Credibility Theory. Christoph Chlubna. 10. Januar / 18

Transkript

1 10. Januar / 18

2 Gliederung 1 Was ist 2 Das Problem der Risikobewertung 3 Das individuelle Risiko 4 Die verschiedenen Prämienarten 5 Die Risikofunktion 6 Die Prämie im einfachen Modell 2 / 18

3 Gliederung 1 Was ist 2 Das Problem der Risikobewertung 3 Das individuelle Risiko 4 Die verschiedenen Prämienarten 5 Die Risikofunktion 6 Die Prämie im einfachen Modell 2 / 18

4 Gliederung 1 Was ist 2 Das Problem der Risikobewertung 3 Das individuelle Risiko 4 Die verschiedenen Prämienarten 5 Die Risikofunktion 6 Die Prämie im einfachen Modell 2 / 18

5 Gliederung 1 Was ist 2 Das Problem der Risikobewertung 3 Das individuelle Risiko 4 Die verschiedenen Prämienarten 5 Die Risikofunktion 6 Die Prämie im einfachen Modell 2 / 18

6 Gliederung 1 Was ist 2 Das Problem der Risikobewertung 3 Das individuelle Risiko 4 Die verschiedenen Prämienarten 5 Die Risikofunktion 6 Die Prämie im einfachen Modell 2 / 18

7 Gliederung 1 Was ist 2 Das Problem der Risikobewertung 3 Das individuelle Risiko 4 Die verschiedenen Prämienarten 5 Die Risikofunktion 6 Die Prämie im einfachen Modell 2 / 18

8 Gliederung 1 Was ist 2 Das Problem der Risikobewertung 3 Das individuelle Risiko 4 Die verschiedenen Prämienarten 5 Die Risikofunktion 6 Die Prämie im einfachen Modell 2 / 18

9 Was ist 1 statistisches Verfahren 2 Bewertung von Versicherungsprodukten 3 basiert auf den zwei Konzepten des individuellen und kollektiven Risikos 3 / 18

10 Was ist 1 statistisches Verfahren 2 Bewertung von Versicherungsprodukten 3 basiert auf den zwei Konzepten des individuellen und kollektiven Risikos 3 / 18

11 Was ist 1 statistisches Verfahren 2 Bewertung von Versicherungsprodukten 3 basiert auf den zwei Konzepten des individuellen und kollektiven Risikos 3 / 18

12 Was ist 1 statistisches Verfahren 2 Bewertung von Versicherungsprodukten 3 basiert auf den zwei Konzepten des individuellen und kollektiven Risikos 3 / 18

13 Das Problem der Risikobewertung Die zugrunde liegende Aufgabe der Bewertung des Riskos besteht in der Bestimmung der sogenannten reinen Risikoprämie P i = E[X i ]. Dazu betrachten wir eine Versicherung mit einem Portfolio bestehend aus I versicherten Risiken mit i = 1, 2,..., I. In einer wohldefinierten Versicherungsperiode erzeugt das Risiko i 1 eine Anzahl an Schäden N i, 2 mit den Schadenshöhen Y (v) i (v = 1, 2,..., N i ), 3 welche zusammen den Gesamtschaden X i = N i v=1 Y (v) i ergeben. 4 / 18

14 Das Problem der Risikobewertung Die zugrunde liegende Aufgabe der Bewertung des Riskos besteht in der Bestimmung der sogenannten reinen Risikoprämie P i = E[X i ]. Dazu betrachten wir eine Versicherung mit einem Portfolio bestehend aus I versicherten Risiken mit i = 1, 2,..., I. In einer wohldefinierten Versicherungsperiode erzeugt das Risiko i 1 eine Anzahl an Schäden N i, 2 mit den Schadenshöhen Y (v) i (v = 1, 2,..., N i ), 3 welche zusammen den Gesamtschaden X i = N i v=1 Y (v) i ergeben. 4 / 18

