Moritz Adelmeyer Elke Warmuth. Finanzmathematik für Einsteiger

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1 Moritz Adelmeyer Elke Warmuth Finanzmathematik für Einsteiger

2 Aus dem Programm Mathematik für Einsteiger Algebra für Einsteiger von Jörg Bewersdorff Aigorithmik für Einsteiger von Armin P. Barth Diskrete Mathematik für Einsteiger von Albrecht Beutelspacher und Marc-Alexander Zschiegner Finanzmathematik für Einsteiger von Moritz Adelmeyer und Elke Warmuth Knotentheorie für Einsteiger von Charles Livingston Stochastik für Einsteiger von Norbert Henze Zahlentheorie für Einsteiger von Andreas Bartholome, J osef Rung und Hans Kern vieweg

3 Moritz Adelmeyer Elke Warmuth Finanzmathematik für Einsteiger Eine Einführung für Studierende, Schüler und Lehrer ~ vleweg

4 Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http/jdnb.ddb.de> abrufbar. Moritz AdeImeyer Kantonale Maturitätsschule für Erwachsene Schönberggasse Zürich, Schweiz Dr. Elke Warmuth Humboldt-Universität Institut für Mathematik Unter den Linden Berlin 1. Auflage April 2003 Alle Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, Braunschweig/Wiesbaden, 2003 Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen der Fachverlagsgruppe BertelsmannSpringer. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier ISBN ISBN (ebook) DOI /

5 v Vorwort Wie werden Sparkonten verzinst? Wie wird die Rendite von Anleihen berechnet? Wie werden die Prämien von Lebensversicherungen kalkuliert? Welchen Gesetzmäßigkeiten folgen Aktienkurse? Wie wird das Risiko von Portfolios gemessen? Wie kommen die Preise von Optionen zustande? Das vorliegende Buch hat zum Ziel, die finanzwirtschaftlichen und finanzmathematischen Grundlagen darzulegen, die zur Beantwortung derartiger Fragen notwendig sind. Thematisiert werden sowohl klassische als auch moderne Gebiete der Finanzmathematik. Es werden keine speziellen wirtschaftlichen Vorkenntnisse vorausgesetzt. Mathematisch wird aufgebaut auf Kenntnissen in Algebra, Analysis und Stochastik im Umfang, wie sie in der Sekundarstufe II vermittelt werden. Finanzmathematik für Einsteiger richtet sich insbesondere an Schülerinnen und Schüler, Lehrerinnen und Lehrer, Studienanfänger an Universitäten und Fachhochschulen, Praktiker aus dem Bank- und Versicherungswesen sowie an interessierte Laien. Das Buch besteht aus fünf Kapiteln. In jedem Kapitel steht ein Finanzinstrument im Zentrum. In Kapitel 1 sind es Anleihen, in Kapitel 2 Lebensversicherungen, in Kapitel 3 Aktien, in Kapitel 4 Portfolios (Kombinationen aus Anleihen und Aktien) und in Kapitel 5 schließlich Optionen (Rechte zum Kauf oder Verkauf von Aktien). Die Kapitel sind alle gleich aufgebaut. Zunächst wird das Finanzinstrument eingehend vorgestellt. Anhand konkreter Beispiele werden wichtige Begriffe erklärt und typische Einsatzmöglichkeiten und Verwendungszwecke erläutert. Dabei ergeben sich Fragen wie die eingangs gestellten. Im Folgenden werden mathf)matische Konzepte und Methoden präsentiert, die zur Beantwortung der Fragen beitragen. Die dabei auftretenden Berechnungen werden zunächst an konkreten Beispielen schrittweise entwickelt und ausführlich kommentiert, ehe sie - soweit möglich und sinnvoll - in eine allgemeine Form gebracht werden. Zum Schluss jedes Kapitels sind Aufgaben zur Verarbeitung und Vertiefung der Inhalte angeführt. Am Ende des Buches stehen detaillierte Lösungen zu allen Aufgaben. Zumeist arbeiten wir mit realen Daten und geben auch Hinweise zu deren Beschaffung aus der Presse und dem Internet. Die in diesem Buch angestellten Berechnungen sind zwar in der Regel recht elementar, aber zum Teil auch sehr umfangreich und dementsprechend - nur mit Papier, Bleistift und Taschenrechner durchgeführt - mühsam und fehleranfällig. Wir empfehlen daher den Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogramms wie Excel und geben dazu Hinweise. Wir danken allen, die uns bei der Erstellung dieses Buches unterstützt haben. Dazu zählen die vielen Kolleginnen und Kollegen sowie Studierenden, die Teile des Manuskripts gelesen und wertvolle Hinweise gegeben haben. Dazu zählt der Vieweg-Verlag, der die Ausarbeitung dieses Buches angeregt hat. Unser ganz besonderer Dank gilt Nadine Warmuth, die das Manuskript in 11'IEX gesetzt hat. Die Cartoons in diesem Buch stammen von Felix Schaad und wurden dankenswerterweise von Tamedia, Zürich, zur Verfügung gestellt. Zürich und Berlin, Februar 2003 :\Ioritz Adelrneyer und Elke Warmuth

