Hannes Stoppel ßirgit Griese. Übungsbuch zur Linearen Algebra

Transkript

1 Hannes Stoppel ßirgit Griese Übungsbuch zur Linearen Algebra

2 vieweg studiu111 Grundkurs Mathematik Gerd Fischer Lineare Algebra Gerd Fischer Analytische Geometrie Otto Forster Analysis 1 Otto Forster/Rüdiger Wessoly Übungsbuch zur Analysis 1 Otto Forster Analysis 2 Qtto Forster/Thomas Szymczak Ubungsbuch zur Analysis 2 Ernst Kunz Ebene Geametrie Gerhard Opfer Numerische Mathematik für Anfänger

3 Hannes Stoppel Birgit Griese Übungsbuch zur Linearen Algebra Aufgaben und Lösungen

4 Die Deutsche Bibliothek- CIP-Einheitsaufnahme Stoppel, Bannes: Übungsbuch zur linearen Algebra: Aufgaben und Lösungen I Hannes Stoppel; Birgit Griese. - (Vieweg Studium; 88: Grundkurs Mathematik) ISBN ISBN (ebook) DOI / Frau Birgit Griese Herrn Hannes Stoppel Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Mathematisches Institut Universitätsstr Düsseldorf stoppel@cs.uni-duesseldorf.de Alle Rechte vorbehalten Springer Fachmedien Wiesbaden 1998 Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, Braunschweig/Wiesbaden, vieweg.de Umschlaggestaltung: Klaus Birk, Wiesbaden Satz: Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig Gedruckt auf säurefreiem Papier Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. ISBN

5 Vorwort Seit die zehnte Auflage der Linearen Algebra von Gerd Fischer erschienen ist, die als Neuerung gegenüber den älteren Auflagen viele Übungsaufgaben enthält, sind beim Verlag viele Anfragen nach den Lösungen dieser Aufgaben eingegangen. Auf Anregung von Frau Schmickler-Hirzebruch begann im Winter 96/97 die Arbeit an diesem Lösungsbuch. Dennoch stehen wir der Veröffentlichung eines Buches, das nur aus Lösungen zu Übungsaufgaben besteht, skeptisch gegenüber, da die eigene Beschäftigung mit Problemen und viel eigenes Nachdenken für das Verständnis von Mathematik unverzichtbar sind. Das Nachschlagen von Lösungen in einem Buch macht nach dieser Überzeugung nur Sinn, wenn man sich vorher selbständig und ausgiebig mit der Aufgabe auseinandergesetzt hat. Wir hoffen, daß unsere Leserinnen diese Disziplin besitzen. Unter diesen Voraussetzungen kann ein Lösungsbuch davor schützen, viel Zeit ohne viel Nutzen mit einer einzelnen Aufgabe zu vertun und so hoffentlich Frustrationen verhindern. Dieses Buch ist jedoch auch für geübte Mathematikerinnen von Interesse, denn wir haben auf folgendes besonderen Wert gelegt: Viele der Übungsaufgaben in der zehnten und elften Auflage der Linearen Algebra gewinnen im Zusammenhang mit Anwendungen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik an Bedeutung, von denen eine Anfängerln freilich noch nichts wissen kann. Wir haben uns bemüht, so oft wie möglich auf solche Bezüge zu verweisen. Das soll zur Motivation beitragen, denn es plaziert die lineare Algebra als Teilgebiet der Mathematik in dem Geflecht der vielen anderen Teildisziplinen an einer zentralen Stelle. In diesem Zusammenhang sind wir stets für weitere Anstöße offen und freuen uns über Anregungen unserer Leserlnnen, die wir in einer späteren Auflage berücksichtigen können. Das vorliegende Arbeitsbuch enthält die Aufgaben aus der elften Auflage der Linearen Algebra von Gerd Fischer, einige Ergänzungsaufgaben sowie deren Lösungen. Es kann auch mit der zehnten Auflage der Linearen Algebra benutzt werden. Kapitel, die mit einem Stern versehen sind, können beim ersten Durcharbeiten des Stoffes übergangen werden. Dasselbe gilt für Aufgaben mit Stern. Danken wollen wir all denen, die uns bei der Herstellung dieses Buches unterstützt haben. An erster Stelle stehen der Verlag Vieweg und insbesondere Frau Schmickler-Hirzebruch, die dieses Projekt ermöglicht und unterstützt haben. Professor Gerd Fischer gilt besonderer Dank für die zahlreichen Gespräche und die Hilfe bei Details. Stefan Lache hat uns nicht nur durch das Mathematikstudium als Kommilitone und danach als Freund begleitet, sondern auch frühere Versionen dieses Buches sehr sorgfältig Korrektur gelesen und uns mit zahlrei-

