Dozent: Dr. Lei Zhang. April 22, 2017 REFERENCES. [Lang] Algebra, Serge Lang, GTM211, Springer-Verlag, 2002.
|
|
|
- Linus Fromm
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 FREIE UNIVERSITÄT BERLIN PROSEMINAR SS 16 p-adische Zahlen Dozent: Dr. Lei Zhang April 22, 2017 REFERENCES [Gou] p-adic numbers, Fernando Q.Gouvea, Springer-Verlag, [Kob] p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions, Neal Koblitz, GTM 58, Springer-Verlag, [Lang] Algebra, Serge Lang, GTM211, Springer-Verlag, [Ser] Local Fields, Jean-Pierre Serre, GTM 67, Springer-Verlag, Voraussetzung zur Teilnehme: (1) Die Teilnehmer sollten mit linearer Algebra vertraut sein, etwa im Umfang der Vorlesung Lineare Algebra 1 und nach Möglichkeit auch Lineare Algebra 2. (2) Die Teilnehmer sollten mit den Grundbegriffe der Topologie (allgemeine Topologie) vertraut sein. (3) Eine Vertraulichkeit mit den Grundbegriffe der Analysis wäre auch gut. 1 ÜBERSICHT UND AUFGABEN (21/04/2017) LEI ZHANG Ziel: EINE EINFÜHRUNG ZU p-adischen ZAHLEN MACHEN UND DIE AUFGABEN VERTEILEN. 1
2 2 ABSOLUTBETRAG (28/04/2017) LEI ZHANG Ziel: EINE EINFÜHRUNG ZUM ARCHIMEDISCHEN BETRAG UND ZUM NICHT-ARCHIMEDISCHEN BETRAG. (1) Geben Sie die Definitionen für den archimedischen und Betrag und den nicht-archimedischen Betrag. (2) Führen Sie Beispiele vor, inbesondere das Beispiel des p-adischen betrags von Q. (3) Beweisen Sie [Gou, Theorem and Corollary 2.2.3]. 3 DIE TOPOLOGIE EINES BEWERTETEN KÖRPERS (05/05/2017) LEI ZHANG Ziel: EINE EINFÜHRUNG ZUR VOM BETRAG EINS KÖRPERS INDUZIERTE TOPOLOGIE (1) Zunächst nutzen Sie den Absolutbetrag, die Metrik zu definieren. Und dann nutzen Sie die Metrik, eine Topologie für einen Körper zu definieren. (2) Führen Sie die besondere Eigenschaften der von einem nicht-archimedischen Betrag induzierte Topologie ein. Hierbei können Sie [Gou, Lemma 2.3.2, Proposition and Proposition 2.3.6] oder [Kob, pp.5-6] folgen. (3) Beweisen Sie, dass die von einem bewerteten Körper induzierte topologie total unzusammenhängend ist[gou, Proposition 2.3.8]. 4 DIE BEWERTUNGSRING (12/05/2017) ADRIAN Ziel: EINE EINFÜHRUNG ZUM BEWERTUNGSRING EINES NICHT-ARCHIMEDICHEN BEWERTETEN KÖRPERS. (1) Erst definieren Sie den Bewertungsring eines nicht-archimedichen bewerteten Körpers. Dafür können Sie zum Beispiel [Gou, Definition 2.4.2] folgen. (2) Geben Sie die Definition eines diskreten Bewertungsring. Hierbei können Sie [Ser, Chapter I, 1] oder [Lang, Chapter XII, 6] folgen. (3) Beweisen Sie dass die p-adische Bewertung für Q eine diskrete Bewertung. 5 ABSOLUTBETRÄGE FÜR Q (19/05/2017) JOHANNES Ziel: DER VORTRAG BEFASST SICH MIT DEN VERSCHIEDENEN BETRÄGE FÜR Q UND DEREN VER- VOLLSTÄNDIGUNG. (1) Erläutern Sie den Satz, dass es nur drei verschiedenen Typen der Beträge für Q gibt. Hierbei können Sie [Gou, Theorem 3.1.3] oder [Kob, pp.3, Theorem 1] folgen. 2
3 (2) Beweisen Sie, dass Q nicht vollständig für keine von ihren Beträgen ist [Gou, Lemma 3.2.3]. 6 DIE KONSTRUKTION DES p-adischen KÖRPER (26/05/2017) MARKOU Ziel: HIERBEI KONSTRUIEREN WIR DEN p-adischen KÖRPER. (1) Geben Sie die Definition des p-adischen Körper Q p nach [Gou, 3.2]. Es ist empfehlenswert dass Sie [Lang, Chapter XII, 2] durchgehen, weil sie allgemeiner und schöner ist. (2) Erläutern Sie die grundlegende Eingenschaften des p adischen Körpers. Bitte gehen Sie [Gou, Theorem ] durch. 7 WEITERE EINGENSCHAFTEN BEIM p-adischen KÖRPER (02/06/2017) Ziel: STUDIEREN WIR WEITERE EINGENSCHAFTEN BEIM p-adischen KÖRPER. (1) Gehen Sie [Gou, ] durch. 8 HENSELS LEMMA (09/06/2017) Ziel: HIER STUDIEREN WIR HENSELS LEMMA FÜR p-adischen KÖRPER. (1) Führen Sie Hensels Lemma bei einem p-adischen Körper nach [Gou, Theorem 3.4.1] or [Kob, pp.16, Theorem 3] ein. Dann spielen Sie damit, z.b. [Gou, Proposition 3.4.2] oder [Kob, pp.14-15]. (2) Erkären Sie die übliche Form vom Hensels Lemma nach [Gou, Theorem 3.4.6]. (3) Geben Sie eine kurzgefasste Einführung zum Lokal-Global-Prinzip. 9 DIE ANALYSIS BEI p-adische ZAHLEN (16/06/2017) Ziel: WIR MACHEN ANALYSIS FÜR p-adische ZAHLEN, WIE WIR SCHON MAL FÜR DIE REELLEN ZAHLEN UND DIE KOMPLEXE ZAHLEN GEMACHT HABEN. (1) Beweisen Sie, dass in der p-adischen Welt eine Reihe n=0 a n konvergent ist genau dann, wenn lim n a n gleich 0 ist. Geben Sie auch ein Beispiel, dass die gleiche Aussage bei archimedischen Betrag falsch ist. (2) Definieren Sie Differentialrechnung in der p-adischen Welt und erläutern Sie in Kürze warum der Mittelwertsatz funktioniert nicht für p-adische Zahlen. (3) Konstruieren Sie den Konvergenzradius für die Potenzreihe in der p-adischen Welt [Gou, Proposition 4.3.1]. 3
