Mathematische Behandlung des Risikos in der Portfolio-Optimierung

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1 Mathematische Behandlung des Risikos in der Portfolio-Optimierung Seminararbeit von Michael Manger FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK UND PHYSIK MATHEMATISCHES INSTITUT Datum: 5. März 2008 Betreuung: Prof. Dr. L. Grüne

2 Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis I 1 Einleitung 3 2 Ein-Schritt-Optimierung Risiko Bewertung von Portfolios Optimale Anlagestrategien Probleme und Kritik Dynamische-Portfolio-Optimierung Binomialmodell Optimale Steuerung des Portfolios Endkosten L(x) laufende Kosten l(x,u) laufene Kosten und Endkosten Transaktionskosten Zusammenfassung Ausblick Literaturverzeichnis 23 I

3 II INHALTSVERZEICHNIS

4 Abbildungsverzeichnis 2.1 Korrelation Bild Effizienz Kapitalmarktlinie Modellstruktur ein Zeitschritt Endkostenfunktion L(x) laufende Kosten Steuerung in Abhängigkeit von b laufende Kosten und Endkosten Transaktionskosten

5 2 ABBILDUNGSVERZEICHNIS

6 Kapitel 1 Einleitung In dieser Arbeit wird gezeigt, wie man ein optimales Portfolio, bestehend aus N risikobehafteten Anlagen, berechnet. Dabei wird zuerst die Einschritt-Optimierung beschrieben, die in der Literatur erstmals in den 60 er Jahren als Mean-Variance-Theorie auftauchte. Bevor darauf eingegangen werden kann, muss jedoch geklärt werden, aufgrund welcher Daten wir ein Modell erstellen und wie dieses aussieht. Für jede der N Aktien haben wir uns eine erwartete Rendite µ und ein Risiko σ berechnet. Ein naiver Ansatz berechet diese aus dem Erwartungswert der vergangen Renditen und deren Standardabweichung, was in [1] beschrieben wird. Kompliziertere Schätzverfahren können in dieser Arbeit nicht betrachtet werden. Die Verteilung unseres optimalen Portfolios auf die einzelnen Aktien wird mit den Variablen x i, (i = 1,..., N) beschrieben, die den Anteil der i-ten Aktie am Gesamtportfolio angibt. Ein Investor kann viele Ziele haben. In letzter Zeit hört man immer häufiger von Fonds, die in dividendenstarke Aktien anlegen. Deren Investmentziel ist die Maximierung der Dividendenrendite. Genauso sollte kein Investor das Kurs-Gewinn-Verhältnis (KGV) völlig außer Acht lassen. Ein sehr hohes KGV kann eine Übertreibung aufzeigen und deutet auf hohe Risiken hin. Ein niedriges KGV kann jedoch auf ein Nachholpotential einer Aktie hindeuten und somit zusätzliche Renditechancen versprechen. Investoren, die das KGV als Anlagegrund verwenden, wählen daher Titel mit minimalem KGV. Ein ständiges umschichten kann den Ertrag eines Portfolios aufgrund hoher Transaktionskosten negativ beeinflussen. Daher kann es das Ziel eines Anlegers sein, möglichst wenige Umschichtungen vornehmen zu müssen und ein längerfristig bestehendes Portfolio auszustellen. Er strebt also nach einem minimalen Depotumsatz. Alle diese Kriterien sind allerdings nur künstliche Entscheidungshilfen. Denn sämtliche Ziele eines Investor lassen sich durch zwei übergeordnete Ziele zusammenfassen: Er möchte so viel Ertrag wie möglich und dabei das geringst mögliche Risiko eingehen. 3

7 4 Kapitel 1: Einleitung Aus den letzten beiden Zielen wird nun ein mathematisches Modell erstellt. Die Maximierung der Ertrags bedeute eine Maximierung der erwarteten Rendite des Portfolios, d. h. N max E[x] = x T µ = x i µ i (1.1) Als Maß für das Risiko wird (analog zu Vorlesung [4]) die Standardabwichung σ oder - in diesem Fall - die Varianz des Porfolios herangezogen. Analog zu [1] lässt sich das Risiko eines Portfolios wie folgt modellieren: i=1 σ 2 = VAR[R P ] = E[(RP t µ P ) 2 ] = T t=1 = T t=1 = T (R P µ P ) 2 T P [ N x i (Ri t µ i)] 2 i=1 T N N t=1 i=1 j=1 = x T Σx (Ri x t µ i)(rj t µ j) i x T j wobei Σ die Kovarianzmatrix der Anlagerenditen R i ist. Die zum Risiko gehörende Zielfunktion lautet also: min x T Σx (1.2) Um die Modellierung zu vervollständigen, fehlen noch zwei Nebenbedingungen, die zum einen garantieren, dass das gesamte Kapital K angelegt wird, und zum zweiten darauf achten, dass keine Aktie leerverkauft (Definition in Vortrag von Matrin Schimalla) wird: N x i = 1 (1.3) i=1 0 x i 1 i {1,.., N} (1.4) Fassen wir die Grundüberlegungnen nochmals in einem Bicriteriellen Optimierungsproblem zusammen: Problem 1.1 max min s.t. z 1 (x) = N x i µ i i=1 z 2 (x) = N N x i = 1 i=1 i=1 j=1 N x i Σ ij x j maximiere Ertrag minimiere Risiko Kaptial wird voll investiert 0 x i 1 i {1,.., N} keine Leerverkäufe (P)

