Peter Hartmann. Mathematik fur Informatiker

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1 Peter Hartmann Mathematik fur Informatiker

2 Aus dem Programm Mathematikjlnformatik Diskrete Mathematik von M. Aigner Diskrete Mathematik fur Einsteiger von A. Beutelspacher und M.-A. Zschiegner Lineare Algebra von A. Beutelspacher Moderne Verfahren der Kryptographie von A. Beutelspacher, J. Schwenk und K.-D. Wolfenstetter Verschlusselungsalgorithmen von G. Brands Einfuhrung in die Computergraphik von H.-J. Bungartz, M. Griebel und Ch. Zenger Grundlegende Algorithmen von V. Heun Mathematik fur Informatiker von P. Hartmann Aigebraische Grundlagen der Informatik von K.- U. Witt Grundlagen der Theoretischen Informatik mit Anwendungen von G. Vossen und K.-U. Witt vieweg ----'

3 Peter Hartmann Mathematik fiir Informatiker Ein praxisbezogenes Lehrbuch ~ vleweg

4 Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Ein Titeldatensatz fur diese Publikation ist bei der Deutschen Bibliothek erhiiltlich. Prof. Dr. Peter Hartmann Fachhochschule Landshut Fachbereich Informatik Am Lurzenhof Landshut peter.hartmann@fh-landshut.de 1. Auflage August 2002 Aile Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft, BraunschweiglWiesbaden, 2002 DerVieweg Verlag ist ein Unternehmen der Fachverlagsgruppe BertelsmannSpringer. Das Werk und seine Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Iede Verwertung auberhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fur Vervielfiiltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier ISBN ISBN (ebook) DOI /

5 v Vorwort Informatik ist ein Kunstwort der deutschen Sprache, in dem die W orte Information und Mathematik stecken. Die Mathematik ist eine wesentliche Wurzel der Informatik: In allen ihren Bereichen werden immer wieder mathematische Methoden verwendet, mathematische Vorgehensweisen sind typisch fur die Arbeit des Informatikers. Ich glaube, dass der engen Verzahnung der beiden Disziplinen in den Lehrbuchem bisher zu wenig Aufmerksamkeit gewidmet wird. Dieses Buch enthliit die wesentlichen Gebiete der Mathematik, die flir das Verstandnis der Informatik benotigt werden. Dariiber hinaus stelle ich fiir die mathematischen Techniken immer wieder konkrete Anwendungen in der Informatik vor. So wird etwa die Logik zum Testen von Programmen verwendet, Methoden der linearen Algebra werden in der Robotik und der graphischen Datenverarbeitung eingesetzt. Die Theorie algebraischer Strukturen erweist sich als nutzlich beim Hashing, in der Kryptographie und zur Datensicherung. Die Differenzialrechnung wird benutzt um Interpolationskurven zu berechnen, die Fourierentwicklung spielt eine wichtige Rolle bei der Datenkompression. An vielen weiteren Stellen werden Verbindungen zwischen Mathematik und Informatik aufgedeckt. In der Darstellung geht es mir dabei nicht nur um die Ergebnisse, ein wichtiges Ziel ist das Einuben mathematischer Methoden bei der Uisung von Problemen. Die Tlitigkeit des Informatikers verlangt das gleiche analytische Herangehen an Aufgabenstellungen. Das Buch ist in erster Linie fur Studenten der Informatik an Fachhochschulen zur Begleitung ihrer Mathematikvorlesungen gedacht. Die Darstellung ist praxisorientiert und zeigt immer wieder auf, wie die Mathematik in der Informatik angewendet wird. Es stellt daher auch eine sinn volle Erganzung der Mathematikausbildung von Informatikem an Universitaten und technischen Hochschulen dar. Ich lege viel Wert auf die Motivation der Ergebnisse, die Herleitungen sind ausfiihrlich, und so eignet sich das Buch gut zum Selbststudium. Praktiker, die nach der Mathematik suchen, die ihren Anwendungen zu Grunde liegt, k6nnen es zum Nachschlagen verwenden. Wie auch immer Sie das Buch aber einsetzen, denken Sie daran: Genauso wie Sie eine Programmiersprache nicht durch das Lesen der Syntax lemen k6nnen, ist es unm6glich Mathematik zu verstehen ohne mit Papier und Bleistift zu arbeiten. In den drei Teilen des Buches behandle ich diskrete Mathematik und lineare Algebra, die Analysis und schlieblich die Grundzuge von Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Der numerischen Mathematik habe ich keinen eigenen Abschnitt gewidmet, die wichtigsten numerischen Verfahren werden jedoch jeweils an der Stelle vorgestellt, an der die dazugehorige Theorie entwickeit wird. Innerhalb eines Kapitels sind die Definitionen und Slitze fortlaufend durchnummeriert, eine zweite fortlaufende Nummerierung in runden Klammem erhalten Formeln, auf die spliter Bezug genommen wird. Jedes Kapitel enthlilt Ubungsaufgaben, teils zum Rechnen auf Papier, teils zum Programmieren, die der Vertiefung des vorgestellten Stoffes dienen, und auch eine Lernkontrolle darstellen sollen. Die Aufgaben sind gr6btenteils nicht allzu schwer; wenn Sie das entsprech~nde Kapitel durchgearbeitet haben, sollten Sie in der Lage sein, die meisten der