4 10 p-adische POTENZREIHE (I) (23/06/2017) Ziel: ERSTE EINGENSCHAFTEN DER p-adischen POTENZREIHEN (1) Beweisen Sie, dass die Konvergenz der Potenzreihe in der p-adischen Welt stabil unter der Addition, der Multiplikation und der Komposition ist. Sehen Sie [Gou, Proposition 4.3.2, Theorem 4.3.3]. (2) Nun studieren wir die Bruchrechnung der Potenzreihen. Beweisen Sie [Gou, Lemma 4.4.1, Proposition 4.4.2]. 11 p-adische POTENZREIHE (II) (30/06/2017) Ziel: SPIELEN WIR MIT p-adischen POTENZREIHEN UND GEBEN SIE BEISPIELEN. (1) Gehen Sie [Gou, Proposition 4.4.3, Proposition 4.4.4, Corollary 4.4.5] durch. (2) Führen Sie die p-adische Version der Logarithmusfunktion und der Exponentialfunktion ein. Sehen Sie [Gou, 4.5]. Ziel: 12 NORM FÜR EINEN ENDLICHEN VEKTORRAUM ÜBER EINEN VOLLSTÄNDIGEN BEWERTETEN KÖRPER (07/07/2017) HIER STUDIEREN WIR DIE NORM FÜR EINEN ENDLICHEN VEKTORRAUM ÜBER EINEN VOLLSTÄNDIGEN BEWERTETEN KÖRPER. (1) Definieren Sie die Norm für einen endlichen Vektorraum über einen vollständigen bewerteten Körper, und nehmen Sie Sup-Norm and r -Norm [Gou, pp.120] als Beispiele. (2) Beweisen Sie, dass die Sup-Norm für einen endlichen Vektorraum über einen vollständigen bewerteten Körper ist immer vollständig. (3) Zeigen Sie dass alle Normen für einen endlichen Vektorraum über einen vollständigen bewerteten Körper äquivalent sind und sind sie somit alle vollständig, [Gou, Theorem 5.2.1] oder [Lang, Chapter XII, Proposition 2.2.]. 13 ENDLICHE ERWERTERUNG VOM p-adic KÖRPER (14/07/2017) Ziel: DEFINIEREN WIR EINEN ABSOLUTBETRAG FÜR EINE ENDLICHE ERWEITERUNG EINES p- ADISCHEN KÖRPERS. (1) Zeigen Sie, dass es einen eindeutigen Absolutbetrag für eine Erweiterung von Q p gibt, der mit den Absolutberg von Q p kompatibel ist, und ist der Absolutbetrag vollständig. Folgen Sie [Lang, Proposition 2.5] oder [Gou, 5.3]. 4
5 14 DIE VERVOLLSTÄNDIGUNG DES ALGEBRAISCHEN ABSCHLUSS EINES p-adischen KÖRPER (21/07/2017) Ziel: WIR ZEIGEN DASS Q p NICHT VOLLSTÄNDIG IST, UND DASS DIE VERVOLLSTÄNDIGUNG DES ALGEBRAISCHEN ABSCHLUSS VON Q p ABGESCHLOSSEN IST. Gehen Sie [Gou, Theorem 5.7.4] oder [Kob, pp.71, Theorem 12], [Gou, Theorem 5.7.8] oder [Kob, pp.72, Theorem 13] durch. 5
Über die Zerlegung eines Quadrats in Dreiecke gleicher Fläche
Über die Zerlegung eines Quadrats in Dreiecke gleicher Fläche Moritz W. Schmitt Blockseminar Pflasterungen Januar 2010 Gliederung 1 Einführende Bemerkungen 2 Grundlagen der Bewertungstheorie 3 Satz von
Vollständigkeit. 1 Konstruktion der reellen Zahlen
Vortrag im Rahmen des Proseminars zur Analysis, 17.03.2006 Albert Zeyer Ziel des Vortrags ist es, die Vollständigkeit auf Basis der Konstruktion von R über die CAUCHY-Folgen zu beweisen und äquivalente
Konstruktion der reellen Zahlen. 1 Der Körper der reellen Zahlen
Vortrag zum Proseminar zur Analysis, 24.10.2012 Adrian Hauffe-Waschbüsch In diesem Vortrag werden die reellen Zahlen aus rationalen Cauchy-Folgen konstruiert. Dies dient zur Vorbereitung der späteren Vorträge,
Nicht-archimedische Zahlen
Skript zur Vorlesung Nicht-archimedische Zahlen Wintersemester 2012/13 Frankfurt am Main Prof. Dr. Annette Werner Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Nicht-archimedische Absolutbeträge 2 1 Einleitung In
ist ein n-dimensionaler, reeller Vektorraum (vgl. Lineare Algebra). Wir definieren auf diesem VR ein Skalarprodukt durch i y i i=1
24 14 Metrische Räume 14.1 R n als euklidischer Vektorraum Die Menge R n = {(x 1,..., x n ) x i R} versehen mit der Addition und der skalaren Multiplikation x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) λx = (λx
