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2 Valuation Übung 4 Moderne Portfoliotheorie Gruppe 35 Buser Fabian Gerber Thomas Guggisberg Patrik Henestrosa Alexandra Erreichte Punktzahl: Die Fehler sind rot markiert auf den Seiten 4 und 7 zu finden. 18. November 2007

3 Aufgabe 1 (2 Punkte) a) Sie haben vor 2 Jahren eine Couponobligation mit folgenden Charakteristiken gekauft. Wie hoch waren die jährlichen Renditen der Obligation? Berechnen Sie aus den 2 jährlichen Renditen die mittlere durchschnittliche Rendite der Couponobligation. (Hinweis zu den Preisen: Die nächste Couponzahlung erfolgt jeweils in genau einem Jahr). Nominalwert 1'000 Couponsatz (jährlich) 3% Restlaufzeit Jhare 5 Kaufpreis vor 2 Jahren 81.45% Preis vor 1 Jahr 82.53% Preis heute 86.19% b) Sie möchten nun ein bisschen risikofreudiger anlegen und ein Portfolio aus Ihrer Obligation und einer Aktie bilden. Sie haben von der neuen Unternehmung «Dones & Jems» gehört und möchten nun deren Aktie prüfen. Schätzen Sie die mittlere durchschnittliche Rendite und die Standardabweichung der Renditen. c) Der Korrelationskoeffizient zwischen der erwarteten Rendite der Obligation «CL» und der Rendite aus der Aktie «Dones & Jems» ist und die geschätzte Standardabweichung der Obligation «CL» beträgt 8.75 Prozent. Welche Rendite und Standardabweichung erwarten Sie von Ihrem Portfolio, wenn Sie 40 Prozent des Geldes in die Aktie und den Rest in die Obligation «CL» investieren wollen. Valuation: Übung Gruppe 35

4 d) Nehmen Sie kurz Stellung zu folgenden 2 Aussagen bezüglich Ihres Portfolios: - Wenn der Korrelationskoeffizient 0 wäre, entfiele der Korrelationsterm, was zu einer tieferen Standardabweichung führt als unter c) berechnet. - Die minimale Standardabweichung wird erreicht, wenn sämtliches Geld in die Obligation investiert wird (bei ursprünglichem Korrelationskoeffizient von ). - Nein, dies würde zu einer höheren Standardabweichung führen, da der Kottelationsterm negativ ist. Mit einem Korrelatinskoeffizienten von 0 entspräche die Standardabweichung 7.76%. - Nein. Wenn nur in die Obligation investiert wird, ergibt dies eine Standardabweichung von 8.75%, was nicht einer minimalen Standardabweichung bedeuten kann, da wir bereits in unserer Lösung 1 c) eine tiefer erreichen konnten. Aufgabe 2 Ihre Grosseltern haben Sie gebeten, Ihnen bei der Vermögensverwaltung behilflich zu sein und ein Portfolio zusammen zustellen, welches ihren Risikopräferenzen entspricht. Sie beobachten eine erwartete Rendite des Marktportfolios von 9 Prozent bei einer Standardabweichung von 13 Prozent. Die risikofreie Rendite beträgt 4 Prozent. Alle Renditen sind jährlich. a) Zeichnen Sie das Risiko-Rendite-Profil, welches die möglichen Kombinationen bei einer Investition in die risikofreie Rendite und das Marktportfolio abbildet. Wie nennt man diese Linie und was zeigt sie? µ σ Valuation: Übung Gruppe 35