6 VI dazugehorigen Aufgaben zu losen. Auf der Webseite finden Sie L6sungsvorschliige zu den Aufgaben. Meinen Kollegen am Fachbereich Informatik der Fachhochschule Landshut habe ich immer wieder Abschnitte des Buches zur kritischen Durchsicht gegeben. Ich bedanke mich bei ihnen, vor allem bei Ludwig Griebl, der grobe Teile sorgfliltig gelesen hat und mir mit vielen Tipps geholfen hat. Auch bei meiner Familie bedanke ich mich sehr herzlich: Renate und Felix haben mir den Freiraum geschaffen, ohne den ich dieses Vorhaben nicht hiitte durchfuhren k6nnen. SchlieBlich, nicht zuletzt, gilt mein Dank allen Studentinnen und Studenten, die durch ihre Mitarbeit, ihre Fragen und Diskussionen in vielen Unterrichtsveranstaltungen der letzten Jahre den Inhalt des vorliegenden Buches wesentlich beeinflusst haben. Lemen klappt am besten, wenn es Freude macht. Dieses Buch soli Ihnen helfen, die Mathematik in ihrem Studium nicht nur als notwendiges Obel zu sehen. Ich wiinsche mir, dass Sie herausfinden, dass die Mathematik fur Sie ntitzlich ist, und dass sie gelegentlich auch spas machen kann. Ich freue mich tiber Ihre Rtickmeldungen zu diesem Buch. Bitte schreiben Sie mir, welche Informatikbeztige Ihnen fehlen, und auch was Sie fur tiberfltissig halten. Teilen Sie mir vor allem entdeckte Fehler mit, auf der Seite werde ich eine Liste der Korrekturen ver6ffentlichen. Landshut, im Juli 2002, Peter Hartmann

7 Inhaltsverzeichnis Teil I: Diskrete Mathematik und Iineare Algebra 1 Mengen und Abbildungen 1.1 Mengenlehre 1.2 Relationen 1.3 Abbildungen 1.4 Ubungsaufgaben 2 Logik 2.1 Aussagen und Aussagevariablen 2.2 Beweisprinzipien 2.3 Die Pradikatenlogik 2.4 Logik und Testen von Programmen 2.5 Ubungsaufgaben 3 Natiirliche Zahlen, vollstandige Induktion, Rekursion 3.1 Die Axiome der nattirlichen Zahlen 3.2 Die vollstandige Induktion 3.3 Rekursive Funktionen 3.4 Ubungsaufgaben 4 Etwas Zahlentheorie und Kryptographie 4.1 Kombinatorik 4.2 Teilbarkeit und Euklid'scher Algorithmus 4.3 Restklassen 4.4 Hashing 4.5 Kryptographie 4.6 Ubungsaufgaben 5 Algebraische Strukturen 5.1 Gruppen 5.2 Ringe 5.3 Korper 5.4 Polynomdivision 5.5 Homomorphismen 5.6 Ubungsaufgaben 6 Vektorraume 6.1 Die Vektorraume ll~.z, ~3 und ~n. 6.2 Vektorraume 6.3 Lineare Abbildungen 6.4 Lineare Unabhangigkeit 6.5 Basis und Dimension von Vektorraumen 6.6 Koordinaten und lineare Abbildungen 6.7 Ubungsaufgaben