Proseminar Analysis Vollständigkeit der reellen Zahlen
Proseminar Analysis Vollständigkeit der reellen Zahlen Axel Wagner 18. Juli 2009 1 Voraussetzungen Zunächst wollen wir festhalten, was wir als bekannt voraussetzen: Es sei (Q, +, ) der Körper der rationalen
Exponentialabbildung für Matrizen und Systeme von Differentialgleichungen
Proseminar Lineare Algebra SS10 Exponentialabbildung für Matrizen und Systeme von Differentialgleichungen Simon Strahlegger Heinrich-Heine-Universität Betreuung: Prof. Dr. Oleg Bogopolski Inhaltsverzeichnis:
Lokale und globale Körper
Seminar Einführung in die Theorie elliptischer Kurven Lokale und globale Körper Saskia Klaus 18.06.2015 1 Motivation Betrachten wir den Ring Z und eine Primzahl p Z. Wie können wir das Zerlegungsverhalten
Stefan Ruzika. 24. April 2016
Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 24. April 2016 Stefan Ruzika 2: Körper 24. April 2016 1 / 21 Gliederung 1 1 Schulstoff 2 Körper Definition eines Körpers
Analysis 1, Woche 2. Reelle Zahlen. 2.1 Anordnung. Definition 2.1 Man nennt eine Anordnung für K, wenn: 1. Für jeden a K gilt a a (Reflexivität).
Analysis 1, Woche 2 Reelle Zahlen 2.1 Anordnung Definition 2.1 Man nennt eine Anordnung für K, wenn: 1. Für jeden a K gilt a a (Reflexivität). 2. Für jeden a, b K mit a b und b a gilt a = b (Antisymmetrie).
Einführung in die Algebra II
Falko Lorenz Einführung in die Algebra II 2. Auflage Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg B erlin Oxford Inhaltsverzeichnis 20 Formal reelle Körper Ordnungen und Präordnungen von Körpern Fortsetzung
Extremalpunkte und der Satz von Krein-Milman. 1 Lokalkonvexe topologische Vektorräume
Extremalpunkte und der Satz von Krein-Milman Seminar zu ausgewählten Kapiteln der Banachraumtheorie Vortrag von Michael Hoffmann 1 Lokalkonvexe topologische Vektorräume Im folgenden betrachten wir stets
Zusammenfassung Analysis 2
Zusammenfassung Analysis 2 1.2 Metrische Räume Die Grundlage metrischer Räume bildet der Begriff des Abstandes (Metrik). Definition 1.1 Ein metrischer Raum ist ein Paar (X, d), bestehend aus einer Menge
Körper der komplexen Zahlen (1)
Die komplexen Zahlen Körper der komplexen Zahlen (1) Da in angeordneten Körpern stets x 2 0 gilt, kann die Gleichung x 2 = 1 in R keine Lösung haben. Wir werden nun einen Körper konstruieren, der die reellen
Analysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME
Analysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME Dietmar A. Salamon ETH-Zürich 23. Februar 2015 1 Topologische Grundbegriffe Sei (X, d) ein metrischer Raum, d.h. X ist eine Menge und d : X X R ist
Zahlen und metrische Räume
Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} bzw. N 0 = {0, 1, 2,
Definition Eine Metrik d auf der Menge X ist eine Abbildung d : X X IR
0 Inhaltsverzeichnis 1 Metrik 1 1.1 Definition einer Metrik............................. 1 1.2 Abstand eines Punktes von einer Menge................... 1 1.3 Einbettung eines metrischen Raumes in einen
Einführung in die Theorie der p-adischen Zahlen und explizite Berechnungen
Julius-Maximilians-Universität Würzburg Fakultät für Mathematik und Informatik Institut für Mathematik Einführung in die Theorie der p-adischen Zahlen und explizite Berechnungen Bachelorarbeit von Matthias
Einführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 23 Die Gradformel Satz 1. Seien K L und L M endliche Körperweiterungen. Dann ist auch K M eine endliche Körpererweiterung und
9 Metrische und normierte Räume
9 Metrische und normierte Räume Idee: Wir wollen Abstände zwischen Punkten messen. Der Abstand soll eine reelle Zahl 0 sein (ohne Dimensionsangabe wie Meter...). 9.1 Definition Sei X eine Menge. Eine Metrik
30 Metriken und Normen
31 Metriken und Normen 153 30 Metriken und Normen Lernziele: Konzepte: Metriken, Normen, Skalarprodukte, Konvergenz von Folgen Frage: Versuchen Sie, möglichst viele verschiedene Konvergenzbegriffe für
2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen
Algebra und Algebra 2. Dezember 2011 Übersicht Algebra und Algebra I Gruppen & Körper Vektorräume, Basis & Dimension Algebra Norm & Metrik Abbildung & Algebra I Eigenwerte, Eigenwertzerlegung Singulärwertzerlegung
Konstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen
Konstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen Wir nehmen an, daß der Körper der rationalen Zahlen bekannt ist. Genauer wollen wir annehmen: Gegeben ist eine Menge Q zusammen mit zwei Verknüpfungen
Mathematik I. Vorlesung 19. Metrische Räume
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 19 Metrische Räume Euklidische Räume besitzen nach Definition ein Skalarprodukt. Darauf aufbauend kann man einfach die Norm eines Vektors
Übungsaufgaben zur Vorlesung p-adische Differentialgleichungen SS 04 P. Schneider Blatt 1
P. Schneider Blatt 1 Aufgabe 1: Für ε 1 ist B ε (a) Nebenklasse eines Ideals in 0 zum Nebenklassenvertreter a. Aufgabe 2: Führe aus, weshalb in den Beispielen (A), (B), (C) der Vorlesung tatsächlich nichtarchimedische
Lineare Algebra und analytische Geometrie II
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie II Auf dem R n gibt es sehr viele verschiedene Normen, allerdings hängen sehr viele wichtige Begriffe wie die Konvergenz
2.9 Die komplexen Zahlen
LinAlg II Version 1 3. April 2006 c Rudolf Scharlau 121 2.9 Die komplexen Zahlen Die komplexen Zahlen sind unverzichtbar für nahezu jede Art von höherer Mathematik. Systematisch gehören sie zum einen in
die gewünschte Schranke gefunden, denn es gilt (trivialerweise) für n N
.5. VOLLSTÄNDIGKEIT VON R 37 Lemma.5. (Beschränktheit konvergenter Folgen) Konvergente Folgen in R sind beschränkt. Beweis. Angenommen die Folge a n n N konvergiert gegen A R. Zu ε > 0 existiert ein N
Lineare Algebra und analytische Geometrie II
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie II Vorlesung 53 Norm von Endomorphismen und Matrizen Definition 53.1. Es seien V und W endlichdimensionale normierte K-
Serie 3: Ringe, Körper, Vektorräume
D-MATH Lineare Algebra I HS 2016 Dr. Meike Akveld Serie 3: Ringe, Körper, Vektorräume 1. Im Folgenden sei n N und Z n bezeichne die Menge der Äquivalenzklassen von Z bezüglich der Relation: k n l n k l
Einführung in die Analysis
Ergänzungen zur Vorlesung Einführung in die Analysis Christian Schmeiser 1 Vorwort In dieser Vorlesung werden Grundbegriffe der Analysis wie Folgen und Reihen, Konvergenz und Vollständigkeit am Beispiel
Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren
Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15 Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis
FILTER, ULTRAFILTER UND EINFÜHRUNG VON R
FILTER, ULTRAFILTER UND EINFÜHRUNG VON R Im Sinne von G.W.Leibniz ist: Eine Kurve besteht aus unendlich vielen unendlich kurzen Stücken. So darf man denken, wenn man Gegenstände der Mathematik oder Physik
Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen
Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.1. Normierte Vektorräume Definition: Sei V ein Vektorraum (oder linearer Raum) über (dem Körper) R. Eine Abbildung : V [0, ) heißt Norm auf V, falls die folgenden
3 Topologische Gruppen
$Id: topgr.tex,v 1.2 2010/05/26 19:47:48 hk Exp hk $ 3 Topologische Gruppen Als letztes Beispiel eines topologischen Raums hatten wir die Zariski-Topologie auf dem C n betrachtet, in der die abgeschlossenen
Topologische Grundbegriffe I. 1 Offene und Abgeschlossene Mengen
Topologische Grundbegriffe I Vortrag zum Proseminar Analysis, 26.04.2010 Nina Neidhardt und Simon Langer Im Folgenden soll gezeigt werden, dass topologische Konzepte, die uns schon für die Reellen Zahlen
Axiomatik der reellen Zahlen
Kapitel 13 Axiomatik der reellen Zahlen 13.1 Motivation Analysis beschäftigt sich mit Grenzwerten, Differentiation und Integration. Viele Phänomene in den Natur- und Ingenieurswissenschaften lassen sich
Seminar zur Darstellungstheorie endlicher Gruppen
Seminar zur Darstellungstheorie endlicher Gruppen Prof. Dr. Gebhard Böckle und Yujia Qiu Sommersemester 15, dienstags 16:15 17:45, Raum 248/INF 368. Beginn: 21.04.2015 Motivation und Ziele des Seminars
