WALTER NEF LEHRBUCH DER LINEAREN ALGEBRA

Transkript

1 WALTER NEF LEHRBUCH DER LINEAREN ALGEBRA

2 MATHEMATISCHE REIHE BAND 31 LEHRBÜCHER UND MONOGRAPHIEN AUS DEM GEBIETE DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN

3 Lehrbuch der linearen Algebra von WALTER NEF Professor an der Universität Bern Springer Basel AG 1966

4 Nachdruck verboten. Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten Springer Basel AG 1966 UrsprUngiich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel Basel Softcover reprint of the hardcover I st edition 1966 ISBN ISBN (ebook) DOI /

5 VORWORT Das vorliegende Buch ist aus einer Grundvorlesung über lineare Algebra hervorgegangen, die ich an der Universität Bern mehrmals gehalten habe. Diese Vorlesung ist für Studenten des zweiten Hochschulsemesters bestimmt, und zwar sowohl für solche, die Mathematik als Hauptfach studieren, wie auch für Nebenfachmathematiker. Bei den letzteren handelt es sich vor allem um Versicherungsmathematiker, Astronomen, Physiker und Chemiker, denen sich gelegentlich auch mathematisch interessierte Volkswirtschaftler angeschlossen haben. Aus der Verschiedenartigkeit der Hörer ergab sich vorerst die Notwendigkeit, die Vorlesung möglichst voraussetzungslos aufzubauen, was auch im Buch zum Ausdruck kommt. Vorausgesetzt wird die durch das Gymnasium vermittelte mathematische Bildung und die Fähigkeit zu abstraktem Denken. Wünschenswert ist die Kenntnis der vektoriellen Geometrie, da sie wertvolles Anschauungsmaterial für die allgemeine Theorie liefert. Sodann mußte der Inhalt der Vorlesung auf das Wichtigste beschränkt bleiben, weshalb auch im Buch nur die reellen und komplexen Vektorräume betrachtet werden, mit Ausnahme des letzten Kapitels. Schließlich werden auch die Anwendungen der linearen Algebra berücksichtigt, entsprechend den Bedürfnissen der meisten Hörer. Neben Einzelheiten der Stoffauswahl kommt dies vor allem darin zum Ausdruck, daß für die wichtigsten Problemklassen der numerischen linearen Algebra jeweils ein einfaches Rechenverfahren erklärt wird. Daß dabei auf Vollständigkeit verzichtet werden muß, versteht sich von selbst. Nicht allgemein üblich ist die Behandlung der linearen Programmierung, der Ausgleichung nach Tschebyscheff und der Spieltheorie in einem Lehrbuch der linearen Algebra. Ich habe diese Sachgebiete in der Form von Einführungen aufgenommen, weil es sich um immer wichtiger werdende Teile der linearen Algebra handelt. Die Veröffentlichung dieses Buches wäre kaum möglich gewesen ohne die tatkräftige Hilfe einiger Mitarbeiter. Vor allem danke ich Fräulein Dora Hänni für das Schreiben des Manuskripts und den Herren H. P. Bieri, H. P. Blau, D. Fischer und N. Ragaz für ihre Hilfe bei der Korrektur, Herrn Blau zudem für die Anfertigung der Figuren. Schließlich danke ich dem Birkhäuser Verlag herzlich für die immer angenehme Zusammenarbeit und die sorgfältige Ausstattung des Buches. Bern, im März 1966 W.NEF

