Finanzwirtschaft. Foliensatz Vertiefungskurs aus ABWL: im Sommersemester / 2 und 7 Univ. Ass. Dr. Matthias G.

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1 Universität Wien Institut für Betriebswirtschaftslehre ABWL IV: Finanzwirtschaft /2+7 Univ. Ass. Dr. M.G. Schuster Foliensatz Vertiefungskurs aus ABWL: Finanzwirtschaft im Sommersemester / 2 und 7 Univ. Ass. Dr. Matthias G. Schuster c Alle Rechte vorbehalten 2004

2 Motivation Motivation Investitionsrechnung: heutige Anschaffungsauszahlungen zukünftige Rückflüsse, deren Höhe heute nicht mit Sicherheit bekannt sind Kapitalwertkriterium K 0 = A 0 + T t=1 C t (1 + k) t + R T (1 + k) T mit k... Berücksichtigung von Risiko: risikoangepasster Kapitalkostensatz: Sicherheitsäquivalent: VK ABWL: Finanzwirtschaft 2

3 zu beantwortende Fragestellungen: Inhalt Wie groß ist der erwartete Vermögenszuwachs bzw. welche Rendite kann erwartet werden? Wie riskant ist die Veranlagung? Wie groß ist die Chance, dass die erwartete Rendite tatsächlich erzielt wird? Wieviel und in welche riskante Investitionsmöglichkeiten soll veranlagt werden? Welche Prämien dürfen für die Übernahme von Risiko erwartet werden? Rendite, Risiko und die Risikoeinstellung von Investoren Portefeuilletheorie Moderne Kapitalmarkttheorie VK ABWL: Finanzwirtschaft 3

4 Inhalt und Gliederung Inhalt 1. Portfoliotheorie und moderne Kapitalmarkttheorie 1.1. Rendite, Risiko und Risikoeinstellung von Investoren 1.2. Portfoliotheorie 1.3. Capital Asset Pricing Model (CAPM) 2. Die relevanten Kalkulationszinsfüße in der Investitionsrechnung 3. Bewertung mittels Netto, Brutto und APV Methode VK ABWL: Finanzwirtschaft 4

5 Messung von Vermögensänderungen Renditemessung absolut: Um wieviele Geldeinheiten verändert sich das Vermögen? { > 0 Vermögenszuwachs V t V t 1 = V t < 0 Vermögensminderung mit V t... Vermögen zu t Aussagekraft: relativ: Um wie viel Prozent verändert sich das Vermögen? r t = = oder = absolute Vermögensänderung Anfangsvermögen = mit r t... Rendite der t ten Periode VK ABWL: Finanzwirtschaft 5

6 Zshg. zw. Anfangs und Endvermögen Renditemessung periodenspezifische Rendite r t Anfangsvermögen V 0 Endvermögen V T V T = 1 Kurzschreibweise: V T = 2 VK ABWL: Finanzwirtschaft 6

7 Diskrete und stetige Renditen Renditemessung diskret: r d t = V t V t 1 1 V t = stetig: ( ) rt s Vt = ln V t 1 V t = Zusammenhang: V t (r d t ) = V t (r s t) r d t = 3 bzw. r s t = 4 VK ABWL: Finanzwirtschaft 7

8 Renditemessung Vor und Nachteile stetiger und diskreter Renditen: Verteilungsannahme: Wie groß ist der auf Grund einer Normalverteilungsannahme der Rendite kleinstmögliche Wert für eine Rendite? Implikationen für das Endvermögen bei diskreten Renditen: bei stetigen Renditen: VK ABWL: Finanzwirtschaft 8

9 Renditemessung Konsistenz: Renditen von Fremdwährungen. Bspw. EUR/USD-Kurs, S t Europäischer Investor: r e t = ln S t S t 1 US-amerikanischer Investor: r $ t = ln 1/S t 1/S t 1 = Beispiel: Berechnen Sie die diskreten und stetigen Renditen aus Sicht eines europäischen und US-amerikanischen Investors EUR / USD 0,8790 0,8896 Lösung: Dekomposition mehrperiodiger Renditen: siehe bei Durchschnittsrenditen VK ABWL: Finanzwirtschaft 9

