Lineare Algebra für die Informatik

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1 Lineare Algebra für die Informatik

2 Kurt-Ulrich Witt Lineare Algebra für die Informatik Vektorräume, Gleichungssysteme, Codierung, Quantenalgorithmen

3 Kurt-Ulrich Witt Hochschule Bonn-Rhein-Sieg Sankt Augustin, Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Vieweg Springer Fachmedien Wiesbaden 2013 Dieses Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch Barbara Gerlach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Springer Vieweg ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media

4 Vorwort v Vorwort Informations- und Kommunikationstechnologien basieren auf mathematischen Grundlagen. Professioneller und privater Einsatz und Gebrauch von Medien und Geräten wie z.b. das Internet, Smartphones, DVDs, digitaler Rundfunk und digitales Fernsehen, sind nur deshalb in der vorhandenen Qualität möglich, weil mathematisch abgesicherte Verfahren zu deren Sicherstellung zur Verfügung stehen und eingesetzt werden. Dieses Buch vermittelt Einsichten in grundlegende mathematische Konzepte und Methoden der Linearen Algebra, auf denen diese Verfahren beruhen. Am Beispiel fehlertoleranter Codierung von Daten wird einführend gezeigt, wie diese Konzepte und Methoden in der Praxis eingesetzt werden. Quantencomputing, Quanteninformation und Quantenrechner sind in letzter Zeit Themen, die in der wissenschaftlichen Literatur wie in populären Medien Aufmerksamkeit erzielen. Im letzten Kapitel zeigen wir am Beispiel einer Problemstellung elementare Ideen für den gewinnbringenden Einsatz von Quantenalgorithmen. Diese verwenden ebenfalls vorher dargestellte Konzepte und Methoden der Linearen Algebra. An den beiden Anwendungsszenarien wird deutlich, dass die Mathematik, hier das Gebiet der Linearen Algebra, zeitinvariante Konzepte, Methoden und Verfahren bereitstellt, mit denen IT-Technologien konzipiert, implementiert, angewendet und weiterentwickelt werden können. Das Buch richtet sich an Bachelor-Studierende in Informatik-Studiengängen aller Art sowie an Bachelor-Studierende der Mathematik im Haupt- oder Nebenfach. Das Studium dieses Buches vermittelt nicht nur Wissen zu den oben genannten Gebieten, sondern die Auseinandersetzung mit seinen Inhalten schult die Fähigkeiten, abstrakt und logisch zu denken, sich klar und präzise auszudrücken, neue Probleme anzugehen und zu wissen, wann ein Problem noch nicht vollständig gelöst ist. Es liefert ein zeitinvariantes methodisches Rüstzeug für die Beschreibung und die Lösung von Problemen. Viele Lösungsansätze sind so aufbereitet, dass sie als Ausgangspunkt für den Entwurf von Algorithmen und deren Programmierung auf Rechnern dienen können. Das Buch ist als Begleitlektüre zu entsprechenden Lehrveranstaltungen an Hochschulen aller Art und insbesondere zum Selbststudium geeignet. Jedes Kapitel beginnt mit einer seinen Inhalt motivierenden Einleitung und der Auflistung von Lernzielen, die durch das Studium des Kapitels erreicht werden sollen. Zusammenfassungen am Ende von Abschnitten oder am Ende von Kapiteln bieten Gelegenheit, den Stoff zu reflektieren. Die meisten Beweise sind vergleichsweise ausführlich und mit Querverweisen versehen, die die Zusammenhänge aufzeigen. Eingestreut sind über fünfzig Aufgaben, deren Bearbeitung zur Festigung des Wissens und zum Üben der dargestellten Methoden und Verfahren dienen. Zu fast allen Aufgaben sind am Ende des Buches oder im Text Musterlösungen aufgeführt. Die Aufgaben und Lösun-

5 vi Vorwort gen sind als integraler Bestandteil des Buches konzipiert. Wichtige Begriffe sind als Marginalien aufgeführt; der Platz zwischen den Marginalien bietet Raum für eigene Notizen. Unterschiedliche Schrifttypen für mathematische Symbole erleichtern deren Einordnung und tragen zum besseren Verständnis der Darstellungen bei. Im Anhang sind Definitionen und Eigenschaften von Rechenstrukturen aufgeführt, die in der Linearen Algebra verwendet werden. Das Schreiben und das Publizieren eines solchen Buches ist nicht möglich ohne die Hilfe und ohne die Unterstützung von vielen Personen, von denen ich an dieser Stelle allerdings nur einige nennen kann: Als Erstes erwähne ich die Autoren der Publikationen, die ich im Literaturverzeichnis aufgeführt habe. Alle dort aufgeführten Werke habe ich für den einen oder anderen Aspekt verwendet. Ich kann sie allesamt für weitere ergänzende Studien empfehlen. Zu Dank verpflichtet bin ich auch vielen Studierenden, deren kritische Anmerkungen in meinen Lehrveranstaltungen zu Themen dieses Buches ich beim Schreiben berücksichtigt habe. Trotz dieser Hilfen wird das Buch Fehler und Unzulänglichkeiten enthalten. Diese verantworte ich allein für Hinweise zu deren Beseitigung bin ich dankbar. Die Publikation eines Buches ist nicht möglich ohne einen Verlag, der es herausgibt. Ich danke dem Springer-Verlag für die Bereitschaft der Publikation und insbesondere Frau Schmickler-Hirzebruch für ihre Ermunterung zur und ihre Unterstützung bei der Publikation des Buches. Mein größter und herzlichster Dank gilt allerdings meiner Familie für den Freiraum, den sie mir für das Schreiben dieses Buches gegeben hat. Bedburg, im August 2012 K.-U. Witt