8 Kapitel 2 Ein-Schritt-Optimierung Im folgenden Kapitel wird versucht, obiges Problem statisch, d. h. ohne die Möglichkeit späterer Umschichtungen, zu lösen. Eine Orientierung dazu boten [2] und [3]. Zuerst wird dabei noch einmal näher auf den Begriff Risiko eines Portfolios eingegangen. Anschließend werden Kriterien für eine optimale Lösung des Problems gesucht. Da beide Zielfunktionen (1.1) und (1.2) stark konkurrieren, wird es so gut wie nie Portfolios geben, die beide Zielfunktionen optimieren. Diesem Problem widmet sich der zweite Abschnitt des Kapitels, in dem festgestellt wird, dass es im Allgemeinen unendlich viele optimale Portfolios gibt. Im letzten Abschnitt wird gezeigt, wie man aus diesen Portfolios mit Hilfe eines risikolosen Bonds und dessen Zinssatz r ein eindeutiges optimales Portfolio bekommt. 2.1 Risiko Wie oben beschrieben wird das Risiko mit x T Σx bewertet. Analog zur obigen Herleitung der Varianz des Portfolios kann man diese auch darstellen als: VAR[R P ] = N x 2 i VAR[R i ] + i=1 } {{ } Varianzanteil N x i COV[R i, R j ] x j i,j=1 i j } {{ } Kovarianzanteil Zusätzlich zur Summe der Risiken der einzelnen Anlagen kommen also noch stochastische Abhängigkeiten, die sich bei negativem Kovarianzwert günstig und bei positivem Kovarianzwert ungünstig im Sinne der Zielfunktion (1.2) auswirken. Will man das Risiko seines Portfolios senken, so fügt man ihm also eine Anlage hinzu, deren Kovarianzteil zu den bisherigen Anlagen des Portfolios negativ ist. Welche dieser Anlagen hinzugefügt wird, lässt sich jedoch nicht nur aufgrund der Kovarianz aussagen. Der Betrag der Kovarianz hängt nicht nur vom Gleich- oder Gegenlauf der Renditen ab, sondern auch von deren Größe. Aus einem 5

9 6 Kapitel 2: Ein-Schritt-Optimierung großen Kovarianzwert lässt sich daher nicht auf einen großer Gleichlauf schließen. Als Maß für die Abhängigkeit der Kursverläufe führen wir daher die Korrelation ρ ein: Definition 2.1 Der Korrelationskoeffizient ρ zweier Aktien berechnet sich durch ρ 12 = 1 T ( ) ( ) R t 1 µ 1 R t 2 µ 2 COV[R 1, R 2 ] = T σ 1 σ 2 VAR[R1 ] VAR[R 2 ] Wobei t=1 µ k = Erwartungswert der Aktie K (k = 1, 2) σ k = Risiko der Aktie K (k = 1, 2) R t k =Rendite der Aktie k (k = 1, 2) im Zeitschritt t Der Wert der Korrelation zweier Renditen liegt zwischen 1 (bei komplettem Gegenlauf der zwei Aktien) und +1 (bei komplettem Gleichlauf der Aktien). Daraus ergeben sich folgende drei Szenarien, deren ausführliche Herleitungen mit Beweisen in [2] stehen. 1. ρ 12 = 1 Im Falle maximaler negativer Korrelation ist eine risikolose Anlage bei x 1 = σ 2 σ 1 + σ 2 möglich. Ist x 1 größer diesem Wert, so ist das Portfolio im µ-σ-diagramm auf der Strecke von Anlagemöglichkeit 1 und der risikolosen Anlagekombination. Ist x 1 kleiner als im risikolosen Fall, so befindet sich das Portfolio im Diagramm auf der Strecke von Anlagemöglichkeit 2 und der risikolosen Möglichkeit. 2. ρ 12 = 1 Jedes Portfolio befindet sich auf der Strecke zwischen den beiden Anlagemöglichkeiten. Die zugehörige Geradengleichung lautet: ( ) ( ) ( ) σp σ2 σ1 σ = + x 2 1 µ 1 µ2 µ P µ 2 Bei maximaler positiver Korrelation lässt sich das Risiko der risikoärmsten Anlagemöglichkeit durch kein Portfolio unterbieten < ρ 12 < 1 In diesem Fall läßt sich das Risiko unter das der risikoärmsten Anlage senken, ein risikoloses Portfolio wie im ersten Fall ( ist jedoch ) nicht ( ) möglich. µ und σ der Portfolios µ1 µ2 liegt links der Verbindungsgerade von und im µ-σ-diagramm σ 1 σ 2

