Abhängigkeiten zwischen Großschäden
|
|
- Dagmar Melsbach
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Abhängigkeiten zwischen Großschäden Holger Drees, Universität Hamburg I. Typen von Abhängigkeiten II. Modelle für abhängige Großschäden III. Fallstudie: Dänische Feuerversicherung
2 I. Typen von Abhängigkeiten Grundsätzlich unterschiedlich zu behandeln sind räumliche (oder zeitliche) Abhängigkeiten zwischen gleichartigen Risiken Bsp.: Bei Versicherungsrisiken Versicherung gegen Überschwemmung von Gebäuden entlang eines Flusses Versicherung von Sturmschäden an Gebäuden in gleicher Region Bei Finanzrisiken Verluste eines Investments in aufeinander folgenden Perioden
3 Abhängigkeiten zwischen verschiedenartigen, aber zusammenhängenden Risiken Bsp.: Bei Versicherungsrisiken (meist bei gleichem Versicherungsnehmer) Feuerversicherung für Wohngebäude und Hausratversicherung Industriefeuer- und Betriebsunterbrechungsversicherung Kranken- und Berufsunfähigkeitsversicherung Bei Finanzrisiken Verluste unterschiedlicher Investments in der gleichen Periode
4 Räumliche Abhängigkeiten zwischen gleichartigen Risiken Anwendungsmöglichkeiten mathematisch-statistischer Verfahren: bei Versicherungsrisiken: allgemeine black box -Modelle wenig erfolgversprechend statistische Verfahren zur Modellanpassung in Verbindung mit Expertenwissen zu physikalischen Wirkmechanismen (z.b. meteorologischen, hydrologischen oder geophysikalischen Modellen); stets fallbezogen bei Finanzrisiken: black box -Modelle Standard bei Beschreibung von Finanzmärkten (z.b. GARCH-Modelle für Renditezeitreihen) Statistik unerläßlich für Risikomanagement Expertenwissen i.d.r. nur für Langfristtrends (Fundamentalanalyse) physikalische Beschreibung von Finanz-
5 Daher hier nur Demonstration möglicher Auswirkungen von Abhängigkeiten auf Rückversicherungen X 1,..., X n Schadenshöhen im Jahr ( n ) + Stop Loss: SL = X i R i=1 Excess of Loss: XL = n (X i r) + i=1 Bei vorgegebener Randverteilung von X 1,..., X n hängt Erwartunsgwert von SL von Abhängigkeiten zwischen X 1,..., X n ab Erwartunsgwert von XL nicht von Abhängigkeiten zwischen X 1,..., X n ab, sehr wohl aber die Verteilung von XL Simulationsbeispiel: X i, 1 i n = 1000, standardexponentialverteilt, d.h. P {X i > x} = e x (i) X 1,..., X n unabhängig (ii) X j,..., X j+5 abhängig,
6 1 Empirical CDF F(x) x Verteilungsfunktion von n i=1 X i für Modell mit unabhängigen (gestrichelt) und abhängigen Schäden (durchgezogen) Bei Selbstbehalt R = 1100 muß Rückversicherung bei Unabhängigkeit in ca. 0, 1% der Fälle, bei Abhängigkeit in ca. 9% der Fälle Leistung erbringen. Die Nettorisikoprämie beträgt etwa 1,1 (Unabh.) bzw. 105,4 (Abh.)
7 F(x) x Verteilungsfunktion von XL mit r = 8 für Modell mit unabhängigen (gestrichelt) und abhängigen Schäden (durchgezogen) Rückversicherung muß bei Unabhängigkeit in etwa 28, 6% der Fälle, bei Abhängigkeit in ca. 21, 0% der Fälle Leistung erbringen. (Standardabweichung von XL)/E(XL)= 2,4 bei unabhängigen und 3,6 bei abhängigen Schadenshöhen
8 Abhängigkeiten zwischen verschiedenartigen Risiken Anwendungsmöglichkeiten mathematisch-statistischer Verfahren: Allgemeine black box -Modelle für Großschäden anwendbar ( II.) Bei Finanzrisiken von eingeschränktem Nutzen, da statistische Methoden nur für niedrigdimensionale Daten zuverlässig arbeiten ( curse of dimensionality ); außerdem sind hier Modellannahmen oft unrealistisch Expertenwissen kann ergänzend eingesetzt werden
9 II. Modelle für abhängige Großschäden Im folgenden Schadenshöhen von 2 Versicherungstypen (X i, Y i ), 1 i n, für n unabhängige, identisch verteilte Risiken Modellierung in 2 Schritten
10 Für F analoge Modellannahme. 1. Schritt: Modelliere Randverteilungen! Modelliere getrennt Verteilungsfunktion F 1 von X i und Verteilungsfunktion F 2 von Y i. Evtl. nur für große Schäden X i, Y i ; dann oft Tails der Vf. näherungsweise wie bei Pareto-Vf.: 1 F 1 (x) = P {X > x} c 1 x α 1 für großes x. Motivation: Notwendig dafür, daß Vf. von Großschäden oberhalb von Schranke u sich stabilisiert im Sinne von P ( X u > t X > u ) u H(t). Dann H(t) = t α 1, t 1, also P {X > ut} P {X > u}t α 1 = P {X > x} (P {X > u}u α 1 )x α 1 für hinreichend großes u, x.
