Portfolio- und Kapitalmarkttheorie

Transkript

1 Portfolio- und Kapitalmarkttheorie 2-WP-Fall der Portfoliotheorie Prof. Dr. Daniela Lorenz Julius-Maximilians-Universität Würzburg Sommersemester 2018

2 Organisatorisches Literatur Hintergrund Beispiel Annahmen Rendite und Risiko Rendite und Risiko eines Portfolios Transformationskurve Minimum-Varianz-Portfolio Spezialfälle Effiziente Portfolios Optimales Portfolio

3 Kontakt 1 Prof. Dr. Daniela Lorenz Sanderring 2, Raum 381 Tel: daniela.lorenz@uni-wuerzburg.de Sprechstunde: nach Vereinbarung

4 Allgemeine Kursinformationen 2 Portfolio- und Kapitalmarkttheorie Pflicht in Schwerpunkt Corporate Finance Pflicht in Vertiefung FACT Wahl in Schwerpunkt Geldpolitik Ähnlich Bank 1a, aber 2 SWS VL + 2 SWS Übung Vorlesung Übung Daniela Lorenz Jonathan Bergmann Dienstag Mittwoch Brose-HS HS 162 Kursunterlagen: WueCampus2

5 Lernziele 3 Wie bestimmen Sie Ihr optimales Wertpapier-Portfolio? Welches ist das bedeutendste Modell der modernen Kapitalmarkttheorie? Auf welchen Annahmen beruht dieses Modell? Welche sind die Ergebnisse und Implikationen dieses Modells? Wie lassen sich diese empirisch überprüfen und mit welchen Ergebnissen? Welche Alternativen und Erweiterungen gibt es? In den kommenden Wochen werden wir Antworten auf diese Fragen suchen!

6 Literatur Hintergrund Beispiel Annahmen Rendite und Risiko Literatur 4 Brealey/Myers/Allen (2012), Principles of Corporate Finance, Part 2, S Cochrane (2005), Asset Pricing, revised edition, Princeton University Press. Copeland/Weston/Shastri (2008), Finanzierungstheorie und Unternehmenspolitik, dt. Übersetzung der 4. Aufl., Kap. 5 (S ). Hillier/Ross/Westerfield/Jaffe/Jordan (2013), Corporate Finance, 2nd European Edition, Part 3, S Huang/Litzenberger (1988), Foundations for Financial Economics Prentice Hall. Kruschwitz (2014), Investitionsrechnung, 14. Aufl., S Markowitz (1952), Portfolio Selection, Journal of Finance (7), S Pennacchi (2008), Theory of Asset Pricing, Pearson Addison Wesley. Wenger (1991), Diversifikation und Kapitalmarktgleichgewicht, WiSt, S

7 Literatur Hintergrund Beispiel Annahmen Rendite und Risiko Diversifikation 5...it is advisable to divide goods which are exposed to some small danger into several portions rather than to risk them all together. Daniel Bernoulli (1793) Diversifikation als Instrument zur Senkung des Verlustrisikos ist seit langem bekannt Fingerspitzengefühl der Investoren 1950 er: theoretische und mathematische Grundlage für die Portfoliowahl Entstehung der modernen Portfoliotheorie

8 Literatur Hintergrund Beispiel Annahmen Rendite und Risiko Moderne Portfoliotheorie 6 Die Portfoliotheorie wurde im Jahre 1952 von Harry M. Markowitz entwickelt. In der Standardversion geht es um folgendes Problem: Ein Investor hat ein bestimmtes Budget, das er für riskante Anlagen (z.b. Aktien) auszugeben wünscht. Es gibt eine Menge verschiedener Aktien j, über die folgende Informationen bekannt sind: erwartete Renditen E( r j), Varianzen der Renditen V ar( r j), Kovarianzen der Renditen Cov( r j, r i) Wie ist das Portfolio zu wählen (ω j )?

9 Literatur Hintergrund Beispiel Annahmen Rendite und Risiko Beispiel - Fragestellung 7 Die Vorgehensweise bei der Portfoliowahl wird anhand von einem Beispiel mit zwei Wertpapieren veranschaulicht 2 riskante Finanztitel: Zalando SE Aktie Daimler AG Aktie 1. Was ist das Portfolio mit dem geringsten Risiko? 2. Was ist das Portfolio mit der höchsten erwarteten Rendite? 3. Was ist die optimale Wertpapierallokation?