6 Inhaltsverzeichnis vii Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 1 Vektorräume Grundlegende Definitionen und Eigenschaften Lineare Unabhängigkeit BasisundDimensioneinesVektorraums Lineare Abbildungen Basistransformationen Orthogonalräume Zusammenfassung Matrizen Definitionen und elementare Eigenschaften ElementareMatrizenoperationen RangeinerMatrix Zusammenfassung Lineare Gleichungssysteme Grundlegende Definitionen Lösung linearer Gleichungssysteme Zeilenreduktion Gausssches Eliminationsverfahren Gleichungssysteme als lineare Abbildungen Zusammenfassung Determinanten und invertierbare Matrizen Determinanten InvertierbareMatrizen Hauptsätze für Determinanten Basistransformationen und lineare Abbildungen (Fortsetzung) Zusammenfassung Einführung in die algebraische Codierungstheorie Grundbegriffe EinfacheBlock-Codes Repetitionscode Codes mit Paritätsbit CodesmitBlocksicherung Zusammenfassung Linearcodes Grundlegende Definitionen Fehlererkennung Fehlerkorrektur Zusammenfassung... 97

7 viii Inhaltsverzeichnis 5.4 PerfekteCodes TrivialeperfekteCodes Hamming-Codes Zusammenfassung Prüfzeichencodierung Prüfzeichenverfahren: Definitionen und allgemeine Eigenschaften Prüfziffernsysteme ISBN-Codierung EAN-Codierung Zusammenfassung Quantenalgorithmen Quantenzustände, Tensorprodukte und unitäre Matrizen Quantenzustände Tensorprodukte UnitäreMatrizen Quantenbits Zwei Beispiele fürquantenalgorithmen DerDeutsch-Algorithmus DerDeutsch-Jozsa-Algorithmus Zusammenfassung A Anhang: Algebraische Strukturen 143 A.1 Halbgruppen,Monoide,Gruppen A.2 Alphabete und Wörter A.3 Ringe, Integritätsbereiche A.4 Körper Lösungen zu den Aufgaben 149 Literatur 181 Stichwortverzeichnis 183

8 Einleitung 1 Einleitung Dieses Buch stellt algebraische Konzepte, Methoden und Verfahren vor, welche Grundlage für viele Anwendungen der Informatik sind. Im ersten Teil betrachten wir Vektorräume und lineare Gleichungssysteme. Wir werden sehen, dass Vektorräume und lineare Gleichungssysteme in Zusammenhang stehen, und wir werden Matrizen und Determinanten als wichtige Hilfsmittel für die Beschreibung und Lösung von Gleichungssystemen kennen lernen. Im zweiten Teil beschäftigen wir uns einführend mit der Codierung von Nachrichten sowie beispielhaft mit Grundideen von Quantenalgorithmen. Wir betrachten insbesondere Linearcodes. Linearcodes werden in der Praxis zur fehlertoleranten Nachrichtenübertragung und -speicherung eingesetzt und haben wesentliche Bedeutung bei der fehlertoleranten Speicherung und Übertragung von Daten. Quantenalgorithmen, Quantencomputing und Quanteninformation sind Themen, die in der letzten Zeit eine gewisse Popularität gewonnen haben. Wir werden am Ende des Buches ein Problem kennen lernen, welches mithilfe eines Quantenalgorithmus in einem gewissen Sinne effizienter gelöst werden kann, als das auf den heute verfügbaren Rechnertechnologien möglich ist. Dabei werden bestimmte Arten von Matrizen eine Rolle spielen. Nach dem Durcharbeiten dieses Buches sollten Sie grundlegende Begriffe und Eigenschaften von Vektorräumen und Matrizen kennen, Elementarmatrizen kennen sowie diese für die Bestimmung des Rangs einer Matrix, bei der Berechnung von Determinanten und der Lösung von Gleichungssystemen anwenden können, die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen feststellen und gegebenenfalls die Lösungen bestimmen können, die Bedeutung der Determinante für die Lösbarkeit von Gleichungssystemen und die Invertierbarkeit von Matrizen kennen, Verfahren zur Berechnung von Determinanten kennen und anwenden können, wissen, wie man die Invertierbarkeit einer Matrix feststellen und gegebenenfalls deren Inverse berechnen kann, die Grundprinzipien der fehlertoleranten algebraischen Codierung mit Linearcodes verstehen und anwenden können, Beispiele für Linearcodes aus der Praxis kennen und deren Eigenschaften erklären können, am Beispiel des Deutsch-Algorithmus elementare Eigenschaften von Quantenalgorithmen erklären können. Lernziele

9 2 Einleitung Die Beschäftigung mit Themen, die in diesem Buch behandelt werden, setzt Kenntnisse über alltägliche Rechenstrukturen wie Gruppen, Ringe, Integritätsbereiche und Körper voraus. Deshalb werden im Anhang diese Strukturen und einige ihrer Eigenschaften, die im Verlaufe dieses Buches verwendet werden, aufgelistet. Ich empfehle Ihnen, sich damit vertraut zu machen, bevor Sie mit dem Studium des Buches beginnen.