11 2. Schritt: Modelliere Abhängigkeiten! Standardisiere zunächst die Schäden: X i := F 1 (X i ) Ỹ i := F 2 (Y i ) X i, Ỹi jeweils gleichverteilt auf [0, 1] (falls F 1, F 2 stetig). Erst Standardisierung der Randverteilungen ermöglicht Analyse der Abhängigkeiten!
12 6 5 4 y x y x
13 Copula C(s, t) = P { X s, Ỹ t}, s, t [0, 1]. Hier nur Großschäden von Interesse; daher betrachte P { X > 1 x, Ỹ > 1 y} = 1 P { X 1 x} P {Ỹ 1 y} +P { X 1 x, Ỹ 1 y} = x + y + C(1 x, 1 y) 1. Modellannahme: P { X > 1 tx, Ỹ > 1 ty} c(x, y)t1/η für t 0 für ein η (0, 1] Motivation ähnlich wie für Pareto-Vf. für univariate Großschäden: Nur so kann sich Abhängigkeitsstruktur bei extremen Schäden stabilisieren.
14 W., daß Schadensvektor in kleinem Rechteck liegt = t 1/η W., daß Schadensvektor in großem Rechteck liegt
15 Zur Interpretation des sog. Parameters der Tail-Abhängigkeit η P (Ỹ > 1 t X > 1 t) = P { X > 1 t, Ỹ > 1 t} P { X > 1 t} = 1 t P { X > 1 t, Ỹ > 1 t} t 1/η 1 c(1, 1) { c(1, 1), η = 1, 0, 0 < η < 1, für t 0. η = 1: asymptotische Abhängigkeit der Großschäden η < 1: asymptotische Unabhängigkeit der Großschäden Im Fall exakter Unabhängigkeit von X und Y : P { X > 1 t, Ỹ > 1 t} = P { X > 1 t} P {Ỹ > 1 t} = t2, d.h. η = 1/2 1/2 < η < 1: positive Abh. 0 < η < 1/2: negative Abh. zwischen Großschäden von X und Y, die sich mit steigender Größe immer weniger bemerkbar macht.
16 Zusammenhang des Abhängigkeitsmodells mit Pareto-Modell Betrachte Dann T := min ( 1 1 X, 1 1 Ỹ P {T > t} = { 1 P 1 X > t, 1 } 1 Ỹ > t = { 1 P X > 1 t, Ỹ > 1 1 } t c(1, 1)t 1/η, d.h. Tails von T sind näherungsweise Pareto-verteilt. )
17 Auswirkung auf XL-Rückvers. für Gesamtschaden XL = n (X i + Y i r) + i=1 Simulation mit Gauß-Copula und Pareto-Randverteilungen (α = 2, 5), n = 1000 Nettorisikoprämie E(XL) ρ η r = 5 r = 10 1/3 1/ / /3 2/ /3 5/ Vf. von XL für r = 5 mit η = 0, 5 (gepunktet), η = 0, 667 (gestrichelt) und η = 0, 833 (durchgezogen)
18 Modellanpassung 1. Schritt: Passe (semi-)parametrische Modelle an (Großschäden unter) X i bzw. Y i an! z.b. Pareto-Modell 1 F 1 (x) = c 1 x α 1 für x > x 1. Geschätzte Vf. mit Schätzern 1 ˆF 1 (x) = ĉ 1 x ˆα 1, x > X n k:n, ˆα 1 = ( 1 k k i=1 log X n i+1:n X n k:n ) 1 Hill-Schätzer wobei ĉ 1 = k n X ˆα 1 n k:n, X n:n X n 1:n X n k:n die k + 1 größten Schäden sind. Def. ˆF2 analog.
19 2. Schritt: Standardisiere X i und Y i! 2 mögliche Methoden: mit den im 1. Schritt geschätzten Vfen.: X i := ˆF 1 (X i ) Ỹ i := ˆF 2 (Y i ) nichtparametrisch: X i := 1 n (Rang von X i unter X 1,..., X n ) Ỹ i := 1 n (Rang von Y i unter Y 1,..., Y n ) Schätze η z.b. durch den Hill-Schätzer für ( 1 T i = min 1 X, i 1 1 Ỹi ) : ˆη = 1 k k i=1 log T n i+1:n T n k:n
20 Schätzer für Wahrsch. extremer Großschäden oder für große x, y. P {X > x, Y > y} P {X > x oder Y > y} P {X > x, Y > y} = P { X > F 1 (x), Ỹ > F 2(y)} { t 1/η 1 F 1 (x) P X > 1 t, Ỹ > 1 1 F 2(y) t }, (1) was zu schätzen ist durch t 1/ˆη 1 { n i Xi > 1 1 ˆF 1 (x) t, Ỹi > 1 1 ˆF 2 (y) }, t wobei t hinr. klein, daß { i Xi > 1 1 ˆF 1 (x) t groß, Ỹi > 1 1 ˆF 2 } (y) t hinr. groß, damit Approximation (1) genau ist
21 Andere Wahrscheinlichkeiten können auf obige zurück geführt werden: P {X > x oder Y > y} = 1 F 1 (x) + 1 F 2 (x) P {X > x, Y > y} Ähnlich schätzbar z.b. XL-Nettorisikoprämie für Summe, d.h. E ( (X + Y r) +)
22 III. Fallstudie: Dänische Feuerversicherung Daten: Schadenshöhen in Mio. DKR bei Dänischen Industriefeuerversicherungen, X i : Y i : building content (Z i : profits ) inflationsbereinigt auf das Jahr 1985 nur erfaßt, wenn Gesamtschaden X i + Y i + Z i mindestens 1 Mio. DKR insgesamt 2167 Schäden Problem: Schäden aus Einzelversicherung nur sicher erfaßt, wenn 1 Mio. DKR Daher betrachten wir hier nur Paare (X i, Y i ), wenn beide Schäden X i, Y i oberhalb von 1 Mio. DKR insgesamt n = 301 geschätzte Wahrsch. bzgl. bedingter Verteilung gegeben, daß beide Schäden wenigstens 1 Mio. DKR
