Ralf und Elke Korn. Optionsbewertung und Portfolio-Optimierung

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1 Ralf und Elke Korn Optionsbewertung und Portfolio-Optimierung

2 raus dem Programm Mathematik Stochastik für Einsteiger von N. Henze Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik von U. Krengel Stochastik von G. Hübner Statistische Datenanalyse von W. A. Stahel Stochastik mit Mathematica von M. Overbeck-Larisch und W. Dolejsky Einführung in die Finanzmathematik (Klassische Verfahren, Investitionsrechnung, Effektivzins- und Renditeberechnung) von J. Tietze Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik von J. Tietze vieweg -----'

3 Ralf und Elke Korn Optionsbewertung und Portfolio-Optimierung Moderne Methoden der Finanzmathematik IJ GABLER vleweg

4 Dr. Ralf Korn Dipl.-Math. Elke Korn Fachbereich Mathematik Johannes Gutenberg-Universität Mainz Mainz (Ralf Korn): 1. Auflage 1999 Alle Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, BraunschweiglWiesbaden, 1999 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Bertelsmann Fachinformation GmbH. Das Werk einschließlich aiier seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. h ttp:j jwww.vieweg.de Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, Niedernhausen Gedruckt auf säurefreiem Papier ISBN ISBN (ebook) DOI /

5 v Vorwort Es gibt wohl nur wenige Dinge im täglichen Leben, die in der landläufigen Meinung so als Synonym für Unsicherheit angesehen werden wie Aktienkurse. Niemand ist in der Lage, ihren genauen zukünftigen Wert vorherzusagen, da er von vielen Faktoren bestimmt wird, die auf nicht exakt vorhersehbaren Ereignissen (wie z.b. allgemeine Wirtschaftslage, politische Ereignisse, firmenspezifische Einflüsse, Käufer-Nerkäuferverhalten,... ) basieren. Es ist daher naheliegend, Finanzmärkte, in denen Aktien (und andere Wertpapiere) gehandelt werden, durch stochastische Modelle zu beschreiben. Die Geschichte dieser stochastischen ModelIierung hatte ihren Anfang in der Dissertation von L. Bachelier (1900). Das wahrhaft bahnbrechende Ergebnis der modernen Finanzmathematik war hingegen die gut siebzig Jahre später entwickelte Black-Scholes-Formel zur Bewertung europäischer Optionen (siehe Black und Scholes (1973)). Sie brachte die Theorie der zeitstetigen Modelle für Finanzmärkte um einen wesentlichen Schritt weiter. Vor allem bewährte sich die Formel so gut in der Praxis, dass der Handel mit Optionen regelrecht aufblühte. Dieser große Erfolg in Theorie und Praxis wurde dokumentiert durch die Verleihung des Nobelpreises an Merton und Scholes In der Folge entstanden und entstehen an den Finanzmärkten immer weitere, neue und zum Teil in der Vertragsausgestaltung komplexe Derivate. Für die quantitative Bewertung vieler solcher neuartiger Derivate ist eine fundierte Kenntnis des mathematischen Modells und des mathematischen Handwerkszeugs, das der Black-Scholes Formel zugrunde liegt, insbesondere des Ito-Kalküls, nötig. Nur das verstärkte Vordringen des Ito-Kalküls in die Finanzmathematik gegen Ende der siebziger Jahre hat überhaupt erst die große Entwicklung des organisierten Handels mit Derivaten ermöglicht und ihm viel an Risiko genommen. Dem wird auch von den Finanzhäusern Rechnung getragen, indem verstärkt Mathematiker, Physiker und Wirtschaftsmathematiker mit entsprechenden Kenntnissen eingestellt und teils aus dem Ausland rekrutiert werden. Ein Ziel unseres Buches ist eine schnelle und gründliche Einführung in den Ito Kalkül, die genau auf die Anwendungen in der Finanzmathematik zugeschnitten ist und insbesondere auf für die Anwendung nicht benötigte Allgemeinheit verzichtet.

