F. NEVANLINNA EINLEITUNG IN DIE ALGEBRA UND DIE THEORIE DER ALGEBRAISCHEN GLEICHUNGEN

Transkript

1 F. NEVANLINNA EINLEITUNG IN DIE ALGEBRA UND DIE THEORIE DER ALGEBRAISCHEN GLEICHUNGEN

2 MATHEMATISCHE REIHE BAND 29 LEHRBÜCHER UND MONOGRAPHIEN AUS DEM GEBIETE DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN

3 EINLEITUNG IN DIE ALGEBRA UND DIE THEORIE DER ALGEBRAISCHEN GLEICHUNGEN von F. NEVANLINNA Professor der Mathematik an der Universität Helsinki 1965 Springer Basel AG

4 Nachdruck verboten Alle Rechte, insbesondere das der tibersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten ISBN ISBN (ebook) DOI / Springer Basel AG 1965 Urspriinglich erschienen bei Birkhăuser Verlag Basel 1965.

5 5 VORWORT Nach der Erfahrung des Verfassers bietet das Eindringen in die sogenannte abstrakte oder moderne Algebra erhebliche Schwierigkeiten. Das vorliegende Buch will zur Überwindung dieser Schwierigkeiten beitragen, indem es dem Anfänger <<multum sed non multa>> zu bieten versucht. Dieses Ziel glaubt der Verfasser einigermassen dadurch erreicht zu haben, dass er innerhalb eines knapp umgrenzten Lehrstoffes, das auch anders hätte gewählt werden können, die für die abstrakte Algebra wesentliche gruppentheoretische Terminologie und Betrachtungsweise nur allmählich und in konkreten Zusammenhängen einführt. Eine Folge hiervon ist, dass das Material, ungeachtet seiner Knappheit, teilweise zweimal behandelt wird, zunächst nach <<klassischem Methoden, dann gruppentheoretisch, wodurch die zentrale Stellung des Gruppenbegriffes und der gruppentheoretischen Methoden in der höheren Algebra sich fast zwangsläufig ergibt. Das Buch ist aus Vorlesungen hervorgegangen, die der Verfasser im Laufe von zwei Jahrzehnten mehrmals an der Universität Helsinki gehalten hat. Es dürfte als Lehrbuch eines kurzen abgeschlossenen Pensums der höheren Algebra an Hochschulen benutzt werden können, ferner als Stütze beim Selbststudium, denn das Buch setzt ein Minimum an Vorkenntnissen, dafür eine genügende intellektuelle Reife und abstraktes Denkvermögen voraus. Schliesslich hat der Verfasser, wie oben erwähnt, das Buch als Vorbereitung gedacht für das Studium umfangreicherer und schwierigerer Werke, wie z. B. des beim Springer-Verlag in mehreren Auflagen erschienenen klassischen Buches <<Moderne Algebra>> von B. L. VAN DER WAERDEN. Dieses Werk hat auch den Verfasser in die abstrakte Algebra eingeführt, was an dieser Stelle mit Dankbarkeit erwähnt sei. Ferner danke ich meinem Bruder, Professor RoLF NEVANLINNA, Mitglied der finnischen Akademie, für wertvolle Ratschläge. Meiner Frau, sowie meiner Tochter, Frau KIRSTI WESSMAN, danke ich für tatkräftige Hilfe bei der Herstellung des Manuskriptes. Dem Birkhäuser Verlag danke ich für angenehme Zusammenarbeit und für sorgfältige Drucklegung und Ausstattung des vorliegenden kleinen Buches. Helsinki, im November 1964 F. Nevanlinna

