ANWENDUNGEN DER LINEAREN PARAMETRISCHEN OPTIMIERUNG

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1 ANWENDUNGEN DER LINEAREN PARAMETRISCHEN OPTIMIERUNG

2 MATHEMATISCHE REIHE BAND69 LEHRBÜCHER UND MONOGRAPHIEN AUS DEM GEBIETE DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN

3 ANWENDUNGEN DER LINEAREN PARAMETRISCHEN OPTIMIERUNG Herausgegeben von Dr. sc. Klaus Lommatzsch Humholdt-Universität Berlin Springer Basel AG 1979

4 CIP-Kurztitelaufnahme cler Deutschen Bihliothek Anwendungen der Iinearen parametrischen Optimierung / hrsg. von Klaus Lommatzsch. - Basel, Stuttgart: Birkhăuser, (Lehrbucher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Math. Reihe; Bd. 69) NE: Lommatzsch, Klaus [Hrsg.] N achdruck verboten. Alle Rechte, insbesondere das der T.Jbersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten. Springer Basel AG 1979 Ursprunglich erschienen bei Akademie-Verlag Berlin ISBN ISBN (ebook) DOI / Softcover reprint ofthe hardcover Ist edition 1979 Lizenzausgabe ftir aile nichtsozialistischen Lănder: Birkhăuser Verlag Basel, 1979

5 Unserem Lehrer und Freunde, Professor D1. Franti8ek N ozicka

6 INHALT Einführung Kapitel 1. Begriffe und Ergebnisse der linearen parametrischen Optimierung 5 (K. LOMMATZSCH) 1.1. Einleitung Bezeichnungen, Vereinbarungen, Begriffe Vollparametrisierte lineare Aufgaben 10 1.:1.1. Zulässige Parameterbereiche Lösungsbereiche 11 l.:l.:l. Lokale Stabilitätsmengen Die Lösungsfunktion Die Optimalmengenabbildung 1p()., fl) Andere parametrische Aufgaben 20 Literatur Kapitel 2. Lineare Optimierungsprobleme mit Parametern in der Koeffizientenmatrix der Restriktionen (D. KLATTE) Problemstellung Einleitung Das vollparametrische lineare Optimierungsproblem in Gleichungsform Zulässige Parametermenge, Lösbarkeitsmenge, Lösungsfunktion und Optimal- 26 mengenubbildung I,okale Stabilitätsmengen und ihre P.igenschaften Zusammenhang zu parametrischen Optimierungsaufgaben mit fester Restriktionsmatrix :1. Lineare Optimierungsprobleme mit Parametern in einer Zeile bzw. Spalte der Problemstellung und Motivation Koeffizientenmatrix der Restriktionen :t2. Zulässige Parametermengen für lineare Ungleichungssysteme mit variablen Koeffizienten Zerlegung der Lösbarkeitsmenge in lokale Stabilitätsmengen Beispiel Schlußbemerkungen 51 Literatur Kapitel 3. Parametrische Optimierung und Vektoroptimierung (J. GunDAT) 3.1. Einleitung