11 Dezimalbruchdarstellung reeller Zahlen; Mächtigkeitsvergleich von Mengen
11 Dezimalbruchdarstellung reeller Zahlen; Mächtigkeitsvergleich von Mengen 11.1 g-adische Entwicklung von Zahlen aus [0, 1[ 11.2 g-adische Entwicklung reeller Zahlen 11.3 g-adische Entwicklung nicht-negativer
Mathematik II. Vorlesung 46. Der Gradient
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2010 Mathematik II Vorlesung 46 Der Gradient Lemma 46.1. Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum, der mit einer Bilinearform, versehen sei. Dann gelten folgende Aussagen
Klausur Analysis II
WS 28/9 Prof. Dr. John M. Sullivan Kerstin Günther Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik Klausur Analysis II 6.2.28 Name: Vorname: Matr.-Nr.: Studiengang: Mit der Veröffentlichung
Mathematik für Anwender II
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Mathematik für Anwender II Vorlesung 32 Metrische Räume Euklidische Räume besitzen nach Definition ein Skalarprodukt. Darauf aufbauend kann man einfach die Norm eines
Topologische Grundbegriffe II. 1 Begriffe auf Mengen
Vortrag zum Seminar zur Analysis, 03.05.2010 Dennis Joswig, Florian Goy Aufbauend auf den Resultaten der Vorlesung Topologische Grundbegriffe I untersuchen wir weitere topologische Eigenschaften von metrischen
Höhere Mathematik für Physiker II
Universität Heidelberg Sommersemester 2013 Wiederholungsblatt Übungen zur Vorlesung Höhere Mathematik für Physiker II Prof Dr Anna Marciniak-Czochra Dipl Math Alexandra Köthe Fragen Machen Sie sich bei
Algebraische Kurven. Vorlesung 24. Tangenten bei Parametrisierungen. (Q)) die Richtung der Tangente von C in P.
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Algebraische Kurven Vorlesung 24 Tangenten bei Parametrisierungen Satz 24.1. Es sei K ein unendlicher Körper und ϕ: A 1 K A n K eine durch n Polynome ϕ = (ϕ 1 (t),...,ϕ
Topologische Räume und stetige Abbildungen
TU Dortmund Mathematik Fakultät Proseminar Lineare Algebra Ausarbeitung zum Thema Topologische Räume und stetige Abbildungen Julia Schmidt Dozent: Prof. Dr. L. Schwachhöfer Datum: 29.11.2013 Inhaltsverzeichnis
Brückenkurs Rechentechniken
Brückenkurs Rechentechniken Dr. Jörg Horst Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik SS 2014 1 Vollständige Induktion Vollständige Induktion 2 Funktionenfolgen Punktweise Konvergenz Gleichmäßige
Kapitel 1. Erste algebraische Strukturen. 1.2 Ringe und Körper
Kapitel 1 Lineare Algebra individuell M. Roczen und H. Wolter, W. Pohl, D.Popescu, R. Laza Erste algebraische Strukturen Hier werden die grundlegenden Begriffe eingeführt; sie abstrahieren vom historisch
Der n-dimensionale Raum
Der n-dimensionale Raum Mittels R kann nur eine Größe beschrieben werden. Um den Ort eines Teilchens im Raum festzulegen, werden schon drei Größen benötigt. Interessiert man sich für den Bewegungszustand
Algebraische Körpererweiterungen I
Algebraische Körpererweiterungen I Thomas Schmalfeldt, Florian Schuler Seminar über Galoistheorie, 18. Februar 2009 Inhaltsverzeichnis 1 Charakteristik und Primkörper 2 2 Grad einer Körpererweiterung 3
Klausur - Analysis I Lösungsskizzen
Klausur - Analysis I Lösungsskizzen Aufgabe 1.: 5 Punkte Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Kennzeichnen Sie wahre Aussagen mit W und falsche Aussagen mit F. Es sind keine Begründungen
Universität Zürich HS , Vorlesung #3
Algebraic Number Theory P. Habegger Universität Zürich HS 2010 6.10.2010, Vorlesung #3 1.4 Diskriminante Die primitivste Invariante eines Zahlkörpers ist sein Grad. Die Diskriminante eines Zahlkörpers
Die reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte. Iwan Otschkowski
Die reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte Iwan Otschkowski 14.12.2016 1 1 Einleitung In dieser Ausarbeitung konstruieren wir einen vollständig geordneten Körper aus gewissen Teilmengen von Q, den Dedekindschen
Die Topologie von R, C und R n
Die Topologie von R, C und R n Für R haben wir bereits eine Reihe von Strukturen kennengelernt: eine algebraische Struktur (Körper), eine Ordnungsstruktur und eine metrische Struktur (Absolutbetrag, Abstand).