6 INHALTSVERZEICHNIS 7 Erstes Kapitel DIE GANZEN ZAHLEN 1 Die Hauptsätze der elementaren Teilbarkeitslehre Division mit Rest. Zahlenmoduln Grösster gemeinsamer Teiler Kleinstes gemeinsames Vielfaches Der euklidische Algorithmus Teilbarkeitssätze Der Hauptsatz Aufgaben 1 bis Die Zahlenkongruenzen Die Äquivalenzpostulate Das Kongruenzpostulat Das Rechnen mit Kongruenzen Restklassen. Die Eulersche Funktion Der Satz von Fermat Polynomkongruenzen Die primitiven Lösungen der speziellen Fermatschen Kongruenz Aufgaben 11 bis Zweites Kapitel GRUPPENTHEORIE 3 Die Grundbegriffe der Gruppentheorie Die Gruppenpostulate Beispiele. Die Gruppe P(n) Allgemeine Gruppensätze Untergruppen Äquivalenzrelationen. Nebenklassen Zyklische Gruppen Normalteiler. Gruppenkongruenz Faktorgruppe Hornamorphie und Isomorphie Durchschnitt und Hülle Direkte Produkte Aufgaben 22 bis Die Gruppe P(n)..., Die Fermatsche Kongruenz Reduktion auf den Fall n = prx Die Gruppe P(prx) Binomische Zahlenkongruenzeil

7 8 Inhaltsverzeichnis 29. Quadratische Reste Das quadratische Reziprozitätsgesetz Aufgaben 40 bis Drittes Kapitel HAUPTBEGRIFFE UND HILFSMITTEL DER ALGEBRA 5 Ringe, Integritätsbereiche, Körper Ringe Integritätsbereiche Körper Hornamorphie und Isomorphie Quotientenbildung Charakteristik. Primkörper. Vollkommene Körper Polynomringe, Ringadjunktion Allgemeine Polynomsätze Körperadjunktion Aufgaben 45 bis Gültigkeitsbereich der elementaren Teilbarkeilslehre Einheiten. Assoziierte Elemente. Ideale Grösster gemeinsamer Teiler Der Teilerkettensatz Euklidische Ringe Der euklidische Algorithmus Ringkongruenzen Eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung Aufgaben 54 bis Viertes Kapitel ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN 7 Wurzeln algebraischer Gleichungen Anzahl der Wurzeln Gemeinsame Wurzeln Existenz der Wurzeln Der Zerfällungskörper Die Einheitswurzeln Die Polynome t1j Der Zerfällungskörper von xn Die Primfaktoren der Polynome t1j Galois-Felder Aufgaben 70 bis Symmetrische Polynome Die symmetrische Gruppe Die alternierende Gruppe Symmetrische Polynome Der Hauptsatz über symmetrische Polynome Diskriminanten Resultanten Aufgaben 83 bis

8 Inhaltsverzeichnis 9 Fünftes Kapitel ALGEBRAISCHE KÖRPERERWEITERUNGEN Algebraische Körpererweiterungen Einfache algebraische Körpererweiterungen Ein Zerfällungssatz Eigenschaften algebraischer Körpererweiterungen Sukzessive algebraische Erweiterungen Algebraische Auflösung Normierung der Radikale.... Aufgaben 96 bis A belsehe Gleichungen Allgemeine Betrachtungen Gleichungen, deren Wurzeln rational voneinander abhängen Galaissehe und Abelsche Gleichungen Zyklische Gleichungen von Primzahlgrad. Lagrangesche Resolventen 71. Die Einheitsgleichungen von Primzahlgrad Die Gaußsehen Perioden Konstruktion mit Lineal und Zirkel.... Aufgaben 107 bis Allgemeine Gleichungen Begriff.und Haupteigenschaften allgemeiner Gleichungen Die Gleichungen zweiten und dritten Grades Casus irreducibilis Die Gleichung vierten Grades Die allgemeine Gleichung vom Grade n Sechstes Kapitel DIE GALOISSCHE THEORIE 13 Die Galaissehe Gruppe Isomorphe Ringabbildungen Normale Erweiterungen. Die Galaissehe Gruppe Hauptsatz der Galaissehen Theorie Aufgaben 117 bis Die Galois-Gruppe einer algebraischen Gleichung Definition der Galois-Gruppe einer Gleichung Transitive und intransitive Galois-Gruppen Primitive und imprimitive Galois-Gruppen Aufgaben 125 bis Algebraische Anwendungen der Galaissehen Theorie Abelschc Gleichungen Binomische Gleichungen Die Einheitswurzeln Algebraische Auflösung Allgemeine Gleichungen Die Gleichungen zweiten und dritten Grades Die Gleichung vierten Grades Die allgemeine Gleichung vom Gradem > Aufgaben 130 bis