6 VI Vorwort "Bei diesem Preis-Leistungs- Verhältnis werde ich Ihren Treibstoff zuerst analysieren lassen. " Zeichnung: Felix Schaad. Quelle: TAGES-ANZEIGER vom

7 VII Inhaltsverzeichnis Vorwort 1 Anleihen - von Zinsen und Renditen 1.1 Was sind Anleihen? Aufzinsen und Abzinsen Ein nützliches Programm und eine nützliche Formel 1.4 Ein Dollar heute ist nicht gleich ein Dollar morgen. 1.5 Rendite einer Anleihe: Provisorische Festlegung 1.6 Lineare versus exponentielle Verzinsung Rendite einer Anleihe: Definitive Festlegung 1.8 Renditegleichung My Name is Bond, T-Bond Risiko von Anleihen Rückblick und Ausblick Aufgaben Lebensversicherungen - das Äquivalenzprinzip 2.1 Versicherungsarten Sterbetafeln Erwartete Barwerte der Zahlungsströme Versicherungsmathematisches Äquivalenzprinzip 2.5 Von der Nettoprämie zum Zahlbeitrag 2.6 Aufgaben Aktien - von Kursdaten zu Kursmodellen 3.1 Was sind Aktien? Vom Kurs zur Rendite Einfache versus logarithmische Rendite 3.4 Statistische Verteilung der Renditen. 3.5 Statistische Korrelation der Renditen 3.6 Random Walk Theorie 3.7 Rendite und Zeitraum 3.8 Zufällige Prozesse 3.9 Normalverteilung Wiener-Prozess Black-Scholes-Modell für den Aktienkursprozess 3.12 Simulation eines Aktienkursprozesses 3.13 Modellkritik 3.14 Aufgaben Portfolios - Rendite-Risiko-Optimierung 4.1 Portfolios mit zwei Anlagen: Ein Beispiel Portfolios mit zwei Anlagen: Allgemeiner Fall Portfolios mit drei Anlagen: Beispiel und allgemeiner Fall 4.4 Effiziente Portfolios Leerverkäufe Portfolios mit einer risikolosen Anlage. 4.7 Rückblick und Ausblick. 4.8 Aufgaben.... V

8 VIII Inhaltsverzeichnis 5 Optionen - Preisbildung via No-Arbitrage-Prinzip 5.1 Was sind Optionen? Erwartungswert- und No-Arbitrage-Prinzip Schranken für Optionspreise und Put-Call-Beziehungen 5.4 Binomialformel für den Preis einer europäischen Option. 5.5 Vom Binomialmodell zum Black-Scholes-Modell. 5.6 Von der Binomialformel zur Black-Scholes-Formel 5.7 Aufgaben.... Anhang Lösungen zu den Aufgaben Literaturverzeichnis Stichwortverzeichnis

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