Investition und Finanzierung

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1 Investition und Finanzierung - Vorlesung 6 - Prof. Dr. Rainer Elschen Prof. Dr. Rainer Elschen -92 -

2 Die Interne Zinsfußmethode (1) Entscheidungsgröße: Interner Zinsfuß r Entscheidungsregel: r Max u.d.b. r > i Der Interne Zinsfuß entspricht dem Zinssatz, bei dem sich ein Kapitalwert von 0 ergibt: Lösung dieses Polynoms n-ten Grades ist nicht immer einwertig, z.t. auch ohne reelle Lösung. Interpolation als eine mögliche Näherungslösung Der Interne Zinsfuß ist die durchschnittliche Wachstumsrate des investierten Kapitals. Prof. Dr. Rainer Elschen -93 -

3 Die Interne Zinsfußmethode (2) C 0 Lineare Interpolation: i * = i 1 C 01 i C 2 02 i1 C 01 r i * C 01 C 02 i 1 r i 2 i Prof. Dr. Rainer Elschen -94 -

4 Die Interne Zinsfußmethode (3) Betrachtet wird aus unserem Beispiel die Investition Typ B: Versuchszinssätze 15% und 16% 0,15 0,16 Jahr Überschuß q -t Barwert q -t Barwert , , , , , , Summe der Barwerte Anschaffungskosten = Kapitalwert Co r = i2 i1 0,16 0,15 i1 C01 = 0, = 0,15827 C C ,83% Prof. Dr. Rainer Elschen -95 -

5 Die Interne Zinsfußmethode (4) Die Berechnung nach Newton (Tangential-Annäherung): C 0 mit q=1+r 1. Man startet mit einem beliebigen Wert r 0 und berechnet für diesen C(q 0 ) und die 1. Ableitung C (q 0 ) 2. Dann setzt man den Startwert (x=0) und die damit berechneten Werte C und C in diese Formel ein q x+1 =q x -C/C C 0 (r 1 ) C 0 (r 2 ) C 0 (r 3 ) r 0 r 1 r 2 r r 3. Dies geschieht solange, bis sich die vierte Stelle hinter dem Komma nicht mehr ändert (uns reicht das!) Klappt im übrigen auch, wenn man mit r 1 > r startet! Prof. Dr. Rainer Elschen -96 -

6 Die Interne Zinsfußmethode (5) Die Berechnung des internen Zinsfußes (Newton) Beispiel: to t1 t2 t3 Zahlungsreihe , , , ,00 C' , , ,00 mit q=1+r q0 C C' 1, , , , ,73-714, , , , ,77 q1 = q0 - C(q0) / C'(q0) q11, = q1 C C' 1, , , , ,11 1, , , , ,82 q2 = q1 - C(q1) / C'(q1) q21, = q2 C C' 1, , , , ,30 0, , , , ,88 q3 = q2 - C(q2) / C'(q2) q31, = Prof. Dr. Rainer Elschen -97 -

7 Für unser Beispiel gilt: Die Interne Zinsfußmethode (6) Typ A Typ B r A1 =0,13 r A2 =0,14 r B1 =0,15 r B2 =0, , , ,02-714,97 r A = 13,29% r B = 15,83% Was geschieht in den Perioden 4-6 und was mit der geringeren Kapitalbindung? (1) Komplementärinvestition zum internen Zinsfuß (übliche Prämisse der Internen Zinsfußmethode, oft kritisiert) läßt internen Zinsfuß unverändert (2) Wiederholung der Investition Typ B am Ende der Periode 3 (explizite Prämisse über Komplementärinvestition) Prof. Dr. Rainer Elschen -98 -

8 Die Interne Zinsfußmethode (7) Der interne Zinsfuß gibt auch die Verzinsung des noch nicht amortisierten Kapitals an. Zeitpunkt Summen Zahlungsreihe , , , , ,00 Effektivzins (IZ) 15,83% Investition 0 Kalk. Investitionsertrag , , , ,00 15,83% 15,83% 15,83% Amortisation , , , ,00 (Rest-)Kapital , , ,74 0, ,83 Nachträglich, d.h. wenn man den internen Zinsfuß schon berechnet hat (wie wir mit dem Newton`schen Verfahren), lässt er sich auch als Relation der Summe aller Zahlungen und der Kapitalsumme darstellen: ,83% = = , , , ,83 Prof. Dr. Rainer Elschen -99 -

9 Die Interne Zinsfußmethode (8) Bei einem Kredit ohne Disagio mit jährlichen Zinszahlungen und endfälliger Rückzahlung ist der interne Zinsfuß (IZ) einfacher zu berechnen: jährlichezinszahlung Effektivzi ns = = = 8% Kreditbetrag Finanzierung 1 Zeitpunkt Summen Zahlungsreihe , , , , ,00 Effektivzins (IZ) 8,00% Kalk. Investitionsertrag , , , ,00 8% 8% 8% Amortisation - 0,00 0, , ,00 (Rest-)Kapital , , ,00 0, ,00 Besonderes Kennzeichen: Das (Rest-)Kapital verändert sich nicht! Prof. Dr. Rainer Elschen

10 Die Interne Zinsfußmethode (9) Zum gleichen Effektivzins kann man auch mit einem Disagio (Abschlag vom Nennwert) und einer geringeren Nominalverzinsung kommen. Kredit (nominal) = Disagio = (10,31%) Nominalzins = 4 % Zeitpunkt Summen Zahlungsreihe , , , , ,00 Effektivzins (IZ) 8,00% Finanzierung 1a Kalk. Investitionsertrag , , , ,92 8% 8% 8% Amortisation , , , ,08 (Rest-)Kapital , , ,04 ~ 0, ,04 Disagio-Varianten werden i.d.r. aus steuerlichen Gründen vom Kreditnehmer gewählt. Hierbei wird zur Effektivzins-Berechnung wieder das Newton`schen Verfahren benötigt. Besonderes Kennzeichen: Das (Rest-)Kapital steigt zwischenzeitlich, da Effektivzins > Nominalzins. Prof. Dr. Rainer Elschen