6 VI Vorwort Des weiteren wird in unserem Buch in die Methodik der Optionsbewertung nach dem Duplikationsansatz eingeführt. Dies ist der in Theorie und Praxis akzeptierte Ansatz, der auf dem Prinzip basiert, dass der Preis einer Option gerade dem Geldbetrag entspricht, der benötigt wird, um die sich aus dem Besitz einer Option ergebenden Zahlungen durch Verfolgen einer Handelsstrategie in Aktien und Bargeld synthetisch erzeugen zu können. Gerade in den letzten Jahren tauchten am Markt immer wieder neue Optionstypen, sogenannte "exotische Optionen" auf. Anhand zahlreicher Beispiele stellen wir verschiedene Wege vor, Preise für solche Optionen zu finden. Es wird gezeigt, wie man die Methoden aus den vorhergehenden Kapiteln anwenden kann, wie man mit Hilfe einfacher logischer Überlegungen Preisgrenzen festsetzen kann und wie man mit Hilfe numerischer Methoden, näherungsweise Preise für Optionen bestimmen kann, für die keine Preisformel bekannt ist. Dies gibt dem Financial Engineer in der Bank die Möglichkeit, Verfahren zu implementieren, mit deren Hilfe er auch neue, bisher nicht am Markt bekannte Produkte bewerten kann. Schließlich ist auch die Bestimmung optimaler Investmentstrategien eine zentrale Fragestellung in der modernen Finanzmathematik. Auf diesem Gebiet ist die Anwendung des lw-kalküls bei weitem noch nicht so weit in der Praxis verbreitet, wie bei der Optionsbewertung. Die Darstellung dieser modernen Portfoliotheorie innerhalb unseres Buches kann eventuell eine Startfunktion für ihre Verbreitung in der Praxis haben. Auch wenn die Basis unseres Buchs eindeutig in der Stochastik liegt, so wollen wir doch ausdrücklich auf die mathematische Breite der "neuen" Finanzmathematik hinweisen. Man wird beim Lesen des Buchs feststellen, dass sowohl Anwendungen aus dem Bereich der partiellen Differentialgleichungen, der Optimierung, der Numerik und auch der Funktionalanalysis eine wichtige Rolle spielen. Benötigte Vorkenntnisse Zum Verständnis des größten Teils des Buchs genügt ein Grundkurs in Wahrscheinlichkeitstheorie, da fast alle darüber hinaus gehenden Hilfsmittel hier entwickelt werden. Zwar sind Kenntnisse aus der Theorie stochastischer Prozesse wünschenswert, unbedingt notwendig ist aber lediglich die Kenntnis des bedingten Erwartungswerts und seiner Haupteigenschaften. Nicht nötig sind weitreichende Vorkenntnisse im Gebiet der Finanzwirtschaft. Die für das Verständnis der mathematischen Modelle benötigten wirtschaftlichen Zusammenhänge werden jeweils kurz erläutert. Weitere Hintergründe zum Han-

7 Vorwort VII dei mit Optionen erfährt man z.b. aus den Büchern von Hull (1993) oder Jarrow und Turnbull (1996). Inhalt und Konzept Bis auf eine kurze Einführung in den Erwartungswert-Varianz-Ansatz nach Markowitz konzentrieren wir uns in diesem Buch auf die Darstellung sogenannter zeitstetiger Modelle. Da es unser Ziel ist, eine gründliche Einführung in die mathematischen Methoden der zeitstetigen Finanzmathematik zu geben, wollen wir auch die benötigten mathematischen Hilfsmittel entwickeln und nicht nur bereit stellen. Hierbei besteht unser Konzept darin, diese Hilfsmittel (wie z.b. stochastische Integration, Maßwechsel, stochastische Steuerung,... ) immer dort zu entwickeln, wo sie zum ersten Mal in der Finanzmathematik angewendet werden. Hierdurch soll eine strikte Trennung von Anwendung und mathematischem Hilfsmittel vermieden werden. Umgekehrt soll das Buch aber keine bloße Sammlung mathematischer Resultate beinhalten, die dann in der Finanzmathematik angewendet werden. Deshalb werden die wesentlichen Hilfsmittel immer in eigenständigen Exkursen zusamengefasst. Des weiteren sind diese Exkurse kompakt gehalten und beinhalten meist nur die tatsächlich in der Anwendung benötigten theoretischen Resultate. Dies hat den Vorteil, dass es möglich ist, den Großteil des Stoffs innerhalb einer 4-stündigen Vorlesung zu präsentieren. Um diese Vorgabe zu verwirklichen haben wir uns an einigen wesentlichen Stellen beschränkt. Wir verzichten auf die Darstellung der stochastischen Integration bezüglich einem beliebigen stetigen Semi-Martingal und schränken uns statt dessen auf die Klasse der!to-prozesse als Integratoren ein. Für die Anwendung stellt dies keine wesentliche Einschränkung dar, für die Theorie ermöglicht es aber die Darstellung des Stoffs ohne Verwendung der Doob-Meyer-Zerlegung. Ihre Darstellung hätte sowohl den Umfang als auch den Schwierigkeitsgrad des Buchs erheblich erhöht. Je nach Vorkenntnis und Interesse gibt es verschiedene sinnvolle Möglichkeiten, dieses Buch zu lesen. Die von uns empfohlene ist, der Reihenfolge des Buchs zu folgen. Allerdings ist es auch möglich, die Optionskapitel III und IV zu überspringen und nach Kapitel II sofort die Portfolio-Optimierung in Kapitel V zu lesen. Eine eher konventionelle Vorgehensweise bestünde in der "Abarbeitung" aller Exkurse und anschließendem Lesen der finanzmathematischen Anwendungen. Einzelne Rechnungen und Anwendungen wurden von uns nicht (im Detail) durchgeführt und sind statt dessen als Übungsaufgaben vorhanden. Wir empfehlen dem Leser unbedingt zumindest einige dieser Aufgaben zu lösen.