10 Wertpapierrenditen Renditemessung Fall 1: es erfolgen keine zwischenzeitlichen Zahlungen r t,i = P t,i 1 P t 1,i P t,i... r t,i... Preis des i ten Wertpapiers zu t Rendite des i ten Wertpapiers zu t (vor Steuern und Transaktionskosten) Fall 2: es kommt zu zwischenzeitlichen Zahlungen bspw. Dividendenzahlung Div t,i Kursabschlag: exd Pt,i ex... Preis des i ten Wertpapiers zu t exd Pt,i cum... Preis des i ten Wertpapiers zu t cumd Rendite: r t,i = P t,i ex + Div t,i 1 = P t,i ex P t 1,i P t 1,i } {{ } + Div t,i P t 1,i } {{ } VK ABWL: Finanzwirtschaft 10

11 Allgemein: Renditemessung r t,i = P ex t,i + NR t,i P t 1,i 1 = P t,i cum 1 P t 1,i NR t,i P ex t,i... Nebenrechte bei Wertpapier i in [t 1, t]. Preis des i ten Wertpapiers zu t exklusive Nebenrechte P cum t,i... Preis des i ten Wertpapiers zu t inklusive Nebenrechte VK ABWL: Finanzwirtschaft 11

12 Kursabschläge: Renditemessung exd... Dividendenzahlungen üblicherweise Bardividenden Dividendenaktien exbr... Bezugsrechte ordentl. Kapitalerhöhung gegen Bareinlagen Trennung der Altaktie in Bezugsrecht und Altaktie (exbr) keine Veränderung der Vermögensposition der Aktionäre! exba... Berichtigungsaktien auch Aufstockungs oder Zusatzaktien genannt fälschlicherweise manchmal mit Gratisaktien bezeichnet Umwandlung von Rücklagen in dividendenberechtigtes Grundkapital keine Veränderung der Vermögensposition der Aktionäre! sinnvoll bei zu starker Rücklagenbildung (Kurs der Aktie optisch zu teuer) Aktiensplit VK ABWL: Finanzwirtschaft 12

13 Beispiel: Renditemessung Zeit (in Jahren) Kurs t 400 t a) keine Nebenrechte b) Dividendenzahlung in Höhe von 12 GE in [t, t+1]. c) in [t, t + 1] notierte Bezugsrecht BR=3 d) in [t, t+1] wurden Berichtigungsaktien im Verhältnis 5:1 ausgegeben Lösung: VK ABWL: Finanzwirtschaft 13

14 Durchschnittliche Renditen Renditemessung Geometrische Durchschnittsrendite: T V 0 (1 + r t ) = V 0 (1 + r) T t=1 r = 5 bzw. r = 6 Wiederveranlagungsprämisse veränderlicher Kapitaleinsatz VK ABWL: Finanzwirtschaft 14

15 Arithmetische Durchschnittsrendite: Renditemessung r = 7 Arithmetisches Mittel Durchschnittlich entnommene bzw. eingezahlte Rendite konstanter Kapitaleinsatz Arithmetisch vs. geometrisch: geometrisches Mittel < arithmetisches Mittel identisch bei konstanten periodenspezifischen Renditen Beispiel: Zeit (in Jahren) Kurs t = t = 1 50 t = VK ABWL: Finanzwirtschaft 15

16 Renditemessung arithmetisch vs. geometrisch / diskret vs. stetig: Jahr Kurs rt d rt s Summe diskret: arithmetisch: geometrisch: 5 jährige Rendite: stetig: arithmetisch: geometrisch: 5 jährige Rendite Zusammenhang: VK ABWL: Finanzwirtschaft 16