5 b) Ihre Grossmutter sorgt sich vor allem um das Risiko und möchte ein Portfolio, welches eine Standardabweichung von maximal 9 Prozent aufweist. Auf der anderen Seite will Ihr Grossvater, der schon immer eine Neigung zum Risiko hatte, eine erwartete Rendite von mindestens 7 Prozent haben. Bestimmen Sie die Portfolio Kombinationen, welche den Bedürfnissen beider Grosseltern entsprechen, in dem Sie die Gewichtsintervalle für das Marktportfolio sowie für die risikofreie Anlage berechnen. (Wobei natürlich zu beachten ist, dass W F +W M jeweils 100% ergibt.) c) Wie in den meisten Ehen hat sich die Frau durchgesetzt und den Grossteil des Vermögens in ein Portfolio mit geringem Risiko investiert. Im Gegenzug erhielt Ihr Grossvater die Erlaubnis, einen kleinen Teil des Geldes in eine Aktie zu investieren. In der Zeitung hat er zwei verschiedene Aktien entdeckt, welche er genauer untersuchen möchte. Berechnen Sie die erwartete Rendite gemäss CAPM für die beiden Aktien. Welche Aktie würden Sie Ihrem Grossvater zum Kauf empfehlen? Begründen Sie diesen Entscheid in zwei Sätzen. Bank Liechti (BL) Wälchli & Co (W) Marktportfolio (M) Risikofreie R prognostizierte Rendite 10% 10.30% 9% 4% Standardabw. 17% 20% 13% 0% Korrelation Marktportfolio % Kovarianz: Beta: CAPM: Empfehlung: Dem risikofreudigen Grossvater raten wir die Wälchli & Co. Aktie zu kaufen, da diese im Capital Asset Pricing Modell die höhere Rendite erzielt. Die Experten prognostizieren eine höhere Rendite für die Bank Liechti, als das CAPM angibt, dies ist ein Indiz, dass diese Aktie womöglich unterbewertet ist. Der umgekehrte Fall ist bei der Aktie Wälchli & Co. zu beobachten, diese ist wahrscheinlich unterbewertet. Ein weiterer Grund in die Aktie Wälchli & Co. zu investieren. Valuation: Übung Gruppe 35

6 Aufgabe 3 Nachdem Ihre Grosseltern am jährlichen Familienfest von Ihren Finanzkenntnissen und ausgezeichneten Anlagefähigkeiten schwärmten, entschied der Familienrat, Sie mit der Zusammenstellung eines Family-Portfolios zu beauftragen. Jede Partei hat die Möglichkeit, Ihnen einen gewissen Anteil des Vermögens zur Investition in das Portfolio zu überlassen. Begeistert vom neuen Nebenjob als Finanzanalyst und Anlageberater Ihrer ganzen Familie, machen Sie sich sogleich an die Arbeit. Folgende vier Aktien gedenken Sie in das Portfolio aufzunehmen: Jelmoli, Zuger Kantonalbank, Galenica und Atel. Um einen fundierten Entscheid bezüglich der Zusammenstellung treffen zu können, haben Sie einige Daten zu den betreffenden Aktien gesammelt. a) Berechnen Sie die Standardabweichungen der Renditen und tragen Sie die vier Aktien in ein Standardabweichungs-Rendite-Diagramm ein. Welche Anlage würden Sie aufgrund von Risiko- Rendite-Überlegungen ausschliessen? Varianz-Kovarianz-Matrix (p.a.) H105:K108 Jelmoli Zuger KB Galenica Atel Jelmoli Zuger Galenica Atel σ er µ Grandpa P Anteile Jelmoli 33.82% 6.04% 10% Zuger Kantonalbank 11.53% 8.16% 10% Galenica 22.67% 16.09% 10% Atel 24.31% 20.80% 70% Die Jelmoli Aktie ist klar auszuasschliessen, da sie bei höherem Risiko nur eine geringe Rendite abwirft. Valuation: Übung Gruppe 35

7 b) Berechnen Sie die erwartete Rendite sowie die Standardabweichung des Portfolios «Grandpa», welches zu 70 Prozent aus Aktien von Atel und zu je 10 Prozent aus den übrigen Aktien besteht. Veranschaulichen Sie Ihre Lösung wiederum in einem Standardabweichungs-Rendite-Diagramm (Tragen Sie auch die vier Aktien ins Diagramm ein). In Excel: MMULT (Renditevektor; Gewichtungsvektor) Matrix2 = Varianz-Kovarianz-Matrix In Excel: MULT(Matrix1;MMULT(Matrix2;Matrix3)) Gewichtungsmatrix(Matrix1) Anteile Grandpa, s. Tabelle oben Varianz-Kovarianz-Matrix(Matrix2) H105:K108 Gewichtungsmatrix(Matrix3) Anteile Grandpa, s. Tabelle oben B136:E136 B104:B107 siehe Anteile Grandpa, s. Tabelle Standardabweichungs-Rendite-Diagramm siehe oben. c) Kombinieren Sie die vier Aktien jeweils zu einem Portfolio, so dass Sie eine Standardabweichung von 10, 13 bzw. 16 Prozent bei jeweils maximaler Rendite erhalten. Tragen Sie die drei Portfolios in ein Standardabweichungs-Rendite-Diagramm ein. Version a Titel Gewicht erw. Rendite Varianz Standardabw. Jelmoli 4.18% 6.04% Zuger KB 49.35% 8.16% Galenica 22.08% 16.09% Atel 24.39% 20.80% Summe % Version b Titel Gewicht erw. Rendite Varianz Standardabw. Jelmoli 3.00% 6.04% Zuger KB 30.09% 8.16% Galenica 20.34% 16.09% Atel 46.57% 20.80% Summe % Version c Titel Gewicht erw. Rendite Varianz Standardabw. Jelmoli 0.00% 6.04% Zuger KB 7.56% 8.16% Galenica 38.87% 16.09% Atel 53.56% 20.80% Summe % Valuation: Übung Gruppe 35

8 Mtrans() Version a Version b Version c Portfolios Rendite Var StAbw Sharpe Ratio Version a % % 1.29 Version b % % 1.20 Version c % % 1.13 Vorgehen: Wie bereits in Aufgabenteil b) wird mit Matrizen gerechnet. Mtrans() = transformiert Daten von der Vertikalen in die Horiontale, für die darauf folgende Matrizenrechnung. MS Solver (wird 3 Mal ausgeführt): Zielzelle, wird maximiert: Rendite des jeweiligen Portfolios Veränderbare Zellen: die Gewichtungen der Aktien Nebenbedingungen: - die Gewichtungen der Aktien sind grösser 0 - die Summe der veränderbaren Zellen sollten gesamthaft 0 ergeben. - die Standardabweichung soll jeweils genau 10%, 13% oder 16% ergeben :20 Kommentar: Anscheinend ist uns bei der Matrix-Formel in Excel einen Fehler unterlaufen, denn diese kleine Ungenauigkeit besteht ebenfalls in gewissen Zwischenlösungen, welche nicht bewertet wurden. Valuation: Übung Gruppe 35

9 d) Ihre Grossmutter wünscht sich ein Portfolio mit minimalstem Risiko. Bestimmen Sie die Gewichte so, dass die kleinstmögliche Standardabweichung resultiert. Wie hoch sind die erwartete jährliche Rendite sowie die jährliche Standardabweichung dieses Portfolios? Wie erklären Sie sich, dass die Aktie, welche aufgrund von Risiko-Rendite-Überlegungen ineffizient ist, in diesem Portfolio Eingang findet? "Grandma" Titel Gewicht erw. Rendite Varianz Standardabw. Jelmoli 7.18% 6.04% Zuger KB 63.89% 8.16% Galenica 15.61% 16.09% Atel 13.32% 20.80% Summe % Mtrans() Rendite Var StAbw Sharpe Ratio "grandma" 10.93% % 1.17 Die Erklärung dazu findet sich im Effekt der Korrelation. Da hier eine Anlage mit anderen kombiniert wird, welche mit ihr nicht perfekt korrelieren (die Korrelationskoeffizienten sind sogar nahe 0), gelingt es, durch die erhöhte Diversifikation, das Risiko noch einmal zu senken. Valuation: Übung Gruppe 35

einfache Rendite 0 145 85 1 160 90 2 135 100 3 165 105 4 190 95 5 210 110

einfache Rendite 0 145 85 1 160 90 2 135 100 3 165 105 4 190 95 5 210 110 Übungsbeispiele 1/6 1) Vervollständigen Sie folgende Tabelle: Nr. Aktie A Aktie B Schlusskurs in Schlusskurs in 0 145 85 1 160 90 2 135 100 3 165 105 4 190 95 5 210 110 Arithmetisches Mittel Standardabweichung

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