Igor R. Schafarewitsch. Grundzüge der algebraischen Geometrie

Transkript

1 Igor R. Schafarewitsch Grundzüge der algebraischen Geometrie

2 Logik und Grundlagen der Mathematik Herausgegeben von Prof. Dr. Dieter Rödding, Münster Band 12 Band 1 L. Felix, Elementarmathematik in moderner Darstellung Band 2 A. A. Sinowjew, Über mehrwertige Logik Band 3 J. E. Whitesitt, Boolesche Algebra und ihre Anwendungen Band 4 G. Choquet, Neue Elementargeometrie Band 5 A. Monjallon, Einführung in die moderne Mathematik Band 6 S. W. Jablonski/G. P. Gawrilow /W. B. Kudrjawzew Boolesche Funktionen und Postsche Klassen Band 7 A. A. Sinowjew, Komplexe Logik Band 8 J. Dieudonne, Grundzüge der modernen Analysis Band 9 N. Gastinei, Lineare numerische Analysis Band 10 W. V. O. Quine, Mengenlehre und ihre Logik Band 11 J. P. Serre, Lineare Darstellung endlicher Gruppen Band 12 I. R. Schafarewitsch, Grundzüge der algebraischen Geometrie

3 Igor R. Schafarewitsch Grundzüge der algebraischen Geometrie Mit 8 Bildern Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

4 Übersetzung aus dem Russischen: Rudolf Fragel Originaltitel: ÜCHOBbI ame6pahqecroh reometphh Erschienen in: YcrrexH MaTeMaTHQeCRHX HaYR, T. XXIV, BhlII. 6 (150) (1969) ISBN ISBN (ebook) DOI / Alle Rechte an der deutschen Ausgabe vorbehalten Copyright 1972 Springer Fachmedien Wiesbaden Ursprünglich erschienen bei VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1972 Softcover reprint of the hardcover 1 st edition 1972

5 Vorwort zur deutschen Ausgabe Ich freue mich sehr darüber, daß meine "Grundzüge der algebraischen Geometrie" durch die Übersetzung von Herrn Dipl.-Math. Rudolf Fragel nun auch dem deutschsprachigen Leser zugänglich werden. Es handelt sich dabei um die überarbeitete und etwas ergänzte Niederschrift einer Vorlesung, die ich an der Fakultät für Mathematik und Mechanik der Moskauer Universität gehalten habe. Sehr viele meiner Hörer waren Studenten des zweiten Studienjahres. Ich hatte mir dic Aufgabe gestellt, die Grundzüge der algebraischen Geometrie mit einem Minimum an mathematischen Hilfsmitteln darzulegen; es sollten nur die Grundvorlesungen über Algebra und über analytische Geometrie vorausgesetzt werden. Dies bestimmte natürlich in erheblichem Maße Inhalt und Form sowohl der Vorlesung als auch des Artikels. Zunächst wurde alles weggelassen, was nicht in unmittelbarer Beziehung zu den eigentlichen Grundzügen der algebraischen Geometrie steht. Insbesondere wird ein so wichtiges Teilgebiet wie die Theorie der algebraischen Kurven nur als Beispiel allgemeiner Theorien behandelt. Der Satz von RIEMANN-RoCH wird ohne Beweis formuliert, der Begriff einer Jacobischen Mannigfaltigkeit wird z"'ar definiert, aber die Existenz einer solchen wird nicht bewiesen. Ferner konnten nur die einfachsten Anwendungen der algebraischen Geometrie aufgenommen werden, soweit sie eben die theoretischen Darlegungen illustrieren. Insbesondere mußte auf das große Teilgebiet der algebraischen Geometrie verzichtet werden, das sie mit der algebraischen Zahlentheorie verbindet. Schließlich mußten auch solche Gebiete außerhalb der Betrachtung bleiben, zu deren Behandlung die topologischen und analytischen Begriffe und Methoden aus der Theorie der algebraischen Mannigfaltigkeiten über dem Körper der komplexen Zahlen hätten heran-

6 6 Vorwort zur deutschen Ausgabe gezog!'ln werden müssen. Demgegenüber habe ich großen Wert darauf gelegt, die einzuführenden Begriffe durch Beispiele vorzubereiten und zu erläutern. Ferner habe ich an vielen Stellen ohne Beweise über die Weiterentwicklung der in dem Artikel behandelten Theorien berichtet. Ich hoffe, daß diese Arbeit den Leser auf ein tiefergehendes Studium der alge" braischen Geometrie ausreichend vorbereitet, vor allem auf das Studium derjenigen ihrer Zweige, von denen oben die Rede war: der Homologietheorie der kohärenten Garben und der Theorie der algebraischen Gruppen. Moskau, im August R. SCHAFAREWITSCH