10 Literatur Hintergrund Beispiel Annahmen Rendite und Risiko Zalando SE 8 Europas führende Online-Plattform für Mode (MDAX) An der Börse seit 1. Oktober 2014 Kennzahlen 2016 Umsatz: 3,639 Mrd. e Bilanzsumme: 2,569 Mrd. e Ergebnis nach Steuern: 120,50 Mio. e Anzahl Mitarbeiter:

11 Literatur Hintergrund Beispiel Annahmen Rendite und Risiko Zalando SE 9

12 Literatur Hintergrund Beispiel Annahmen Rendite und Risiko Daimler AG 10 Hersteller von Personenkraftwagen und Nutzfahrzeugen An der Börse seit (DAX) Kennzahlen 2016 Umsatz: 153,261 Mrd. e Bilanzsumme: 242,988 Mrd. e Ergebnis nach Steuern: 8,526 Mrd. e Anzahl Mitarbeiter:

13 Literatur Hintergrund Beispiel Annahmen Rendite und Risiko Daimler AG 11

14 Literatur Hintergrund Beispiel Annahmen Rendite und Risiko Annahmen im Markowitz-Modell 12 Kapitalmarkt Keine Transaktionskosten und Steuern Das gesamte Vermögen des Investors wird in riskante Wertpapiere investiert Die Wertpapiere sind beliebig teilbare Güter keine Leerverkäufe (zunächst) 1-Perioden-Welt Investoren Investoren sind Preisnehmer µ σ Prinzip

15 Literatur Hintergrund Beispiel Annahmen Rendite und Risiko Vorgehensweise 13 Nach Markowitz besteht der Investitionsprozess aus zwei Stufen 1. Stufe: Beobachtung und Schätzung der zukünftigen Entwicklung der Wertpapierpreise bzw. -renditen r t = X t X t 1 X t 1 2. Stufe: Entscheidung über die Zusammensetzung des Portfolios Portfoliowahl

16 Literatur Hintergrund Beispiel Annahmen Rendite und Risiko Renditen 14 Historische Rendite Arithmetischer Durchschnitt r = 1 T T t=1 r t Geometrischer Durchschnitt r = [(1 + r 1 ) (1 + r 2 )... (1 + r T )] 1/T 1 Erwartete Rendite Zeitreihenanalyse Analystenforecasts Zukunftsszenarien: E( r) = S s=1 r s q s Zustand s Depression Normal Boom Wahrscheinlichkeit q D q N q B Rendite r D r N r B

17 Literatur Hintergrund Beispiel Annahmen Rendite und Risiko Risiko 15 Risiko einer Anlage wird durch die Varianz Var(r) bzw. Standardabweichung σ(r) beschrieben. Für die Varianz gilt: Bei historischen Renditen Var(r) = σ 2 = 1 T T 1 t=1 (r t r) 2 Bei erwarteten Renditen Var( r) = σ 2 = E[( r E( r)) 2 ] = E[ r 2 ] E[ r] 2 Für die Standardabweichung gilt: σ(r) = Var(r)

18 Literatur Hintergrund Beispiel Annahmen Rendite und Risiko Kovarianz und Korrelation 16 Lineare Zusammenhänge werden durch die Kovarianz bzw. Korrleation beschrieben. Die Kovarianz Cov ist ein nicht normiertes Maß (keine Aussage über Stärke des Zusammenhangs) Bei historischen Renditen Cov(r x, r y ) = 1 T 1 T t=1 (r xt r x )(r yt r y ) Bei erwarteten Renditen Cov( r x, r y ) = E[( r x E[ r x ]) ( r y E[ r y ])] = E[ r x r y ] E[ r x ] E[ r y ] Die Korrelation ρ ist dagegen zwischen -1 und 1 normiert. ρ = Cov(r x,r y) Var(rx) Var(r y) = Cov(rx,ry) σ(r x)σ(r y)

19 Literatur Hintergrund Beispiel Annahmen Rendite und Risiko Beispiel 17 Verwendung historischer Monatsdaten Datenbasis: monatliche Renditen (Okt 2014 Okt 2017) arithmetischer Durchschnitt ExcelSheet Aktie Rendite r Risiko σ 2 Zusammenhang ρ Zalando 0,0288 0,0123 0,3683 Daimler 0,0071 0,0068