1. Eine funktionentheoretische Sichtweise der ganzen und der rationalen Zahlen
1. Eine funktionentheoretische Sichtweise der ganzen und der rationalen Zahlen Vereinbarung. In dieser Vorlesung sei ein Ring stets ein kommutativer Ring mit Einselement. Für einen Ringhomomorphismus φ
Zahlen und metrische Räume
Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} Ganze Zahlen : Aus
Lineare Algebra I. Christian Ebert & Fritz Hamm. Gruppen & Körper. Vektorraum, Basis & Dimension. Lineare Algebra I. 18.
18. November 2011 Wozu das alles? Bedeutung von Termen Vektoren in R n Ähnlichkeiten zwischen Termbedeutungen Skalarprodukt/Norm/Metrik in R n Komposition von Termbedeutungen Operationen auf/abbildungen
Serie 3: Gruppen, Ringe und Körper
D-MATH Lineare Algebra I HS 2017 Dr. Meike Akveld Serie 3: Gruppen, Ringe und Körper 1. Im Folgenden sei n N und Z/nZ bezeichne die Menge der Äquivalenzklassen von Z bezüglich der Relation: k n l n k l
Cauchy-Folgen und Kompaktheit. 1 Cauchy-Folgen und Beschränktheit
Vortrag zum Seminar zur Analysis, 10.05.2010 Michael Engeländer, Jonathan Fell Dieser Vortrag stellt als erstes einige Sätze zu Cauchy-Folgen auf allgemeinen metrischen Räumen vor. Speziell wird auch das
Gleichmäßige Konvergenz und Funktionenräume
Gleichmäßige Konvergenz und Funktionenräume Isabella Lukasewitz und Andreas Brack 07.06.2010 Vortrag zum Proseminar zur Analysis Konvergenz und Funktionenräume INHALTSVERZEICHNIS Bereits in den Vorlesungen
Vorkurs Mathematik. Vorlesung 8. Angeordnete Körper
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Vorkurs Mathematik Vorlesung 8 Angeordnete Körper Definition 8.1. Ein Körper K heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung auf K gibt, die die beiden Eigenschaften
Kapitel 2. Zahlenbereiche
Kapitel 2. Zahlenbereiche 2.3. Reelle Zahlen Erweiterung des Zahlenbereichs der natürlichen Zahlen Ganze Zahlen Z := {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } = N {0} N. Rationale Zahlen Q := { m n m Z, n N }. Beachte:
8 1. GEOMETRIE DIFFERENZIERBARER MANNIGFALTIGKEITEN
8 1. GEOMETRIE DIFFERENZIERBARER MANNIGFALTIGKEITEN (vi) Konvergenz von Folgen ist in topologischen Räumen folgendermaßen definiert: Ist (a n ) M eine Folge, so heißt sie konvergent gegen a M, wenn es
Einführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 22 Algebraische Körpererweiterung Satz 1. Sei K L eine Körpererweiterung und sei f L ein Element. Dann sind folgende Aussagen
1 Axiomatische Charakterisierung der reellen. 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen. 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale
Kapitel I Reelle Zahlen 1 Axiomatische Charakterisierung der reellen Zahlen R 2 Angeordnete Körper 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale Zahlen
Analysis I. Vorlesung 4. Angeordnete Körper
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2013/2014 Analysis I Vorlesung 4 Angeordnete Körper Zwei reelle Zahlen kann man ihrer Größe nach vergleichen, d.h. die eine ist größer als die andere oder es handelt sich
Topologische Aspekte: Eine kurze Zusammenfassung
Kapitel 1 Topologische Aspekte: Eine kurze Zusammenfassung Wer das erste Knopfloch verfehlt, kommt mit dem Zuknöpfen nicht zu Rande J. W. Goethe In diesem Kapitel bringen wir die Begriffe Umgebung, Konvergenz,
Schwartz-Raum (Teil 1)
Schwartz-Raum (Teil 1) Federico Remonda, Robin Krom 10. Januar 2008 Zusammenfassung Der Schwartz-Raum ist ein Funktionenraum, der besondere Regularitätseigenschaften besitzt, die uns bei der Fouriertransformation
Elementare Beweismethoden
Elementare Beweismethoden Christian Hensel 404015 Inhaltsverzeichnis Vortrag zum Thema Elementare Beweismethoden im Rahmen des Proseminars Mathematisches Problemlösen 1 Einführung und wichtige Begriffe
Körper- und Galoistheorie
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2011 Körper- und Galoistheorie Vorlesung 8 Erzeugte Algebra und erzeugter Körper Satz 8.1. Sei K L eine Körpererweiterung und sei f L ein algebraisches Element. Dann ist
eine reelle oder komplexe Folge ist, kann man daraus eine neue Folge {s n } n=0 konstruieren durch s n = a 0 + a a n, a k.
