Wahrscheinlichkeitsrechnung und Maßtheorie

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1 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Maßtheorie

2 Rainer Oloff Wahrscheinlichkeitsrechnung und Maßtheorie

3 Rainer Oloff Jena, Thüringen Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2017 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Planung: Iris Ruhmann Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist Teil von Springer Nature Die eingetragene Gesellschaft ist Springer-Verlag GmbH Berlin Heidelberg Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, Berlin, Germany

4 Vorwort Auf Fragestellungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung stößt man spätestens im Zusammenhang mit Glücksspielen. Durch ein naheliegendes Prinzip der Gleichwahrscheinlichkeit reduzieren sich solche Probleme dann häufig auf Fragestellungen aus der Kombinatorik. Wenn es um die Fortpflanzung von Messfehlern und natürlichen Schwankungen auf sekundäre Größen und um die dadurch notwendige Aufarbeitung statistischer Daten geht, muss man schon auf die Integralrechnung zurückgreifen. Aber erst mit der maßtheoretischen Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitsrechnung durch die fundamentalen Beiträge von A. Kolmogorow in den zwanziger Jahren des 20.Jahrhunderts etablierte sich diese als eigenständige Disziplin der modernen Mathematik. Diese heute übliche Formulierung der Wahrscheinlichkeitsrechnung in der Sprache der Maßtheorie hat aber auch den Nachteil, dass vielen Berufsgruppen der Zugang zu ihren klassischen Teilen unnötig erschwert wird. Die Maßtheorie gilt als ein besonders abstrakter Teil der Mathematik, und wer im Studium oder Beruf wenig Berührung mit der Mathematik erfahren hat, wird die Sprache der Maßtheorie als geradezu abschreckend empfinden. Die vorliegende Darstellung der Wahrscheinlichkeitsrechnung besteht aus vier Teilen. Im ersten Teil werden die klassischen Erkenntnisse zusammengestellt, erklärt und bewiesen, die auch ohne Maßtheorie verständlich sind. Diese Palette umfasst u. a. die wichtigsten Sätze und Verfahren aus der mathematischen Statistik und die Markow-Ketten aus dem Bereich der stochastischen Prozesse. Zum Verständnis genügt über weite Strecken Abiturwissen. Allerdings erfordern die Beweise mancher Sätze einen recht virtuosen Umgang mit Riemann-Integralen in R n, aber auch ohne vollständiges Nachvollziehen solcher Beweise sollten die Aussagen der Sätze verständlich sein und eine erfolgreiche Anwendung der aus ihnen folgenden statistischen Methoden ermöglichen. Der zweite Teil ist der Maßtheorie gewidmet. Jedes Maß gibt Anlass zu einem Integral, und damit lassen sich dann Wahrscheinlichkeiten berechnen. Behandelt werden auch Boole sche Algebren. Sie werden benötigt, um das maßtheoretische Modell der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu motivieren. Die Maßtheorie gehört zum Standardcurriculum eines Mathematikstudiums. Studenten der Physik und der Ingenieurswissenschaften werden zwar mit viel Mathematik konfrontiert, aber für die Maßtheorie ist normalerweise keine Zeit. Sie müssen sich aber nicht unbedingt durch alle in diesem zweiten v

5 vi Vorwort Teil durchgeführten Beweise quälen, um die grundlegenden Begriffe zu verstehen und anwenden zu können. Im dritten Teil können wir dann die Wahrscheinlichkeitsrechnung unter Verwendung der Maßtheorie eleganter und in größerer Allgemeinheit bearbeiten. Die Maßtheorie ist auch für den vierten und letzten Teil bei der Behandlung stochastischer Prozesse unverzichtbar. Im Mittelpunkt stehen dort die Markow-Prozesse als Verallgemeinerung der schon im ersten Teil bearbeiteten Markow-Ketten, insbesondere die Diffusionsprozesse. Bekanntestes Beispiel ist die Brown sche Bewegung, die auch zur Lösung des Dirichlet- Problems aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen verwendet werden kann. Der Schwierigkeitsgrad steigt im Verlauf des Textes deutlich an. Tröstend sei aber noch einmal vermerkt, dass man sich nicht unbedingt durch alle Beweise quälen muss, um die einzelnen Sätze inhaltlich verstehen und anwenden zu können. Andererseits sind, wie in mathematischen Texten so üblich, die eindrucksvollsten Interpretationen und Illustrationen eines Satzes die Beweise der nachfolgenden Sätze. Am Ende jedes Kapitels sind Aufgaben sehr unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades formuliert. Die Lösungen können Sie am Ende dieses Textes einsehen. Jena, Juni 2016 Rainer Oloff

6 Inhaltsverzeichnis Teil I Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 1 Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit Struktur des Ereignisraumes Kombinatorik Bedingte Wahrscheinlichkeit Unabhängigkeit... 8 Aufgaben Zufallsvariable Diskrete Verteilungen Kontinuierliche Verteilungen Erwartungswert und Varianz Der Grenzwertsatz von de Moivre und Laplace Aufgaben Vektorielle Zufallsvariable Verteilungen auf R n Normalverteilte vektorielle Zufallsvariable Unabhängige Komponenten Kugelkoordinaten in R n Summe und Quotient unabhängiger Zufallsvariabler Das Gesetz der großen Zahlen Aufgaben Statistik Abschätzung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Vergleich von zwei Ereignissen Auswertung einer Messreihe Vergleich von zwei Messreihen vii

7 viii Inhaltsverzeichnis 4.5 Beschreibung einer Population Lineare Regression Aufgaben Markow-Ketten Übergangswahrscheinlichkeiten Rekurrente und transiente Zustände Aufgaben Teil II Maßtheorie 6 Maße Mengensysteme Borel-Mengen Fortsetzungssätze Regularität endlicher Borel-Maße Aufgaben Integrale Messbare Funktionen Parallelen zum Riemann-Integral Grenzwertsätze Integrale zu Produktmaßen Der Hilbert-Raum L 2 Œ; A; Maße mit Dichten Aufgaben Boole sche Algebren Verknüpfung von Ereignissen Axiome und Rechenregeln Ideale Der Darstellungssatz von Stone Boole sche -Algebren Aufgaben Teil III Axiomatische Wahrscheinlichkeitstheorie 9 Das maßtheoretische Modell Wahrscheinlichkeitsräume Zufallsvariable Unabhängigkeit Erwartungswert, Varianz, Kovarianz Aufgaben

8 Inhaltsverzeichnis ix 10 Charakteristische Funktionen Fourier-Transformation Beispiele Eindeutigkeitssatz Schwache Konvergenz Der Zentrale Grenzwertsatz Aufgaben Bedingte Zufallsvariable Bedingte Erwartung Bedingte Wahrscheinlichkeit Bedingte Verteilungen Aufgaben Teil IV Stochastische Prozesse 12 Darstellung stochastischer Prozesse Definition und Interpretation Endlichdimensionale Verteilungen Poisson-Prozesse Aufgaben Markow-Prozesse Übergangswahrscheinlichkeiten Zeitlich homogene Markow-Prozesse Pfadstetigkeit Diffusion Stoppzeiten Die strenge Markow-Eigenschaft Martingale Das Dirichlet-Problem Allgemeine Randwertaufgabe Aufgaben Lösungen der Aufgaben Literaturverzeichnis Sachverzeichnis