Peter Hartmann. Mathematik für Informatiker

Transkript

1 Peter Hartmann Mathematik für Informatiker

2 Aus dem Programm --...,. Mathematik/Informatik Diskrete Mathematik von M. Aigner Diskrete Mathematik für EInsteiger von A. Beutelspacher und M.-A. Zschiegner Lineare Algebra von A. Beutelspacher Moderne Verfahren der Kryptographie von A. Beutelspacher, I. Schwenk und K.-D. Wolfenstetter VerschlüsselungsalgorIthmen von G. Brands Einführung In die Computergraphlk von H.-I. Bungartz, M. Griebel und eh. Zenger Grundlegende Algorithmen von V. Heun Mathematik für Informatiker von P. Hartmann Algebraische Grundlagen der Informatik von K.- U. Witt Grundlagen der Theoretischen Informatik mit Anwendungen von G. Vossen und K.-U. Witt vieweg --'

3 Peter Hartmann Mathematik für Informatiker Ein praxisbezogenes Lehrbuch 2., durchgesehene Auflage 11 vleweg

4 Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. Prof. Dr. Peter Hartmann Fachhochschule Landshut Fachbereich Informatik Am Lurzenhof Landshut peter.hartmann@fh-landshut.de 1. Auflage August , durchgesehene Auflage Februar 2003 Alle Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft, BraunschweigiWiesbaden, 2003 DerVieweg Verlag ist ein Unternehmen der Fachverlagsgruppe BertelsmannSpringer. Das Werk und seine Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. UmschlaggestaItung: Ulrike Weigel, Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier ISBN ISBN (ebook) DOI /

5 Vorwort Informatik ist ein Kunstwort der deutschen Sprache, in dem die Worte Information und Mathematik stecken. Die Mathematik ist eine wesentliche Wurzel der Informatik: In allen ihren Bereichen werden immer wieder mathematische Methoden verwendet, mathematische Vorgehensweisen sind typisch für die Arbeit des Informatikers. Ich glaube, dass der engen Verzahnung der beiden Disziplinen in den Lehrbüchern bisher zu wenig Aufmerksamkeit gewidmet wird. Dieses Buch enthält die wesentlichen Gebiete der Mathematik, die für das Verständnis der Informatik benötigt werden. Darüber hinaus stelle ich für die mathematischen Techniken immer wieder konkrete Anwendungen in der Informatik vor. So wird etwa die Logik zum Testen von Programmen verwendet, Methoden der linearen Algebra werden in der Robotik und der graphischen Datenverarbeitung eingesetzt. Die Theorie algebraischer Strukturen erweist sich als nützlich beim Hashing, in der Kryptographie und zur Datensicherung. Die Differenzialrechnung wird benutzt um Interpolationskurven zu berechnen, die Fourierentwicklung spielt eine wichtige Rolle bei der Datenkompression. An vielen weiteren Stellen werden Verbindungen zwischen Mathematik und Informatik aufgedeckt. In der Darstellung geht es mir dabei nicht nur um die Ergebnisse, ein wichtiges Ziel ist das Einüben mathematischer Methoden bei der Lösung von Problemen. Die Tätigkeit des Informatikers verlangt das gleiche analytische Herangehen an AufgabensteIlungen. Das Buch ist in erster Linie für Studenten der Informatik an Fachhochschulen zur Begleitung ihrer Mathematikvorlesungen gedacht. Die Darstellung ist praxisorientiert und zeigt immer wieder auf, wie die Mathematik in der Informatik angewendet wird. Es stellt daher auch eine sinnvolle Ergänzung der Mathematikausbildung von Informatikern an Universitäten und technischen Hochschulen dar. Ich lege viel Wert auf die Motivation der Ergebnisse, die Herleitungen sind ausführlich, und so eignet sich das Buch gut zum Selbststudium. Praktiker, die nach der Mathematik suchen, die ihren Anwendungen zu Grunde liegt, können es zum Nachschlagen verwenden. Wie auch immer Sie das Buch aber einsetzen, denken Sie daran: Genauso wie Sie eine Programmiersprache nicht durch das Lesen der Syntax lernen können, ist es unmöglich Mathematik zu verstehen ohne mit Papier und Bleistift zu arbeiten. In den drei Teilen des Buches behandle ich diskrete Mathematik und lineare Algebra, die Analysis und schließlich die Grundzüge von Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Der numerischen Mathematik habe ich keinen eigenen Abschnitt gewidmet, die wichtigsten numerischen Verfahren werden jedoch jeweils an der Stelle vorgestellt, an der die dazugehörige Theorie entwickelt wird. Innerhalb eines Kapitels sind die Definitionen und Sätze fortlaufend durchnummeriert, eine zweite fortlaufende Nummerierung in runden Klammem erhalten Formeln, auf die später Bezug genommen wird. Jedes Kapitel enthält Übungsaufgaben, teils zum Rechnen auf Papier, teils zum Programmieren, die der Vertiefung des vorgestellten Stoffes dienen, und auch eine Lernkontrolle darstellen sollen. Die Aufgaben sind größtenteils nicht allzu schwer; wenn Sie das entsprechende Kapitel durchgearbeitet haben, sollten Sie in der Lage sein, die meisten der