23 1. Schritt: Schätze die Randverteilungsfktnen! Gute Anpassung der Tails durch Pareto-Verteilungen mit Lokationsparameter: ˆF 1 (x) = 1 26, 96 (x + 3) 2,33, x > 1, 96, ˆF 2 (y) = 1 10, 24 (y + 3) 1,75, y > 1, 46. ˆα 2 1, 75 = V ar(y i ) =! Modellcheck: 1 F 1 (x) = c 1 (x + µ) α 1 F 1 1 (1 t) + µ = ( t c 1 ) 1/α1 log ( F 1 1 (1 t) + µ ) = log c 1 α 1 1 α 1 log t, Für t = (j + 1/2)/n: F 1 1 (1 t) F 1 n,1(1 t) = X n j:n Daher sollten Punkte ( log j + 1/2 ), log(x n j:n + µ) n für µ = 3 näherungsweise auf einer Geraden liegen, falls Modell korrekt ist (Quantil-Quantil-Plot). Dabei werden nur j mit X n j:n > 1, 96 betrachtet.
24 QQ-Plots für building (oben) und content (unten)
25 Hill- (durchgezogen), Momenten- (gestrichelt) und ML- Schätzer (gepunktet) für 1/α 1 ( building ) als Funktion von k mit (oben) bzw. ohne Shift (unten) der Schäden
26 Hill- (durchgezogen), Momenten- (gestrichelt) und ML- Schätzer (gepunktet) für 1/α 2 ( content ) als Funktion von k mit (oben) bzw. ohne Shift (unten) der Schäden
27 2. Schritt: Standardisiere Schadenshöhen! X i := ˆF 1 (X i ) Ỹ i := ˆF 2 (Y i ) Schadenshöhen standardisiert mit Pareto-Vfen. (oben) bzw.
28 3. Schritt: Überprüfe Modell für Abhängigkeit! Für ein η (0, 1] P { X > 1 tx, Ỹ > 1 ty} c(x, y)t1/η für t 0 log P { X > 1 sx 0, Ỹ > 1 sy 0} P { X > 1 x 0, Ỹ > 1 y 0} 1 η log s für hinr. kleine x 0, y 0 und alle s (0, 1] Wähle s so, daß ( X i, Ỹi) existieren mit X i > 1 sx 0, Ỹ i > 1 sy 0 und schätze P { X > 1 sx 0, Ỹ > 1 sy 0} durch empirische Häufigkeit Punkte ( 1 n {i Xi > 1 sx 0, Ỹi > 1 sy 0 } log s, log {i Xi > 1 sx 0, Ỹi > 1 sy 0 } ) {i Xi > 1 x 0, Ỹi > 1 y 0 } sollten auf einer Geraden durch Ursprung liegen, deren Steigung 1/η nicht von (x 0, y 0 ) abhängt.
29 Modellcheck mit (x 0, y 0 ) = (2/3, 2/3) (oben), (x 0, y 0 ) = (2/3, 1/3) (mitte) bzw. (x 0, y 0 ) = (1/3, 2/3) (unten)
30 Vergleich der 3 Plots
31 4. Schritt: Schätze η! Hill-Schätzer beruhend auf ( 1 1 ) T i = min 1 X, i 1 Ỹi d.h. ˆη = 1 k k i=1 log T n i+1:n T n k:n Hill-Schätzer als Funktion von k k = 125 = ˆη = 0, 66 Die Großschäden der Komponenten building und content sind also asymptotisch unabhängig, aber mäßige
32 Quantil-Quantil-Plot für T i
33 5. Schritt: Schätze Wahrsch. für Großschäden Z.B. P {X > 10, Y > 10} geschätzt durch t 1/ˆη 1 { n i X i > 1 1 ˆF 1 (10) t, Ỹi > 1 1 ˆF 2 (10) }, t für geeignetes t > 0. Wähle z.b. t = t k so, daß { i Xi > 1 1 ˆF 1 (10), t Ỹi > 1 1 ˆF 2 (10) } k t k und plotte als Funktion von k: t 1/ˆη k k n = k k = 100 = P {X > 10, Y > 10} 0, 022 Zum Vergleich: In 4 von 301 beobachteten Fällen sind beide Komponenten größer als 10,
34 Fazit Selbst schwache Abhängigkeiten können erheblichen Einfluß auf Rückversicherungen haben! Modelle für Struktur der Abhängigkeit zwischen Großschäden und Methoden zur Modellanpassung und zum Modellcheck stehen zur Verfügung Neues Forschungsgebiet; daher viele offene Probleme
35 Logarithmierte Schadenshöhen für building (oben) und content (unten)
Güte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über
Güte von s Grundlegendes zum Konzept der Güte Ableitung der Gütefunktion des Gauss im Einstichprobenproblem Grafische Darstellung der Gütefunktionen des Gauss im Einstichprobenproblem Ableitung der Gütefunktion
MehrBONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN
Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik, Institut für Mathematische Stochastik BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN Klaus D. Schmidt Ringvorlesung TU Dresden Fakultät MN,
MehrDie Optimalität von Randomisationstests
Die Optimalität von Randomisationstests Diplomarbeit Elena Regourd Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Düsseldorf im Dezember 2001 Betreuung: Prof. Dr. A. Janssen Inhaltsverzeichnis
Mehr4. Versicherungsangebot
4. Versicherungsangebot Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Versicherungsökonomie (FS 11) Versicherungsangebot 1 / 13 1. Einleitung 1.1 Hintergrund In einem grossen Teil
MehrKorrelation (II) Korrelation und Kausalität
Korrelation (II) Korrelation und Kausalität Situation: Seien X, Y zwei metrisch skalierte Merkmale mit Ausprägungen (x 1, x 2,..., x n ) bzw. (y 1, y 2,..., y n ). D.h. für jede i = 1, 2,..., n bezeichnen