6 INHALT 1. Mengen und Abbildungen Mengen Mengensysteme Abbildungen Vektorräume Der Begriff des Vektorraumes, Beispiele Regeln für das Rechnen in Vektorräumen Linearkombinationen und Rechnen mit Teilmengen eines Vektorraumes Unterräume eines Vektorraumes Nebenräume und Quotientenräume Konvexe Mengen Basen eines Vektorraumes, Vektorräume von endlicher Dimension Basen eines Vektorraumes Vektorräume von endlicher Dimension Das Austauschverfahren Konvexe Polyeder Determinanten Permutationen Determinanten Numerische Berechnung von Determinanten Lineare Abbildungen von Vektorräumen, Matrizen Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen von Vektorräumen emllicher Dimension, Matrizen Lineare Abbildungen eines Vektorraumes in sich (Endomorphismen) Basiswechsel Numerische Inversion von Matrizen Austauschverfahren und Matrizenrechnung Lineare Formen Lineare Formen und Nebenräume Dualität von Vektorräumen endlicher Dimension Lineare Formen, die auf einer konvexen Menge positiv sind Systeme von linearen Gleichungen und Ungleichungen Die Lösungen eines Systems von linearen Gleichungen Numerische Auflösung von Systemen linearer Gleichungen Positive Lösungen eines reellen linearen Gleichungssystems Systeme von linearen Ungleichungen

7 8. Lineare Programmierung Lineare Programme Das Dualitätsgesetz der linearen Programmierung Das Simplex-Verfahren für die numerische Auflösung von linearen Programmen Die Behandlung freier Variabeln Allgemeine lineare Programme Simplex-Verfahren und Dualität Ausgleichung nach Tschebyscheff Das TschebyschefIsche Ausgleichungsprinzip Beweis zweier schon früher verwendeter Resultate Spieltheorie Zwei-Personen-Nullsummenspiele, reine Strategien Gemischte Strategien Berechnung von Spielen mit dem Simplex-Verfahren Formen zweiten Grades Quadratische Formen auf reellen Vektorräumen Hermitesche Formen auf komplexen Vektorräumen Euklidische und unitäre Vektorräume Euklidische Vektorräume Approximation in euklidischen Vektorräumen, Methode der kleinsten Quadrate Hilbertsche Räume Unitäre Vektorräume Eigenwerte und Eigenvektoren von Endomorphismen eines Vektorraumes Eigenvektoren und Eigenwerte Symmetrische Endomorphismen eines euklidischen Vektorraumes Hauptachsentransformation quadratischer Formen Selbstadjungierte Endomorphismen eines unitären Vektorraumes Extremaleigenschaften der Eigenwerte symmetrischer Endomorphismen Numerische Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren Invariante Unterräume, Normalformen von Matrizen Invariante Unterräume Normalformen von Matrizen 263 7

8 HINWEISE FüR DEN LESER 1. Das Buch ist in 14 Kapitel gegliedert, die Kapitel in Abschnitte. Die Numerierung der Definitionen, Sätze, Beispiele und einzelner Formeln beginnt in jedem Abschnitt von vorne. Ist irgendwo z. B. auf den Satz 2.4; 9 verwiesen, so ist damit der Satz 9 des Abschnittes 2.4 gemeint. Ebenso bedeutet etwa 3.3; (11) die Formel (11) des Abschnittes 3.3. Die Bezeichnung des Abschnittes ist weggelassen, wenn es sich um Hinweise innerhalb desselben Abschnittes handelt. 2. Zur Erleichterung der übersicht ist das Ende jedes Beweises mit markiert. 3. In Abweichung von der üblichen Bezeichnungsweise wird die Matrix, die in einer Kolonne die Komponenten ;k eines Verktors x enthält, mit; I bezeichnet (statt ebenfalls mit x). Die Transponierte von;! ist mit f bezeichnet (statt mit x'). Damit wird vermieden, daß verschiedene Dinge mit demselben Symbol bezeichnet werden (Vgl ). 4. Am Ende gewisser Abschnitte befinden sich "übungen" und "Probleme". Bei den Übungen handelt es sich um numerische Rechenbeispiele, bei den Problemen um Aufgaben theoretischer Natur und Ergänzungen' zum Text. 5. Der Leser, der sich für die lineare Programmierung, die Ausgleichung nach Tschebyscheff und die Spieltheorie nicht interessiert, kann auf die Lektüre der folgenden Abschnitte bzw. Kapitel verzichten: 2.6; 3.4; 6.3; 7.3; 7.4; 8; 9; Hinweise in eckigen Klammern betreffen das Literaturverzeichnis am Ende des Buches.