6 VI dazugehörigen Aufgaben zu lösen. Auf der Webseite finden Sie Lösungsvorschläge zu den Aufgaben. Meinen Kollegen am Fachbereich Informatik der Fachhochschule Landshut habe ich immer wieder Abschnitte des Buches zur kritischen Durchsicht gegeben. Ich bedanke mich bei ihnen, vor allem bei Ludwig Griebl, der große Teile sorgfältig gelesen hat und mir mit vielen Tipps geholfen hat. Auch bei meiner Familie bedanke ich mich sehr herzlich: Renate und Felix haben mir den Freiraum geschaffen, ohne den ich dieses Vorhaben nicht hätte durchführen können. Schließlich, nicht zuletzt, gilt mein Dank allen Studentinnen und Studenten, die durch ihre Mitarbeit, ihre Fragen und Diskussionen in vielen Unterrichts veranstaltungen der letzten Jahre den Inhalt des vorliegenden Buches wesentlich beeinflusst haben. Lernen klappt am besten, wenn es Freude macht. Dieses Buch soll Ihnen helfen, die Mathematik in ihrem Studium nicht nur als notwendiges Übel zu sehen. Ich wünsche mir, dass Sie herausfinden, dass die Mathematik für Sie nützlich ist, und dass sie gelegentlich auch Spaß machen kann. Ich freue mich über Ihre Rückmeldungen zu diesem Buch. Bitte schreiben Sie mir, welche Informatikbezüge Ihnen fehlen, und auch was Sie für überflüssig halten. Teilen Sie mir vor allem entdeckte Fehler mit, auf der Seite werde ich eine Liste der Korrekturen veröffentlichen. Landshut, im Juli 2002, Peter Hartmann Vorwort zur 2. Auflage Schon nach einem halben Jahr konnte eine Neuauflage herausgebracht werden, ich freue mich, dass das Buch in die von mir vermutete Lücke im Markt trifft. Die 2. Auflage ist inhaltlich unverändert, ich habe lediglich einige Druckfehler und kleinere Unklarheiten beseitigt. Vielen Dank für die vielen hilfreichen Zuschriften, besonders an meine Kollegen Frau Gnuschke-Hauschild aus Würzburg und Herrn Glasauer aus Augsburg sowie an Herrn Axel Hoffmann, denen ich viele wichtige Hinweise verdanke. Bitte helfen Sie mir und allen Lesern auch in Zukunft durch Ihre Rückmeldungen die Qualität des Buches weiter zu verbessern! Landshut, im Januar 2003, Peter Hartmann

