Egbert Brieskorn LINEARE ALGEBRA UND ANALYTISCHE GEOMETRIE

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Stanislaus Sachs
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1 Egbert Brieskorn LINEARE ALGEBRA UND ANALYTISCHE GEOMETRIE I

2 Umschlagfotos Vorderseite: Elektronenmikroskopische Aufnahme des Skeletts der Aige "braarudosphaera bigelowi". Mit freundlicher Genehmigung von Herrn Dr. S. A. Jafar, Institut fur Geologie und PaHiontologie der Universitat TUbingen. RUckseite: Elektronenmikroskopische Aufnahme einer Gruppe von Adenoviren. Mit freundlicher Genehmigung von Herrn Dr. Gelderblom, Robert-Koch-Institut des Bundesgesundheitsamtes, Berlin.

3 Egbert Brieskorn LINEARE ALGEBRA UND ANALYTISCHE GEOMETRIE I Noten zu einer Vorlesung mit historischen Anmerkungen von Erhard Scholz Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig / Wiesbaden

4 CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Brieskom, Egbert: Lineare Algebra und analytische Geometriel Egbert Brieskorn. - Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg 1. Noten zu einer Vorlesung/mit histor. Anm. von Erhard Scholz Auflage 1983 Nachdruck 1985 Aile Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, Braunschweig 1983 Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1983 Die Vervielfaltigung und Obertragung einzelner Textabschnitte, Zeichnungen oder Bilder, auch fiir Zwecke der Unterrichtsgestaltung, gestattet das Urheberrecht nur, wenn sie mit dem Verlag vorher vereinbart wurden. 1m Einzelfall mug iiber die Zahlung einer Gebiihr fiir die Nutzung fremden geistigen Eigentums entschieden werden. Das gilt fiir die Vervielfiiltigung durch aile Verfahren einschlieglich Speicherung und jede Obertragung auf Papier, Transparente, Filme, Bander, Platten und andere Medien. Buchbinderische Verarbeitung: Hunke & Schroder, Iserlohn ISBN-13: : / e-isbn-13:

5 Es ist Demantstaub, der, wenn er auch selbst nicht mehr glanzt, doch dient, andere damit zu schleifen. (Lichtenberg, Merkbuch J) Vorwort In der Geschichte der Mathematik zeigt sich uns ein grober Reichtum in der Entstehung verschiedenartiger Strukturen, die sich entfalten, durchdringen und vereinen. Die besonders einfachen und grundlegenden Strukturen treten dabei oft erst zum SchluB hervor. So ist es auch mit der linearen Algebra. Mit einem Alter von vielleicht hundert Jahren ist sie noch jung, und ihr Gegenstand ist eine besonders einfache Struktur, die Bestandteil vieler anderer und sehr viel komplexerer Strukturen in anderen Gebieten ist. Das Studium dieser Struktur steht daher he ute mit Recht am Anfang des Studiums der Mathematik uberhaupt. Leider entsteht dabei bisweilen ein Eindruck von Abstraktheit und Langeweile - dies aber nur dann, wenn man die lineare Algebra als ein abgemagertes Gerippe prasentiert, als einen Minimalkanon von Definitionen und Operationen, die man furs Examen lernen mub. Wer dergleichen sucht, lege dieses Buch beiseite. In der Vorlesung, aus der dies Buch hervorgegangen ist, habe ich versucht, etwas von der Fulle der Beziehungen sichtbar werden zu lassen, durch welche die Grundstrukturen der linearen Algebra mit anderen Strukturen verbunden sind. Naturlich ist das am Anfang des Studiums nur in begrenztem MaBe moglich. Selbstverstandlich habe ich mich zunachst einmal darum bemuht, dem durchschnittlichen Studenten eine gut motivierte, leicht lesbare, bisweilen sogar breit geschriebene Einfuhrung in das Gebiet der linearen Algebra zu geben, wobei ich auf die Entwicklung strukturellen Denkens und operationaler Fahigkeiten gleichermaben Wert gelegt habe. Daruber hinaus habe ich aber immer wieder versucht, denjenigen, die mehr als das wollen, Ausblicke auf all das Schone zu geben, was sie im Studium der Mathematik noch erwartet. Besonders die Aufgaben sollen etwas vom geometrischen Gehalt der linearen Algebra sichtbar werden lassen - ich sehe die lineare Algebra auch als die Form, in der heute die Geometrie Euklids gelehrt wird.

6 VI Vielleicht bin ich in meinem Streben nach Vielfalt bisweilen zu weit oder zu sehr in die Breite gegangen. Dennoch meine ich, dab die beiden Bande dieser Einfuhrung in die lineare Algebra trotz aller Vielfalt im Einzelnen im Grunde ein einheitliches Ganzes bilden. Dies auch deswegen, weil ich mich bemuht habe, die vereinheitlichende Kraft des Gruppenbegriffs wirken zu lassen, wo immer mir dies moglich war. Ich mochte allen danken, die zu diesem Buch beigetragen haben. Den Studenten danke ich dafur, dab sie so gute Horer waren, und unter ihnen danke ich besonders Herrn Everling fur eine lange Fehlerliste und Herrn Mertens fur das Stichwortverzeichnis. Den Sekretarinnen unseres Instituts danke ich fur das muhevolle Schreiben des Manuskriptes. Herrn Dr. Knorrer und Herrn Dr. Ehlers danke ich fur viele schone Ubungsaufgaben. Herrn Dr. Scholz mochte ich ganz besonders fur die wertvollen historischen Anmerkungen danken, die er zu jedem einzelnen Paragraphen geschrieben hat, und die mir fur die Art, wie ich die Ideen in der Vorlesung entwickelt habe, sehr wichtig gewesen sind. Herrn Dr. Gelderblom, Herrn Dr. Jafar und Herrn Professor Andre Schaaf danke ich dafur, dab sie uns gestattet haben, den Einband beider Bande mit ihren schonen elektronenmikroskopischen Aufnahmen zu schmucken. SchlieBlich gilt mein besonderer Dank Frau Schmickler-Hirzebruch vom Vieweg-Verlag fur die grobe Muhe, die sie sich mit diesem Buch gemacht hat. Ich hoffe, dab unser aller Arbeit nicht ganz umsonst war. Bonn, im Juni 1983 Egbert Brieskorn

7 Inhaltsverzeichnis seite I. Einfuhrung in die line are Algebra und analytische Geometrie 1 Wovon handelt die Mathematik? Zur Geschichte der regularen Korper und der Herausbildung eines mathematischen Symmetriebegriffs 30 Literatur zu 1 32 Aufgaben zu Gruppen Literatur zu 2 Aufgaben zu 2 3 Wovon handelt die lineare Algebra? Zur "Fruhgeschichte" der lineare Algebra Literatur zu 3 Aufgaben zu 3 4 Wovon handelt die analytische Geometrie? Zur Geschichte der analytischen Geometrie Literatur zu 4 Aufgaben zu II. Die Kategorie der Vektorraume 5 Korper Zur Entstehung des Korperbegriffs Literatur zu 5 Aufgaben zu Vektorraume 6.1. Axiome 6.2. Einfachste Beispiele 6.3. Rechenregeln 6.4. Unterraume 6.5. Beispiele 6.6. Quotientenraume 6.7. Basen 6.8. Rang und Dimension 6.9. Direkte Summen Dualraume Skalarwechsel Zur Entstehung und Durchsetzung des Vektorraumbegriffs 333 Literatur zu Aufgaben zu Aufgaben zu Matrizen 7.1. Matrizenkalkul 7.2. Matrizen und Koordinatentransformationen 7.3. Matrizen und Homomorphismen 7.4. Der GauBsche Algorithmus Zur Geschichte der Matrizen und des GauBschen Algorithmus Literatur zu 7 Aufgaben zu

8 VIII III. Affine RAume und lineare Gleichungssysteme 8 Affine Geometrie 8.1. Affine Raume und ihre Unterraume 8.2. Affine Abbildungen 8.3. Affine Koordinaten Zur Entstehung der affinen Geometrie Literatur zu 8 Aufgaben zu Lineare Gleichungssysteme 9.1. Existenz und Anzahl der Losungen 9.2. Berechnung der Losungen Literatur Aufgaben zu IV. Determinanten 10 Determinanten Ursprung und Definition der Determinanten Die wichtigsten Satze uber Determinanten Spezielle Determinanten Zur Entstehung der Determinanten Literatur zu 10 Aufgaben zu Quellenverzeichnis der Abbildungen Stichwortverzeichnis Inhalt des 2. Bandes Kapitel V. Die Klassifikation der Endomorphismen Endlich dimensionaler vektorraume Nilpotente Endomorphismen, Eigenraume, Eigenwerte, Jordanzerlegung und Jordannormalform, Elementarteiler, Klassifikation der Endomorphismen bis auf Konjugation, GL(2,:m) und GL(3,:m) als Beispiele. Kapitel VI. Vektorraume mit einer Sesquilinearform Sesquilinearform, selbstadjungierte und unitare Endomorphismen, Orthogonalisierung, Isotropie, Klassifikation hermitescher Formen, euklidische und unitare Vektorraume, klassische Gruppen. Inhalt des 3. Bandes Kapitel VII. Geometrie im Euklidischen Raum Euklidische affine Raume und ihre Isometriegruppen, Lange von Kurven, Winkel, ebene und spharische Trigonometrie, Spiegelungen und Drehungen, Clifford-Algebren und Spin-Gruppen, Klassifikation der Isometrien, einparametrige Gruppen von Isometrien, Quadriken, regulare Polyeder und endliche Untergruppen der orthogonalen Gruppe, geometrische Kristallographie, geometrische Kristallklassen, einfache Kristallformen.

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