Einführung in die Diskrete Finanzmathematik

Transkript

1 Jürgen Kremer Einführung in die Diskrete Finanzmathematik Mit 37 Abbildungen /IS 4y Springer

2 Ein-Perioden- Wertpapiermärkte Portfolios Optionen und Forward-Kontrakte Optionen Forward-Kontrakte Die Bewertung von Auszahlungsprofilen Die Transformation deterministischer Zahlungsströme Die Transformation zustandsabhängiger Zahlungsströme Die Bewertung von Auszahlungsprofilen mit Hilfe von Replikation Replikation und Arbitrage Der Fundamentalsatz der Preistheorie Trennungssätze imr Interpretation von tp als Zustandspreisvektor Der Nachweis der Arbitragefreiheit Das Ein-Perioden-Zwei-Zustands-Modell Replizierbarkeit und Vollständigkeit Preise als diskontierte Erwartungswerte Interpretation von d als Diskontfaktor Interpretation von Q als Martingalmaß Erwartungswert versus Diskontierung Wertgrenzen für Call- und Put-Optionen Das Auffinden von Arbitragegelegenheiten Das diskontierte Marktmodell Arbitragefreiheit und Gewinne Zusammenfassung Weitere Aufgaben 69 Portfoliotheorie Rendite und Risiko Die erwartete Rendite 74

3 XII Risiko, Varianz und Volatilität Der rationale Investor Das //-cr-diagramm Portfolioanalyse Rendite und erwartete Rendite eines Portfolios Varianz und Standardabweichung eines Portfolios Relative Risikobeiträge Interpretation der Kovarianz Die Korrelation Diversifikation Die klassische Darstellung des CAPM Mean-Variance-Portfolio-Analyse Die Zustandsdichte Rendite und Risiko der Zustandsdichte CAPM und das Mean-Variance-Optimierungsproblem Die Bewertung von Auszahlungen mit Hilfe des CAPM Anwendungsbeispiel für den Fall G ImD T, ^ Der Fall er K beliebig, / Das Optimierungsproblem Zusammenfassung : Weitere Aufgaben Mehr-Perioden-Modelle Modellierung der Informationszunahme Informationsbäume, Algebren und Partitionen Stochastische Prozesse und Meßbarkeit Die natürliche Filtration Das Marktmodell Die Bewertung von Auszahlungsprofilen Lokalisierung Ein-Perioden-Teilmodelle Konstruktion einer replizierenden Handelsstrategie Arbitragefreiheit und der Fundamentalsatz Die Bewertung deterministischer Zahlungsströme Die Bewertung zustandsabhängiger Zahlungsströme Die Bestimmung von Zustandsprozessen Der Diskontierungsoperator Definition und Eigenschaften Direktes und rekursives Verfahren zur Bestimmung der Preise von Auszahlungsprofilen Darstellung der Preise als Erwartungswerte Festverzinsliche Handelsstrategien Der Diskontierungsoperator wird zur bedingten Erwartung 209

4 XIII Preisprozesse werden zu Martingalen Das diskontierte Marktmodell Wertgrenzen für Call- und Put-Optionen Zusammenfassung Weitere Aufgaben 226 Optionen, Futures und andere Derivate Das Mehr-Perioden-Binomialbaum-Modell Rekombinierende Binomialbäume Kalibrierung der Parameter des Binomialbaums Bestimmung des Zinssatzes r n pro Periode Die Modellierung der Aktienkurse Binomialbäume und Binomialverteilung Die Bestimmung der Parameter u n und p n Näherungslösungen für u n und p n Die Bewertung europäischer Standard-Derivate Das direkte Bewertungsverfahren Die Implementierung des direkten Verfahrens Das rekursive Bewertungsverfahren Die Implementierung des rekursiven Verfahrens Die Berücksichtigung von Dividendenzahlungen Die Modellierung von Aktienkursen mit Dividendenzahlungen Die Bewertung im Ein-Perioden-Zwei-Zustands-Modell Dividenden im Mehr-Perioden-Modell Algorithmen zur Bewertung europäischer Auszahlungen mit Dividenden Amerikanische Optionen Die Bewertung amerikanischer Optionen ohne Dividendenzahlungen Ein Algorithmus zur Berechnung amerikanischer Auszahlungen ohne Dividendenzahlung Amerikanische Optionen mit Dividendenzahlungen Ein Algorithmus zur Berechnung von amerikanischen Optionen mit Dividendenzahlung Die Black-Scholes-Formeln Bewertungsformeln im Binomialbaum-Modell Die Konvergenz der Bewertungsformel Die analytische Bewertung von Standard-Optionen im Black-Scholes-Modell Implementierung der Black-Scholes-Formeln Present Value und die Bewertung von Cash-Flows Swaps Forward-Preise Futures 297

5 XIV 4.13 Forward-Start-Optionen Forward-Start-Performance-Optionen Ein strukturiertes Produkt Zusammenfassung Weitere Aufgaben Risikomanagement Value at Risk Darstellung des Value at Risk mit Hilfe der Renditeverteilung eines Portfolios Normalverteilte Portfoliorenditen Zeitliche Skalierung Die Delta-Normal-Methode Die Portfoliorendite als Linearkombination normalverteilter Renditen Die Delta-Normal-Methode Berechnung der modifizierten Sensitivitäten Component VaR Directional VaR Diskussion: Value at Risk als Risikomaß Zusammenfassung Weitere Aufgaben Diskrete Stochastische Analysis Bedingte Erwartung und Martingale Die Bedingte Erwartung als Projektion Unabhängigkeit Martingale Die Doob-Zerlegung Kovariations-Prozesse Orthogonale Martingale Das diskrete stochastische Integral Stochastische Integrale und Kovariations-Prozesse Die Itö-Formel Stochastische Exponentiale Der Satz von Girsanov Die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte Der Satz von Girsanov Stopzeiten Zusammenfassung Weitere Aufgaben 376

6 XV 7 Diskrete Stochastische Finanzmathematik Das Binomialbaum-Modell Schritt 1: Konstruktion eines Martingalmaßes Schritt 2: Definition des Preises von c? als Erwartungswert Schritt 3: Konstruktion einer die Endauszahlung CT replizierenden selbstfinanzierenden Handelsstrategie Die Binomialbaum-Formeln Die Black-Scholes-Formeln Amerikanische Optionen Zusammenfassung Aufgaben Mathematische Grundlagen Vektorräume Skalarprodukt und Norm Die Schwarzsehe Ungleichung Der Satz des Pythagoras Die Projektion Die Schwarzsehe Ungleichung Definition von Winkeln Grenzfälle Basen, Orthonormalbasen und der Projektionssatz Quotientenräume Lineare Abbildungen Der Rieszsche Darstellungssatz Adjungierte Abbildungen Lineare Optimierung Landau-Symbole Lagrange-Multiplikatoren Der Satz von De Moivre-Laplace Lösungen der Aufgaben Ein-Perioden-Modelle Portfoliotheorie Mehr-Perioden-Modelle Optionen, Futures und andere Derivate Risikomanagement Diskrete Stochastische Analysis Diskrete Stochastische Finanzmathematik 488 Literaturverzeichnis 493 Sachverzeichnis 495