20 Rendite und Risiko eines Portfolios Transformationskurve Minimum-Varianz-Portfolio Spezialfälle Effiziente Portfolios Optimales Portfolio Erwartungswert eines Portfolios 18 Kombination aus beiden Finanztiteln ω i ist der Anteil des Wertpapiers i am Portfolio P, mit 0 ω i 1 und ω 1 + ω 2 = 1 Die historische durchschnittliche Rendite des Portfolios r P ist somit r P = ω 1 r 1 + ω 2 r 2 Die erwartete Rendite des Portfolios r P ist somit E[ r P ] = ω 1 E[ r 1 ] + ω 2 E[ r 2 ] In Matrizenschreibweise: ( ) E[ r ( P ] = ω µ ) = µ ω ω1 E[ r1 ] mit ω = und µ = E[ r 2 ] ω 2

21 Rendite und Risiko eines Portfolios Transformationskurve Minimum-Varianz-Portfolio Spezialfälle Effiziente Portfolios Optimales Portfolio Varianz eines Portfolios 19 Bei der Berechnung der Varianz des Portfolios ist die Kovarianz der einzelnen Wertpapiere zu beachten Für die Varianz des Portfolios gilt: Var( r P ) = Var(ω 1 r 1 + ω 2 r 2 ) = ω 2 1 Var( r 1 ) + 2ω 1 ω 2 Cov( r 1, r 2 ) + ω 2 2 Var( r 2 ) In Matrizenschreibweise: ( ) Var[ r ( p ] = ω Σω ) ω1 Var( r1 ) Cov( r mit ω = und Σ = 1, r 2 ) ω 2 Cov( r 2, r 1 ) Var( r 2 )

22 Rendite und Risiko eines Portfolios Transformationskurve Minimum-Varianz-Portfolio Spezialfälle Effiziente Portfolios Optimales Portfolio Beispiel - Portfolio 20 Angenommen, wir halten ein Portfolio P, das zur Hälfte aus der Zalando-Aktie und zur Hälfte aus der Daimler-Aktie besteht ExcelSheet Die durchschnittliche monatliche Rendite des Portfolios P beträgt: E[ r P ] = 0, 0180 Die Varianz des Portfolios P beträgt: Var[ r P ] = 0, 0065

23 Rendite und Risiko eines Portfolios Transformationskurve Minimum-Varianz-Portfolio Spezialfälle Effiziente Portfolios Optimales Portfolio Varianz des Portfolios und die Allokation 21 Die Varianz lässt sich in der Abhängigkeit von ω 1 darstellen, indem man für ω 2 = 1 ω 1 einsetzt In einem ergibt sich für die Varianz des Portfolios: Var( r P ) = ω 2 1 Var( r 1 ) + 2ω 1 (1 ω 1 ) Cov( r 1, r 2 ) + (1 ω 1 ) 2 Var( r 2 ) Diese Beziehung lässt gut graphisch abbilden! Beispiel: ExcelSheet

24 Rendite und Risiko eines Portfolios Transformationskurve Minimum-Varianz-Portfolio Spezialfälle Effiziente Portfolios Optimales Portfolio Transformationskurve 22 Viel bekannter ist die Renditen-Risiko-Darstellung der möglichen Portfoliokombinationen Für die vorhin ermittelten Standardabweichungen werden zugehörige erwartete Renditen ermittelt Das Resultat ist die sogenannte Transformationskurve. Sie beschreibt alle Kombinationen von E[ r P ] und σ[ r p ], die durch Mischung erreichbar sind Teilweise Risikovernichtung möglich Beispiel: ExcelSheet.xls

25 Rendite und Risiko eines Portfolios Transformationskurve Minimum-Varianz-Portfolio Spezialfälle Effiziente Portfolios Optimales Portfolio Transformationskurve 23 E[ r P ] E[ r 1 ] E[ r 2 ] σ[ r 2 ] σ[ r 1 ] σ[ r P ]

26 Rendite und Risiko eines Portfolios Transformationskurve Minimum-Varianz-Portfolio Spezialfälle Effiziente Portfolios Optimales Portfolio Minimum-Varianz-Portfolio 24 MVP ist die Wertpapierallokation mit dem geringsten Risiko FOC: Var[rp] ω 1! = 0 Im Zwei-Wertpapier-Fall gilt: ω 1 = Var( r 2 ) Cov( r 1, r 2 ) Var( r 1 ) + Var( r 2 ) 2 Cov( r 1, r 2 )