8 VIII Vorwort Da ein Einführungsbuch wie das hier vorliegende bei moderatem Seitenumfang lediglich einen ersten Eindruck eines Gebiets der Mathematik vermitteln kann, wollen wir hier noch einige weiterführende Quellen angeben. So sei für weiterführende Darstellungen der stochastischen Integration auf Karatzas und Shreve (1991), 0ksendal (1992), Revuz und Yor (1991), Rogers und Williams (1987) oder von Weizsäcker und Winkler (1990) verwiesen. Neuere Entwicklungen der Portfolio-Optimierung sind in Korn (1997) zu finden, während Karatzas und Shreve (1998) sowohl weiterführende Aspekte zur Optionsbewertung als auch zur Portfolio-Optimierung und zu Marktgleichgewichten beinhaltet. Macht Mathematik reich? Diese Frage muß man sich als Autoren eines Buchs über Optionsbewertung und Portfolio-Optimierung sicherlich gefallen lassen. So wie Geld allein nicht glücklich macht, macht auch Finanzmathematik allein nicht reich. Das beste mathematische Modell ist nutzlos, wenn die von ihm benötigten Parameter nicht einigermaßen genau angegeben werden. Hier wird das Wissen der Händler und Ökonomen um interne Sachverhalte nach wie vor eine große Rolle spielen. Auch nutzt ein gutes mathematisches Modell nichts, wenn es falsch angewendet wird. Unter diesem Gesichtspunkt muss man auch die neuerlichen Milliardenverluste mancher Anlagefonds sehen. Hier hat man fahrlässig stark risikobehaftete Wertpapiere als sichere Anlage eingestuft und ist ein viel zu hohes Risiko eingegangen. Der Hauptnutzen der von uns vorgestellten mathematischen Werkzeuge besteht sicher in der korrekten Bewertung zufälliger Zahlungen (wie z.b. Optionen) und der optimalen Kombination vorhandener Information (wie z.b. der Portfolio-Optimierung bei bekannten Marktkoeffizienten). Mathematik kann das Marktrisiko nicht vollständig ausschalten, aber ein gutes Hilfsmittel sein, um es zu beschränken und zu beurteilen. Danke An dieser Stelle möchten wir allen, die an der Entstehung dieses Buchs beteiligt waren, ganz herzlich danken. Das Buch ist aus Vorlesungen des ersten Autors an den Fachbereichen für Mathematik der Johannes Gutenberg-Universität Mainz und der Technischen Universität München hervorgegangen. Insbesondere die in München gehaltene Vorlesung spiegelt sich im Inhalt des Buchs in wesentlichen Zügen wieder. Professor Claudia Klüppelberg gebührt unser erster Dank für die Initiierung des gesamten Buchprojekts und ihre Unterstützung während seiner Durchführung. Nicht zuletzt haben wir ihr den Kontakt zum Vieweg Verlag zu verdanken. Wir möchten hier auch all unseren Lehrern für die gute Ausbildung danken, insbesondere den Professoren Wolfgang J. Bühler, Heinrich Mülthei, Claus Schneider und Hans-Jürgen Schuh. Dr. Milan Borkovec hat durch viele

9 Vorwort IX Diskussionen zum Stoff und die Betreuung der Übungen zur in München gehaltenen Vorlesung einen wesentlichen Teil zu unserem Buch beigetragen. Frau Ulrike Schmickler-Hirzebruch und dem gesamten Vieweg Verlag danken wir für die angenehme Zusammenarbeit und das uns entgegengebrachte Vertrauen. Nicht zuletzt aber wollen wir uns bei unserem Sohn Uwe für sein großes Verständnis bedanken, das er für unsere oft knapp bemessene Zeit während der Entstehung des Buchs aufbrachte. Hallgarten, im Januar 1999 Ralf Korn, Elke Korn