Analysis, Woche 7 Reihen I 7. Folgen aus Folgen Wenn a n eine reelle oder komplexe Folge ist, kann man daraus eine neue Folge s n konstruieren durch s n = a 0 + a + + a n, oder netter geschrieben s n =
Kapitel 3. Folgen Körper der reellen Zahlen. Wir kennen schon den Körper Q der rationalen Zahlen: : a, b Z, b 0}. Q = { a b
Kapitel 3. Folgen 3.1. Körper der reellen Zahlen Wir kennen schon den Körper Q der rationalen Zahlen: Q = { a b : a, b Z, b 0}. Die natürliche Ordnung auf Q ist eine totale Ordnung. Überdies gilt folgendes
Inhaltsübersicht. Definition und erste Eigenschaften komplexer Zahlen
Inhaltsübersicht Kapitel 4: Die Macht des Imaginären: Komplexe Zahlen Definition und erste Eigenschaften komplexer Zahlen Die Polardarstellung komplexer Zahlen Polynome im Komplexen Exponentialfunktion
Kapitel 4. Folgen Körper der reellen Zahlen. Wir kennen schon den Körper Q der rationalen Zahlen: : a, b Z, b 0}. Q = { a b
Kapitel 4. Folgen 4.1. Körper der reellen Zahlen Wir kennen schon den Körper Q der rationalen Zahlen: Q = { a b : a, b Z, b 0}. Die natürliche Ordnung auf Q ist eine totale Ordnung. Überdies gilt folgendes
Stefan Kottwitz Algebra-Seminar, 6. April 2005
Stefan Kottwitz Algebra-Seminar, 6. April 2005 Script zum Referat p-adische Zahlen Die bekannte Darstellung einer natürlichen Zahl in einer Basis p läßt sich erweitern zu Darstellungen beliebiger ganzer
Vektorräume. Stefan Ruzika. 24. April Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz
Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 24. April 2016 Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April 2016 1 / 20 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume Erinnerung:
Mathematik I+II. für FT, LOT, PT, WT im WS 2015/2016 und SS 2016
Mathematik I+II für FT, LOT, PT, WT im WS 2015/2016 und SS 2016 I. Wiederholung Schulwissen 1.1. Zahlbereiche 1.2. Rechnen mit reellen Zahlen 1.2.1. Bruchrechnung 1.2.2. Betrag 1.2.3. Potenzen 1.2.4. Wurzeln
Funktionalanalysis, WS 2005/06, by HGFei
Funktionalanalysis, WS 2005/06, by HGFei Hinweise zum Inhalt (laufende Chronologie) Version vom 15. Oktober 2005 (HGFei) 1. Stunde 1: TEST: l, (l, ), l 1, (l 1, 1 ), l 2, (l 2, 2 ) QUESTION: Was ist Funktionalanalysis?
Die reellen Zahlen als Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen. Steven Klein
Die reellen Zahlen als Äquivalenzklassen rationaler Cauchy-Folgen Steven Klein 04.01.017 1 In dieser Ausarbeitung konstruieren wir die reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen. Hierzu denieren wir zunächst
Analysis für Informatiker
Analysis für Informatiker Wintersemester 2017/2018 Carsten.Schneider@risc.jku.at 1 Bemerkung: Dies ist kein Skript, welches den gesamten Inhalt der Vorlesung abdeckt. Es soll den Studierenden aber während
Algebraische Kurven - Vorlesung 23. Glatte und normale Punkte
Algebraische Kurven - Vorlesung 3 Glatte und normale Punkte Wir wollen zeigen, dass ein Punkt auf einer ebenen algebraischen Kurve genau dann glatt ist, wenn der zugehörige lokale Ring ein diskreter Bewertungsring
Kapitel V. Folgen und Konvergenz. V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen
Kapitel V Folgen und Konvergenz V.1 Konvergenz von Zahlenfolgen Wir erinnern an den Begriff der Folge, den wir schon im Kapitel III verwenden. Eine Folge (a n ) n=1 AN in A ist eine Abbildung a ( ) : N
Henning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 2017 Klausur mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich
Henning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 27 Klausur 2.9.27 mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich Aufgabe (4 Punkte: Sei n N und seien A und B zwei (n n-matrizen über einem Körper K. Wahr Falsch (a Es
3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die
3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Definition: Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den sogenannten Gliedern ), die eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet sind ( n N, auch
Analysis für Wirtschaftswissenschaftler und Ingenieure
Dieter Hoffmann 2008 AGI-Information Management Consultants May be used for personal purporses only or by libraries associated to dandelon.com network. Analysis für Wirtschaftswissenschaftler und Ingenieure
Bild, Faser, Kern. Stefan Ruzika. 23. Mai Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz
Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 23. Mai 2016 Stefan Ruzika 7: Bild, Faser, Kern 23. Mai 2016 1 / 11 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume 4 Basis
Ultrametrik. Christian Semrau Metrische Räume
Ultrametrik Christian Semrau 05.11.2002 Inhaltsverzeichnis 1 Metrische Räume 1 1.1 Definition der Metrik.................................. 1 1.2 Offene und abgeschlossene Mengen..........................