27 Rendite und Risiko eines Portfolios Transformationskurve Minimum-Varianz-Portfolio Spezialfälle Effiziente Portfolios Optimales Portfolio Spezialfall 1: Leerverkäufe 25 Sind Leerverkäufe zulässig, gilt ω i < 0 und ω j > 1 Transformationskurve hat keine Endpunkte E[ r P ] E[ r 1 ] E[ r 2 ] σ[ r 2 ] σ[ r 1 ] σ[ r P ]

28 Rendite und Risiko eines Portfolios Transformationskurve Minimum-Varianz-Portfolio Spezialfälle Effiziente Portfolios Optimales Portfolio Spezialfall 2: Mischung mit risikolosem Asset 26 Portfolio bestehend aus riskantes Asset risikoloses Asset Anteil ω 1 ω Rendite r j r f Erwartete Portfoliorendite: Varianz der Portfoliorendite: Transformationsgerade: E( r P ) = r f + ω (E( r j ) r f ) V ar( r P ) = ω 2 V ar( r j ) E( r P ) = r f + E( r j) r f σ j σ( r p )

29 Rendite und Risiko eines Portfolios Transformationskurve Minimum-Varianz-Portfolio Spezialfälle Effiziente Portfolios Optimales Portfolio Spezialfall 2: Mischung mit risikolosem Asset 27 E[ r P ] E[ r 1 ] r F σ[ r 1 ] σ[ r P ]

30 Rendite und Risiko eines Portfolios Transformationskurve Minimum-Varianz-Portfolio Spezialfälle Effiziente Portfolios Optimales Portfolio Spezialfall 3: Perfekte positive Korrelation 28 ρ = +1, keine Risikovernichtung möglich (sofern Leerverkäufe unzulässig) Transformationsgerade: E( r P ) = E( r 2)σ 1 E( r 1 )σ 2 σ 1 σ 2 + E( r 1) E( r 2 ) σ 1 σ 2 σ( r P ) MVP: Alles in Wertpapier mit kleinerer Varianz E[ r P ] E[ r 1 ] E[ r 2 ] σ[ r 2 ] σ[ r 1 ] σ[ r P ]

31 Rendite und Risiko eines Portfolios Transformationskurve Minimum-Varianz-Portfolio Spezialfälle Effiziente Portfolios Optimales Portfolio Spezialfall 4: Perfekte negative Korrelation 29 ρ = 1: vollständige Risikovernichtung möglich Transformationskurve besteht aus 2 linearen Teilabschnitten, die sich bei σ( r P ) = 0 treffen. MVP: ω 1 = σ2 σ 1+σ 2 E[ r P ] E[ r 1 ] E[ r 2 ] σ[ r 2 ] σ[ r 1 ] σ[ r P ]

32 Rendite und Risiko eines Portfolios Transformationskurve Minimum-Varianz-Portfolio Spezialfälle Effiziente Portfolios Optimales Portfolio Einfluss der Korrelation 30 Im wird die Form der Kurve durch die Korrelation der beiden Renditen bestimmt E[ r P ] E[ r A ] E[ r B ] ρ = 1 ρ = 0 ρ = +1 σ[ r B ] σ[ r A ] σ[ r P ]

33 Rendite und Risiko eines Portfolios Transformationskurve Minimum-Varianz-Portfolio Spezialfälle Effiziente Portfolios Optimales Portfolio Effiziente Portfolios 31 Ein risikoaverser Investor würde aus zwei Portfolios mit gleichem Risiko, das mit der höheren erwarteten Rendite auswählen Effizienter Rand: E[ r P ] E[ r 1 ] E[ r 2 ] σ[ r 2 ] σ[ r 1 ] σ[ r P ]

34 Rendite und Risiko eines Portfolios Transformationskurve Minimum-Varianz-Portfolio Spezialfälle Effiziente Portfolios Optimales Portfolio Optimales Portfolio 32 Das optimales Portfolio ist abhängig von der Risikoeinstellung E[ r p ] E[ r p ] E[ r p ] σ[ r p ] σ[ r p ] σ[ r p ]

35 Rendite und Risiko eines Portfolios Transformationskurve Minimum-Varianz-Portfolio Spezialfälle Effiziente Portfolios Optimales Portfolio Zurück zu unserem Eingangsbeispiel Das Portfolio mit dem geringsten Risiko ist: 2. Das Portfolio mit der höchsten erwarteten Rendite ist: 3. Die optimale Allokation der Wertpapiere in dem Portfolio ist: