Ralph-Hardo Schulz. Repetitorium Mathematik

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1 Ralph-Hardo Schulz Repetitorium Mathematik

2 Aus dem Programm Mathematik von A. Beutelspacher und analytische Geometrie I und II von E. Brieskorn von G. Fischer Analytische Geometrie von G. Fischer Einfuhrung in die lineare Algebra von R. Walter und analytische Geometrie von R. Walter Proiektive Geometrie von A. Beutelspacher und U. Rosenbaum Analysis 1, 2 und 3 von O. Forster Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik von U. Krengel Algebra von E. Kunz Numerische Mathematik fur Anfanger von G. Opfer Diskrete Mathematik von M. Aigner Vie~eg ~

3 Ralph-Hardo Schulz Repetitorium Mathematik Zur Vorbereitung auf den Pflichtbereich Mathematik in Vorprufung oder Staatsexamen II vleweg

4 Prof. Dr. Ralph-Hardo Schulz Freie U niversitat Berlin Institut fur Mathematik II Arnimallee Berlin Aile Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh. BraunschweiglWiesbaden, 1994 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Bertelsmann Fachinformation GmbH. Das Werk einschlieblich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschtitzt. Jede Verwertung auberhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuhissig und strafbar. Das gilt insbesondere flir Vervielf1iltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlag: Klaus Birk, Wiesbaden Gedruckt auf saurefreiem Papier ISBN-13:978-3-S28-06S47-8 e-isbn-\3 : \ \: \ 0.\ 007/ \16-3

5 Vorwort Dieses Buch soli die Anstrengungen unterstiitzen, die die meisten Studenten vor ihren Mathematikpriifungen zum Einpragen des Stoffes und gegen das Vergessen unternehmen. Es ist entstanden aus Veranstaltungen zur Vorbereitung auf das Staatsexamen, die ich seit Jahren in regelmabigen Abstanden anbiete. Nun ist es schwierig, wenn nicht unmoglich, Stoff und DarstelIung unabhangig von Priifungsordnung und personlichem Stil auszuwahlen. Ich habe mich bemiiht, fiir die folgenden Gebiete eine Grundlage zur Vorbereitung auf die Pflichtbereiche von Zwischenpriifung, Vordiplom oder Staatsexamen bereitzustelien: Analytische Geometrie Elementargeometrie Analysis Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie (ohne Statistik) Anfange der Algebra (ohne Galoistheorie) Die Fragen und zugehorigen Antworten werden durch Beispiele und weiterfiihrende Anmerkungen erganzt. Letztere sollte man ebenso wie die mit ** markierten Teile beim ersten Durcharbeiten iiberspringen. Sie ermoglichen spater eine Erganzung und Abrundung des Wissens. An viele Beweise wird durch eine Beweisskizze oder die Beweisidee erinnert. Da ich voraussetze, dab der Leser die wichtigsten Gebiete schon einmal in einer Vorlesung kennengelemt hat und sie sich jetzt einpragen mochte, habe ich groben Wert auf strukturelle Zusammenhange gelegt. Evtl. ist es aber auch moglich, sich an Hand des Buches in neue Themenbereiche einzuarbeiten. Beim Lemen wiinsche ich toi, toi, toi. Meinen herzlichen Dank mochte ich Frau Heike Eckart fur das Schreiben in Ib>TEX und die Eingabe vieler Bilder in das System "idraw" aussprechen, ebenso Frau Silvia Hoemke und Frau Elke Greene fur weitere Bilder im picture mode. Einige Funktionsgraphen habe ich mit" Mathematica" erzeugt. Berlin, im August 1994 Ralph-Hardo Schulz

6 VII Inhaltsverzeichnis Vektorraume. 1.2 Lineare Unabhangigkeit, Basis und Koordinaten 1.3 Dimension Lineare Abbildungen, Gleichungssysteme, Faktorraume. 1.5 Eigenwerttheorie 1.6 Skalarprodukt. 1.7 Isometrien Dualraum Determinanten Analytische Geometrie 2.1 Affine Unterraume ~ffin-lineare Abbildungen, Affinitaten Ahnlichkeitsabbildungen und Bewegungen 2.4 Kegelschnitte Elementargeometrie (synthetische Geometrie) 3.1 Affine Raume Geordnete Geometrie Kongruenzgeometrie Weitere wichtige Satze der Euklidischen Geometrie 3.5 Abbildungsgeometrie.... Analysis 4.1 Folgen und Reihen in IR Konvergenz und Stetigkeit in metrischen Raumen. 4.3 Invarianten stetiger Abbildungen, Mittelwertsatz, Zwischenwertsatz Reihen in normierten Raumen Differenzierbarkeit in IR Differenzierbarkeit von Abbildungen 4.7 Integration Anhang: Reelle und komplexe Zahlen. Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie 5.1 Diskrete Wahrscheinlichkeitsraume Zufallsvariable WahrscheinlichkeitsmaBe mit Dichten. 5.4 Approximation der Binomialverteilung 5.5 Gesetze der groben Zahlen

7 vm 6 Anf"ange der Algebra 6.1 Algebraische Strukturen Zum Aufbau des Zahlensystems. 6.3 Endliche Korpererweiterungen Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal 6.5 Endliche Korper Teilbarkeit in IN Euklidische Ringe, Hauptidealringe, ZPE-Ringe 6.8 Anfiinge der Gruppentheorie Stichwortverzeichnis