Statistische Methoden für Bauingenieure WS 2013/14. Literatur

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1 Statistische Methoden für Bauingenieure WS 2013/14 Einheit 1: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Univ.Prof. Dr. Christian Bucher Literatur C. Bucher: Computational analysis of randomness in structural mechanics, Taylor&Francis, London, R. Viertl: Einführung in die Stochastik, Springer, Wien-New York, 3. Aufl

2 Einführungsbeispiel Kragbalken unter Einzellast Durchbiegung = Wie können die Auswirkungen zufälliger Schwankungen von Last und System auf die Durchbiegung quantifiziert werden? 3 Numerische Experimente Erzeugung von mehreren zufälligen Werten für Last und Biegesteifigkeit Stichprobe ) entsprechend einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung Berechnung der Durchbiegung für alle Wertepaare von Last und Biegesteifigkeit, erzeugt eine Stichprobe der Durchbiegung Anwendung statistischer Methoden auf die Stichprobe der Durchbiegung zur Schätzung ihrer Wahrscheinlichkeitsverteilung 4

3 Matlab/octave Skriptsprache für mathematische Operationen Erzeugt M Zufallszahlen mit Mittelwert 1 und Standardabweichung 0.1 M=100000; F=normrnd1, 0.1, M, 1); EI=normrnd1, 0.1, M, 1); w=f./ei/3.; histf,20); figure; histei,20); figure; histw,20); pause; wm=meanw) ws=stdw) 5 Histogramme Last Biegesteifigkeit Durchbiegung 6

4 Ereignisse Wahrscheinlichkeit Axiome Kolmogorov) : [A] : [ ]= : [A B] =[A]+[B] [A C] =[A]+[C] [A C] 7 Komplementärereignis Ein Ereignis kann nur entweder eintreten oder nicht eintreten [A]+[Ā] =[ ]= Ein Ereignis kann nicht gleichzeitig sowohl eintreten als auch nicht eintreten [ Ā] =[ ]= 8

5 Bedingte Wahrscheinlichkeit Definition Unabhängigkeit [A B] = [A B] [B] [A B] =[A] [A B] =[A][B] 9 Zerlegung des Ereignisraums Totale Wahrscheinlichkeit [B] =[B A ][A ]+...+ [B A ][A ] Bayes scher Satz [A B] = [B A ][A ] [B A ][A ]+...+ [B A ][A ] 10

6 Testverfahren 1) Testverfahren zur Schadenserkennung W keit des Erkennens einer vorhandenen Schädigung =. W keit einer Schadensanzeige bei nicht vorhandener Schädigung =. W keit des Vorhandenseins einer Schädigung =. Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einer tatsächlichen Schädigung, wenn der Test positiv ausfällt? 11 Testverfahren 2) Positives Resultat in zwei Fällen - a) wahre Anzeige Schädigung vorhanden) - b) falsche Anzeige Schädigung nicht vorhanden) Fälle a) und b) schließen sich gegenseitig aus = [A = =. = [Ā = )=. B] =[B A] [A] B] =[B Ā] [Ā] W keit eines positiven Testresultats [B] =. +. =. 12

7 Testverfahren 3) Anwendung des Bayes schen Satzes [A B] =[A B]/[B] = + ) =./. =. Sehr geringe W keit für tatsächlich vorhandene Schädigung bei positivem Testergebnis Folgerung: Test ist kaum brauchbar 13 Ereignis Zufallsvariable A = { < } Eintretenswahrscheinlichkeit [] =) Verteilungsfunktion ) =[ < ] Grenzwerte ) =; ) = + Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ) = ) 14

8 Verteilungsfunktion und Dichtefunktion ) ) 15 Erwartungswerte Mittelwert = [] = ) Varianz Quadrat der Standardabweichung) = [ ) ]= ) ) Variationskoeffizient dimensionslos) = ; = Erwartungswertbildung ist eine lineare Operation [ + ] =[]+[]; [ ] = [] 16

9 Standardisierung Definition einer standardisierten Variablen = Mittelwert 1[ ] = 1[ ]) = 1[ ] Varianz 1[ 1[ ] = ) ] = = 17 Einige W keitsverteilungen 1) Normalverteilung Gauß sche Verteilung) ) ); ; < < ) Lognormalverteilung µ ) µ= µ) ) ); ; < = + ) 18

10 Einige W keitsverteilungen 2) Gumbelverteilung { { =µ+ µ) ; = [ [ ; µ) ]} µ) ]} =.... Weibullverteilung =µ + ; µ ; =µ Vergleich Alle Verteilungen mit Mittelwert 1 und Standardabw. 0.5 σ α µ µ µ 20

11 Nichtlineare Funktionen einer Zufallsvariablen Monotone Abbildungsvorschrift = ) + = ) Transformierte Zufallsvariable = ) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion + [ + ] =[ + ] = ) = ) ) = ) = [ )] ) 21 Quadratische Funktion 1) Trennen in zwei monotone Bereiche = ) = ; = ; = Zusammensetzen der Dichtefunktion ) = ) + ) = [ )+ )] 22

12 ) = Quadratische Funktion 2) Für normales X mit Mittelwert 1 und Standardabw ). + ). ) ) = [] =[ ]= + = +. =. = [ ] [] = [ ] + ) = = + + = + =. +. =. =. = 23 Erzeugung von Zufallszahlen mit vorgegebenen Verteilungen Matlab/octave Skript Erzeugt Stichprobe entsprechend vorgegebener Verteilungen Einige Standardverteilungen verfügbar Andere Verteilungen durch Transformation realisierbar M=100000; mittel=1 std=0.5 x1=normrndmittel, std^2, M, 1); histx1,20); % s=sqrtlogstd/mittel)^2+1)) mu=mittel*exp-s^2/2) x2=lognrndlogmu), s, M, 1); figure; histx2,20); % x3=wblrnd1.129, 2.102, M, 1); figure; histx3,20); pause; 24

13 Normalverteilung Histogramme Weibullverteilung Lognormalverteilung 25