10 XI Inhaltsverzeichnis Vorwort V Abkürzungs- und Symbolverzeichnis... XIII Kapitel I: Der Erwartungswert-Varianz-Ansatz im Ein- Perioden-Modell.... Kapitel 11: Das zeitstetige Marktmodell ILl Modellierung der Wertpapierpreise Exkurs 1: Brownsche Bewegung und Martingale Modellierung der Wertpapierpreise (Fortsetzung) Exkurs 2: Das Ito-Integral 29 Exkurs 3: Die Ito-Formel 11.2 Handelsstrategie und Vermögensprozess Eigenschaften des zeitstetigen Marktmodells.... Exkurs 4: Der Martingaldarstellungssatz Übungsaufgaben Kapitel 111: Options bewertung III.l Einleitung 111.2: Options bewertung nach dem Duplikationsprinzip.... Exkurs 5: Der Satz von Girsanov II.2: Optionsbewertung nach dem Duplikationsprinzip (Fortsetzung) : Optionsbewertung mit Hilfe partieller Differentialgleichungen Exkurs 6: Die Feynman-Kac-Darstellung : Arbitragegrenzen für amerikanische und europäische Optionen II.5: Bewertung amerikanischer Optionen 147 1II.6: Arbitrage, äquivalente Martingalmaße und Optionsbewertung III.7: Marktnumeraire und Numeraire-Invarianz 163 Übungs aufgaben 169

11 XII Inhaltsverzeichnis Kapitel IV: Bewertung exotischer Optionen und numerische Verfahren IV.1: Exotische Optionen mit expliziten Preisformeln Exkurs 7: Schwache Konvergenz stochastischer Prozesse IV.2: Monte-Carlo-Simulation IV.3: Approximation durch Binomialbäume IV 04: Trinomialbäume und explizite Finite-Differenzen-Verfahren IV.5: Der pfadweise Binomialansatz nach Rogers und Stapleton Übungsaufgaben Kapitel V: Optimale Portfolios V.1: Einleitung und Aufgabenstellung V.2: Die Martingalmethode V.3: Optimale Portfolios aus Optionen Exkurs 8: Stochastische Steuerung 259 VA: Portfolio-Optimierung mittels stochastischer Steuerung Übungsaufgaben Literaturverzeichuis Stichwortverzeichuis

12 XIII Abkürzungs- und Symbolverzeichnis Abkürzungen bzgl. bezüglich bzw. beziehungsweise d.h. das heißt i.i.d. unabhängig und identisch verteilt obda ohne Beschränkung der Allgemeinheit u.a. unter anderem usw. und so weiter vgl. vergleiche z.b. zum Beispiel min minimiere max maximiere in! Infimum sup Supremum NB unter der/den Nebenbedingung/en Symbole N natürliche Zahlen Z ganze Zahlen R o exp(x) reelle Zahlen leere Menge =ex C([0,1]) Raum der stetigen Funktionen auf [0,1] Cl Raum der einmal stetig differenzierbaren Funktionen Cl Raum der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen

13 XIV CI,2 Raum der stetigen Funktionen, die nach der ersten Komponente stetig differenzierbar sind und nach der zweiten Komponente zweimal stetig differenzierbar sind!t(t,x),f/t, x) partielle Ableitungen a+ max{a,o} a- max{-a,o} XI\Y B(U) a(g) a(x) min{x,y} Barel-er-Algebra über U (die kleinste er-algebra, die alle offenen Teilmengen des topologischen Raums U umfasst) kleinste er-algebra, die alle Mengen des Mengensystems G umfasst kleinste er-algebra, für die die Zufallsvariable X messbar ist 00 Rand der Menge 0 o Abschluss der Menge 0, d.h. 0 = 0 U 00 N(O, 1) Standard-Normalverteilung N(jJ, 02) Normalverteilung mit Erwartungswert f.1 und Varianz 02 verteilt wie A := B A wird durch B definiert x' Transponierte des Vektars x 1 =(1,1,...,1)' E(X) Erwartungswert der Zufallsvariable X Var(X) Varianz der Zufallsvariable X Cov(X) Kovarianz der Zufallsvariable X E(X I F) bedingter Erwartungswert der Zufallsvariable X bzgl. der er-algeqra F <X'> <X,1') quadratische Variation des no-prozesses X quadratische Kovariation der no-prozesse X und Y