7 VIII Inhalt 3.2. Über den Zusammenhang zwischen Vektoroptimierung und parametrischer Optimierung Eine topologische Eigenschaft der Menge der eigentlich effizienten Punkte Lösung von linearen und speziellen quadratischen Vektoroptimierungsproblemen mit der Simplextechnik ~{.4.1. Reduktion von Parametern Lineare Vektoroptimierungsprobleme Ein spezielles quadratisches Vektoroptimierungsproblem 70 Literatur Kapitel 4. Vber den Zusammenbang von parametrischer Optimierung und Entscheidungsproblemen der stochastischen Optimierung (K. TAMMER) 4.1. Einleitung Optimierungsprobleme mit zufallsabhängiger Zielfunktion Problemformulierung und allgemeine Lösungsbegriffe Der Zusammenhang zum zugeordneten parametrischen Problem Aufgaben mit zufiilligen rechten Seiten Problemformulierung und Lösungsansätze Die zugeordnete parametrische Aufgabe und ihre Beziehungen zum stochastischen Ausgangsproblem Beispiele Schlußbemerkungen 90 Literatur Kapitell). Einige Anwendungen der linearen parametrischen Optimierung bei der Untersuchung von optimalen Steuerungsproblemen (H. DAMM, T. KOPIELSKI) 5.1. Einleitung Einige Ergebnisse aus der linearen parametrischen Optimierung Erreichbarkeitsmenge und Bang-Bang-Prinzip Eigenschaften der Erreichbarkeitsmenge Zum Bang-Bang-Prinzip Existenz von Lösungen für gewisse optimale Steuerungsprobleme Eine obere Schranke für die Anzahl der Umschaltpunkte einer extremalen Steuerung bei stationären linearen Systemen Einleitung Formulierung der Aufgabe Abschätzung der Anzahl der UmschaUpunkte Über die Endlichkeit der Anzahl der U mschaupunkte einer extrema1en ' St euerung bei linearen System en und zeitabhängigem Steuerbereich 104 Literatur Kapitel6. Parametrische Optimierung und Aufteilungsverfahren (B. BANK, R. MANDEL, K. TAMMER) 6.1. Die Grundidee Gemischt-ganzzahlige lineare Optimierungsaufgaben Problemstellung und Ergebnisse der linearen parametrischen Optimierung! Ein iteratives Vorgehen

8 Inhalt IX Beispiel Lösungsmöglichkeiten für eine Klasse von indefiniten quadratischen Optimierungsaufgaben Problemstellung und Vorbemerkungen Transformation des Problems Theoretische Grundlagen der parametrischen quarlratisehen Optimierung. l Zur Realisierung des Lösungsprozesses :3.5. Bedingungen, unter denen sich der Lösungsprozeß vereinfacht 121 Literatur Kapitel 7. Optimierungsaufgaben mit quadratischer ZieHunktion (K. LOMMATZSCH) 7.1. Einleitung Die zugeordnete parametrische Aufgabe Optimalitätsbedingungen für die quadratische Aufgabe Die Lttge der Optimalpunkte qua.dratiseher Optimierungsaufgaben innerhalb der durch die parametrische Aufgabe erzeugten Struktur Bemerkungen zu Lösungsverfahren 131 Literatur Kapitel 8. Lin-Opt-Spiele (K. LoM::VfATZSCH, D. NowACK) 8.1. Aufgabenstellung und Interpretation GleichgewichLslösungen Beschreibung der Menge der Glei~hgewi chts~ituationen des Spieles Literatur Kapitel 9. Das STEINER-WEBER-Problem als eine Optimierungsaufgabe über der zulässigen Parametermenge einer konvexen Optimierungsaufgabe mit Parametern in den rechten Seiten der Restriktionen (D. MELZER) 9.1. Das STEINER-WEBER-Problem Literatur.. Mathematische Modellierung. Bekannte Ergebnisse Das Standortproblem im Rn und ein parametrischer Zugang zu seiner Untersuchung.... Ein parametrisches Modell Beschreibung der Restriktionsmenge..... Reduktion der Anzahl der Nebenbedingungen Ein Lösungsverfahren.... Optimalitätskriterien Das Verfahren von WEISZFELD KapitellO. Ein lineares parametrisches Optimierungsmodell für die teilmechanisierte Gemüseernte (D. KLATTE, F. Nozrc,KA, K. WENDLER) Einleitung Mathematisches Modell einer Gemüseernte

9 X Inhalt Das Modell der Handernte Das Modell der teilmechanisierten Ernte Formulierung des Optimierungsproblems 176 l 0.3. Das Modell der teilmechanisierten Ernte als lineares Optimierungsproblem mit zwei Parametern in der Koeffizientenmatrix 178 lo.a.l. Der ökonomische Hintergrund Ein lineares Optimierungsproblem mit zwei Parametern in der Koeffizientenmatrix. _ i0.4. Berechnung der Lösbarkeitsmenge des betrachteten parametrischen Optimierungsproblems l Ableitung des Verfahrens Beispiel für n = Beispiel für n = Literatur