ) < 0) = E(sign((X k,i X l,i )(X k,j X l,j ))). Standard Schätzer für Kendalls Tau: ( n 1 ρ τ ij = sign((x k,i X l,i )(X k,j X l,j )). 2) 1 k<l n 61

15 Schätzung von Gauss schen Copulas und t-copulas Es kann passieren, dass ˆR = (ˆR ij ) nicht positive definit ist, wobei ˆR ij = sin(π ρ τ ij/2). ˆR wird durch eine Korrelationsmatrix R ersetzt, wobei R unweit von ˆR liegt. Algorithmus 6 (Eigenwert-Ansatz, siehe Rousseeuw und Molenberghs 1993) Berechne die Spektralzerlegung ˆR = ΓΛΓ T von ˆR, wobei Λ eine Diagonalmatrix ist, die die Eigenwerte von ˆR enthält, und Γ eine orthogonale Matrix deren Spalten den Eigenvektoren von ˆR entsprechen. Ersetze die negativen Eigenwerte in λ durch eine kleine Zahl δ > 0 um Λ zu erhalten. Berechne R = Γ ΛΓ T. R ist symmetrisch und positive definit aber nicht unbedingt eine Korrelationsmatrix, weil die Diagonal- Elemente ˆR ii ungleich 1 sein könnten. Setze ˆR = D RD wobei D eine diagonale Matrix mit D k,k = 1/ R k,k ist. 62

16 t-copulas: Schätzung des Parameters ν der Freiheitsgrade 1. Schätzung der univariaten Randverteilungsfunktionen F 1, F 2,..., F d. Seien ˆF 1,..., ˆF d die dazugehörigen Schätzer. 2. Bildung einer Pseudo-Stichprobe der Copula: Û k = (Û k,1,û k,2,...,û k,d ) := (ˆF 1 (X k,1 ),..., ˆF d (X k,d )), für k = 1,2,...,n (siehe Genest und Rivest 1993). ˆF k kann folgendermaßen erzeugt werden: Parametrische Schätzung: ˆF k ist eine parametrische Verteilungsfunktion wobei der Parameter zb. mit einem Maximum Likelihood (ML) Ansatz geschätzt wird. Nicht Parametrische Schätzung: ˆF i ist die empirische Verteilungsfunktion ˆF i (x) = 1 n+1 n t=1 I X t,i x, 1 i d. 63

17 ML-Schätzung von ν: ν = argmax ξ lnl(ξ;û 1,Û 2,...,Û n ) wobei L(ξ;Û 1,Û 2,...,Û n ) = Π n k=1 ct ξ,r (Û k ) und c t ξ,r die Dichte der t-copula Ct ξ,r ist. Daraus folgt lnl(ξ;û 1,Û 2,...,Û n ) = n k=1 lng ξ,r (t 1 ξ (Û k,1 ),...,t 1 ξ (Û k,d )) wobei g ξ,r die Gesamtdichte einer standard d-dimensionalen t-verteilung mit Verteilungsfunktion t d ξ,r ist, und g ξ die Dichte einer univariaten standard t-verteilung mit ξ Freiheitsgraden ist. n d k=1j=1 lng ξ (t 1 ξ (Û k,j )), 64