Grundlagen der Probabilistik

Transkript

1 Grundlagen der Probabilistik

2 Gliederung Einleitung Theoretische Grundlagen der Stochastik Probabilistische Methoden Mögliche Ergebnisse von probabilistischen Untersuchungen Mögliche Fehlerquellen bei probabilistischen Untersuchungen Zusammenfassung Folie 2

3 Einleitung Stochastik Lehre der Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Kombinatorik Wie viele Möglichkeiten gibt es, Elemente anzuordnen oder aus einer Menge von Elementen zu ziehen? Probabilistik Definition von Modellen zur Beschreibung von zufälligen Ereignissen Vorhersagen dieser Ereignisse Statistik Ableiten von Gesetzmäßigkeiten und Strukturen aus Ereignissen Folie 3

4 Deterministische Untersuchungen Strukturanalyse Eingangsgrößen: Geometrie Belastung Materialeigenschaften Ergebnisse: Temperatur Spannungen Lebensdauer Folie 4

5 Probabilistische Untersuchungen Strukturanalyse Folie 5

6 Gliederung Einleitung Theoretische Grundlagen der Stochastik Probabilistische Methoden Mögliche Ergebnisse von probabilistischen Untersuchungen Mögliche Fehlerquellen bei probabilistischen Untersuchungen Zusammenfassung Folie 6

7 Zufallsvariablen Zufallsexperiment diskret Zufallsvariable stetig Wahrscheinlichkeitsfunktion Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Folie 7

8 Gaußverteilung auch Normalverteilung genannt [1] Folie 8

9 Lognormalverteilung [1] Folie 9

10 Gleichverteilung [1] Folie 10

11 Dreieckverteilung [1] Folie 11

12 Statistische Maße von Stichproben 1 Arithmetischer Mittelwert: [1] Flächenschwerpunkt der Fläche unter der Dichtefunktion Stark abhängig von Ausreißern Median oder Zentralwert: Stichprobenwert, der genau in der Mitte einer geordneten Stichprobe steht. Robustes Lagemaß Modulwert oder Modus: Ausprägung mit der größten Häufigkeit Nur eindeutig, wenn die Häufigkeitsverteilung ein eindeutiges Maximum aufweist Folie 12

13 Statistische Maße von Stichproben 2 Folie 13

14 Statistische Maße von Stichproben 3 Standardabweichung: [1] Variationskoeffizient: Folie 14

15 Statistische Maße von Stichproben 4 Skewness (Schiefe): Grad der Asymmetrie einer Verteilung um den Zentralwert [1] Kurtosis: Grad der Flachheit/Steilheit einer Verteilung Folie 15

16 Kolmogorow-Smirnow-Anpassungstest Folie 16

17 Anderson-Darling-Test Der Anderson-Darling-Test ist eine Modifikation des [10] Kolmogorow-Smirnow-Anpassungstests. Die Abweichungen der Testverteilung von der Zielverteilung werden in den Randbereichen der Verteilungen höher und im Mittelbereich der Verteilung niedriger gewichtet. Kritische Werte für sind abhängig von der verwendeten Verteilungsfunktion. Tabellierte Werte für für verschiedene Verteilungsfunktionen sind z.b. in [11] veröffentlicht. Folie 17

18 Korrelationen Korrelationskoeffizient nach Pearson [1] Wertebereich: [-1,1] -1 oder 1 starker linearer Zusammenhang 0 kein linearer Zusammenhang Folie 18

19 Korrelationen Rangkorrelationskoeffzient nach Spearman [1] Wertebereich: [-1,1] -1 oder 1 starker linearer oder monotoner nichtlinearer Zusammenhang 0 kein linearer oder monotoner nichtlinearer Zusammenhang Folie 19

20 Korrelationen Folie 20

21 Korrelationen Nichtlineare Zusammenhänge? Quadratischer Korrelationskoeffizient DYNARDO [9] Regression Nichtlineares Korrelationsmaß ProSi Ant-Hill-Plot Folie 21

22 Konfidenzintervall 1 Statistische Maße (z.b. Mittelwert, Standardabweichung ) sind Punktschätzungen enthalten keine Aussage über die Güte der Schätzung Folie 22

