Distribution-free calculation of the standard error of Chain Ladder reserve estimates

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1 Distribution-free calculation of the standard error of Chain Ladder reserve estimates David Fischinger 31. März 2018 David Fischinger 31. März / 41

2 Inhaltsverzeichnis 1) Einleitung 2) Chain Ladder 3) Notation und grundlegende Resultate 4) Berechnung des MSE und des Standardfehlers 5) Beispiele David Fischinger 31. März / 41

3 Einleitung Einleitung David Fischinger 31. März / 41

4 Einleitung Spätschäden IBNR-Schäden ( incurred but not reported ) bereits eingetreten, aber dem Versicherungsunternehmen noch nicht bekannt IBNER-Schäden ( incurred but not enough reserved ) am Ende des Geschäftsjahres bereits bekannt, Höhe aber noch abschätzbar David Fischinger 31. März / 41

5 Einleitung Spätschäden viele Methoden zur Berechnung der Rückstellung für die Spätschäden z.b Chain Ladder Verfahren oft deutlich andere Ergebnisse Herausforderung von bisherigen Daten auf Spätschäden zu schließen Standardfehler als Maß für Unsicherheit der verwendeten Daten Vergleichsmöglichkeit mit anderen Verfahren David Fischinger 31. März / 41

6 Einleitung Grundlage Paper Distribution-free calculation of the standard error of Chain Ladder reserve estimates von Thomas Mack von 1993 Ziel: möglichst einfache Formel für den Standardfehler des Schätzers der Chain Ladder Rückstellung herleiten David Fischinger 31. März / 41

7 Chain Ladder Chain Ladder David Fischinger 31. März / 41

8 Chain Ladder Vorgehensweise Vergangenheit Abwicklungsdreiecke Zukunft David Fischinger 31. März / 41

9 Chain Ladder Schadensdreieck David Fischinger 31. März / 41

10 Chain Ladder Schadensdreieck David Fischinger 31. März / 41

11 Chain Ladder Schadensdreieck David Fischinger 31. März / 41

12 Chain Ladder Schadensdreieck David Fischinger 31. März / 41

13 Notation und grundlegende Resultate Notation und grundlegende Resultate David Fischinger 31. März / 41

14 Notation und grundlegende Resultate Notation Definition Die Zufallsvariablen C ik sind die kumulierten Claims eines Schadenjahres i wobei 1 i I für ein Entwicklungsjahr k mit 1 k I. Der Wert von C ik ist uns bekannt für i + k I + 1 Definition Die Zufallsvariablen R i sind die zu schätzenden Schadenreserven für ein Schadenjahr i = 2,..., I und sind definiert durch R i = C ii C i,i +1 i und die gesamte Schadenreserve durch R = I i=2 R i David Fischinger 31. März / 41

15 Notation und grundlegende Resultate Notation David Fischinger 31. März / 41

16 Notation und grundlegende Resultate Annahmen des Chain Ladder Verfahren 1) Entwicklungsfaktoren: Entwicklungsfaktoren f 1,..., f I 1 > 0 Sie erfüllen: E(C i,k+1 C i1,..., C ik ) = C ik f k 1 i I, 1 k I 1 (1) f k wird geschätzt durch ˆf k := I k j=1 C j,k+1 I k j=1 C j,k 1 k I 1 David Fischinger 31. März / 41

17 Notation und grundlegende Resultate Annahmen des Chain Ladder Verfahren 2) Ulimate Claims und Schadenreserven Die zukünftigen Ultimate Claims C ii werden geschätzt durch Ĉ ii := C i,i +1 i ˆf I +1 i... ˆf I 1 und die Schadensreserven R i durch ˆR i = C i,i +1 i (ˆf I +1 i... ˆf I 1 1). 3) Unabhängigkeit {C i1,..., C ii }, {C j1,..., C ji }, i j sind unabhängig (2) David Fischinger 31. März / 41

18 Notation und grundlegende Resultate Satz 3.1 Sei D := {C ik i + k I 1} die Menge aller bisher beobachteten Daten. Mit den Voraussetzungen (1) und (2) folgt E(C ii D) = C i,i +1 i f I +1 i... f I 1 David Fischinger 31. März / 41