MehrW-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) Mathematikgebäude Raum 715 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) W-Rechnung und Statistik
MehrStatistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1
Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen
Mehr13.5 Der zentrale Grenzwertsatz
13.5 Der zentrale Grenzwertsatz Satz 56 (Der Zentrale Grenzwertsatz Es seien X 1,...,X n (n N unabhängige, identisch verteilte zufällige Variablen mit µ := EX i ; σ 2 := VarX i. Wir definieren für alle
MehrB 2. " Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Leiterplatte akzeptiert wird, 0,93 beträgt. (genauerer Wert: 0,933).!:!!
Das folgende System besteht aus 4 Schraubenfedern. Die Federn A ; B funktionieren unabhängig von einander. Die Ausfallzeit T (in Monaten) der Federn sei eine weibullverteilte Zufallsvariable mit den folgenden
MehrMelanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1
7. Hypothesentests Ausgangssituation: Man muss sich zwischen 2 Möglichkeiten (=Hypothesen) entscheiden. Diese Entscheidung soll mit Hilfe von Beobachtungen ( Stichprobe ) getroffen werden. Die Hypothesen
MehrLineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der
MehrFestigkeit von FDM-3D-Druckteilen
Festigkeit von FDM-3D-Druckteilen Häufig werden bei 3D-Druck-Filamenten die Kunststoff-Festigkeit und physikalischen Eigenschaften diskutiert ohne die Einflüsse der Geometrie und der Verschweißung der
MehrEinfache Varianzanalyse für abhängige
Einfache Varianzanalyse für abhängige Stichproben Wie beim t-test gibt es auch bei der VA eine Alternative für abhängige Stichproben. Anmerkung: Was man unter abhängigen Stichproben versteht und wie diese
MehrForschungsstatistik I
Prof. Dr. G. Meinhardt. Stock, Nordflügel R. 0-49 (Persike) R. 0- (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatistik I Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de WS 008/009 Fachbereich
MehrLineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3
Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen
MehrMathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen
Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen
MehrWichtiges Thema: Ihre private Rente und der viel zu wenig beachtete - Rentenfaktor
Wichtiges Thema: Ihre private Rente und der viel zu wenig beachtete - Rentenfaktor Ihre private Gesamtrente setzt sich zusammen aus der garantierten Rente und der Rente, die sich aus den über die Garantieverzinsung
MehrGrundlagen der Videotechnik. Redundanz
Grundlagen der Videotechnik Redundanz Redundanz beruht auf: - statistischen Abhängigkeiten im Signal, - Information, die vorher schon gesendet wurde - generell eine Art Gedächtnis im Signal Beispiel: Ein
MehrAGROPLUS Buchhaltung. Daten-Server und Sicherheitskopie. Version vom 21.10.2013b
AGROPLUS Buchhaltung Daten-Server und Sicherheitskopie Version vom 21.10.2013b 3a) Der Daten-Server Modus und der Tresor Der Daten-Server ist eine Betriebsart welche dem Nutzer eine grosse Flexibilität
MehrL10N-Manager 3. Netzwerktreffen der Hochschulübersetzer/i nnen Mannheim 10. Mai 2016
L10N-Manager 3. Netzwerktreffen der Hochschulübersetzer/i nnen Mannheim 10. Mai 2016 Referentin: Dr. Kelly Neudorfer Universität Hohenheim Was wir jetzt besprechen werden ist eine Frage, mit denen viele
MehrBericht zur Prüfung im Oktober 2003 über Mathematik der Lebensversicherung (Grundwissen)
Bericht zur Prüfung im Oktober 2003 über Mathematik der Lebensversicherung Grundwissen) Jürgen Strobel Köln) und Hans-Jochen Bartels Mannheim) Am 04.10.2003 wurde in Köln die zehnte Prüfung über Mathematik
MehrVor Ausspruch einer Kündigung wegen vertragswidrigen Verhaltens (sog. verhaltensbedingte Kündigung)
5.24. Abmahnung 5.24.1. Wann ist eine Abmahnung erforderlich? Vor Ausspruch einer Kündigung wegen vertragswidrigen Verhaltens (sog. verhaltensbedingte Kündigung) z.b. wegen unentschuldigten Fehlens in
MehrIm Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b
Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und
MehrHochwasser und Starkregen. Risikovorsorge Gut versichert!