10 2.1. RISIKO 7 Die folgende Abbildung zeigt die drei Fälle im µ-σ-diagramm. Abbildung 2.1: µ-σ-diagramm bei zwei Anlagemöglichkeiten und unterschiedlichen Korrelationen Beispiel 2.2 Im Folgenden betrachten wir das Beispiel zweier Aktien, die vollständig negativ korreliert sind. So steigt die Aktie des Freibadbetreibers Schwimmbad aufgrund der erhöhten Besucherzahl bei schönem Wetter und fällt bei schlechtem Wetter wegen Besuchermangel. Gegenläufig verhält sich die Aktie eines Regenschirmherstellers, der sein Produkt nur bei schlechtem Wetter absetzt. Aufgrund dieser Situation konnte man in der Vergangenheit folgende Kursverläufe feststellen: t Schwimmbad Regenschirm t Schwimmbad Regenschirm ( ) Mit Hilfe der in [1] bschriebenen Methoden lässt sich aus den Kursen µ = und ( ) σ = bestimmen. Aufgrund der negativen Korrelation (ρ = 1) lässt sich mit der oben angegebenen Formel aus den zwei Aktien ein risikoloses Portfolio angeben: x 1 = σ 2 σ 1 + σ 2 =

11 8 Kapitel 2: Ein-Schritt-Optimierung Bei 1000e anzulegendes Kapital würde sich dann folgender Kursverlauf des Portfolios ergeben: t Portfolio t Portfolio Das Portfolio steigt also schwankungsfrei (bis auf Rundungsungenauigkeiten) in jedem Zeitschritt mit dem Faktor Bewertung von Portfolios Da die beiden Ziele - Maximierung des Ertrags und Minimierung des Risikos - meist miteinander konkurrieren, wird man im allgemeinen kein Portfolio finden, das beide Kriterien gleichzeitig optimal erfüllt. Daher müssen Kriterien gefunden werden, unter denen das Problem als gelöst angesehen wird, d. h. wann wir ein Portfolio als optimal - oder besser effizient - ansehen. Solange man ein Portfolio noch in eine Zielfunktionsrichtung verbesser kann, ohne dass sich der andere Zielfunktionswert verschlechtert, ist es sicher nicht effizient. Erst wenn keine Verbesserung einer der beiden Zielfunktionen mehr möglich ist ohne die zweie Zielfunktion zu verschlechtern, sind wir effizient. Aus [1] stammt dazu folgende Definition: Definition 2.3 Ein Portfolio P ist effizient, wenn die folgenden beiden Bedingungen zutreffen: Jedes andere Portfolio Q mit mindestens gleich großer erwarteter Rendite wie P (d. h. µ q µ p ) besitzt ein größeres Risiko als P (d. h. σ q > σ p ) Jedes andere Portfolio Q mit höchstens gleich großem Risiko (d. h. σ q σ p ) besitzt eine kleinere erwarteter Rendite als P (d. h. µ q < µ p ) Die zwei extremsten effizienten Portfolios sind dabei das ertragsmaximale und das risikominimale Portfolio (auch Minimum-Variance-Portfolio genannt). Eine höhere Rendite als die der renditestärksten Aktie kann dabei nicht erwartet werden. Löst man das Problem (P) nur mit der zweiten Zielfunktion, so bekommt man das Portfolio mit dem geringsten Risiko. Jedoch sind auch alle Portfolios auf der Effizienzlinie zwischen den beiden Extremwerten effizient.

12 2.3. OPTIMALE ANLAGESTRATEGIEN 9 Abbildung 2.2: µ-σ-diagramm bei N Anlagen: Jede Kombination im Regenschirm ist durch ein Portfolio erreichbar, doch nur Portfolios auf der Effizienzlinie sind effizient In der Abbildung sieht man, dass die möglichen Portfolios, die man aus N Anlagemöglichkeiten kombinieren kann, eine regenschirmartige Fläche im µ-σ-diagramm bilden. Auf der Effizienzlinie befinden sich dabei die effizienten Portfolios. 2.3 Optimale Anlagestrategien Ein Anleger kann allerdings nicht alle Portfolios auf der Effizienzlinie nachbilden, sondern muss sich für ein Portfolio entscheiden. Dies kann mit Hilfe einer Nutzenfunktion geschehen. Nutzenfunktionen sollten streng monoton wachsen - um ein Anwachsen des Vermögens zu belohnen - und konkav sein - um die Risikoaversion zu beschreiben. Üblicherweise benutzt man die logarithmische Nutzenfunktion U(K) = log(k) oder die quadratische Nutzenfunktion U(K) = K bk 2, wobei K das Kapital und b ein Parameter der Risikoaversion ist. Bei der quadratischen Funktion muss noch K 1 gefordert werden, damit nur der steigende Teil der Funktion betrachtet wird. 2b Da die Nutzentheorie schon im 1. Seminarvortrag behandelt wurde, wird hier nicht weiter darauf eingeganden. Für interessierte Leser werden die Ausführungen in [3] konkretisiert und fortgesetzt. Zur Bestimmung eines eindeutigen optimalen Portfolios kann jedoch auch eine risikoloser Bond hinzugezogen werden. Daher betrachten wir nun ein Portfolio Q bestehend aus dem risikobehafteten Portfolio P (mit erwarteter Rendite µ P und Risiko σ P ) und dem risikolosen Bond B mit Zinssatz r. Mit α wird der Anteil bezeichnet, den der Bond B am Gesamtportfolio Q hat. Aufgrund dieser Daten lässt sich die erwartete Rendite des Portfolios Q