15 Individuelles Risiko Das individuelle Risiko erzeugt Gesamtschäden X j mit (j = 1, 2,..., n). Mit den Beobachtungen aus vergangenen Perioden X = (X 1,..., X n) als Basis, wollen wir nun die Gesamtschäden für zukünftige Perioden schätzen, zum Beispiel X n+1. Hierzu müssen wir einige Standardannahme über die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X j treffen: 1 (Stationärität) Alle X j s sind identisch verteilt mit Verteilungsfunktion F (x). 2 (Bedingte Unabhängigkeit) Die stochastischen Größen X j mit j = 1, 2,..., n sind bedingt unabhängig (mit Verteilung F (x)). 5 / 18

16 Individuelles Risiko Das individuelle Risiko erzeugt Gesamtschäden X j mit (j = 1, 2,..., n). Mit den Beobachtungen aus vergangenen Perioden X = (X 1,..., X n) als Basis, wollen wir nun die Gesamtschäden für zukünftige Perioden schätzen, zum Beispiel X n+1. Hierzu müssen wir einige Standardannahme über die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X j treffen: 1 (Stationärität) Alle X j s sind identisch verteilt mit Verteilungsfunktion F (x). 2 (Bedingte Unabhängigkeit) Die stochastischen Größen X j mit j = 1, 2,..., n sind bedingt unabhängig (mit Verteilung F (x)). 5 / 18

17 Individuelle Prämie Definition: Die individuelle Prämie eines Risikos mit Risikoprofil θ ist gegeben durch µ(θ) := P ind (θ) = E[X n+1 θ]. 6 / 18

18 Individuelle Prämie Definition: Die individuelle Prämie eines Risikos mit Risikoprofil θ ist gegeben durch µ(θ) := P ind (θ) = E[X n+1 θ]. 6 / 18

19 Kollektive Prämie Definition: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung U(θ) nennt man die Strukturfunktion des Kollektivs. Definition: Die kollektive Prämie, oder auch Tarifstufe genannt, ist gegeben durch µ 0 := P coll = µ(θ)du(θ) = E[X n+1 ]. Θ 7 / 18

20 Kollektive Prämie Definition: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung U(θ) nennt man die Strukturfunktion des Kollektivs. Definition: Die kollektive Prämie, oder auch Tarifstufe genannt, ist gegeben durch µ 0 := P coll = µ(θ)du(θ) = E[X n+1 ]. Θ 7 / 18

21 Kollektive Prämie Definition: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung U(θ) nennt man die Strukturfunktion des Kollektivs. Definition: Die kollektive Prämie, oder auch Tarifstufe genannt, ist gegeben durch µ 0 := P coll = µ(θ)du(θ) = E[X n+1 ]. Θ 7 / 18

22 Das Zwei-Urnen Modell und die Bayes Prämie 1 Bedingt durch das Ereignis Θ = θ sind die X 1, X 2,... unabhängig und identisch verteilt mit Verteilungsfunktion F θ. 2 Θ ist eine stochastische Größe mit Verteilung U. 8 / 18

23 Das Zwei-Urnen Modell und die Bayes Prämie 1 Bedingt durch das Ereignis Θ = θ sind die X 1, X 2,... unabhängig und identisch verteilt mit Verteilungsfunktion F θ. 2 Θ ist eine stochastische Größe mit Verteilung U. 8 / 18

24 Bayes Prämie Definition: Die Bayes Prämie ist definiert duch µ(θ) = P Bayes := E[µ(Θ) X]. 9 / 18

25 Bayes Prämie Definition: Die Bayes Prämie ist definiert duch µ(θ) = P Bayes := E[µ(Θ) X]. 9 / 18

26 Risikofunktion Sei L(θ, T (x)) die Verlustfunktion, wenn θ der wahre Parameter ist. Die Risikofunktion des Schätzers T ist gegeben durch R T (θ) := E θ [L(θ, T )] = L(θ, T (x))df θ (x). R n 10 / 18