Kapitel 2. Zahlenbereiche
Kapitel 2. Zahlenbereiche 2.3. Reelle Zahlen Erweiterung des Zahlenbereichs der natürlichen Zahlen Ganze Zahlen Z := {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} = N {0} N. Rationale Zahlen Q := { m } n m Z, n N. Beachte:
d(x, z) = z x = y x + z y y x + z y = d(x, y) + d(y, z). d(x, y) = 0, falls x = y.
Metrische Räume K bezeichnet entweder den Körper R oder den Körper C. Genauer bedeutet dies: K wird in denjenigen Situationen verwendet, in denen die Ersetzung von K sowohl durch R als auch durch C einen
Teil II: Lineare Algebra
3 Vektorräume 49 Teil II: Lineare Algebra 3 Vektorräume Wir haben in den vorangegangenen Kapiteln ausführlich die Differential- und Integralrechnung in einer (reellen Variablen untersucht Da die Welt aber
PROSEMINAR LINEARE ALGEBRA SS10
PROSEMINAR LINEARE ALGEBRA SS10 Körper und Konstruktion mit Zirkel und Lineal Neslihan Yikici Mathematisches Institut der Heinrich-Heine Universität Düsseldorf Juni 2010 Betreuung: Prof. Dr. Oleg Bogopolski
Folgen und Reihen. Thomas Blasi
Folgen und Reihen Thomas Blasi 02.03.2009 Inhaltsverzeichnis Folgen und Grenzwerte 2. Definitionen und Bemerkungen............................. 2.2 Konvergenz und Beschränktheit.............................
Serie 2: Relationen, Abbildungen, Mächtigkeit, Gruppen
D-MATH Lineare Algebra I HS 2016 Dr. Meike Akveld Serie 2: Relationen, Abbildungen, Mächtigkeit, Gruppen 1. Auf Z definieren wir eine Relation durch x, y Z : (x y : x y ist gerade) a) Zeigen Sie, dass
1 Konvergenz im p ten Mittel
Konvergenz im p ten Mittel 1 1 Konvergenz im p ten Mittel In diesem Paragraphen werden zunächst in Abschnitt 1.1 die L p Räume eingeführt. Diese erweisen sich als vollständige, lineare Räume über R. In
Darstellungssatz von Riesz in vollständig regulären Räumen. Carina Pöll Wintersemester 2012
Darstellungssatz von Riesz in vollständig regulären Räumen Carina Pöll 0726726 Wintersemester 2012 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Definitionen und Resultate aus der Topologie 1 3 Der Darstellungssatz
Analysis II. Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014 Analysis II Vorlesung 51 Für eine stetig differenzierbare Funktion ϕ: R R mit ϕ (P) > 0 in einem Punkt P R gibt es ein offenes Intervall P I =]P δ,p +δ, auf dem ϕ
Aufgabensammlung Grundbegriffe der Topologie
Aufgabensammlung Grundbegriffe der Topologie Sommersemester 2015 (Version 21. Juni 2015) Die vorliegende Aufgabensammlung dient als Grundlage für die Übungen zu,,grundbegriffe der Topologie, die die gleichnamige
Analysis I - Reelle Zahlen
November 17, 2008 Algebraische Grundbegriffe und Körper Definition Sei M eine Menge. Jede Funktion f : M M M heißt eine (binäre, innere) Verknüpfung oder eine Operation auf M. Wir schreiben für (a, b)
Im gesamten Kapitel sei Ω eine nichtleere Menge. Wir bezeichnen die Potenzmenge
1 Mengensysteme Ein Mengensystem ist eine Familie von Teilmengen einer Grundmenge und damit eine Teilmenge der Potenzmenge der Grundmenge. In diesem Kapitel untersuchen wir Mengensysteme, die unter bestimmten
Musterlösung zu Blatt 6, Aufgabe 2
Musterlösung zu Blatt 6, Aufgabe 2 I Aufgabenstellung Es sei F = R N der Raum aller reellen, mit N induzierten Folgen. Weiter bezeichne N alle Nullfolgen, K alle konvergenten Folgen und B alle beschränkten