7 Inhaltsverzeichnis Teil I: Diskrete Mathematik und lineare Algebra 1 Mengen und Abbildungen 1.1 Mengenlehre 1.2 Relationen 1.3 Abbildungen 1.4 Übungsaufgaben 2 Logik 2.1 Aussagen und Aussagevariablen 2.2 Beweisprinzipien 2.3 Die Prädikatenlogik 2.4 Logik und Testen von Programmen 2.5 Übungsaufgaben 3 Natürliche Zahlen, vollständige Induktion, Rekursion 3.1 Die Axiome der natürlichen Zahlen 3.2 Die vollständige Induktion 3.3 Rekursive Funktionen 3.4 Übungsaufgaben 4 Etwas Zahlentheorie und Kryptographie 4.1 Kombinatorik 4.2 Teilbarkeit und Euklid'scher Algorithmus 4.3 Restklassen 4.4 Hashing 4.5 Kryptographie 4.6 Übungsaufgaben 5 Algebraische Strukturen 5.1 Gruppen 5.2 Ringe 5.3 Körper 5.4 Polynomdivision 5.5 Homomorphismen 5.6 Übungsaufgaben 6 Vektorräume 6.1 Die Vektorräume ~2, ~3 und ~n. 6.2 Vektorräume 6.3 Lineare Abbildungen 6.4 Lineare Unabhängigkeit 6.5 Basis und Dimension von Vektorräumen 6.6 Koordinaten und lineare Abbildungen 6.7 Übungsaufgaben

8 2 7 Matrizen 7.1 Matrizen und lineare Abbildungen im ]R2 7.2 Matrizen und lineare Abbildungen von K"~K'" 7.3 Der Rang einer Matrix 7.4 Übungsaufgaben 8 Gauß'scher Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 8.1 Der Gauß'sche Algorithmus 8.2 Berechnung der Inversen einer Matrix 8.3 Lineare Gleichungssysteme 8.4 Probleme numerischer Berechnungen 8.5 Übungsaufgaben 9 Eigenwerte, Eigenvektoren und Basistransformationen 9.1 Determinanten 9.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 9.3 Basistransformationen 9.4 Übungsaufgaben 10 Skalarprodukt und orthogonale Abbildungen 10.1 Skalarprodukt 10.2 Orthogonale Abbildungen 10.3 Homogene Koordinaten 10.4 Übungsaufgaben 11 Graphentheorie 11.1 Grundbegriffe der Graphentheorie 11.2 Bäume 11.3 Durchlaufen von Graphen 11.4 Übungsaufgaben Teil 11: Analysis 12 Die reellen Zahlen 12.1 Die Axiome der reellen Zahlen 12.2 Topologie 12.3 Übungsaufgaben 13 Folgen und Reihen 13.1 Zahlenfolgen 13.2 Reihen 13.3 Darstellung reeller Zahlen in Zahlensystemen 13.4 Übungsaufgaben 14 Stetige Funktionen 14.1 Stetigkeit 14.2 Elementare Funktionen 14.3 Eigenschaften stetiger Funktionen 14.4 Übungsaufgaben

9 3 15 Differenzialrechnung 15.1 Differenzierbare Funktionen 15.2 Anwendungen der Differenzialrechnung 15.3 Potenzreihen 15.4 Taylorreihen 15.5 Differenzialrechnung von Funktionen mehrerer Veränderlicher 15.6 Übungsaufgaben 16 Integralrechnung 16.1 Das Integral stückweise stetiger Funktionen 16.2Integralanwendungen 16.3 Fourierreihen 16.4 Übungsaufgaben 17 Differenzialgleichungen 17.1 Was sind Differenzialgleichungen? 17.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung 17.3 Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung 17.4 Numerische Lösung von Differenzialgleichungen 17.5 Übungsaufgaben Teil 111: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 18 Wahrscheinlichkeitsräume 18.1 Fragestellungen der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 18.2 Der Wahrscheinlichkeitsbegriff 18.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und unabhängige Ereignisse 18.4 Umenexperimente 18.5 Übungsaufgaben 19 Zufallsvariable 19.1 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen 19.2 Erwartungswert und Varianz von Zufallsvariablen 19.3 Übungsaufgaben 20 Wichtige Verteilungen 20.1 Diskrete Verteilungen 20.2 Die Poisson-Verteilung und der Poisson-Prozess 20.3 Stetige Verteilungen, die Normalverteilung 20.4 Übungsaufgaben 21 Statistische Verfahren 21.1 Parameterschätzung 21.2 Konfidenzintervalle 21.3 Hypothesentest 21.4 Übungsaufgaben 22 Anhang Die Standardnormalverteilung Literaturverzeichnis Index