8 2 7 Matrizen 7.1 Matrizen und lineare Abbildungen im ffi Matrizen und lineare Abbildungen von K"~K"' 7.3 Der Rang einer Matrix 7.4 Ubungsaufgaben 8 Gau8'scher Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 8.1 Der GauB'sche Algorithmus 8.2 Berechnung der Inversen einer Matrix 8.3 Lineare Gleichungssysteme 8.4 Probleme numerischer Berechnungen 8.5 Ubungsaufgaben 9 Eigenwerte, Eigenvektoren und Basistransformationen 9.1 Determinanten 9.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 9.3 Basistransformationen 9.4 Ubungsaufgaben 10 Skalarprodukt und orthogonale Abbildungen 10.1 Skalarprodukt 10.2 Orthogonale Abbildungen 10.3 Homogene Koordinaten 10.4 Ubungsaufgaben 11 Graphentheorie 11.1 Grundbegriffe der Graphentheorie 11.2 B1tume 11.3 Durchlaufen von Graphen 11.4 Ubungsaufgaben Teil II: Analysis 12 Die reellen Zahlen 12.1 Die Axiome der reellen Zahlen 12.2 Topologie 12.3 Ubungsaufgaben 13 Folgen und Reihen 13.1 Zahlenfolgen 13.2 Reihen 13.3 Darstellung reeller Zahlen in Zahlensystemen 13.4 Ubungsaufgaben 14 Stetige Funktionen 14.1 Stetigkeit 14.2 Elementare Funktionen 14.3 Eigenschaften stetiger Funktionen 14.4 Ubungsaufgaben

9 3 15 DitTerenzialrechnung 15.1 Differenzierbare Funktionen 15.2 Anwendungen der Differenzialrechnung 15.3 Potenzreihen 15.4 Taylorreihen 15.5 Differenzialrechnung von Funktionen mehrerer Veranderlicher 15.6 Ubungsaufgaben 16 Integralrechnung 16.1 Das Integral stiickweise stetiger Funktionen 16.2 Integralanwendungen 16.3 Fourierreihen 16.4 Ubungsaufgaben 17 DitTerenzialgleichungen 17.1 Was sind Differenzialgleichungen? 17.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung 17.3 Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung 17.4 Numerische L6sung von Differenzialgleichungen 17.5 Ubungsaufgaben Teil III: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 18 Wahrscheinlichkeitsraume 18.1 Fragestellungen der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 18.2 Der Wahrscheinlichkeitsbegriff 18.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und unabhangige Ereignisse 18.4 Umenexperimente 18.5 Ubungsaufgaben 19 Zufallsvariable 19.1 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen 19.2 Erwartungswert und Varianz von Zufallsvariablen 19.3 Ubungsaufgaben 20 Wichtige Verteilungen 20.1 Diskrete Verteilungen 20.2 Die Poisson-Verteilung und der Poisson-Prozess 20.3 Stetige Verteilungen, die Normalverteilung 20.4 Ubungsaufgaben 21 Statistische Verfahren 21.1 Parameterschatzung 21.2 Konfidenzintervalle 21.3 Hypothesentest 21.4 Ubungsaufgaben 22 Anhang Die Standardnormalverteilung Literaturverzeichnis Index