23 Konfidenzintervall 2 Relative Häufigkeit des Ereignisses [2] Linke Grenze: Rechte Grenze: Folie 23

24 Konfidenzintervall 3 Folie 24

25 Konfidenzintervall 4 Grundlagen der Probabilistik Folie 25

26 Konfidenzintervall 5 Weicht der Korrelationskoeffizient statistisch signifikant von Null ab, unterscheidet sich seine Verteilung von der Normalverteilung [1]. [3] Folie 26

27 Konfidenzintervall 6 (α=0.05) Folie 27

28 Konfidenzintervall 7 (α=0.05) Folie 28

29 Konfidenzintervall 8 Problem: Meist werden Systeme untersucht, in denen mehrere Zufallsvariablen Einfluss auf eine Ergebnisgröße haben. Die Anzahl der Zufallsvariablen hat Einfluss auf die Irrtumswahrscheinlichkeit der Konfidenzintervalle. Lösung: Anpassung der tolerierbaren Irrtumswahrscheinlichkeit mithilfe der Bonferroni-Methode oder Bonferroni-Korrektur: Die Bonferroni-Methode ist eine grobe Näherung und sehr konservativ. Folie 29

30 Konfidenzintervall 9 (α=0.05) Folie 30

31 Gliederung Einleitung Theoretische Grundlagen der Stochastik Probabilistische Methoden Mögliche Ergebnisse von probabilistischen Untersuchungen Mögliche Fehlerquellen bei probabilistischen Untersuchungen Zusammenfassung Folie 31

32 Monte-Carlo-Simulation (MCS) Folie 32

33 Sampling-Methoden 1 Simple-Random-Sampling (SRS) Realisierungen werden zufällig ermittelt Transformation der durch die Zufallsgeneratoren ermittelten Gleichverteilungen in andere Verteilungen erfolgt z.b. mittels Inversionsmethode oder Annahme- Ablehnungsmethode Cluster -Bildungen der Realisierungen ist möglich Folie 33

34 Sampling-Methoden 2 Latin-Hypercube-Sampling (LHS) [13] Folie 34

35 Sampling-Methoden 3 Descriptive-Sampling (DS) [14] Folie 35

36 Sampling-Methoden 3 Vor- und Nachteile der Sampling-Methoden SRS Zufallszahlen werden unsystematisch erzeugt Liefert bei geringen Stichprobenumfang hohe statistische Unsicherheiten LHS / DS Zufallszahlen werden systematisch erzeugt Beschreibt die Zufallsvariablen mit wenigen Realisierungen gut Folie 36

37 Monte-Carlo-Simulation Folie 37

38 Monte-Carlo-Simulation Versagen Überleben Folie 38

39 Antwortflächenverfahren (RSM) Versagen Überleben Folie 39

40 Versuchspläne 1 Vollfaktorieller Versuchsplan [4,5,6] Folie 40

41 Versuchspläne 2 Central-Composite-Design [4,5,6] Folie 41

42 Versuchspläne 3 Box-Behnken-Design [4,5,6] Folie 42

43 Versuchspläne 4 Simplex-Design [4,5,6] Folie 43

44 Versuchspläne 5 * * Bei den Variablenanzahlen 3-7 und 9-12 sind die originalen BBD [7] dargestellt die anderen beruhen auf Veröffentlichungen von Mee [8] Folie 44

45 Methode der kleinsten Quadrate 1 Approximationsfunktion mit Polynomen zweiter Ordnung: Folie 45

46 Methode der kleinsten Quadrate 2 [4,5,6] Folie 46

47 Analyse des Approximationsergebnisses Bestimmtheitsmaß: [4,5,6] Summe der Abweichungsquadrate: Totale Summe der Abweichungsquadrate: Summe der Quadrate der Approximationsfehler: Folie 47

48 Analyse des Approximationsergebnisses Das Bestimmtheitsmaß beschreibt den Anteil der Varianz von, der durch die Eingangsgrößen erklärt wird. [4,5,6] korrigiertes Bestimmtheitsmaß: Folie 48

49 Gliederung Einleitung Theoretische Grundlagen der Stochastik Probabilistische Methoden Mögliche Ergebnisse von probabilistischen Untersuchungen Mögliche Fehlerquellen bei probabilistischen Untersuchungen Zusammenfassung Folie 49