6 VI chen Verbesserungshinweisen unterstützt. Jens Piontkowski hat Teile des Manuskriptes gewissenhaft durchgesehen und wertvolle Tips gegeben. Volker Solinus hat nach schier endlosen Nörgeleien von unserer Seite die Bilder perfekt erstellt. Ohne diese Personen wäre das ganze Projekt sicher nicht zu einem guten Ende gelangt. Düsseldorf, im November 1997 Hannes Stoppel und Birgit Griese

7 Inhaltsverzeichnis I Aufgaben 1 0 Lineare Gleichungssysteme 0.3 Ebenen und Geraden im Standardraum R Das Eliminationsverfahren von GAUSS 1 Grundbegriffe 1.1 Mengen und Abbildungen 1.2 Gruppen Ringe, Körper und Polynome. 1.4 Vektorräume Basis und Dimension Summen von Vektorräumen 2 Lineare Abbildungen 2.1 Beispiele und Definitionen Bild, Fasern und Kern, Quotientenvektorräume. 2.3 Lineare Gleichungssysteme Lineare Abbildungen und Matrizen. 2.5 Multiplikation von Matrizen Koordinatentransformationen Elementarmatrizen und Matrizenumformungen Detenninanten Beispiele und Definitionen Existenz und Eindeutigkeit Minoren Determinante eines Endomorphismus und Orientierung 33 4 Eigenwerte Beispiele und Definitionen Das charakteristische Polynom Diagonalisierung Trigonalisierung Potenzen eines Endomorphismus Die Jordansehe Normalform... 39

8 vm 5 Euklidische und unitäre Vektorräume Das kanonische Skalarprodukt im IR" Das Vektorprodukt im IR Das kanonische Skalarprodukt im (("' Bilinearformen und Sesquilinearformen Orthogonale und unitäre Endamorphismen Selbstadjungierte Endomorphismen Hauptachsentransformation 52 6 Dualität* Dualräume Dualität und Skalarprodukte Tensorprodukte* Multilineare Algebra* II Lösungen 63 0 Lineare Gleichungssysteme Ebenen und Geraden im Standardraum JR Das Eliminationsverfahren von GAUSS 68 1 Grundbegriffe Mengen und Abbildungen Gruppen Ringe, Körper und Polynome Vektorräume Basis und Dimension Summen von Vektorräumen* Lineare Abbildungen Beispiele und Definitionen Bild, Fasern und Kern, Quotientenvektorräume Lineare Gleichungssysteme Lineare Abbildungen und Matrizen Multiplikation von Matrizen Koordinatentransformationen Elementarmatrizen und Matrizenumformungen 137

9 IX 3 Determinanten Beispiele und Definitionen Existenz und Eindeutigkeit Minoren Determinante eines Endomorphismus und Orientierung* Eigenwerte Beispiele und Definitionen Das charakteristische Polynom Diagonalisierung Trigonalisierung* Potenzen eines Endomorphismus* Die Jordansehe Normalform* Euklidische und unitäre Vektorräume Das kanonische Skalarprodukt im lr" Das Vektorprodukt im IR Das kanonische Skalarprodukt im C' Bilinearformen und Sesquilinearformen Orthogonale und unitäre Endomorphismen Seihstadjungierte Endomorphismen Hauptachsentransformation* Dualität* Dualräume Dualität und Skalarprodukte Tensorprodukte* Multilineare Algebra 257 Literaturverzeichnis 266 Sachwortverzeichnis 268