17 Renditemessung Annualisierung von Durchschnittsrenditen Fall 1: Arithmetische Durchschnittsrendite r m (bspw. tägl. Rendite) ohne Berücksichtigung von Zinseszinsen r = m r m Fall 2: Arithmetische und geometrische Durchschnittsrendite r m (bspw. tägl. Rendite) mit Berücksichtigung von Zinseszinsen r = (1 + r m ) m 1 Beispiel: Zeit (in Halbjahren) Kurs Ermitteln Sie die diskreten Durchschnittsrenditen (arithmetisch und geometrisch) und annualisieren Sie diese. VK ABWL: Finanzwirtschaft 17

18 Ex ante vs. ex post Betrachtung Renditemessung ex post Betrachtung: vergangenheitsorientiert historische Renditen Performance Messung ex ante Betrachtung: zukunftsorientiert Szenariotechnik Prognose von Renditen Ausgangspunkt: wir gehen davon aus, dass Investor folgende Informationen kennt Umweltzustände z i (i = 1, 2,..., n) zustandsabhängige Renditen r(z i ) Eintrittswahrscheinlichkeiten für alle Zustände z i, p(z i ) Risikosituation VK ABWL: Finanzwirtschaft 18

19 Erwartete Rendite: Renditemessung Renditen werden als Zufallsvariable interpretiert Erwartungswert der zustandsabh. Renditen Berechnung für Aktie j: E(r j ) = 8 Erwarteter Kurs: E(P 1,j ) = 9 Beispiel: z i r(z i ) p(z i ) Boom 30 % 20 % Normal 12 % 60 % Rezession 5 % 20 % P 0 = 100 VK ABWL: Finanzwirtschaft 19

20 Risiko Risikomessung Anlageentscheidungen basieren idr nicht nur auf erwarteten Renditen ATX Verlauf: Quelle: Risikomaß: wünschenswerte Eigenschaften größere Abweichungen müssen stärker ins Gewicht fallen positive und negative Abweichungen dürfen sich nicht aufheben VK ABWL: Finanzwirtschaft 20

21 Risikomessung Varianz σ(r j ) 2 : arithmetisches Mittel der Abweichungsquadrate Streuungsmaß Standardabweichung σ(r j ): Volatilität, Gesamtrisiko Dimension von σ(r j ) 2 und σ(r j ): historisch: ex post Betrachtung σ(r j ) 2 = 1 n 1 ( n rj,t 2 1 n n t=1 t=1 ) 2 r j,t Quelle: und eigene Berechungen Heteroskedastizität: Varianz ist im Zeitablauf nicht konstant VK ABWL: Finanzwirtschaft 21

22 ex ante: Risikomessung σ(r j ) 2 = V ar(r j ) = E(r 2 j) E(r j ) 2 mit und E(r j ) = E(r 2 j) = n r j (z i ) p(z i ) i=1 n rj(z 2 i ) p(z i ) i=1 Beispiel: Monat Kurs VK ABWL: Finanzwirtschaft 22

23 Beispiel: Zustand,z i p(z i ) Rendite Boom 0,3 30 % Normal 0,5 15 % Rezession 0,2-20 % Risikomessung Ermitteln Sie (a) die Varianz und (b) die Volatilität. VK ABWL: Finanzwirtschaft 23

24 Renditen und ihre Verteilungen Renditen und Verteilungen Annahme, dass (stetige) Aktienrenditen normalverteilt sind: r N(µ, σ 2 ) Normalverteilung durch Lage und Streuungsparameter vollständig bestimmt In der klassischen Portfoliotheorie wurde unterstellt, dass die diskreten Aktienrenditen normalverteilt sind. Erst in späteren Arbeiten wurde die Verteilungsannahme für stetige Renditen getroffen, wodurch keine diskreten Renditen von weniger als 100 % möglich sind. Implikationen: Verteilung für diskrete Renditen: Aktienkurse: VK ABWL: Finanzwirtschaft 24