19 Notation und grundlegende Resultate Beweis. Um den Beweis übersichtlicher zu gestalten, definieren wir uns zuerst E i (X ) := E(X C i1,..., C i,i +1 i ) E(C ii D) = E i (C ii ) = E i ( E(CiI C i1,..., C i,i 1 ) ) = E i (C i,i 1 f I 1 ) = E i (C i,i 1 ) f I 1 = etc. = E i (C i,i +1 i ) f I +1 i... f I 1 = C i,i +1 i f I +1 i... f I 1 David Fischinger 31. März / 41

20 Notation und grundlegende Resultate Unverzerrte und unkorrelierte Schätzer Definition Ein Schätzer ˆθ heißt erwartungstreu bzw. unverzerrt für eine Zufallsvariabel θ, wenn gilt E[ˆθ] = θ Definition Zwei Schätzer ˆθ 1 und ˆθ 2 heißen unkorreliert wenn gilt also die COV ( ˆθ1, ˆθ 2 ) = 0 ist. E[ ˆθ 1 ˆθ 2 ] = E[ ˆθ 1 ]E[ ˆθ 2 ] David Fischinger 31. März / 41

21 Notation und grundlegende Resultate Satz 3.2 Mit den Annahmen (1) und (2) ist der Schätzer ˆf k unverzerrt und unkorreliert für 1 k I 1. David Fischinger 31. März / 41

22 Notation und grundlegende Resultate Beweis. Unverzerrtheit: Sei B k := {C ij j k, i + j I + 1}, 1 k I. Mit der Voraussetzung (1) und (2) folgt E(C i,k+1 B k ) = E(C i,k+1 C i1,..., C ik ) = C ik f k Zusammen der Definition von ˆf k und der Linearität des Erwartungsertes folgt dann E(ˆf k B k ) = I k j=1 E(C j,k+1 B k ) I k C jk j=1 = f k David Fischinger 31. März / 41

23 Notation und grundlegende Resultate Beweis. Dieses führt zu E(ˆf k ) = E(E(ˆf k B k )) = f k, 1 k I 1 Unkorreliertheit von ˆf k und ˆf j : Sei j < k, dann gilt E(ˆf j ˆf k ) = E(E(ˆf j ˆf k B k )) = E(ˆf j E(ˆf k B k )) = E(ˆf j )f k = E(ˆf j )E(ˆf k ) David Fischinger 31. März / 41

24 Notation und grundlegende Resultate Satz 3.3 Unter den Annahmen (1) und (2) ist Ĉ ii = C i,i +1 i ˆf I +1 i... ˆf I 1 ein unverzerrter Schätzer für E(C ii D) und ˆR i = Ĉ ii C i,i +1 i ein unverzerrter Schätzer für R i. David Fischinger 31. März / 41

25 Notation und grundlegende Resultate Beweis. Wir wissen bereits: E(C ii D) = C i,i +1 i f I +1 i... f I 1 Wiederholung des vorherigen Beweises für das Produkt von paarweise verschiedenen ˆf k, führt zu Weiters gilt E(ˆf I +1 i... ˆf I 1 ) = f I +1 i... f I 1 E(Ĉ ii ) = C i,i +1 i E(ˆf i+1 i... ˆf I 1 ) = C i,i +1 i f I +1 i... f I 1 = E(C ii D) womit die Unverzerrtheit folgt. Analog lässt sich die zweite Behauptung zeigen. David Fischinger 31. März / 41

26 Berechnung des MSE und des Standardfehlers Berechnung des MSE und des Standardfehlers David Fischinger 31. März / 41

27 Berechnung des MSE und des Standardfehlers MSE Definition Der bedingte mittlere quadratische Fehler (MSE) des Schätzers Ĉ ii von C ii ist gegeben durch mse(ĉ ii ) = E((Ĉ ii C ii ) 2 D) wobei D = {C ik i + k I + 1} die Menge aller bereits zur Verfügung stehenden Daten ist. Für den MSE gilt mse( ˆR i ) = E(( ˆR i R i ) 2 D) = E((Ĉ ii C ii ) 2 D) = mse(ĉ ii ) und damit mse(ĉ ii ) = Var(C ii D) + (E(C ii D) Ĉ ii ) 2 David Fischinger 31. März / 41