Risikovorsorge Gut versichert! Folie 1 Folie 2 Folie 3 Elementargefahren Erdbeben, Erdsenkung Sturm/Hagel Überschwemmung, Rückstau Erdrutsch Schneedruck, Lawinen Vulkanausbruch Folie 4 Folie 5 Überschwemmung
MehrDie reellen Lösungen der kubischen Gleichung
Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................
MehrWelche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?
Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt
MehrInformationsblatt Induktionsbeweis
Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHISCHE UIVERSITÄT MÜCHE Zentrum Mathematik PRF. R.R. JÜRGE RICHTER-GEBERT, VAESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHFER Höhere Mathematik für Informatiker I (Wintersemester 003/004) Aufgabenblatt 1 (4. ktober 003)
MehrErläuterungen: GEO - Lastverteilung
Erläuterungen: GEO - Lastverteilung FRILO Software GmbH www.frilo.de info@frilo.eu Stand: 27.10.2015 Zusätzliche Erläuterungen zur Lastverteilung im Programm GEO - Gebäudemodell Auswirkung der Option Last
MehrWürfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.
040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl
MehrAufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:
Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an
MehrEinmal und nicht wieder!
Einmal und nicht wieder! Arbeitnehmer rechtssicher abmahnen Rechtsanwältin Dr. Sandra Kreft Definition der Abmahnung Eine Abmahnung liegt vor, wenn der AG für den AN erkennbar (Dokumentationsfunktion)
MehrCCI Swing Strategie. Cut your losers short and let your winners run
CCI Swing Strategie Cut your losers short and let your winners run Charts: - H4 - Daily Indikatoren: - Simple Moving Average (200) - Commodity Channel Index CCI (20 Period) - Fractals Strategie: 1. Identifizieren
MehrBewertung des Blattes
Bewertung des Blattes Es besteht immer die Schwierigkeit, sein Blatt richtig einzuschätzen. Im folgenden werden einige Anhaltspunkte gegeben. Man unterscheidet: Figurenpunkte Verteilungspunkte Längenpunkte
MehrÜbungsaufgaben Tilgungsrechnung
1 Zusatzmaterialien zu Finanz- und Wirtschaftsmathematik im Unterricht, Band 1 Übungsaufgaben Tilgungsrechnung Überarbeitungsstand: 1.März 2016 Die grundlegenden Ideen der folgenden Aufgaben beruhen auf
MehrWas ist das Budget für Arbeit?
1 Was ist das Budget für Arbeit? Das Budget für Arbeit ist ein Persönliches Geld für Arbeit wenn Sie arbeiten möchten aber nicht mehr in einer Werkstatt. Das gibt es bisher nur in Nieder-Sachsen. Und in
MehrSchleswig-Holstein 2011. Kernfach Mathematik
Aufgabe 6: Stochastik Vorbemerkung: Führen Sie stets geeignete Zufallsvariablen und Namen für Ereignisse ein. Machen Sie auch Angaben über die Verteilung der jeweiligen Zufallsvariablen. Eine repräsentative
MehrDie Bedeutung der Kinder für ihre alkoholabhängigen Mütter
anlässlich des 25. Kongresses des Fachverbandes Sucht e.v. Meilensteine der Suchtbehandlung Jana Fritz & Irmgard Vogt Institut für Suchtforschung FH FFM Forschungsprojekte des Instituts für Suchtforschung
MehrDas Vermögen der privaten Haushalte in Nordrhein-Westfalen ein Überblick auf der Basis der Einkommens- und Verbrauchsstichprobe
Sozialberichterstattung NRW. Kurzanalyse 02/2010 09.07.2010 12.07.2010 Das Vermögen der privaten Haushalte in Nordrhein-Westfalen ein Überblick auf der Basis der Einkommens- und Verbrauchsstichprobe 2008
MehrDokumentation zum Projekt Multimediale Lehre Fluidmechanik an der Technischen Universität Graz
Dokumentation zum Projekt Multimediale Lehre Fluidmechanik an der Technischen Universität Graz Andreas Aigner email: andreasa@sbox.tu-graz.ac.at. Januar 00 Inhaltsverzeichnis Theorie. Stromfunktion...........................
MehrErfahrungen mit Hartz IV- Empfängern
Erfahrungen mit Hartz IV- Empfängern Ausgewählte Ergebnisse einer Befragung von Unternehmen aus den Branchen Gastronomie, Pflege und Handwerk Pressegespräch der Bundesagentur für Arbeit am 12. November
Mehr4.4 AnonymeMärkteunddasGleichgewichtder"vollständigen Konkurrenz"
4.4 AnonymeMärkteunddasGleichgewichtder"vollständigen Konkurrenz" Wir haben bisher nachvollziehen können, wie zwei Personen für sich den Anreiz zum TauschentdeckenundwiemitwachsenderBevölkerungdieMengederAllokationensinkt,
MehrBehörde für Bildung und Sport Abitur 2008 Lehrermaterialien zum Leistungskurs Mathematik
Abitur 8 II. Insektenpopulation LA/AG In den Tropen legen die Weibchen einer in Deutschland unbekannten Insektenpopulation jedes Jahr kurz vor Beginn der Regenzeit jeweils 9 Eier und sterben bald darauf.
MehrGrundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen
Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in
MehrVersuch 3. Frequenzgang eines Verstärkers
Versuch 3 Frequenzgang eines Verstärkers 1. Grundlagen Ein Verstärker ist eine aktive Schaltung, mit der die Amplitude eines Signals vergößert werden kann. Man spricht hier von Verstärkung v und definiert
MehrDie Pareto Verteilung wird benutzt, um Einkommensverteilungen zu modellieren. Die Verteilungsfunktion ist
Frage Die Pareto Verteilung wird benutzt, um Einkommensverteilungen zu modellieren. Die Verteilungsfunktion ist k a F (x) =1 k>0,x k x Finden Sie den Erwartungswert und den Median der Dichte für a>1. (Bei
MehrDie Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,
MehrAbituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR)
Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Gegeben ist die trigonometrische Funktion f mit f(x) = 2 sin(2x) 1 (vgl. Material 1). 1.) Geben Sie für die Funktion f den Schnittpunkt mit der y
MehrProfessionelle Seminare im Bereich MS-Office
Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion
MehrStatistische Auswertung:
Statistische Auswertung: Die erhobenen Daten mittels der selbst erstellten Tests (Surfaufgaben) Statistics Punkte aus dem Punkte aus Surftheorietest Punkte aus dem dem und dem Surftheorietest max.14p.
MehrArbeitsblätter. Sinnvolle Finanzberichte. Seite 19
Seite 19 Arbeitsblätter Seite 20 Dieses Arbeitsblatt wird Sie Schritt für Schritt durch das Verfahren von Finanzanalysen geleiten. Sie gehen von Ihren Finanzberichten aus egal wie einfach oder hoch entwickelt
MehrPlotten von Linien ( nach Jack Bresenham, 1962 )
Plotten von Linien ( nach Jack Bresenham, 1962 ) Ac Eine auf dem Bildschirm darzustellende Linie sieht treppenförmig aus, weil der Computer Linien aus einzelnen (meist quadratischen) Bildpunkten, Pixels
MehrKonzepte der Informatik
Konzepte der Informatik Vorkurs Informatik zum WS 2011/2012 26.09. - 30.09.2011 17.10. - 21.10.2011 Dr. Werner Struckmann / Christoph Peltz Stark angelehnt an Kapitel 1 aus "Abenteuer Informatik" von Jens
MehrDefinition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung
Kapitel 3 Dynamische Systeme Definition 31: Ein Differentialgleichungssystem 1 Ordnung = f(t, y) ; y R N ; f : R R N R N heißt namisches System auf dem Phasenraum R N Der Parameter t wird die Zeit genannt
MehrR ist freie Software und kann von der Website. www.r-project.org
R R ist freie Software und kann von der Website heruntergeladen werden. www.r-project.org Nach dem Herunterladen und der Installation von R kann man R durch Doppelklicken auf das R-Symbol starten. R wird
MehrPrimzahlen und RSA-Verschlüsselung
Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also
MehrAber zuerst: Was versteht man unter Stromverbrauch im Standby-Modus (Leerlaufverlust)?
Ich habe eine Umfrage durchgeführt zum Thema Stromverbrauch im Standby Modus! Ich habe 50 Personen befragt und allen 4 Fragen gestellt. Ich werde diese hier, anhand von Grafiken auswerten! Aber zuerst:
MehrVorsorge- und Finanzrisiken
11. März 2010 Prof. em. Dr. Alex Keel Verschiedene Risiken Agenda Verschiedene Risiken Vorsorge- und Finanzrisiken Fazit Finanzanlagerisiken Versicherungstechnische Risiken Regulatorische und betriebliche
Mehrwww.mathe-aufgaben.com
Abiturprüfung Mathematik 008 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe 1: ( VP) x Gegeben ist die Funktion f mit f(x). x Bilden Sie die Ableitung von f und fassen Sie diese so weit wie
Mehr11.AsymmetrischeInformation
.AsymmetrischeInformation Informationistnurwichtig,wenneineEntscheidungssituationdurcheinunsicheresUmfeld charakterisiertist.istesvielleichtso,daßauchdieunsicherheitselbstzueinereinschränkung derfunktionsfähigkeitvonmärktenführt?diesistinder
MehrManuel Schmalz. Abteilungsleiter Vertragsmanagement. Düsseldorf, 25.02.2015
Manuel Schmalz Abteilungsleiter Vertragsmanagement Düsseldorf, 25.02.2015 Standardisierung der Vereinbarung zwischen Provider und Consumer über die Nutzung von technischen Services, insbesondere BiPRO-WebServices
MehrPolitikverständnis und Wahlalter. Ergebnisse einer Studie mit Schülern und Studienanfängern
Politikverständnis und Wahlalter Ergebnisse einer Studie mit Schülern und Studienanfängern Frage: Lässt sich eine Herabsetzung des Wahlalters in Deutschland durch Ergebnisse zum Politikverständnis bei
MehrBeweisbar sichere Verschlüsselung
Beweisbar sichere Verschlüsselung ITS-Wahlpflichtvorlesung Dr. Bodo Möller Ruhr-Universität Bochum Horst-Görtz-Institut für IT-Sicherheit Lehrstuhl für Kommunikationssicherheit bmoeller@crypto.rub.de 6
MehrVerkaufsstätten. Dipl.- Ing.(FH) M.Eng.(TU) Thomas Höhne 17.12.2015
n Vorlesungsinhalte: - ungeregelte VkStätt - geregelte VkStätt - Brandabschnitte (Brandwände / Ladenstraßen) - Decken - geregelte VkStätt, Bsp. K in KL 1 n Wesentliche geregelte Sonderbauten; LBauO 50
MehrKernfach Mathematik Thema: Analysis
Kernfach Mathemati Bahnlinie Bei A-Stadt endet eine Bahnlinie. In nebenstehender Zeichnung ist ein Koordinatenreuz so gelegt worden, dass A mit dem Ursprung zusammenfällt. Die Bahnlinie verläuft entlang
Mehr6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion)
6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) Scan-Konvertierung ist die Rasterung von einfachen Objekten (Geraden, Kreisen, Kurven). Als Ausgabemedium dient meist der Bildschirm, der aus einem Pixelraster
MehrStatistik II für Betriebswirte Vorlesung 2
PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 21. Oktober 2014 Verbundene Stichproben Liegen zwei Stichproben vor, deren Werte einander
MehrAlso kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten.