50 Ausfallwahrscheinlichkeit (LHS, DS) (SRS) MCS RSM Importance Sampling, Zuverlässigkeitsverfahren Folie 50

51 Ausfallwahrscheinlichkeit Notwendige Anzahl der deterministischen Rechnungen: MCS: SRS LHS, DS RSM: - Stark abhängig von der Variablenanzahl - Größer bei unbekannter Lage der Versagensfunktion - Betrachtung jeweils nur einer Ergebnisgröße möglich Importance Sampling: - Größer bei unbekannter Lage der Versagensfunktion - Betrachtung jeweils nur einer Ergebnisgröße möglich Zuverlässigkeitsverfahren: - Betrachtung jeweils nur einer Ergebnisgröße möglich - Numerische Probleme bei stark nichtlinearen Versagensfunktionen Folie 51

52 Robustes Design? Ingenieurmäßige (deterministische) Maße: Überschreiten von Grenzwerten [12] Auftreten von unerwünschten plötzlichen Änderungen der Ergebnisgrößen (z.b. lokales Maximum der Ergebnisgröße) Ansprechen von Systeminstabilitäten (z.b.: Beulen) Statistische Maße Lage der Mittelwerte der Ergebnisgrößen Größe der Variationskoeffizienten der Ergebnisgrößen Folie 52

53 Robustes Design? Folie 53

54 Robustes Design? Verzweigungssystem Folie 54

55 Robustes Design? Verzweigungssystem mit Ausreißern Folie 55

56 Robustes Design? Notwendige Anzahl der det. Rechnungen bei einer MCS: Überschreiten von Grenzwerten, Auftreten von unerwünschten plötzlichen Änderungen der Ergebnisgrößen, Ansprechen von Systeminstabilitäten: Abhängig von der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Lage der Mittelwerte der Ergebnisgrößen: Größe der Variationskoeffizienten der Ergebnisgrößen: Folie 56

57 Sensitivitäten Folie 57

58 Sensitivitäten Folie 58

59 Sensitivitäten Notwendige Anzahl der det. Rechnungen bei einer MCS: Abhängig von der Anzahl der probabilistischen Eingangsgrößen Abhängig von den Beträgen der zu ermittelnden Korrelationskoeffizienten Folie 59

60 Verbesserung des Systems Folie 60

61 Probabilistische Optimierung Strukturanalyse Folie 61

62 Probabilistische Optimierung Folie 62

63 Probabilistische Optimierung Folie 63

64 Gliederung Einleitung Theoretische Grundlagen der Stochastik Probabilistische Methoden Mögliche Ergebnisse von probabilistischen Untersuchungen Mögliche Fehlerquellen bei probabilistischen Untersuchungen Zusammenfassung Folie 64

65 Einfluss der Eingangsgrößenstreuung Folie 65

66 Einfluss der Eingangsgrößenstreuung Folie 66

67 Einfluss der Eingangsgrößenkorrelation Folie 67

68 Einfluss der Eingangsgrößenkorrelation Folie 68

69 Gliederung Einleitung Theoretische Grundlagen der Stochastik Probabilistische Methoden Mögliche Ergebnisse von probabilistischen Untersuchungen Mögliche Fehlerquellen bei probabilistischen Untersuchungen Zusammenfassung Folie 69

70 Zusammenfassung Probleme Vorteile bei der Anwendung der probabilistischen Methoden ausreichende Datenbasis für stochastische Variablen höherer Ingenieuraufwand parametrische Modelle bezüglich der stochastischen Variablen, Interpretation der Ergebnisse hoher Berechnungsaufwand durch mehrfache Strukturanalysen Versagenswahrscheinlichkeit keine akkumulierten konservativen Annahmen Robustheit des Designs Sensitivität bezüglich der stochastischen Variablen Kostengünstigeres Design größere Toleranzen wenn möglich, kleinere Toleranzen wenn nötig Folie 70

71 Grundlagen der Probabilistik

72 Literatur [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] 1. Dresdner Probabilistik- Workshop Grundlagen der Probabilistik Folie 72

73 Literatur [11] [12] [13] [14] 1. Dresdner Probabilistik- Workshop Grundlagen der Probabilistik Folie 73

74 Deterministisches Beispiel Folie 74

75 Deterministisches Beispiel Verformungen: Folie 75