25 Renditen und Verteilungen Dichtefunktion: für unterschiedliche Volatilitäten (15, 20, und 25 %) Frage: Welche Dichtefunktion entspricht welcher Volatilität? Standardisierung: Ist r N(µ, σ 2 ) verteilt, so ist die (standardisierte) Zufallsvariable r µ σ Allgemein gilt: Ist X N(µ, σ 2 ) verteilt, dann ist Y = α X + β N(α µ + β, α 2 σ 2 ) verteilt. VK ABWL: Finanzwirtschaft 25

26 Standardnormalverteilung: Renditen und Verteilungen Dichtefunktion: φ(x) = 1 2 π e x2 /2 Verteilungsfunktion: Φ(x) = x 1 2 π e z2 /2 dz VK ABWL: Finanzwirtschaft 26

27 Ermittlung von Φ(x): Renditen und Verteilungen numerische Integrationsverfahren Software Tabelle der Verteilungsfunktion auf Grund der Symmetrie der Normalverteilung liegt die Tabelle idr nur für Werte x 0 vor. Φ( x) = 1 Φ(x) (lineare) Interpolation Approximationen: bspw. nach Hastings (für x > 0): Φ(x) π e x2 /2 5 i=1 ( 1 a i 1 + b x mit b = 0, a 1 = 0, a 2 = 0, a 3 = 1, a 4 = 1, a 5 =1, ) i VK ABWL: Finanzwirtschaft 27

28 Anwendungsbereich: Wahrscheinlichkeitsaussagen, wie z.b. Renditen und Verteilungen Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite kleiner als r o ist? P (r < r o ) = 10 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite größer als r u ist? P (r < r u ) = 11 VK ABWL: Finanzwirtschaft 28

29 Renditen und Verteilungen Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite im Bereich [r u, r o ] liegt? P (r u r r o ) = 12 Beispiele: Die Rendite einer Aktie sei N(0, 15; 0, 2 2 ) verteilt. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass die Rendite über 10 % p.a. unter 5 % p.a. zwischen 5 und 10 % p.a. liegt? oder Welche Rendite wird mit Wahrscheinlichkeit von 60 % mindestens erzielt? Welche Rendite wird mit Wahrscheinlichkeit von 60 % nicht überschritten? VK ABWL: Finanzwirtschaft 29

30 Vertiefung Renditen und Verteilungen Test auf Normalverteilung: χ 2 Anpassungstest Kolmogoroff-Smirnov Anpassungstest Tests auf Schiefe und Exzeß Höhere Momente Schiefe: drittes zentrales Moment einer Verteilung E(X E(X)) 3 V ar(x) 3 = ( 1 n n t=1 (r t r ) 3 ( 1 n n t=1 (r t r) 2) 3 Die Schiefe misst den Grad der Asymmetrie der Verteilung. Schiefe = 0 für symmetrische Verteilungen; Verteilungen mit negativer (positiver) Schiefe werden als linksschief oder rechtssteil (rechtsschief oder linkssteil) bezeichnet. VK ABWL: Finanzwirtschaft 30

31 Renditen und Verteilungen Kurtosis: viertes zentrales Moment; auch Wölbung oder Exzeß genannt E(X E(X)) 4 V ar(x) 2 = 1 n n t=1 (r t r) 4 ( 1 n n t=1 (r t r) 2) 2 Die Kurtosis gibt an, ob das absolute Maximum der Häufigkeitsverteilung größer als bei der Dichte der Normalverteilung ist. Die Kurtosis kann als Maß dafür angesehen werden, wie stark sich die Wölbung der Dichte von der Normalverteilung unterscheidet. Die Kurtosis der Normalverteilung beträgt 3. Verteilungen mit einer höheren (kleineren) Kurtosis werden als leptokurtische oder schmalgipflig (platykurtische oder breitgipflig) Verteilungen bezeichnet. VK ABWL: Finanzwirtschaft 31