27 Risikofunktion Sei L(θ, T (x)) die Verlustfunktion, wenn θ der wahre Parameter ist. Die Risikofunktion des Schätzers T ist gegeben durch R T (θ) := E θ [L(θ, T )] = L(θ, T (x))df θ (x). R n 10 / 18

28 Bayes Risiko Definition: Das Bayes Risiko des Schätzers T, mit Bezug auf die a priori Verteilung U(θ) ist gegeben durch R(T ) := R T (θ)du(θ). Θ 11 / 18

29 Bayes Risiko Definition: Das Bayes Risiko des Schätzers T, mit Bezug auf die a priori Verteilung U(θ) ist gegeben durch R(T ) := R T (θ)du(θ). Θ 11 / 18

30 Quadratische Verlustfunktion Eine besondere Form der Verlustfunktion ist die quadratische Verlustfunktion L(θ, T (x)) = (µ(θ) T (x)) 2. Satz: Der Bayes Schätzer bezüglich der quadratischen Verlustfunktion ist gegeben durch µ(θ) = E[µ(Θ) X]. 12 / 18

31 Quadratische Verlustfunktion Eine besondere Form der Verlustfunktion ist die quadratische Verlustfunktion L(θ, T (x)) = (µ(θ) T (x)) 2. Satz: Der Bayes Schätzer bezüglich der quadratischen Verlustfunktion ist gegeben durch µ(θ) = E[µ(Θ) X]. 12 / 18

32 Quadratische Verlustfunktion Eine besondere Form der Verlustfunktion ist die quadratische Verlustfunktion L(θ, T (x)) = (µ(θ) T (x)) 2. Satz: Der Bayes Schätzer bezüglich der quadratischen Verlustfunktion ist gegeben durch µ(θ) = E[µ(Θ) X]. 12 / 18

33 Die Prämie im einfachen Modell Modellannahme Das einfache Modell 1 Die stochastischen Größen X j mit (j = 1,..., n) sind, bedingt in Θ = θ, unabhängig mit identischer Verteilungsfunktion F θ und bedingten Momenten µ(θ) = σ 2 (θ) = E[X j Θ = θ], Var[X j Θ = θ]. 2 Θ ist eine stochastische Größe mit Verteilung U(θ). 13 / 18

34 Die Prämie im einfachen Modell Modellannahme Das einfache Modell 1 Die stochastischen Größen X j mit (j = 1,..., n) sind, bedingt in Θ = θ, unabhängig mit identischer Verteilungsfunktion F θ und bedingten Momenten µ(θ) = σ 2 (θ) = E[X j Θ = θ], Var[X j Θ = θ]. 2 Θ ist eine stochastische Größe mit Verteilung U(θ). 13 / 18

35 Die Prämie im einfachen Modell Satz: Die Prämie unter den Annahmen des einfachen Modells ist gegeben durch mit µ(θ) = αx + (1 α)µ 0, X = 1 n n j=1 X j, µ 0 = E[µ(Θ)], α = n. n+ σ2 τ 2 14 / 18

36 Die Prämie im einfachen Modell Satz: Die Prämie unter den Annahmen des einfachen Modells ist gegeben durch mit µ(θ) = αx + (1 α)µ 0, X = 1 n n j=1 X j, µ 0 = E[µ(Θ)], α = n. n+ σ2 τ 2 14 / 18

37 Die Prämie im einfachen Modell 1 µ 0 ist der beste Schätzer, der auf dem a priori-wissen allein basiert. Der quadratische Verlust ist E[(µ 0 µ(θ)) 2 ] = Var(µ(Θ)) = τ 2 2 X ist der bestmögliche, lineare und individuell erwartungstreue Schätzer, der nur auf dem Beobachtungsvektor X basiert. Mit quadratischem Verlust E[(X µ(θ)) 2 ] = E[σ 2 (Θ)/n] = σ 2 /n. 15 / 18