13 10 Kapitel 2: Ein-Schritt-Optimierung berechnen: µ Q = αr + (1 α)e[r P ] = αr + (1 α)µ P = µ P + α(r µ P ) Da der Bond B kein Risiko hat, und daher sowohl VAR[r] = 0 und COV[r, ] = 0 gilt, lässt sich die Varianz von Q wie folgt berechnen: σq 2 = Var[αr + (1 α)r P ] = α 2 Var[r] + 2α(1 α)cov[r, R] + (1 α) 2 σp 2 = (1 α) 2 σp 2 µ Q und σ Q liegen also auf der folgenden Gerade: ( σq µ Q ) = ( σp µ P ) ( ) σp α µ P r (2.1) Hat sich ein Investor entschieden, welches Risiko σ Q er einzugehen bereit ist, so lässt sich α schreiben als: α(σ Q ) = 1 σ Q σ P Setzt man dies nun in die Renditegleichung ein, so erhält man µ Q = µ P + α(r µ P ) = µ P + (1 σ Q σ P )(r µ P ) = µ P + (r µ P ) σ Q σ P (r µ P ) = r + µ P r σ P σ Q Das optimale Portfolio P maximiert somit µ P r σ P. Der Anleger kann sich nun - je nach Risikoaversion - einen Punkt auf der sogenannten ( ) Kapitalmarktlinie ( ) aussuchen, die im µ-σ- 0 σp Diagramm auf der Verbindungsgeraden von und liegt. Kann der Anleger auch r µ P einen Kredit mit Zinssatz r aufnehmen (α (, 1]), so ist jeder Punkt auf der Halbgeraden im 1. Quadranten erreichbar.

14 2.4. PROBLEME UND KRITIK 11 Abbildung 2.3: Im optimalen Portfolio P tangiert die Kapitalmarktlinie die Effizienzlinie 2.4 Probleme und Kritik Das größte Problem wurde durch einen kurzen Verweis auf [1] schon in der Einleitung umgangen: Wie bekomme ich gute Schätzungen für µ und Σ. Die erste, häufigste und einfachste Herangehensweise ist die Betrachtung der Vergangenheit mit Hilfe von Zeitreihenanalysen. Man erwartet in Zukunft die gleichen Renditen und das gleiche Risiko, wie es in der Vergangenheit beobachtet wurde. Als alleinige Berechnungsgöße sollten vergangene Kurse jedoch nicht dienen, zumal man bei der hier besprochenen Theorie nicht umschichtet, sobald man merkt, dass man falsch gelegen hat. Eine Hinzunahme weiterer Kenngrößen wie das in der Einleitung erwähnte Kurs-Gewinn-Verhältnis kann Hinweise darauf geben, ob man sich beispielsweise in eine Spekulationsblase bewegt. Mit einem im Sektorvergleich überhöhten KGV kann, auch bei guten Vergangenheitsdaten, auf einen weniger steilen Kursverlauf geschlossen werden. Auch die Ableitungen der vergangenen Renditeverläufe µ σ und können zur Konkretisierung der Daten hinzugezogen werden. Auch eine Betrachtung der Zukunft durch das t t Verhalten der Kurse von Optionen und Futures kann zur Prognose der Renditen verwendet werden. In der dynamischen Portfoliooptimierung kann man zusätzlich dynamische Schätzer verwenden, die versuchen, die Dynamik der Größen nachzubilden. In den seltensten Fällen sind die Ergebnisse erkennbar besser als bei der naiven Zeitreihenanalyse, was man schon daran sieht, dass nur wenige aktiv gemanagte Fonds ihren Leitindex überbieten. Desweiteren ist es fraglich, ob die Renditen normalverteilt sind, wie beim oben besprochenen Modell angenommen wird. Es kann sein, dass es wenige große negative Einzelrenditen gibt (z. B. Crashs) und dafür viele kleine positive Einzelrenditen. Eine wichtige Eigenschaft der Normalverteilung - die Symmetrie - ist daher fraglich. Ein weiterer Kritikpunkt ist, dass die Kovarianzmatrix die ganze Zeit als konstant ange-

15 12 Kapitel 2: Ein-Schritt-Optimierung nommen wird. Leider ist es so, dass bei Crashs (d. h. in volatilen Märkten) Korrelationen zunehmen, also gerade dann, wenn Diversifikation helfen soll. Da man im oben beschriebenen Modell nicht umschichtet, kann man auf veränderte Begebenheiten nicht reagieren und gegensteuern. Diese Beschränkung wird im nächsten Kapitel aufgelöst und es wird versucht, eine optimale Steuerungsstrategie für das risikobehaftete Portfolio numerisch herzuleiten.