32 Portfoliotheorie Portfoliotheorie Bisher: Ein Wertpapier Veranlagung in Aktie 1 Erwartete Rendite E(r 1 ) bei Risiko σ(r 1 ) Veranlagung in Aktie 2 Erwartete Rendite E(r 2 ) bei Risiko σ(r 2 ) Jetzt: Veranlagung in Aktie 1 und 2 2 Wertpapier Portfolio mit erwarteter Portfoliorendite E(r P ) bei einem Portfoliorisiko σ(r P ) Welche Portfoliorendite kann ein Investor erwarten und welches Risiko geht ein Investor ein? E(r P ) =? σ(r P ) =? VK ABWL: Finanzwirtschaft 32

33 Erwartete Portfoliorendite Portfoliotheorie Ausgangspunkt: Aktuelle Preise der Aktien: P 0,1 und P 0,2 Vermögen, das in Aktie 1 investiert wird: V 0,1 Vermögen, das in Aktie 2 investiert wird: V 0,2 Vermögen, das in Aktien investiert wird: V 0 = V 0,1 + V 0,2 Erwartete Renditen der Aktien: E(r 1 ) und E(r 2 ) Annahme: beliebige Teilbarkeit, d.h. V 0,i /P 0,i = q i R Ausgangsgleichung zur Bestimmung von E(r P ): E(V T ) = V 0,1 (1 + E(r 1 )) + V 0,2 (1 + E(r 2 )) Herleitung: VK ABWL: Finanzwirtschaft 33

34 Portfoliotheorie E(r P ) = 13 mit x 1... x 2... Zum selben Ergebnis kommt man natürlich, falls man sich an folgende Rechenregel aus der Statistik erinnert: E(Z) = 14 Z... Linearkombination der Zufallsvariablen X und Y : Z = a X + b Y Da nur in 2 Aktien investiert wird, muss x 2 = 15 gelten. VK ABWL: Finanzwirtschaft 34

35 Portfoliotheorie Die Gleichung für E(r P ) lässt sich somit als lineare Funktion in x 1 (bzw. x 2 ) anschreiben: E(r P ) = 16 Veranschaulichung: VK ABWL: Finanzwirtschaft 35

36 Portfoliotheorie Anteilsbestimmung bei geg. Portfoliorendite: x 1 = 17 mit x 2 = 1 x 1 Beispiel: E(r 1 ) = 10 % p.a., E(r 2 ) = 20 % p.a., E(r P ) = 17 % p.a. Wie groß sind die Anteile x 1 und x 2? VK ABWL: Finanzwirtschaft 36

37 Portfoliorisiko Portfoliotheorie Aktienkursentwicklung: Zufallspfad mit P t P t 1 = 2-Wertpapierportfolios: P t = P t 1 + P t µ t + σ t ɛ } {{ } N(µ t,σ t), da ɛ N(0,1) (a) (b) (c) VK ABWL: Finanzwirtschaft 37

38 Aktienrenditen können sich Portfoliotheorie tendenziell gleichläufig tendenziell gegenläufig relativ unabhängig voneinander entwickeln. Ein Maß, das die Stärke dieser Zusammenhänge beschreibt, ist die Kovarianz bzw. der Korrelationskoeffizient Cov(r 1, r 2 ) = E(r 1 r 2 ) E(r 1 ) E(r 2 ) 1 ϱ(r 1, r 2 ) = Cov(r 1, r 2 ) σ(r 1 ) σ(r 2 ) = ϱ(r 2, r 1 ) +1 Interpretation: ρ(r 1, r 2 ) = +1 : ρ(r 1, r 2 ) = 1 : ρ(r 1, r 2 ) = 0 : Portfoliorisiko wird von der Kovarianz bzw. Korrelation beeinflusst. VK ABWL: Finanzwirtschaft 38

39 Ermittlung von σ(r P ): Portfoliotheorie Statistik: für die Varianz einer Zufallsvariable Z = a X + b Y gilt V ar(z) = 18 Portfoliorisiko: demnach gilt für V ar(r P ) V ar(r P ) = 19 bzw. für σ(r P ) σ(r P ) = 20 VK ABWL: Finanzwirtschaft 39