7 Inhalt Algebraische Hilfsmittel 11 I. Grundbegriffe Ebene algebraische Kurven 1. Rationale Kurven 2. Verbindungen zur Körpertheorie 3. Birationale Isomorphismen von Kurven. 2. Abgeschlossene Untermengen affiner Räume. 1. Definition abgeschlossener Mengen Reguläre Funktionen auf einer abgeschlossenen Menge 3. Reguläre Abbildungen Rationale Funktionen 1. Irreduzible Mengen.. 2. Rationale Funktionen 3. Rationale Abbildungen 4. Quasiprojektive :\iannigfaltigkeiten Abgeschlossene Untermengen des projektiven Raumes 2. Reguläre Funktionen Rationale Funktionen 4. Beispiele regulärer Abbildungen 5. Produkte und Abbildungen von qu!,siprojektiven luannigfaltigkeiten 1. Produkte Die Abgeschlossenheit des Bildes einer projektiyen :\lannigfaltigkeit

8 8 Inhalt 3. Endliche Abbildungen 4. Normalisierungssätze 6. Dimensionen Definition der Dimension Dimension eines Schnittes mit einer Hyperfläche. 3. Satz über die Dimension von Fasern Geraden auf Flächen Chow-Koordinaten einer projektiven Mannigfaltigkeit H. Lokale Eigenschaften Einfache und singuläre Pnnkte 1. Lokaler Ring eines Punktes.. 2. Tangentialräume Invarianz des Tangentialraumes 4. Singuläre Punkte 5. Tangentialkegel Potenzreihenentwicklung 1. Lokale Parameter eines Punktes 2. Potenzreihenentwicklung Mannigfaltigkeiten über dem reellen und komplexen Zahlkörper 3. Eigenschaften einfacher Punkte Untermannigfaltigkeiten der Kodimension 1 2. Singularitätenfreie Untermannigfaltigkeiten 3. Faktorzerlegung im lokalen Ring eines einfachen Punktes 4. Konstruktion birationaler Isomorphismen 1. G-Prozesse im projektiven Raum Lokale G-Prozesse Verhalten der Mannigfaltigkeiten bei G-Prozessen. 4. Ausnahmeuntermannigfaltigkeiten Isomorphismen und birationale Isomorphismen. 5. Normale Mannigfaltigkeiten Begriff einer normalen Mannigfaltigkeit. 2. Normalisiernng affiner Mannigfaltigkeiten 3. Normalisierung von Kurven Projektive Einbettung singularitätenfreier Mannigfaltigkeiten IH. Divisoren und Differentialformen 1. Divisoren Divisor einer Funktion 2. Lokale Hauptdivisoren 3. Verschiebungssatz.. 4. Divisoren und rationale Abbildungen 5. Der mit einem Divisor assoziierte Raum

9 Inhalt 9 2. Divisoren auf Kurven Der Grad eines Divisors auf einer Kurve Der Bezoutsche Satz für Kurven Kubische Kurven Dimension eines Divisors Algebraische Gruppen Addition von Punkten auf einer ebenen Kurve dritter Ordnung Algebraische Gruppen Faktorgruppen. Satz von CHEV ALLEY Abelsche Mannigfaltigkeiten Picardsche Mannigfaltigkeit Differentialformen Reguläre Differentialformen ersten Grades Algebraische Beschreibung des Moduls der Differentiale Differentialformen höheren Grades Rationale Differentialformen Beispiele und Anwendungen der Differentialformen Das Verhalten bei Abbildungen Kanonische Klasse Hyperflächen Hyperelliptische Kurven. 177 IV. Schnittmultiplizitäten Definition und grundlegende Eigenschaften Definition der Schnittmultiplizität Additivität der Schnittmultiplizität Invarianz bezüglich der Äquivalenz Abschluß des Beweises der Invarianz Allgemeine Definition der Schnittmultiplizität Anwendungen der Schnittzahlen Der Satz von BEzouT im projektiven Raum und im Produkt projektiver Räume Mannigfaltigkeiten über dem Körper der reellen Zalilen Das Geschlecht einer singularitäteufreien Kurve auf einer Fläche Kurven auf Flächen zweiter Ordnung Birationale Isomorphismen von Flächen a-prozesse von Flächen Einige Schnittzahlen Auflösung von Singularitäten Zerlegung in a-prozesse Bemerkungen und Beispiele. 216 Literatur Namen- und Sachverzeichnis 221