16 Kapitel 3 Dynamische-Portfolio-Optimierung Aufbauend auf der Vorlesung Stochastische Dynamische Optimierung [4] wird in diesem Kapitel versucht, eine optimale Steuerungsstrategie für das Portfolio bestehend aus zwei risikobehafteten Anlagemöglichkeiten zu finden. Dies geschieht mit Hilfe der in der Vorlesung vorgestellen numerischen Methoden. 3.1 Binomialmodell Zuerst muss das zeitdiskrete stochastische System modelliert werden. Dazu betrachten wir den Ansatz aus der Vorlesung. In jedem Zeitschritt steigt der Kurs der Aktie mit Wahrscheinlichkeit 1 um einen Faktor h > 1 und sinkt mit Wahrscheinlihkeit 1 um einen Faktor 2 2 l < 1. Falls der Erwartungswert µ und die Varianz σ 2 der stetigen Renditen vorliegt, lassen sich h und l mittels der Formel aus Aufgabe 1 des 2. Übungsblattes aus µ und σ berechnen. Gehen µ und σ aus diskreten Renditen hervor, so lautet die Formel h = µ + σ und l = µ σ. Allerdings haben wir bei zwei Aktien zwei voneinander abhängige Zufallsvariablen Zt i : Ω {h i, l i }(i = 1, 2). Die Wahrscheinlichkeiten P Z i t ({h i }) = P Z i t ({l i }) = 1 bleiben zwar 2 weiterhin unverändert, allerdings ist die Wahrscheinlichkeit für den Gleich- bzw. Gegenlauf der zwei Aktien unbekannt. Die Wahrscheinlichkeiten P Z 1 t Zt 2({h 1, h 2 }) und P Z 1 t Zt 2({l 1, l 2 }), die den Gleichlauf der zwei Aktien beschreiben, sind jeweils gleich. Selbiges gilt für die Wahrscheinlichkeiten eines Gegenlaufs der Aktie, d. h. P Z 1 t Zt 2({h1, l2}) = P Zt 1 ({l 1, h Z2 t 2 }). Mit Hilfe der bekannten Korrelation ρ 12 lässt sich die Wahrscheinlichkeit für einen Gleichlauf zweier Aktien wie folgt berechnen: 13

17 14 Kapitel 3: Dynamische-Portfolio-Optimierung ρ 12 = = COV[R 1,R 2 ] VAR[R1 ] VAR[R 2 ] E[(R 1 µ 1 )(R 2 µ 2 )] E[(R 1 µ 1 ) 2 ] E[(R 2 µ 2 ) 2 ] 4P (R 1 (ω i ) µ 1 )(R 2 (ω 4 ) µ 2 )P (ω i ) i=1 = s s 2P 2P (R 1 (ω i ) µ 1 )P (ω i ) (R 2 (ω i ) µ 2 )P (ω i ) i=1 i=1 = (h 1 µ 1 )(h 2 µ 2 )P (h 1 h 2 )+(h 1 µ 1 )(l 2 µ 2 )P (h 1 l 2 )+(l 1 µ 1 )(h 2 µ 2 )P (l 1 h 2 )+(l 1 µ 1 )(l 2 µ 2 )P (l 1 l 2 ) (h1 µ 1 ) (l 1 µ 1 ) 2 1 (h2 µ 2 2 ) (l 2 µ 2 ) (#) = [( h 1 l 1 )( h 2 l 2 )+( l 1 h )( l2 h 2 2 )]2P (h 1 h 2 )+[( h 1 l 1 )( l 2 h 2 )+( l 1 h 1 )( h 2 l 2 )](1 2P (h h 2 )) q q ( h 1 l 1 ) 2 2 +( l 1 h 1 ) 2 2 ( h 2 l 2 ) 2 2 +( l 2 h 2 ) = [(h 1 l 1 )(h 2 l 2 )+(l 1 h 1 )(l 2 h 2 )]2P (h 1 h 2 )+[(h 1 l 1 )(l 2 h 2 )+(l 1 h 1 )(h 2 l 2 )](1 2P (h 1 h 2 )) (h 1 l 1 ) 2 +(l 1 h 1 ) 2 (h 2 l 2 ) 2 +(l 2 h 2 ) 2 = [2(h 1h 2 h 1 l 2 l 1 h 2 +l 1 l 2 ) 2(h 1 l 2 h 1 h 2 l 1 l 2 +l 1 h 2 )]2P (h 1 h 2 )+2(h 1 l 2 h 1 h 2 l 1 l 2 +l 1 h 2 ) 2(h 1 l 1 )(h 2 l 2 ) = 4P (h 1h 2 )(h 1 h 2 h 1 l 2 l 1 h 2 +l 1 l 2 ) (h 1 h 2 h 1 l 2 l 1 h 2 +l 1 l 2 ) (h 1 h 2 h 1 l 2 l 1 h 2 +l 1 l 2 ) = 4p hh 1 wobei P (h 1 h 2 ) eine Abkürzung für P Z 1 t Z 2 t ({h 1, h 2 }) bezeichnet, und an der Stelle (#) verwendet wurde, dass µ i = h i+t i 2 P (h 1 h 2 ) + P (h 1 l 2 ) + P (l 1 h 2 ) + P (l 1 l 2 ) = 2P (h 1 h 2 ) + 2P (h 1 l 2 ) = 1 Somit sind die Wahrscheinlicheiten P Z 1 t Z 2 t ({h 1, h 2 }) = P Z 1 t Z 2 t ({l 1, l 2 }) = ρ und P Z 1 t Z 2 t ({h 1, l 2 }) = P Z 1 t Z 2 t ({l 1, h 2 }) = 1 2 ρ = 1 ρ 12 4