11 Die Interne Zinsfußmethode (10) Zur Investition 0 würde aber besser die nachfolgende Finanzierung 2 passen: Finanzierung 2 Zeitpunkt Summen Zahlungsreihe , , , , ,75 Effektivzins (IZ) 8,00% Kalk. Investitionsertrag , , , ,75 8% 8% 8% Amortisation , , , ,00 (Rest-)Kapital , , ,74 0, ,82 Besonderes Kennzeichen: Gleicher Kapitalverlauf wie bei Investition 0! Prof. Dr. Rainer Elschen

12 Die Interne Zinsfußmethode (11) Die Finanzierung 2 könnte durch Aufnahme von drei Einzelkrediten konstruiert werden: Finanzierung , , ,44 konstruiert durch: 1.Zerobond-Kredit (1 Jahr) 1, , ,91 2.Zerobond-Kredit (2 Jahre) ,85 1, ,40 3.Zerobond-Kredit (3 Jahre) 1, , ,44 Prof. Dr. Rainer Elschen

13 Die Interne Zinsfußmethode (12) Den Kapitalwert einer Investition kann man auch über die periodischen Überschüsse berechnen. Wenn man die kapitalkongruente Finanzierung kennt oder die Marge und den Kapitalverlauf Investition , , , ,00 Finanzierung , , , ,44 Marge 7,83% 7,83% 7,83% x Kapital , , ,74 = Überschuß , , ,56 1.Kredit (1 Jahr) ,97 1, ,09 2.Kredit (2 Jahre) ,94 1, ,60 3.Kredit (3 Jahre) ,13 1, , ,05 Prof. Dr. Rainer Elschen

14 Die Interne Zinsfußmethode (13) Bei Wiederholung der Investition Typ B am Ende der Periode 3 folgt unter Beachtung der geänderten Absatzzahlen: Typ B t E t A t N t Barwert (1) Barwert (2) , , , , , , , , , , , , , , , ,26 C , ,27 Typ B r Ai 7,00% 8,00% C , ,27 r B = 7,59% Typ B r B1 15,00% 16,00% C ,02-714,97 r B = 15,83% Gesamtinvestition (B+B ) r B+B 12,00% 13,00% C , ,38 r B+B 12,47% Weiterhin Problem durch unterschiedliche Kapitalbindung! Prof. Dr. Rainer Elschen

15 Beurteilung der Internen Zinsfußmethode Zeitliche Verteilung der Ein- und Auszahlungen wird über die Zinseszinswirkungen erfasst. Genauigkeit hängt von der Länge der Periode (Tag, Woche, Monat, Jahr) ab Oft werden alle Zahlungen auf das Periodenjahresende bezogen. Unterschiedliche Kapitalbindungen sind nur bei der impliziten Prämisse von Komplementärinvestitionen zum jeweiligen internen Zinsfuß der Ausgangsinvestition unbeachtlich. Prof. Dr. Rainer Elschen

16 Finanzierungsrechnung und Investitionsrechnung 300 t 0 t 1 I: Kapitalwertfunktion (C 0 ) Zins Investition Finanzierung t 0 t 1 F: Investitionsrechnung und Finanzierungsrechnung sind mathematisch äquivalent. In der Praxis findet man aber in der Finanzierungsrechnung selten den Kapitalwert, dafür aber den Effektivzinssatz. Prof. Dr. Rainer Elschen

17 Die Annuitätenmethode Entscheidungsgröße: Annuität a Entscheidungsregel: a Max u.d.b. a > 0 a = C 0 n i(1+ i) n (1 + i) 1 Annuität = Kapitalwert * Kapitalwiedergewinnungsfaktor Für unser Beispiel folgt: Typ A Typ B KZF i 10% 10% Nutzungdauer n 6 3 WGF(i;n) 0, , Kapitalwert C , ,25 Annuität a , ,68 Die Annuität entspricht dem jährlich während des Planungshorizontes entziehbaren Betrag. Prof. Dr. Rainer Elschen

18 Beurteilung der Annuitätenmethode nur bei identischen Planungshorizonten sinnvoll (hier nicht gegeben) Bei identischem Planungshorizont ist die unterschiedliche Kapitalbindung bei der impliziten Prämisse von Komplementärinvestitionen zum Kalkulationszinsfuß unbeachtlich. Die Vor- und Nachteile der Annuitätenmethode entsprechen weitgehend denen der Kapitalwertmethode, außer in der Exaktheit der Ergebnisse und u.u. in der leichteren Verständlichkeit des Ergebnisses. Prof. Dr. Rainer Elschen

19 Literaturhinweise zu Vorlesung 6 Blohm, H. / Lüder, K.: Investition, 10. Aufl., München Brealey, R. A. / Myers, S. T.: Principles of Corporate Finance, 10. Aufl., Boston Götze, U.: Investitionsrechnung, 6. Aufl., Berlin et al Kruschwitz, L.: Investitionsrechnung, 13. Aufl., München Perridon, L. / Steiner, M.: Finanzwirtschaft der Unternehmung, 16. Aufl., München Rolfes, B.: Moderne Investitionsrechnung, 3. Auflage, München-Wien Schmidt, R. H. / Terberger, E.: Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie, 4. Aufl., Wiesbaden Süchting, J.: Finanzmanagement, 6. Aufl., Wiesbaden Prof. Dr. Rainer Elschen

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