Aufgabe 1.1: (4 Punkte) Der Planet Og wird von zwei verschiedenen Rassen bewohnt - dem grünen und dem roten Volk. Desweiteren sind die Leute, die auf der nördlichen Halbkugel geboren wurden von denen auf
MehrMenü auf zwei Module verteilt (Joomla 3.4.0)
Menü auf zwei Module verteilt (Joomla 3.4.0) Oft wird bei Joomla das Menü in einem Modul dargestellt, wenn Sie aber z.b. ein horizontales Hauptmenü mit einem vertikalen Untermenü machen möchten, dann finden
Mehrwegen unentschuldigter Fehltage in der Berufsschule oder fehlender Bereitschaft zur Eingliederung in die betriebliche Ordnung
Abmahnung Eine Abmahnung ist Ausdruck der Missbilligung eines Fehlverhaltens unter Androhung von Rechtsfolgen für die Zukunft, sofern dieses Verhalten nicht geändert bzw. eingestellt wird. 1. Wann ist
MehrStatistik für Studenten der Sportwissenschaften SS 2008
Statistik für Studenten der Sportwissenschaften SS 008 Aufgabe 1 Man weiß von Rehabilitanden, die sich einer bestimmten Gymnastik unterziehen, dass sie im Mittel µ=54 Jahre (σ=3 Jahre) alt sind. a) Welcher
MehrProzentrechnung. Wir können nun eine Formel für die Berechnung des Prozentwertes aufstellen:
Prozentrechnung Wir beginnen mit einem Beisiel: Nehmen wir mal an, ein Handy kostet 200 und es gibt 5% Rabatt (Preisnachlass), wie groß ist dann der Rabatt in Euro und wie viel kostet dann das Handy? Wenn
Mehr1.3 Die Beurteilung von Testleistungen
1.3 Die Beurteilung von Testleistungen Um das Testergebnis einer Vp zu interpretieren und daraus diagnostische Urteile ableiten zu können, benötigen wir einen Vergleichsmaßstab. Im Falle des klassischen
MehrLineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren
Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als
MehrR. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 30.11.2013 Schriftliche Übung Mathematik Stochastik II (Nachschreiber) Jan. 2007
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 30.11.2013 Schriftliche Übung Mathematik Stochastik II (Nachschreiber) Jan. 2007 SG15/25D NAME: Lösungen 1. In einer Packung sind Glühbirnen, davon sind zwei
MehrQuadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen Aufgabe: Versuche eine Lösung zu den folgenden Zahlenrätseln zu finden:.) Verdoppelt man das Quadrat einer Zahl und addiert, so erhält man 00..) Addiert man zum Quadrat einer Zahl
Mehrgeben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen
geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Vollständigkeit halber aufgeführt. Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen 70% im Beispiel exakt berechnet sind. Was würde
MehrWelche Staatsangehörigkeit(en) haben Sie?... Mutter geboren?...
Erhebung zu den Meinungen und Erfahrungen von Immigranten mit der deutschen Polizei Im Rahmen unseres Hauptseminars zu Einwanderung und Integration an der Universität Göttingen wollen wir die Meinungen
Mehr10.3.1.8 Übung - Konfigurieren einer Windows 7-Firewall
5.0 10.3.1.8 Übung - Konfigurieren einer Windows 7-Firewall Drucken Sie diese Übung aus und führen Sie sie durch. In dieser Übung werden Sie erfahren, wie man die Windows 7-Firewall konfiguriert und einige
MehrKosten-Leistungsrechnung Rechenweg Optimales Produktionsprogramm
Um was geht es? Gegeben sei ein Produktionsprogramm mit beispielsweise 5 Aufträgen, die nacheinander auf vier unterschiedlichen Maschinen durchgeführt werden sollen: Auftrag 1 Auftrag 2 Auftrag 3 Auftrag
MehrInvestition und Finanzierung
Investition und Finanzierung - Vorlesung 6 - Prof. Dr. Rainer Elschen Prof. Dr. Rainer Elschen -92 - Die Interne Zinsfußmethode (1) Entscheidungsgröße: Interner Zinsfuß r Entscheidungsregel: r Max u.d.b.
MehrOptimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 3. Vorlesung
Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 3. Vorlesung Rainer Hufnagel / Laura Wahrig 2006 Diese Woche LO - Sensitivitätsanalyse Simulation Beispiel Differenzengleichungen
MehrDiana Lange. GENERATIVE GESTALTUNG Arten des Zufalls
Diana Lange GENERATIVE GESTALTUNG Arten des Zufalls RANDOM int index = 0; while (index < 200) { float x = random(0, width); float y = random(0, height); float d = random(40, 100); ellipse(x, y, d, d);
MehrVerkehrsteilnehmer. Beispiel: Wir betrachten die Modellierung von Handlungskomponenten wie Verkehrsteilnehmern und Straßen.
7.6 Bedingte Rechte Manchmal sind Rechte nur unter bestimmten Voraussetzungen gültig. Diese Situation beschreiben wir -wie sonst auch üblich- mit bedingten Rechten. Beispiel: Wir betrachten die Modellierung
MehrOECD Programme for International Student Assessment PISA 2000. Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest. Deutschland
OECD Programme for International Student Assessment Deutschland PISA 2000 Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest Beispielaufgaben PISA-Hauptstudie 2000 Seite 3 UNIT ÄPFEL Beispielaufgaben
MehrEigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen
Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt
MehrTIPS-Crash und zwei Hindenburg-Omen
TIPS-Crash und zwei Hindenburg-Omen In den USA bezeichnet das Kürzel TIPS eine Anleihe, die gegen Kaufkraftverlust schützt. Ein Investment in TIPS ( Treasury Inflation Protected Security, deutsch: Inflationsgeschützte
MehrSichere E-Mail Anleitung Zertifikate / Schlüssel für Kunden der Sparkasse Germersheim-Kandel. Sichere E-Mail. der
Sichere E-Mail der Nutzung von Zertifikaten / Schlüsseln zur sicheren Kommunikation per E-Mail mit der Sparkasse Germersheim-Kandel Inhalt: 1. Voraussetzungen... 2 2. Registrierungsprozess... 2 3. Empfang
MehrCTI SYSTEMS S.A. CTI SYSTEMS S.A. 12, op der Sang. Fax: +352/2685-3000 L- 9779 Lentzweiler. Email: cti@ctisystems.com G.D.
Z.I. Eselborn - Lentzweiler Phone: +352/2685-2000 12, op der Sang Fax: +352/2685-3000 L- 9779 Lentzweiler Email: cti@ctisystems.com G.D. Luxembourg URL: www.ctisystems.com Benutzung von Höhensicherungsgeräten
MehrPresse-Information 04.01.2013
04.01.2013 1 Studie des Instituts für Demoskopie Allensbach zur wirtschaftlichen Situation von Unternehmen im Geschäftsgebiet der Volksbank Herrenberg Rottenburg Optimistische Unternehmen in Herrenberg
MehrTutorial about how to use USBView.exe and Connection Optimization for VNWA.
Tutorial about how to use USBView.exe and Connection Optimization for VNWA. Tutorial über den Gebrauch von USBView.exe und die Anschluss-Optimierung für den VNWA. Es wurde beobachtet, dass bestimmte VNWA
MehrLeseprobe. Wilhelm Kleppmann. Versuchsplanung. Produkte und Prozesse optimieren ISBN: 978-3-446-42033-5. Weitere Informationen oder Bestellungen unter
Leseprobe Wilhelm Kleppmann Versuchsplanung Produkte und Prozesse optimieren ISBN: -3-44-4033-5 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/-3-44-4033-5 sowie im Buchhandel. Carl
MehrInformatik Kurs Simulation. Hilfe für den Consideo Modeler
Hilfe für den Consideo Modeler Consideo stellt Schulen den Modeler kostenlos zur Verfügung. Wenden Sie sich an: http://consideo-modeler.de/ Der Modeler ist ein Werkzeug, das nicht für schulische Zwecke
Mehr4. Das neue Recht der GmbH ein Überblick
4. Das neue Recht der GmbH ein Überblick Wie sieht die GmbH-Reform eigentlich aus und was sind ihre Auswirkungen? Hier bekommen Sie einen kompakten Überblick. Einer der wesentlichen Anstöße, das Recht
MehrÜbersicht. 1 Unsicherheit und Klimawandel. 2 Umgang mit Unsicherheit in IAMs. 3 Strukturelle Unsicherheit: Weitzmans Dismal Theorem
Vorlesung 8: Bewertung III 1/15 Übersicht 1 Unsicherheit und Klimawandel 2 Umgang mit Unsicherheit in IAMs 3 Strukturelle Unsicherheit: Weitzmans Dismal Theorem Vorlesung 8: Bewertung III 2/15 Unsicherheit
MehrMusterlösung zu Serie 14
Dr. Lukas Meier Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung FS 21 Musterlösung zu Serie 14 1. Der Datensatz von Forbes zeigt Messungen von Siedepunkt (in F) und Luftdruck (in inches of mercury) an verschiedenen
MehrSpielerklärung Black Jack. Black. Jack
Spielerklärung Black Jack Herzlich willkommen bei WestSpiel die faire und spannende Spielbank-Variante des beliebten Kartenspiels 17 und 4. Wir möchten Ihnen hier zeigen, wie Sie mit Spaß gewinnen können.
MehrUnterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de
MehrMusterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5
Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische
Mehr