18 3.2. OPTIMALE STEUERUNG DES PORTFOLIOS 15 Abbildung 3.1: Aus zwei unabhängigen Binärbäumen wird durch hinzufügen der Korrelation ein Quartärbaum Mit Hilfe dieser Zufallszahlen definieren wir folgenden stochastischen Prozess: ( ) x 1 (z 1 u + z 2 (1 u)) f(x, u, z) = z 1 u z 1 u+z 2 (1 u) Hiebei ist x 1 das Gesamtkapital K x 2 der Anteil der ersten Anlage am Gesamtkapital u die Steuerung, die den Anteil der ersten Anlage am Gesamtkapital neu festlegt. ( ) z1 z = die oben beschriebene Zufallsvariable z Optimale Steuerung des Portfolios Um eine optimale Steuerung für das Portfolio berechnen zu können, muss man das folgende stochastische dynamische Optimierungsproblem lösen: Problem 3.1 Gegeben: stochastisches Kontrollsystem mit Lösung X t = X t (x 0, u) laufende Ertragsfunktion l : R n U R

19 16 Kapitel 3: Dynamische-Portfolio-Optimierung Diskontfaktor β (0, 1] End-Ertragsfunktion L : R n R Zeithorizont {0, 1,..., T } Das auf dem Zeithorizont zu lösende Optimierungsproblem lautet: maximiere J T (x 0, u) := E { T 1 } β t l(x t, u t ) + β T L(X T ) Die optimale Wertefunktion V T : R n R ist definiert durch t=0 V T (x 0 ) := sup u U x0 J T (x 0, u) Da das hier behandelte Problem auf endlichem Zeithorizont gelöst wird, kann der Diskontfaktor als β = 1 gewählt werden. Im folgenden wird durch Anpassen der Endkosten L(x) und der laufenden Kosten l(x, u) auf numerischen Weg eine optimale Steuerungsstrategie gesucht. Dabei wird die erste Steuerung mit der Effizienzkurve der statischen Portfoliooptimierung verglichen. Zuletzt wird durch Hinzufügen von Transaktionskosten realitätsnahe Steuerung betrieben. Beispiel 3.2 Die in den folgenden Kapitel getroffenen Schlussfolgerungen beziehen sich auf eine Auswertung eines Beispiels. Die Daten hierfür sind: h 1 = 1.3 l 1 = 0.9 h 2 = 1.1 l 1 = 0.95 ρ 12 = Damit ist die erste Anlage sowohl die risikoreichere als auch die ertragsreichere Anlage. Die Portfolios sind Effizient nach Definition 2.3 wenn der Anteil von x 2 mindestens 23,73% des Gesamtporfolios ausmacht. Im Punkt x 2 = 0.237, dem Min-Variance-Portfolio, beträgt die Rendite 4,28 %. Im ertragsmaximalen Portfolio (x 2 = 1) ist die erwartete Rendite 10%. Alle Portfolios mit x 2 [0.237, 1.0] sind in diesem Beispiel effizient. Im Folgenden wird versucht, durch Anpassen der Funktionen l(x, u) für die laufenden Kosten und L(x) für die Endkosten eine optimale Steuerung zu berechnen. Dabei werden unterschiedliche Ansätze vorgestellt und am Ende bewertet. Der Zeithorizont ist dabei stets T = 10 und der Diskontfaktor wird auf β = 1 gesetzt.