28 Berechnung des MSE und des Standardfehlers Varianz der C ik Schätzer der Chain Ladder Faktoren ˆf k sind C ik -gewichtetes Mittel Var(C i,k+1 C i1,..., C ik ) soll invers proportional zu C ik sein, also Var(C i,k+1 C i1,..., C ik ) = C ik σ 2 k 1 i I, 1 k I 1 (3) mit unbekannten Parametern σ 2 k für 1 k I 1. Diese Forderung ist eine weitere, implizite Annahme, die aus dem Chain Ladder verfahren resultiert David Fischinger 31. März / 41

29 Berechnung des MSE und des Standardfehlers Schätzer für die Varianz der C ik Genauso wie für den Schätzer ˆf k lässt sich zeigen, dass ˆσ k 2 = 1 I k ( Ci,k+1 C ik I k 1 C ik i=1 ˆf k ) 2, 1 k I 2 ein unverzerrter Schätzer für σ 2 k, 1 k I 2 ist. Für die Wahl von ˆσ I 2 1 gibt es zwei Möglichkeiten: 1. Wenn ˆf I 1 = 1 ˆσ 2 I 1 = 0 2. ( ) ˆσ ˆσ I = min I 2 ˆσ I 2, min(ˆσ I 2 3, ˆσ2 I 2 ) 3 David Fischinger 31. März / 41

30 Berechnung des MSE und des Standardfehlers Satz 4.1 (Varianzzerlegung) Für die Varianz einer Zufallsvariable X gilt Var(X ) = E ( Var(X Y ) ) + Var ( E(X Y ) ) David Fischinger 31. März / 41

31 Berechnung des MSE und des Standardfehlers Beweis. Sei U := E(X Y ) eine Zufallsvariable mit Erwartungsert E(U) = E ( E(X Y ) ) = E(X ) Für die Varianz gilt: Var(U) = E(U 2 ) ( E(U) ) 2 = E(U 2 ) ( E(X ) ) 2 Andererseits hat die bedingte Varianz den Erwartungswert E ( Var(X Y ) ) = E ( E(X 2 Y ) ) E(U 2 ) = E(X 2 ) E(U 2 ) Damit erhalten wir E ( Var(X Y ) ) + Var ( E(X Y ) ) = E(X 2 ) ( E(X ) 2) = Var(X ) David Fischinger 31. März / 41

32 Berechnung des MSE und des Standardfehlers Satz 4.2 Unter den Annahmen (1), (2) und (3) können wir den mse( ˆR i ) durch mse( ˆR i ) = Ĉ 2 ii I 1 k=i +1 i ˆσ 2 k ˆf 2 k ( Ĉ I k ik C jk j=1 schätzen, wobei Ĉ ik = C i,i +1 i ˆf I +1 i..., k > I + 1 i die geschätzten Werte der zukünftigen C ik sind und Ĉ i,i +1 i = C i,i +1 i gilt. Der Standardfehler von ˆR i ist dann definiert durch s.e( ˆR i ) = mse( ˆR i ) ) David Fischinger 31. März / 41

33 Berechnung des MSE und des Standardfehlers Satz 4.3 Mit der Notation und den Vorraussetzungen des vorherigen Satzes kann der MSE der gesamten Reserve ˆR durch mse( ˆR) = [ I (s.e( ˆR i ) ) ( I 2 + ĈiI i=2 j=i+1 2ˆσ k 2 ˆf k 2 I k I +1 i C nk n=1 ) I 1 Ĉ ji ] geschätzt werden. Der Standardfehler von ˆR ist dann wiederum definiert durch s.e( ˆR) = mse( ˆR) David Fischinger 31. März / 41

34 Beispiele Beispiele David Fischinger 31. März / 41

35 Beispiele D.A.S Rechtsschutz AG David Fischinger 31. März / 41

36 Beispiele D.A.S Rechtsschutz AG David Fischinger 31. März / 41

37 Beispiele D.A.S Rechtsschutz AG David Fischinger 31. März / 41

38 Beispiele ÖBV VVaG David Fischinger 31. März / 41

39 Beispiele ÖBV VVaG David Fischinger 31. März / 41

40 Beispiele ÖBV VVaG David Fischinger 31. März / 41

41 Beispiele Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! David Fischinger 31. März / 41