38 Die Prämie im einfachen Modell 1 µ 0 ist der beste Schätzer, der auf dem a priori-wissen allein basiert. Der quadratische Verlust ist E[(µ 0 µ(θ)) 2 ] = Var(µ(Θ)) = τ 2 2 X ist der bestmögliche, lineare und individuell erwartungstreue Schätzer, der nur auf dem Beobachtungsvektor X basiert. Mit quadratischem Verlust E[(X µ(θ)) 2 ] = E[σ 2 (Θ)/n] = σ 2 /n. 15 / 18

39 Die Prämie im einfachen Modell 1 µ 0 ist der beste Schätzer, der auf dem a priori-wissen allein basiert. Der quadratische Verlust ist E[(µ 0 µ(θ)) 2 ] = Var(µ(Θ)) = τ 2 2 X ist der bestmögliche, lineare und individuell erwartungstreue Schätzer, der nur auf dem Beobachtungsvektor X basiert. Mit quadratischem Verlust E[(X µ(θ)) 2 ] = E[σ 2 (Θ)/n] = σ 2 /n. 15 / 18

40 Die Prämie im einfachen Modell 1 κ = σ2 τ 2 wird der Koeffizient genannt. Er kann auch durch κ = ( σ ) µ 2 ( τ ) 0 µ 2 dargestellt werden. 0 τ ist der Koeffizient für die Variation von µ(θ). Er ist ein Maß für die µ 0 Heterogenität eines Portfolios. σ = E[Var[X µ 0 j Θ]]/E[X j ] ist ein Maß für die Variation innerhalb der Risikokategorien. 2 α ist das sogenannte Gewicht. Es wächst, wenn 1 Die Zahl an beobachteten Jahren n wächst, τ 2 µ, das Maß für die Heterogenität des Portfolios, wächst, 0 σ 3 µ, die Variation innerhalb der Risikokategorien, sinkt / 18

41 Die Prämie im einfachen Modell 1 κ = σ2 τ 2 wird der Koeffizient genannt. Er kann auch durch κ = ( σ ) µ 2 ( τ ) 0 µ 2 dargestellt werden. 0 τ ist der Koeffizient für die Variation von µ(θ). Er ist ein Maß für die µ 0 Heterogenität eines Portfolios. σ = E[Var[X µ 0 j Θ]]/E[X j ] ist ein Maß für die Variation innerhalb der Risikokategorien. 2 α ist das sogenannte Gewicht. Es wächst, wenn 1 Die Zahl an beobachteten Jahren n wächst, τ 2 µ, das Maß für die Heterogenität des Portfolios, wächst, 0 σ 3 µ, die Variation innerhalb der Risikokategorien, sinkt / 18

42 Die Prämie im einfachen Modell 1 κ = σ2 τ 2 wird der Koeffizient genannt. Er kann auch durch κ = ( σ ) µ 2 ( τ ) 0 µ 2 dargestellt werden. 0 τ ist der Koeffizient für die Variation von µ(θ). Er ist ein Maß für die µ 0 Heterogenität eines Portfolios. σ = E[Var[X µ 0 j Θ]]/E[X j ] ist ein Maß für die Variation innerhalb der Risikokategorien. 2 α ist das sogenannte Gewicht. Es wächst, wenn 1 Die Zahl an beobachteten Jahren n wächst, τ 2 µ, das Maß für die Heterogenität des Portfolios, wächst, 0 σ 3 µ, die Variation innerhalb der Risikokategorien, sinkt / 18

43 Die Prämie im einfachen Modell Satz: Der quadratische Verlust der Prämie ist µ(θ) gegeben durch [ ( ) ] 2 E µ(θ) µ(θ) = (1 α)τ 2 = α σ2 n. 17 / 18

44 Die Prämie im einfachen Modell Satz: Der quadratische Verlust der Prämie ist µ(θ) gegeben durch [ ( ) ] 2 E µ(θ) µ(θ) = (1 α)τ 2 = α σ2 n. 17 / 18

45 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! 18 / 18

46 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! 18 / 18