40 Beispiel: Aktie σ(r j ) x j A 15 % p.a. 40 % B 20 % p.a. 60 % Portfoliotheorie ϱ(r A, r B ) = 0, 25 Gemeinsame Betrachtung: E(rP ), σ(rp ) Beispiel: Aktie E(r j ) σ(r j ) A 8 % p.a. 15 % p.a. B 14 % p.a. 20 % p.a. Stellen Sie den Zusammenhang zwischen erwarteter Rendite und Risiko graphisch dar, falls ϱ(r A, r B ) = 0, 25. Beginnen Sie dabei bei einem Portfolio mit x A = 100 % und reduzieren Sie schrittweise den Anteil von Aktie A im Portfolio bis eine 100 % ige Veranlagung in Aktie B erreicht ist. VK ABWL: Finanzwirtschaft 40

41 Portfoliotheorie Beispiel: (a) Wiederholen Sie das vorangegangene Beispiel mit ϱ(r 1, r 2 ) = +1. (b) Wiederholen Sie nun das vorangegangene Beispiel mit immer kleineren Korrelationskoeffizienten bis ϱ(r 1, r 2 ) = 1. VK ABWL: Finanzwirtschaft 41

42 Portfoliotheorie Konsequenzen: Portfolio-Möglichkeitskurve Jede Portfoliorendite in [...,...] erreichbar Jedes Portfoliorisiko in [...,...] erreichbar zus. sind Portfolios mit geringerem Risiko als erreichbar. Minimum Varianz Portfolio Mehrere Kombinationen (x 1, x 2 ) implizieren gleiches Portfoliorisiko Effiziente Portfolios, Effizienzkurve VK ABWL: Finanzwirtschaft 42

43 Portfoliotheorie Anteilsbestimmung bei geg. Portfoliorisiko: V ar(r P ) = x 2 1 V ar(r 1) + x 2 2 V ar(r 2) + 2Cov(r 1, r 2 )x 1 x 2 mit x 2 = 1 x 1 erhält man die quadratische Gleichung ax bx 1 + c = 0 mit a = V ar(r 1 ) + V ar(r 2 ) 2Cov(r 1, r 2 ) b = 2 (Cov(r 1, r 2 ) V ar(r 2 )) c = V ar(r 2 ) V ar(r P ) und den Lösungen x 1 = b ± b 2 4 a c 2 a Beispiel: VK ABWL: Finanzwirtschaft 43

44 Portfoliotheorie Das Minimum Varianz-Portfolio (MVP) Portfolio mit kleinstmöglichem Risiko für spezielle Werte von ϱ ist σ(r MV P ) bekannt: bei ϱ(r 1, r 2 ) = +1: bei ϱ(r 1, r 2 ) = 1: Anteilsbestimmung: min V ar(r P ) x 1,x 2 Auf Grund von x 2 = 1 x 1 können die Anteile am MVP durch Bildung der ersten Ableitung nach x 1 und anschl. Nullsetzen bestimmt werden: Als Lösung erhält man V ar(r P ) x 1 = 0 x MV P 1 = x MV 2 P = 1 x MV 1 P V ar(r 2 ) Cov(r 1, r 2 ) V ar(r 1 ) + V ar(r 2 ) 2 Cov(r 1, r 2 ) VK ABWL: Finanzwirtschaft 44

45 Erwartete Rendite: Portfoliotheorie E(r MV P ) = 21 Volatilität: σ(r MV P ) = 22 Beispiel: Aktie A B E(r j ) 8 % p.a. 15 % p.a. σ(r j ) 15 % p.a. 25 % p.a. Die Renditen der beiden Aktien korrelieren im Ausmaß von +0,3. Bestimmen Sie Zusammensetzung, Rendite und Risiko des MVPs. VK ABWL: Finanzwirtschaft 45