20 3.2. OPTIMALE STEUERUNG DES PORTFOLIOS Endkosten L(x) Ähnlich wie die Nutzenfunktion beim Ein-Schritt-Optimierungsverfahren und analog zur Vorlesung [4] stellt die Endkostenfunktion die Risikoaversion dar. Dazu sollte die Funktion, die das Endkaptial x 1 T bewertet streng monoton wachsend und konkav sein. Als Beispiel wurden hier L(x) = ln(x 1 ), L(x) = x 1 0.4x 2 1 und L(x) = 1 x 1 gewählt. Der Ansatz - das Risiko in den Endkosten zu bestrafen - ist durchaus sinnvoll, da die Risikoaversion stärker ins Gewicht fällt, je näher man dem Endzeitpunkt kommt. Dieser Ansatz entspricht auch den allgemeinen Ratschlägen zur Altervorsorge, bei denen auf lange Frist (30 Jahre) eine risikoreichere und erstragsversprechende Anlage empfohlen wird, während kurz vor Erreichen des Zielalters eine konservativere Anlagenmischung empfohlen wird. (a) L(x) = ln(x 1 ) (b) L(x) = x 1 0.4x 2 1 (c) L(x) = 1 x 1 Abbildung 3.2: Feeback mit l(x, u) = 0, Transaktionskosten = 0 und l 1 = 0.8 Da wir aktuell noch keine Transaktionskosten betrachten, hängt die optimale Steuerung nicht von x 2 ab. Daher ist das Feeback in den Bildern auch nur in Abhängigkeit von x 1 dargestellt. Unter den Beispieldaten mit l 1 = 0.9 wurde im Fall L(x) = ln(x 1 ) konstant mit u = 1.0 gesteuert. Man hat also keinen Unterschied zur Steuerung L(x) = x 1 - die immer voll in die ertragreichere Anlage investiert - gesehen. Mit l 1 = 0.8 wurde sowohl die Varianz der ersten Anlage weiter erhöht, als auch der Erwartungswert etwas abgesenkt. Diese Änderung bescherte die Gelegenheit, das Verhalten der Steuerung im Innern des Steuerbereichs U = [0, 1] bei unterschiedlichen Endkosten zu sehen. Dabei zeigen die Funktionen L(x) = ln(x 1 ) und L(x) = 1 x 1 ein ähnlich konstantes Verhalten. Sie schwanken im numerisch vernachlässigbaren Bereich um einen konstanten Wert. Wird beim Optimierer die Toleranz für numerische Fehler herabgesetzt, so wird auch die Amplitute der Schwankungen kleiner. Bei der quadratischen Endkostenfunktion hingegen sieht man eine - im Gesamtkapital - streng monoton fallende Steuerung. Wird L(x) = x 1 x 2 1 gewählt (wichtig: α 1, 2 hier: α = 0.4), so ist die Steuerung streng monoton fallend in x 1, d. h. je mehr Kapital zur

21 18 Kapitel 3: Dynamische-Portfolio-Optimierung Verfügung steht, desto weniger risikoreich wird gesteuert laufende Kosten l(x,u) In diesem Abschnitt wählen wir stets L(x) = x 1 und betrachten das Verhalten der optimalen Steuerung bei Hinzuname von laufenden Kosten. Um das Risiko über die Zeit hinweg gering zu halten, kann man mittels laufender Kosten einen Strafterm für das eingegangene Risiko ansetzten. Abhängig von einem Parameter b, der den Grad der Risikoaversion darstellt, kann man l(x, u) setzten als l(x, u) = b x 1 (u, 1 u ) ( ) u Σ 1 u Die Lösung durch Anwenden dieser Kosten ist eine von x unabhängige Steuerung. (3.1) Abbildung 3.3: Steuerung abhängig vom Gesamtkapital mit b = 10 Die Steuerung ist jedoch nicht linear im Faktor b. Bei obigem Beispiel 3.2 ist die optimale Steuerung in Abhängigkeit von b wie folgt: b Steuerung b Steuerung Die risikominimale Steuerung ist hier in der dynamischen Optimierung mit u = 0.23 genau wie x 1 im statischen Min-Variance-Portfolio. Grafisch sieht die Steuerung in Abhängigkeit 1 von b (in diesem Beispiel) einer + minimales Risiko - Funktion ähnlich. Diese Annahme x muss jedoch erst durch weitere Beispiele geprüft werden.

22 3.2. OPTIMALE STEUERUNG DES PORTFOLIOS 19 Abbildung 3.4: Steuerung abhängig vom Paramter b laufene Kosten und Endkosten Nun kombinieren wir die beiden Kostenfunktionen, indem wir l(x, u) 0 und L(x) x 1 setzen. Da die Steuerung mit l(x, u) = b x 1 (u, 1 u ) ( ) u Σ genau wie mit L(x) = 1 u ln(x 1 ) und L(x) = 1 bis auf numerische Fehler konstant in x x 1 ist, wäre zu erwarten, dass eine Kombination der beiden wieder eine konstante Steuerung ergibt. Dies ist jedoch nicht der Fall. In jedem der drei Fälle ist die Steuerung streng monoton fallend in x 1, d. h. je mehr Geld ein (a) L(x) = ln(x 1 ) (b) L(x) = x 1 0.4x 2 1 (c) L(x) = 1 x 1 Abbildung 3.5: Feeback mit l(x, u) = x 1 (u, 1 u ) ( ) u Σ, Transaktionskosten = 0 1 u Anleger zur Verfügung hat, umso weniger legt er in die risikoreiche Anlage an. Dabei kann man aber nur in den Fällen L(x) = ln(x 1 ) und L(x) = 1 x 1 sagen, dass auch das Risiko mit wachsendem Vermögen abnimmt. Bei der quadratischen Kostenfunktion L(x) = x 1 0.4x 2 1

23 20 Kapitel 3: Dynamische-Portfolio-Optimierung nimmt das Risiko ab einem gewissen Vermögen sogar wieder zu und die Steuerung wird ineffektiv Transaktionskosten Um eine realistische Steuerung zu berechnen, dürfen Transaktionskosten nicht außer Acht gelassen werden. Durch die Hinzunahme von Transaktionskosten wird erstmalig eine von x 2 - d. h. dem Verhältnis der beiden Aktien im Portfolio - abhängige Steuerung erwartet. Die Transaktionskosten werden hierbei als 1% des Umsatzes angenommen. Mathematisch gesehen verändert sich daher der stochastische Prozess in ( ) x 1 (z 1 u + z 2 (1 u)) 2 T K x 1 u x 2 f(x, u, z) = z 1 u z 1 u+z 2 (1 u) wobei T K der Kostenanteil am Umsatz einer Anlage ist. Dieser muss mit 2 multipliziert werden, da die Kosten sowohl beim Verkauf der einen wie auch beim Ankauf der anderen Anlage anfallen. Wir betrachten hier exemplarisch L(x) = ln(x 1 ), da die Beobachtungen mit anderen Endkosten nicht auf eine Abhängigkeit von der Endkostenfunktion hindeuten. In der (a) L(x) = ln(x 1 ) (b) L(x) = x 1 0.4x 2 1 (c) L(x) = 1 x 1 Abbildung 3.6: Feeback mit Transaktionskosten = 0.02x 1 u x 2 ersten Grafik sieht man deutlich, dass aus den konstanten Steuerungen aus bei l(x, u) = 0 durch Hinzufügen von Transaktionskosten eine abschnittsweise definierte Funktion wird. Sei u die Steuerung, die in ohne Berücksichtigung von Transaktionskosten berechnet wurde, und sei δ > 0 eine reelle Zahl, dann verläuft die optimale Steuerung u T K im System mit Transaktionskosten in etwa entlang folgender Funktion: u δ für x 2 < u δ u T K = x 2 für u δ x 2 u + δ u + δ für x 2 > u + δ

24 3.2. OPTIMALE STEUERUNG DES PORTFOLIOS 21 Auch die zweite Grafik (mit l(x, u) = x 1 (u, 1 u ) ( ) u Σ ) bestätigt diese Annahme, 1 u da die in dargestellte Steuerung hier von einem δ-schlauch zentriert umgeben wird. Die dritte Grafik zeigt diese Steuerung in allen drei Dimensionen Zusammenfassung In der obigen Ausführung wurden viele Kombinationsmöglichkeiten vorgestellt. Eine gute Möglichkeit, die statische Mean-Variance-Theorie nachzustellen, bietet dabei das Zielfunktional sup E u U x0 { T 1 t=0 b x 1 t (u ( ) } ) ut t, 1 u t Σ + x 1 T 1 u t das in vorgestellt wurde. Hier wäre es gut, eine Linearität von b herzustellen, indem man die Kosten durch einen Skalierungsfaktor ergänzt. Mit b = 0 risikolos und b = 1 stark risikobehaftet könnte man dann für jedes Problem einen Risikoaversionsgrad zwichen 0 und 1 wählen. Dafür muss jedoch beachtet werden, dass das Feedback nicht immer gleich von b abhängt, sondern die einzelnen Problemdaten mit eingehen müssen. Ein weiteres sinnvolles Zielfunktional, das aber nicht so gut vergleichbar mit der statischen Optimierung ist, ist sup u U x0 E {N(x T )} Hier stellt N eine konkave, streng monoton steigende Nutzenfunktion dar, wie sie schon in erwähnt wurden. Allerdings muss hierbei darauf geachtet werden, dass gerade bei längeren Zeiträumen das Risiko nicht zu schwach ins Gewicht fällt. Viele hier nicht vorgeführte Beispiele ergaben bei L(X) = ln(x) eine ertragsmaximierende Steuerung u = 1 als Optimalsteuerung. Außerdem sollte darauf geachtet werden, dass im Fall ohne Berücksichtigung von Transaktionskosten stets eine effiziente Steuerung gewählt wird. Dies wird z. B. von der quadratischen Nutzenfunktion nicht garantiert. Die Kombination der beiden Zielfunktionale, bei der man in den laufenden Kosten das Risiko und in den Endkosten eine Nutzenfunktion modelliert, ist schwerer zu bewerten. Durch ihre Abhängigkeit von x 1 ergibt sich das erste Problem, denn in den Beispielen wurde das Gesamtkapital, das mehrere tausend Euro betragen kann, auf das Intervall [0,1] skaliert. Die optimale Steuerung ist risikoreicher je weniger Geld ein Anleger zur Verfügung hat. Doch wie ordnet man einen bestimmten Betrag ein; was ist wenig Geld, was viel? Außerdem ist es fragwürdig, ob die Risikobereitschaft eines Anlegers automatisch von seinem Gesamtkapital abhängen soll. Viel besser wäre es, jeder könne seinen Grad der Risikoaversion komplett selbst bestimmen. Ein zweiter Punkt ist, dass man hier zwei Konzepte vermischt. Denn so-

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